大学物理——第六章 稳恒磁场

4 R2

0 I
4π R1
8
二、磁场的高斯定理和安培环路定理
1. 磁通量m 的计算及高斯定理
穿过dS 的元磁通量 d Φm B d S
dS
dS dS en
总磁通 Φm d Φm B d S S
S

S B cos d S 单位：韦伯(wb)
I1
I2 I 3
I1
L
I1
特别注意： I 的正负的确定方法： 先任选L 的绕向， 若I 流向与 L 的绕向成右手螺旋关系时为正；
反之为负. 上图中： B 0 I1 I 2） L d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 ) （
2) 定理的意义： 说明了磁场是非保守场(有旋场). 即磁场力是非保守力；也说明磁感应线可以是闭合的；
重点: 大题： 叠加原理的方法计算磁感应强度 (直线、圆环(弧)电流模型) 小题： 高斯定理的理解和磁通量的计算.
安培环路定理的理解及计算磁感应强度.
计算平面载流导线在磁场中所受的磁场力.
1
一、 毕奥-萨伐尔定律 磁感强度的计算 电流元产生的磁感强度 1.毕 - 萨定律 电流元 I d l 大小： 借助磁场与电场的相似性： 可叠加性 I 的流向. Idl 方向： I d l sin dB 将电流分割成无数个电流元 大小： dB dB k 2 P r 设电流元在场点 P 产生的磁感
磁场中任一点的 B 等于每一个电流元单独产生的元磁感强度d B 的矢量和.
2
0 I d l r 电流元产生的磁感强度 d B ——毕奥-萨伐尔定律 3 4 r
磁场叠加原理 B d B
L
① 任取一 I d l ，写出 d B 的大小、标明方向； 计算方法与步骤： ② 建立坐标，将 d B 分解 d Bx d B y d Bz
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I dl
I
z
y
R
O
3) 圆弧电流 I、R、 , 求圆心处的B = ? 0 I B 2 R 2
O
B = ———— 讨论： 沿 x 轴正向 . 2 2 3/2 2(R + x ) 0 I r 2) x =0 处, B0 2R x 圆电流中心磁感强度公式. B x P
0 IR2
两个重要模型公式
0I B = —— 1) 无限长直线电流磁感强度公式， 2a 0I 半无限长直线电流 B = —— 4a 0 I I 2)圆电流中心磁感强度公式, B0 圆弧电流 BO 0 2R 2 R 2
7
B = —— 2a
0I
B = —— 4a
0I
第六章 稳恒磁场
主要内容：1.磁感应强度及其计算 §6.3; 2.磁场的高斯定理和安培环路定理 §6.2, §6.4; 3. 载流导线、线圈受到的磁场力或力矩§6.5, §6.6; 基本要求: 1. 掌握磁场的基本物理量——磁感应强度的计算. 2. 理解稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 3.理解安培力公式，能计算载流导线在磁场中所受的磁场力.
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讨论题： 1) 求在以下四个环路的环流 B d l ? L
L1
I2 I1 L2
I
I1

Hale Waihona Puke L3L4I2
③ B d l 0 ( I1 I 2 ) ④ B d l 0 ( I1 I 2 ) L3 L L1 L2 2) 问： I i 0 L内是否无电流 ？ L 上各点的 B 是否都为 0 ？ L I i 0 L上各点的B是否均不为 0 ？ I I
③积分求各分量的和， Bx L d Bx By L d By Bz L d Bz 注意：积分前应分析对称性、统一变量、确定积分范围.

