专题一 图形规律探索题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分两组：第一组正方形：6，11，16，22…… 第二组三角形：6，10，14，18……
类型三 图形周期变化规律
典例精讲
(遵义2014.16)
例1 观察下列图形的排列顺序，已知第一个图形是正方形，则第2019个
图形是_三__角__形___.
例 1 题图
【解析】观察题图可知，图形的排列顺序为7个图形一组循环排列，所以 2019÷7＝288……3，第2019个图形是第288组余3个，也就是第289组的第 三个图形，是三角形．
值为
（C ）
A. 33
B. 301
C. 386
D. 571
三角形数
I. 每两个数字之间的差以1为单位递增：1，3，6，10，15，21，28，…，
M=190 n=196
正方形数
nn 1
2
(n≥1)．
4. (2018青海省卷)如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第(1)个 图案中有2个正方形，第(2)个图案中有5个正方形，第(3)个图案中有8个正 方形，…，则第(5)个图案中有 14 个正方形，第(n)个图案中有 3n－1 个 正方形．
A0A1=4， A0A2=2√3， A0A3=2， A0A4=2√3， A0A5=2， A0A6=0， A0A7=4，… ∵2017÷6=336…1，
∴按此规律运动到点A2017处，A2017与A1重合， ∴A0A2017=2R=4． 故选A． 点评 本题考查了图形的变化类，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形
个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正
方形纸片的张数为
（B）
A. 11
B. 13
C. 15
D. 17
第2题图
3. (2018随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形
数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)，在小于200
的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的
【解答】解：∵第一个图形有 2+1×2=4 个， 第二个图形有 2+2×3=8 个， 第三个图形有 2+3×4=14 个， 第四个图形有 2+4×5=22 个， … ∴第 n 个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2． 故答案为：n2+n+2．
6. (2017潍坊)如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个 等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形 组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…； 按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 9n+3 个．
针对演练
1. 有一串彩色的珠子，按白黄蓝的顺序重复排列，其中有一部分放在盒子
里，如图所示，则这串珠子被放在盒子里的颗数可能是
（B）
A. 2010
B. 2011
C. 2012
D. 2013
第1题图
2. (2017连云港)如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线
A0O方向运动到⊙O上的点A1处；再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运
例2 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时
针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( B ) A. (1，－1)
B. (－1，－1)
C. ( 2 ，0) D. (0，－ 2 )
例 2 题图
【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°， ∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB的中点，∴点D 的坐标 是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8， ∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝ 7……4，∴第 60 秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后， 又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象 限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线 交点D的坐标为(－1，－1)．
OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且
OA＝1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等
解题步骤是： 第一步：根据题意可得出第一次变换前图形的边长(周长或面积)； 第二步：通过计算得到前几个变换后图形的边长(周长或面积)，归纳出每 次变换后的图形的边长(周长或面积)与序数n之间的关系式，并验证； 第三步：根据第二步中的关系式，得到第M次变换后的图形的边长(周长或 面积)．
针对演练
1. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形
第2019次运动后点P的横坐标为2019， 纵坐标以1、0、2、0每4次为一个循环组循环， ∵2019÷4=504…3， ∴第2019次运动后动点P的纵坐标是第505个循环组的第3次运动，与第3次运动的点的纵坐 标相同，为2， ∴点P（2019，2）． 故选C．
典例精讲
类型四 图形成倍递变规律
例 (2018齐齐哈尔改编)在平面直角坐标系中，点A( ，1)在射线OM上， 点B( 3，3)在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，3以BA1为直角边作第 二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2， …，依此规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的 纵坐标为( A )
解：根据题意得：第2019个图形中正方形的个数为 2×2019=4038（个），
空白正方形的规律为：0，1，1，2，2，3，3，…， ∵（2019-1）÷2=2018÷2=1009， ∴空白正方形个数为1009， 则第2019个图形中黑色正方形的数量是4038-1009=3029， 故答案为：3024．
A. 32019
B. 32017
C. ( 3 )2019
D. ( 3 )2017
例题图
【解析】如解图，延长BA交x轴于点C，∵A( 3，1)， ∴tan∠AOC＝ AC 1 3 ，∴∠AOC＝30°，
OC 3 3
∴OA＝2，同理，由B( 3 ，3)得∠BOC＝60°， ∠OBC＝30°，∴∠AOB＝∠BOC－∠AOC＝
故答案为：A.
