第58讲 两个正态总体参数假设检验(比较两个正态总体均值的检验)
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正态总体参数的假设检验
的样本,EX
1 , DX
2 1
,
EY
2 , DY
2 2
,
则由中心极限定理知,
当n1和n2 较大时
U
X
Y
(1
2)
近似
~ N (0,1)
其中
2 1
n1
2 2
n2
故对大样本(n1和n2较大), 仍可用U检验法,这时拒绝条件仍如上表 所示.
如果
2 1
,
2 2
2
2 /2
2 (n 1)
2 2
0
2
2 1
概率统计（ZYH）
例1 某车间生产铜丝, 据经验知该车间生产的铜丝折 断力X~N(570,82).今换了一批质量较好的原材料,从性能上 看,估计折断力的方差不变,但不知折断力是否有所增强.故 从新生产的铜丝中抽取了十个样品,测得折断力(单位:N)为
n1
2 2
n2
T法
2 1
=
2 2
但未知
1 2 1 2 1 2
1 2 T
X Y
1 2
Sw 1 n1 1 n2
1 2 Sw
(n1 1)S12 (n2 1)S22 ) (n1 n2 2)
N (0,1)
N (0,1) t (n 1)
| U | u / 2 U u U u
| T | t / 2 T t T t
2法
2
2 0
两个正态总体的假设检验
由样本观察值算出的 F 满足
F0.95 (9 , 9) 1 3.18 F 1.95 3.18 F0.05 (9 , 9) .
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设 H0 ：σ12 = σ22 ，
从而认为两个总体的方差无显著差异。
注意：在 μ1 与 μ2 已知时，要检验假设 H0 ：σ12 = σ22 ，其
检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
1 n1
2
(
X
)
i 1
n1 i 1
F
1 n2
2
(
Y
)
i 2
n2 i 1
其拒绝域参看表8-5。
( 2 )单边检验可作类似的讨论。
F0.05 (n1 , n2 ) .
8-5
概率学与数理统计
体的样本，且 μ1 与 μ2 未知。现在要检验假设 H0 ： σ2 = σ02 ；
H1： σ2 ≠ σ02 。在原假设 H0 成立的条件下，两个样本方差的
比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小。
于是我们选取统计量
S12
F 2.
S2
( 8.21 )
显然，只有当 F 接近1时，才认为有 σ12 = σ22 。
10 10 2
18
由( 8.20 )式计算得
2.063 2.059
t0
3.3 .
0.0000072 (2 10)
对于 α =0.01，查自由度为18的 t 分布表得 t 0.005( 18 )=2.878。
由于| t0|=3. 3 > t 0.005( 18 )=2.878 ，于是拒绝原假设 H0 ：μ1 = μ2 。
两个正态总体的假设检验
两个正态总体的假设检验
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )
两个正态总体均值的检验.
S
2 w
(n1
1)S1*2 (n2 1)S2*2 n1 n2 2
.
当H0为真时, 根据第六章§3定理2知,
T ~ t(n1 n2 2).
第八章 假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
对给定的 ， 由t分布的分位表可查得 t/ 2(n1 n2 2).
X Y
使得P{ Sw
1 1 t / 2 (n1 n2 2)}
,
2均为
2
未
知.
需要检验假设:
H0
:
2 1
22,
H1 :12 22 ,
第八章 假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
当 H0 为真时,
E
(
S1*
2
)
2 1
2 2
E(S2*2 ),
当 H1 为真时,
E(
S1*2
)
2 1
22
E(S2*2 ),
当 H1 为真时,
观
察
值S1*
S
* 2
2 2
有 偏
大
或
偏
小
的
趋
势
故拒绝域的形式为 s1*2 s2* 2
k1或
s1* 2 s2* 2
k2,
此处 k1和k2 的值由下式确定:
第八章 假设检验
P
S1* S2*
2 2
k1
S1*2 S2*2
k2
§8.3
两个正态总体参数的假设检验
为了计算方便, 习惯上取
P
S1* S2*
2 2
k1
,
2
P
P{| ( X Y ) /
故拒绝域为
8.3 两正态总体的假设检验
.
当 H0: 1=2 为真时，有
(X Y ) S m n
1 1
~ tm n 2 .