④ 合成 B Bx i By j Bz k 关键是求出 d B
例： 判断下列各点磁感强度的方向和大小. I d l sin 方向如图示： 大小 d B 0 7 4 r2 dB 0 电流元延长线上磁感为0. 1、 5 点 ： 0 Idl 2、4、6、8 点 ： 6 3、 7点 ： dB 0 Idl 4R 2 dB sin 45 2 4R
B B
dS1
B
dm >0； B 线穿出： B 线穿入： dm < 0. m B d S 0 ------磁场的高斯定理.
S
对闭合曲面： 面元的外法向为正向.
S
B
通过磁场中任一闭合曲面的磁通量必为零.
dS 2
S
a
如右图，通过半球面S的磁通量(取弯面向外为正) 为 2
8
1
45
0
2 3
4
3
Idl
R
5
3. 毕奥-萨伐尔定律的应用举例 z 例1. 载流直导线(直线电流)的磁 2 dl=dz 0 I d l r D 场. dB （已知 I，a , 1, 2）. 3 I d l 4 r 解：任取一 I d l I 0 Idzsin B r z d B = —— ——— 大小： dB 4 r2 a 方向：沿 x 轴负向. 各 d B均同向! y O P 统一变量 z = a cot ( ) 1 = –a cot C x d a I 2 2 0 d z = a ——— [ ] r = ———— sin d sin() dB = —— sin2 4a 2 I 0I (cos cos ) B 0 sin d = —— 1 2 沿x 轴负向. 1 4a 4a 方向与电流流向之间的关系？ 成右手螺旋关系！
0 I B0 BO 2 R 2 2R
0 I
I
r0
P
0I B 2 π r0
B0
I
(5)
R B0 x 0 I B0 o 2R
I
R B0 o
(4)
0 I
4R
I
以向里为正
R1
R2
BA
0 I
4 π r0
* B0 o

r0 * A
B0
0 I
0 I
4 R1
r
m r B cos a
B
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例1：如图示无限长载流直导线的电流为 I , 试求通过矩 形面积的磁通量. 解：先求 B， 再求dm， 后积分求出m. 0 I 0 I B dx B l dx dΦm B dS B // d S 2 x 2 x x 0 I l d dx 0 I l d 2 I ln l Φm S d m 2 d x 2 d1 d1 d2 若： I I 0 sin t O x 0 I 0 sin t 0lI 0 sin t d 2 B ln 2 x 2 d1
2 1
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2. 安培环路定理
在真空的稳恒磁场中，磁感强度 B 沿任一闭合路径的积分值， 等于 0 乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和.
磁场的环流： B d l 0 I i
L
B
说明：1)式中各量的含义 ～环路上各点的磁感强度， 由环路内、外所有电流产生. Ii ～穿过环路的电流的代数和.
与 I 都集中在轴线上的载流直导线产生的磁场相同.
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B=0
( r < R1 )
0 I
(r 2 R12 ) B (R1< r < R2) 2 2 2 ( R2 R1 ) r

O
R1
R2
B= —— ( r >R2 ) 2r 相关问题：
0 I
俯视图
0 Ir ( r < R) B 2 2R 无限长载流导体圆柱体的磁场？ 0 I ( r >R ) B= —— （半径R，电流强度I） 2r
SI制中 真空的磁导率. 0 强度为 dB k = —— 4 0 = 4 107 NA2 电流在场点 P 产生的总磁感强 度为 d B 的方向：I d l r 的方向 .
I
r
I dl
Idl
r
dB
B d B 磁场叠加原理 I dl r 0 L 矢量式 d B ---毕 萨定律 . r3 电流元在场点 P4 产生的磁感强 ---载流导线产生的磁感强度. B d B 2. d 磁场叠加原理 度 B？ L
① B d l 0 ( 2 I 2 I1 ) ② B d l 0

4
r
r
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3. 应用环路定理求对称磁场的磁感强度 . 静电场 稳恒磁场 I )的磁场. 1 (半径R1, R2 例1. 求无限长载流导体圆管 、电流 Bd S 0 高斯定理 SE d S qi S 解：磁场分布——轴对 0 P3 称 . P B d l (1) r < R1 , 过场点 P 1 Ii 作图示环路 . 0 E d l 0 1 L 环路定理 L R 1 r B =0 = 0 = B 2 r B d l O L L B cos 0 d l (2) R1< r < R2 , 过场点 P2 作图示环路. R2 I 2 2 = B 2 r ( r R 0 1 ) 2 2 LB d l ( R2 R1 ) 俯视图 P2 0 I (r 2 R12 ) r B 2 2 2 ( R2 R1 ) r R1 (3) r >R2 , 过场点 P3 作图示环路. O I 0 LB d l =B2r = 0 I B= —— R2 2r
无限长载流导体圆柱面(圆筒)的磁场？ （半径R，电流强度I）
B0
B= —— ( r >R ) 2r