【分析】根据图中规律可得A4n（2n，0），即A2016=A4×504（1008,0），从而 得A2018（1009,1），再根据坐标性质可得A2A2018=1008,由三角形面积公式即可
4. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8，BC＝6.矩形在直线l上绕其右下角的
顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续旋转90°至图②位
【方法指导】图形周期变换规律题的一般解题思路为： 1.先观察点坐标(图形)变化的规律找出循环一周的变换次数，记为n； 2.用M÷n＝W……q (0≤q＜n)，则第M次变换后的点坐标(图形)就是第一 个循环变换中第q次变化对应的点坐标(图形)，或存在一定的倍分关系； 3.根据题意找出第一个循环变换中，第q次变换后对应的点坐标(图形)，即 可推断出第M次变换后对应的点坐标(图形)．
专题一 规律探索题
图形累加规律和图形周期变化规律
典例精讲
类型二 图形累加规律
(遵义2018.16；铜仁2016.18；安顺2016、2015.18)
例 (2018自贡)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列 的，依照此规律，第2018个图形中共有__6_0_5_5___个 .
【解析】由题图可知，第1个图形中共有(3×1＋1)个； 第2个图形中共有(3×2＋1)个； 第3个图形中共有(3×3＋1)个； 第4个图形中共有(3×4＋1)个；…； 则第 n 个图形共有(3n＋1)个．
所以第2018个图形共有3×2018＋1＝6055个．
【方法指导】 1．写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”(如题图中的图分别标 为图①，图②，图③，…)； 2．数图形个数：在图形数量变化时，要记录每组图形个数(图①，图②， 图③，…，分别是由几个图形组成)； 3．寻找图形数量与序数n的关系： ①观察所给图形和上一个图(基础图)，找出增加的部分； ②将增加的图形个数用含序数的式子表示出来； ③归纳出含有序数n的关系式．
2
C. 1011 m2 2
（ A）
D. 1009 பைடு நூலகம்2
解：依题可得：
A2（1,1），A4（2，0），A8（4,0），A12（6,0）……
∴A4n（2n，0），
∴A2016=A4×504（1008,0），
∴A2018（1009,1），
∴A2A2018=1009-1=1008,
∴S△
= ×1×1008=504（m2）.
针对演练
1. (2018烟台)如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成
的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为 （ C）
A. 28
B. 29
C. 30
D. 31
第1题图
2. (2018重庆B卷)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第
①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③
动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的
点A3处；再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…；
按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是
（ A）
A. 4
B. 2 C. 2 3
D. 0
解：如图，∵⊙O的半径=2， 由题意得，
第4题图
5. (2018赤峰)观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵” 中★的个数是 n2+n+2 ．
4
8
14
22
【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有 2+1 ×2=4 个★，第二个图形中有 2+2×3=8 个★，第三个图 形中有 2+3×4=14 个★，…，继而可求出第 n 个图形中★ 的个数．
是解题的关键．
3. (2018广州)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点
O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1 m，
其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到
An，则△OA2A2018的面积是
A. 504 m2
B.1009 m2
6. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，
1)，第2次接着运动到点(2，0),第3次接着运动到点(3，2),…，按这样的规律运动，经过第
2019次运动后，动点P的坐标为
．
∵第1次运动到点（1，1）， 第2次运动到点（2，0）， 第3次接着运动到点（3，2）， 第4次运动到点（4，0）， 第5次运动到点（5，1）…， ∴运动后点的横坐标等于运动的次数，
30°，∴∠AOB＝∠OBC，∴△AOB是等腰
三角形．在Rt△OBC中，OB＝
OC2 BC2 3 2 32 2 3 ，
例题解图
∵∠OA1B＝∠AOB＝30°，∴OB＝A1B＝2 ， ∴B31(3 ，9)，3∴yB1＝9＝32.同理可得 B2(9 3，27)，∴yB2＝27＝33， ∴yBn＝3n＋1 ， ∴点B2018的纵坐标为32019.