从而
| X Y | P tm n2 (/2) . S m 1 n 1
拒绝域为
| X Y | S m n
1 1
tm n2 (/2)
2 2
因为 s1 3.325, s2 2.225,
2 2
s1 所以 2 1.49, s2 s1 0.153 2 1.49 6.54, s2
故接受 H 0 , 认为两总体方差相等.
2
2
两总体方差相等也称两总体具有方差齐性.
例3 分别用两个不同的计算机系统检索10个资料, 测得平均检索时间及方差(单位:秒)如下:
例1：假设有A和B两种药，欲比较它们在服用 2小时后在血液中的含量是否一样。对药品A， 随机抽取8个病人服药，服药2小时后，测得8 个病人血液中药物浓度(用适当的单位)分别为: 1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76. 对药品B，随机抽取6个病人服药，服药2小时 后，测得血液中药的浓度分别为: 1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81. 假定这两组观测值抽自具有共同方差的两个正 态总体，在显著性水=0.10下，检验病人血液 中这两种药的浓度是否有显著不同?
x % y %
0.20 0.30 0.10 0.21
0.40 0.52
0.50 0.32
0.60 0.78
0.70 0.80 0.90 1.00 0.59 0.68 0.77 0.89
d x y % 0.10 0.09 0.12 0.18 0.18 0.11 0.12 0.13 0.11
两个正态总体参数的比较
解：(1)检验假设
(2) 计算统计量
H 0 : 1 2 H1 : 1 2 2 X 56.5 , S1 9.4, n1 75
Y 65, S 5.5, n2 65
2 2
56.5 65 u 18.56 2 2 9.4 5.5 S1 S 2 ( ) ( ) 75 65 n1 n2
小样本情况下的检验步骤：
1、假设： H 0 : 1 2、统计量 t
2 , H1 : 1 2
~ t ( df )
( X Y ) ( 1 2 )
2 S12 S 2 n1 n2 3、查临界值：给出显著水平
，
查附表7，得到临界值 t (df ) 。
2
t 4、结论： t t , 拒绝H 0， t , 接受H 0 。
解：(1)检验假设 H 0
(2) 计算统计量
: 1 2 H1 : 1 5, S 0.0012, n1 4 Y 8.87, S 0.0018 n2 4 ,
2 2
(n1 1) S (n2 1) S S n1 n2 2
3.两位药师对同一样品测得结果的比较；
4.在动物试验中，通常把在遗传上和环境 上差别很小的同胎、同性别、体重相近的小 白鼠配成对子做试验，对子之一做甲种处理， 另一只做乙种处理，比较其反应的强弱。
配对资料的特点是：一对数据间存在着某 种联系。
我们把满足这种特点的资料称为配对的资 料。
二、配对的作用：
§4-4 两个正态总体的参数检验
关于两个正态总体的问题: 1、在动物身上做比较试验来鉴定使用和不使 用某种药物的效果； 2、临床试验中比较新药和旧药对于治疗某 种疾病的疗效。 3、在制药工业中比较新旧工艺间的优劣。 等等
双正态总体的假设检验
x1 , x2 ,, xn1
和
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y1 , y2 ,, yn2 ,
3
计算出 U 的观察值 u,若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H 0 , 若 u u / 2 , 则接受原假设 H 0 .
类似地，对单侧检验有： (2) 右侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 , 可得拒绝域为 其中 0 为已知常数，
X Y 0 T 2 ~ t ( n1 n2 2), S w 1 / n1 1 / n2
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2 1 2 2 其中 Sw 1 . 选取 T 作为检验 n1 n2 2
统计量， 记其观察值为 t , 相应的检验法称为 t 检验
故应拒绝 H 0 , 即认为两厂生产的灯泡寿命有显著差 7 专业课件讲义教材PPT文档 异.
例2 一药厂生产一种新的止痛片, 厂方希望验证服用 新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至 少缩短一半, 因此厂方提出需检验假设 此处 1 , 2 分别是服用原有止痛片和服用新止痛片 后至起作用的时间间隔的总体的均值 . 设两总体均 2 2 为正态总体 , 且方差分别为已知值 1 , 2 , 现分别在 两总体中取一样 X 1 , X 2 ,, X n 和 Y1 ,Y2 ,,Yn , 设 1 2 两个样本独立, 试给出上述假设 H 0的拒绝域, 取显著 性水平为 .