例题解图
【方法指导】图形成倍递变规律题常考的有两种类型： 1．点坐标成倍递变： (1)根据图形的变换规律分别求出前几个点的坐标，归纳出后一个点的坐标 与前一个点的坐标之间存在的倍分关系； (2)根据(1)中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标． 2．线段(面积)成倍递变： 已知一个几何图形的边长(周长或面积)，通过一定变换确定第M次变换后 的图形的边长(周长或面积)，
转动第三次的路线长是： 90 6 =3π，
180
转动第四次的路线长是： 0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：4π+5π+3π=12π， 99÷4=24余3， 顶点A转动四次经过的路线长为：12π×25=300π． 故选C
5. 根据以下图形变化的规律，第2019个图形中黑色正方形的数量是 3029．
置，依次类推．这样连续旋转99次后顶点A在整个旋转过程中所经过的路程
之和是 A. 288π
（ C）
B. 294π C. 300π D. 396π
在矩形ABCD中，AB=8，BC=6， ∴AC=BD=10，
转动一次A的路线长是：90 8
180
=4π，
转动第二次的路线长是：90 10 =5π，
180
类型三 图形周期变化规律
典例精讲
(遵义2014.16)
例1 观察下列图形的排列顺序，已知第一个图形是正方形，则第2019个
图形是_三__角__形___.
例 1 题图
【解析】观察题图可知，图形的排列顺序为7个图形一组循环排列，所以 2019÷7＝288……3，第2019个图形是第288组余3个，也就是第289组的第 三个图形，是三角形．
值为
（C ）
A. 33
B. 301
C. 386
D. 571
三角形数
I. 每两个数字之间的差以1为单位递增：1，3，6，10，15，21，28，…，
M=190 n=196
正方形数
nn 1
2
(n≥1)．
4. (2018青海省卷)如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第(1)个 图案中有2个正方形，第(2)个图案中有5个正方形，第(3)个图案中有8个正 方形，…，则第(5)个图案中有 14 个正方形，第(n)个图案中有 3n－1 个 正方形．
A0A1=4， A0A2=2√3， A0A3=2， A0A4=2√3， A0A5=2， A0A6=0， A0A7=4，… ∵2017÷6=336…1，
∴按此规律运动到点A2017处，A2017与A1重合， ∴A0A2017=2R=4． 故选A． 点评 本题考查了图形的变化类，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形
个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正
方形纸片的张数为
（B）
A. 11
B. 13
C. 15
D. 17
第2题图
3. (2018随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形
数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)，在小于200
的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的
【解答】解：∵第一个图形有 2+1×2=4 个， 第二个图形有 2+2×3=8 个， 第三个图形有 2+3×4=14 个， 第四个图形有 2+4×5=22 个， … ∴第 n 个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2． 故答案为：n2+n+2．
6. (2017潍坊)如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个 等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形 组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…； 按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 9n+3 个．
针对演练
1. 有一串彩色的珠子，按白黄蓝的顺序重复排列，其中有一部分放在盒子
里，如图所示，则这串珠子被放在盒子里的颗数可能是
（B）
A. 2010
B. 2011
C. 2012
D. 2013
第1题图
2. (2017连云港)如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线
A0O方向运动到⊙O上的点A1处；再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运
例2 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时
针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( B ) A. (1，－1)
B. (－1，－1)
C. ( 2 ，0) D. (0，－ 2 )
例 2 题图