.
专业课件讲义教材PPT文档
10
2.
方差 , 未知，但 情形
2 1 2 2 2 1 2 2 2
(1) 双侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 , 当 H 0 为真时， 其中 0 为已知常数，
两个正态总体均值的检验.
解 依题意, 两总体 X 和 Y 分别服从正态分布
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
第八章
假设检验
*2 1
*2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
2
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
使得P{ Sw X Y 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
故拒绝域为
W1 { sw ( x y) 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
例2 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
x 24.4,
12
2 2
y 27
24.4 27 u ( x y) / 1.612 n1 n2 5 8 5 5 对 0.05, 查正态分布表得 u / 2 1.96,由于
| u | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均 值差的假设. 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 来 自 正 态 总 体 N ( 1 , 2 )的
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
第八章
假设检验
*2 1
*2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
2
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
使得P{ Sw X Y 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
故拒绝域为
W1 { sw ( x y) 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
例2 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
x 24.4,
12
2 2
y 27
24.4 27 u ( x y) / 1.612 n1 n2 5 8 5 5 对 0.05, 查正态分布表得 u / 2 1.96,由于
| u | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均 值差的假设. 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 来 自 正 态 总 体 N ( 1 , 2 )的
两个正态总体均值或方差的比较
研究目的
01
确定两个正态总体均值或方差是否存在显著差异，为进一步的 数据分析和决策提供依据。
02
探讨比较两个正态总体均值或方差的方法和步骤，为实际应用
提供指导。
通过实例分析和模拟实验，验证比较两个正态总体均值或方差
03
的有效性和可靠性。
02
正态分布的基本性质
正态分布的定义
正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，形状由均值和标准 差决定。
两个正态总体均值或 方差的比较
• 引言 • 正态分布的基本性质 • 两个正态总体均值的比较 • 两个正态总体方差的比较 • 结论
目录
01
引言
主题介绍
正态分布是自然界和工程领域中最常 见的概率分布之一，它描述了许多自 然现象和随机过程的分布特征。
比较两个正态总体的均值或方差是统 计学中一个重要的问题，它涉及到如 何评估两个总体的参数是否存在显著 差异。
社会学领域
社会调查和人口统计中的许多数 据也呈现出正态分布的特征，如 考试分数、家庭收入等。
03
两个正态总体均值的比较
样本和总体均值的计算
样本均值
样本均值是样本数据集中所有数值的 和除以样本大小，用于估计总体均值。
总体均值
总体均值是总体中所有数值的和除以 总体大小，是总体数据的平均水平。
假设检验
两个正态总体方差比较
对两个正态总体的方差进行比较，我们发现它们的方差大小不同，这表明两个总体的离散程度存在差异。
对未来研究的建议
进一步探讨其他统计方法
除了均值和方差，还可以考虑使用其他统计方法，如中位数、众数等，来比较两个正态 总体的分布特性。
考虑样本大小的影响
在比较两个正态总体时，样本大小是一个重要因素。未来研究可以探讨不同样本大小下 两个正态总体均值或方差的比较结果。
两个正态总体的均值检验、配对样本均值检验
原理
基于独立双样本均值检验的原理，通 过配对样本的差值来减少误差，提高 检验的精确度。
参数设置与假设
参数设置
需要设定两个正态总体的均值差（μ1 - μ2）和方差（σ1^2 和 σ2^2）。
假设
H0（零假设）为两个总体的均值相等（μ1 = μ2），H1（对立假设）为两个总体的均值不相等或存在一定的差 异。
两个正态总体的均值检验、配 对样本均值检验
目录
CONTENTS
• 两个正态总体的均值检验 • 配对样本均值检验 • 两种检验方法的比较 • 结论
01
CHAPTER
两个正态总体的均值检验
定义与原理
定义
两个正态总体的均值检验是用来比较两个正态分布总体的均值是否相等的一种 统计方法。
原理
基于正态分布的性质，如果两个总体的均值相等，那么它们的概率密度函数在 均值处的值也相等。因此，可以通过比较两个总体在均值处的概率密度函数值 来判断它们的均值是否相等。
对未来研究的建议
考虑非正态分布
探索其他统计方法
考虑样本大小和方差齐性
实际应用研究
虽然上述两种方法主要针对正 态分布，但在实际应用中，数 据可能并不总是正态分布。未 来研究可以考虑这些方法在非 正态分布数据上的适用性和稳 健性。
除了上述两种检验方法，还有 许多其他统计方法可用于均值 比较。未来研究可以探索这些 方法的优缺点，并确定它们在 不同情况下的适用性。
统计量与决策准则
统计量
配对样本均值检验的统计量一般为差值的均值和标准差，以及差值的正态分布检 验。
决策准则
根据统计量的值和临界值进行决策，如果统计量值大于临界值，则拒绝零假设， 认为两个总体的均值存在显著差异；否则，接受零假设。
基于独立双样本均值检验的原理，通 过配对样本的差值来减少误差，提高 检验的精确度。
参数设置与假设
参数设置
需要设定两个正态总体的均值差（μ1 - μ2）和方差（σ1^2 和 σ2^2）。
假设
H0（零假设）为两个总体的均值相等（μ1 = μ2），H1（对立假设）为两个总体的均值不相等或存在一定的差 异。
两个正态总体的均值检验、配 对样本均值检验
目录
CONTENTS
• 两个正态总体的均值检验 • 配对样本均值检验 • 两种检验方法的比较 • 结论
01
CHAPTER
两个正态总体的均值检验
定义与原理
定义
两个正态总体的均值检验是用来比较两个正态分布总体的均值是否相等的一种 统计方法。
原理
基于正态分布的性质，如果两个总体的均值相等，那么它们的概率密度函数在 均值处的值也相等。因此，可以通过比较两个总体在均值处的概率密度函数值 来判断它们的均值是否相等。
对未来研究的建议
考虑非正态分布
探索其他统计方法
考虑样本大小和方差齐性
实际应用研究
虽然上述两种方法主要针对正 态分布，但在实际应用中，数 据可能并不总是正态分布。未 来研究可以考虑这些方法在非 正态分布数据上的适用性和稳 健性。
除了上述两种检验方法，还有 许多其他统计方法可用于均值 比较。未来研究可以探索这些 方法的优缺点，并确定它们在 不同情况下的适用性。
统计量与决策准则
统计量
配对样本均值检验的统计量一般为差值的均值和标准差，以及差值的正态分布检 验。
决策准则
根据统计量的值和临界值进行决策，如果统计量值大于临界值，则拒绝零假设， 认为两个总体的均值存在显著差异；否则，接受零假设。
两总体的假设检验 两个正态总体均值差的检验(t检验)
故 F=s12 /s22有偏大的趋势，因此拒绝域的形式为
2 s1 k, 2 s2
(3.3)
k由下式确定：
2 s1 P{拒绝H 0 | H 0为真} = Ps 2 =s 2 { 2 k} = a, 1 2 s2
即有
k=Fa(n1 -1,n2 -1), 于是拒绝域为
2 s1 Fa (n1 - 1, n2 - 1). 2 s2
t = ( x - y) - d sw 1 1 n1 n2 ,
其中
当H0为真时，即m1-m2=d时，t~t(n1+n2-2). 与单个总体的t检 验法相仿，其拒绝域的形式为
t = ( x - y) - d sw 1 1 n1 n2 k.
(n1 - 1)s (n2 - 1)s s = . n1 n2 - 2
关于均值差 的其它情况列在表8.1中,常用的是d=0情
况. 当两正态总体的方差均为已知时,可用U检验法检验. 例1 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的 先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以
建议是否会增加钢的得率，试验是在同一平炉上进行的。 后交替进行，各炼了10炉，其得率分别为
1)标准方法 2)新方法 78.1 72.4 79.1 81.0 76.2 77.3 74.3 77.4 78.4 77.3 79.1 80.0 79.1 82.1 76.0 75.5 76.7 79.1 77.3 80.2
现在
s12 =3.352,
s22 =2.225 ,
s12/ s22 =1.49 ,
即有
0.153 <s12/ s22 <6.54
故接受H.认为两总体的方差相等。又称总体具有方差齐性。
为逐对比较法。
3.4两个正态总体均值和方差的假设检验
1 1 F (5, 3) 0.1848 1 F0.1 (3, (3 5) 5 5.41 41 2
2
s (0.07) 1.36 1 36 2 s (0.06)
2 1 2 2
2
F (5, (5 3) F0.1 (5 (5, 3) 9 9.01 01
2 2
0 1848 1 1.36 36 9.01 9 01 又 0.1848
概率统计
t ( n1 n2 2) t 0.05 (14) 2.1448
2 2
因为： t 0.516 2.1448 所以接受H 0 ,可认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。 方法 方法二：数据配对分析 数据配对分析 在方法一中是将所观察的两行数据分别作为 在方法 中是将所观察的两行数据分别作为 注意到： X，Y的样本，而没有去区别它们是否来自于 同一架飞机。 同 架飞机。 实际上： 不同的飞机其试验的条件是不完全一致的， 有的甚至于有很大的差异 所以飞机之间的 有的甚至于有很大的差异，所以飞机之间的 试验条件的不同会对试验数据产生干扰
k t ( n1 n2 2)
2
概率统计
在显著性水平 下, H 0 的拒绝域:
x y 1 1 sw n1 n2
t ( n1 n2 2)
2
2 注: 当 12 2 2 未知时
检验假设 或
H 0 : 1 2 ,
H 0 : 1 2 ,
C { t t t ( n1 n2 2) }
经计算
x 6145 ,
2
2
y 5825 ,
2
2 1 2 2
s1 1633900 , s2 1053875
两个正态总体方差比的假设检验
市场管理部门可以断定该种大瓶碳酸饮料包装重量不足,可 以对其提出投诉.
三、总体为非正态分布
非正态总体时，大样本情况（n≥30）
近似地，
~ ( ,
2 );
n
如果已知，近似地 ~ (,1);
如果未知，近似地 ~ (,1).
例4、某房地产经纪人宣称某邻近地区房屋的平均 价值低于480000元。从40间房屋组成的一个随机样本 得出的平均价值为450000元，标准差为120000元。在 0.05的置信水平下，是否支持这位经纪人的说法？
计量为：
~ ( ) /
这个统计量服从自由度为n-1的t-分布。
解:建立假设:
H0: µ ≧3磅,H1: µ <3磅
由于样本容量n=20,且总休方差未知,建立统计量
:
由给出数据计算统计量的值为 ：
. . /
.
而 . ( ) .
本题是左单侧检验, ,故拒绝原假设,接受替换假设,
（6）得出结论。
第二节 总体平均数的假设检验
一、总体为正态分布且方差已知，则适
当的检验统计量为：
~ (, )
此统计量服从标准的正态分布。
注：双侧检验与区间估计有一定联系，
我们可以通过求μ的（1-α）的置信 区间来检验该假设。
二、总体为正态分布且，但方差未知
总体为正态分布，但方差未知，且抽 取样本为小样本条件下，适当的检验统
例如，一个灯光厂需要生产平均使用寿命µ = 1000小时
的灯泡，如果寿命比它短，企业就会丧失竞争能力；如果寿命
比它长，灯丝就要加粗，企业要提高产品成本。为了观察生产
工艺过程是否正常，从一批产品中抽取150个进行检验，得到
平均使用寿命980小时，能否断定这个厂生产的灯泡平均使用
三、总体为非正态分布
非正态总体时，大样本情况（n≥30）
近似地，
~ ( ,
2 );
n
如果已知，近似地 ~ (,1);
如果未知，近似地 ~ (,1).
例4、某房地产经纪人宣称某邻近地区房屋的平均 价值低于480000元。从40间房屋组成的一个随机样本 得出的平均价值为450000元，标准差为120000元。在 0.05的置信水平下，是否支持这位经纪人的说法？
计量为：
~ ( ) /
这个统计量服从自由度为n-1的t-分布。
解:建立假设:
H0: µ ≧3磅,H1: µ <3磅
由于样本容量n=20,且总休方差未知,建立统计量
:
由给出数据计算统计量的值为 ：
. . /
.
而 . ( ) .
本题是左单侧检验, ,故拒绝原假设,接受替换假设,
（6）得出结论。
第二节 总体平均数的假设检验
一、总体为正态分布且方差已知，则适
当的检验统计量为：
~ (, )
此统计量服从标准的正态分布。
注：双侧检验与区间估计有一定联系，
我们可以通过求μ的（1-α）的置信 区间来检验该假设。
二、总体为正态分布且，但方差未知
总体为正态分布，但方差未知，且抽 取样本为小样本条件下，适当的检验统
例如，一个灯光厂需要生产平均使用寿命µ = 1000小时
的灯泡，如果寿命比它短，企业就会丧失竞争能力；如果寿命
比它长，灯丝就要加粗，企业要提高产品成本。为了观察生产
工艺过程是否正常，从一批产品中抽取150个进行检验，得到
平均使用寿命980小时，能否断定这个厂生产的灯泡平均使用
6.3两个正态总体参数的假设检验
X 0 t S n t ( n 1)
代入样本值，并计算t检验统计量的观测值t；
医用数理统计
(3)对于给定的显著性水平，由t分布表(见附表６) 查得临界值t (n 1), 使得
2
P{ t t } , 参见第五章图5 2
2
(4)当 t t 时，拒绝H0，接受H1，即认为
计算统计量过程不变,算得t 7.925
对给定 =0. 05和自由度n-1=9，查t分布表(附表6)， 得到临界值:
医用数理统计
左侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
医用数理统计
医用数理统计
(4)统计推断：当u u时，拒绝H0，接受H1，即认为
显著大于0；
当u u时，接受H0，不能认为显著大于0；
(或当u u时，拒绝H0，接受H1，即认为显著小于0; 当u u时，接受H0，不能认为显著小于0 )
2 d
n
T
D0 Sd / n
~ t ( n 1)
统计量的观察值
t
d sd / n
d sd / n
t / 2 ( n 1)}
C {t
医用数理统计
例6-6 为比较两种方法对乳酸饮料中脂 肪含量测定结果是否不同，随机抽取了10份
乳酸饮料制品，分别用甲、乙两种方法测定
其结果如表6-4第(1)~(3)栏，问两法测定结果
求解σ2的置信度为（1-）的置信区间为
(n 1) S 2
2 2
2
(n 1) S 2
2 1
2
医用数理统计
二、假设检验的一般步骤
综上所述，可得到进行假设检验的一般步骤： (1)建立检验假设：包括原假设 H 0和备择假设H1； (2)确定检验统计量及其分布，并根据样本值计算检 验统计量的值
代入样本值，并计算t检验统计量的观测值t；
医用数理统计
(3)对于给定的显著性水平，由t分布表(见附表６) 查得临界值t (n 1), 使得
2
P{ t t } , 参见第五章图5 2
2
(4)当 t t 时，拒绝H0，接受H1，即认为
计算统计量过程不变,算得t 7.925
对给定 =0. 05和自由度n-1=9，查t分布表(附表6)， 得到临界值:
医用数理统计
左侧检验
（显著性水平与拒绝域 ）
医用数理统计
医用数理统计
(4)统计推断：当u u时，拒绝H0，接受H1，即认为
显著大于0；
当u u时，接受H0，不能认为显著大于0；
(或当u u时，拒绝H0，接受H1，即认为显著小于0; 当u u时，接受H0，不能认为显著小于0 )
2 d
n
T
D0 Sd / n
~ t ( n 1)
统计量的观察值
t
d sd / n
d sd / n
t / 2 ( n 1)}
C {t
医用数理统计
例6-6 为比较两种方法对乳酸饮料中脂 肪含量测定结果是否不同，随机抽取了10份
乳酸饮料制品，分别用甲、乙两种方法测定
其结果如表6-4第(1)~(3)栏，问两法测定结果
求解σ2的置信度为（1-）的置信区间为
(n 1) S 2
2 2
2
(n 1) S 2
2 1
2
医用数理统计
二、假设检验的一般步骤
综上所述，可得到进行假设检验的一般步骤： (1)建立检验假设：包括原假设 H 0和备择假设H1； (2)确定检验统计量及其分布，并根据样本值计算检 验统计量的值
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第58讲：两个正态总体参数的假设检验(比较两个正态总体均值的检验)
例1：通常认为男女的脉搏率是没有显著差异的. 现在随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子, 测得他们的脉搏率如下:
男: 61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55,
72, 56, 56, 74, 65,
女: 83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108,
76, 70, 97.
问题：假设男女脉搏率都是服从正态分布, 这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同?
()()1222121212222
1
,,,,,
,,,,,,n n X X X N Y Y Y N X Y S S μσ
μσ∙∙∙ 1
2假设：
是来自的样本是来自的样本，两样本相互独立.
并记,分别为两样本的均值和方差.
()012112.
:,:,
H H μμμαμ=≠检验假设显著水平
2212
1.σσ当和已知时
221
2
012
,.~(0X Y X Y C H X Y N n n σ
σ
∙--≥∙-+ 检验统计量拒绝域形式 当成立时，，）.
221
2
1
2
σ
σ
-=
+
X Y
Z n n 记: 2
α≥--Z z z 则检验拒绝域为：检验
{}0000221
2
1
2
2(1(),.
σ
σ
-=≥=-Φ-=
+
H P P Z z z x y
z n n 其中:
222
12
2.σσσ当==但未知时
2
σ首先利用合样本给出参数的无偏估计量
()()2211
22
2
1211 .
2
w
n S n S
S n n -+-=
+-12
11-=
+w X Y T S n n 可取检验统计量为：
()
21212
211w
X Y T t n n S n n α-=
≥+-+检验拒绝域为：{}{}00120012
||||2(2)||11--=≥=+-≥-=
+H w P P T t P t n n t x y
t P s n n 其中为::值——两样本精确t检验
2212
3.σσ≠当且未知时
2212
12
.-=
+X Y T S S n n 取检验统计量为:22221212
.
S S σσ以样本方差分，别代替，
{}{}000||||2||,
--=≥=≥H P P T t P Z P t 值为:(1)当两个样本量都很大时，利用中心极限定理
{}
/2||α≥T z 检验的拒绝域为:0221
2
12
~(01).
-=+x y Z N t s s
n n 其中: ，，
12min(1,1),
=--k n n (2)当两个样本为小样本时都很大时，统计量近似服从t 分布，自由度为
222
112
22
222
112212(//)(/)(/)
11
+=+
--S n S n k S n S n n n 或更精确的近似自由度
{}
/2||()α≥T t k 检验的拒绝域为: {}{}000||||2()||.
--=≥=≥H P P T t P t k t P 值为: t ——两样本近似检验
221122
12221201,~(,),~(,),16,13,65.31,75.69,
56.36,211.40,
.X Y X N Y N n n x y s s H H μσμσμμμμ=======≠1212检验假设在例1中设分别表示男女的脉搏率，由已知数据计得:,:：算
2212
56.36,211.40,s s t ==注意到相差很大，采用不等方差的检验法，
结论：拒绝原假设，认为男女脉搏率的均值
不相同。
0221212 2.334.x y t s s n n -==-+检验统计量的观察值12min(1,1)12.t k n n =--=分布的近似自由度2{(12) 2.334}0.038.05._0P P t =≥-=<
012112012112
:,::,:H H H H μμμμμμμμ≥<≤> 类似地， 可以给出
在上述情形下左的边检验:
右边检验规则. 检验:
例2：某厂使用两种不同的原料A,B生产同一类型产品。
各在一周的产品中取样分析。
•取用原料A生产的样品220件，测得平均重量为2.46（公斤），样本标准差s=0.57（公斤）。
•取用原料B生产的样品205件，测得平均重量为2.55（公斤），样本标准差为0.48（公斤）。
设两样本独立，来自两个方差相同的独立正态总体。
问在水平0.05下能否认为用原料B的产品平均重量较用原料A的产品平均重量为大?
本例的Excel计算见实验22.
1122220, 2.46, 0.57205, 2.55, 0.48.======n x s n y s 由条件得：；
01μμμμ≥<H H 1212
解：:,:检验假设：1212
(2)11α-≤-+-+w X Y t n n S n n 拒绝域为：()0.050.05423 1.645,
≈=t z 查表得：
12
110.5285,0.097
w s n n =+=计算得：012
1.754 1.64511
w x y
t s n n -=
=-<-+,
{(423) 1.754}
( 1.754)0.0400.05.P P t -=≤-≈Φ-=<结论：拒绝原假设
()()()12320123112312121222123:,:,,,,,,,,,,,,,,,.
n n n X X X N Y Y Y H H N Z Z Z N μμμμμμσμμσμσ∙∙==∙∙ ：如果
是来自的样本是来自的样本，是来自的样本，三样本相互独立.应该如何检验假设问不全相等题61.——见第讲。