【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°， ∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB的中点，∴点D 的坐标 是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8， ∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝ 7……4，∴第 60 秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后， 又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象 限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线 交点D的坐标为(－1，－1)．
OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且
OA＝1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等
解题步骤是： 第一步：根据题意可得出第一次变换前图形的边长(周长或面积)； 第二步：通过计算得到前几个变换后图形的边长(周长或面积)，归纳出每 次变换后的图形的边长(周长或面积)与序数n之间的关系式，并验证； 第三步：根据第二步中的关系式，得到第M次变换后的图形的边长(周长或 面积)．
针对演练
1. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形
第2019次运动后点P的横坐标为2019， 纵坐标以1、0、2、0每4次为一个循环组循环， ∵2019÷4=504…3， ∴第2019次运动后动点P的纵坐标是第505个循环组的第3次运动，与第3次运动的点的纵坐 标相同，为2， ∴点P（2019，2）． 故选C．
典例精讲
类型四 图形成倍递变规律
例 (2018齐齐哈尔改编)在平面直角坐标系中，点A( ，1)在射线OM上， 点B( 3，3)在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，3以BA1为直角边作第 二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2， …，依此规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的 纵坐标为( A )
解：根据题意得：第2019个图形中正方形的个数为 2×2019=4038（个），
空白正方形的规律为：0，1，1，2，2，3，3，…， ∵（2019-1）÷2=2018÷2=1009， ∴空白正方形个数为1009， 则第2019个图形中黑色正方形的数量是4038-1009=3029， 故答案为：3024．
A. 32019
B. 32017
C. ( 3 )2019
D. ( 3 )2017
例题图
【解析】如解图，延长BA交x轴于点C，∵A( 3，1)， ∴tan∠AOC＝ AC 1 3 ，∴∠AOC＝30°，
OC 3 3
∴OA＝2，同理，由B( 3 ，3)得∠BOC＝60°， ∠OBC＝30°，∴∠AOB＝∠BOC－∠AOC＝
故答案为：A.
【分析】根据图中规律可得A4n（2n，0），即A2016=A4×504（1008,0），从而 得A2018（1009,1），再根据坐标性质可得A2A2018=1008,由三角形面积公式即可
4. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8，BC＝6.矩形在直线l上绕其右下角的
顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续旋转90°至图②位
【方法指导】图形周期变换规律题的一般解题思路为： 1.先观察点坐标(图形)变化的规律找出循环一周的变换次数，记为n； 2.用M÷n＝W……q (0≤q＜n)，则第M次变换后的点坐标(图形)就是第一 个循环变换中第q次变化对应的点坐标(图形)，或存在一定的倍分关系； 3.根据题意找出第一个循环变换中，第q次变换后对应的点坐标(图形)，即 可推断出第M次变换后对应的点坐标(图形)．
专题一 规律探索题
图形累加规律和图形周期变化规律
典例精讲
类型二 图形累加规律
(遵义2018.16；铜仁2016.18；安顺2016、2015.18)
例 (2018自贡)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列 的，依照此规律，第2018个图形中共有__6_0_5_5___个 .
【解析】由题图可知，第1个图形中共有(3×1＋1)个； 第2个图形中共有(3×2＋1)个； 第3个图形中共有(3×3＋1)个； 第4个图形中共有(3×4＋1)个；…； 则第 n 个图形共有(3n＋1)个．
所以第2018个图形共有3×2018＋1＝6055个．
【方法指导】 1．写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”(如题图中的图分别标 为图①，图②，图③，…)； 2．数图形个数：在图形数量变化时，要记录每组图形个数(图①，图②， 图③，…，分别是由几个图形组成)； 3．寻找图形数量与序数n的关系： ①观察所给图形和上一个图(基础图)，找出增加的部分； ②将增加的图形个数用含序数的式子表示出来； ③归纳出含有序数n的关系式．
2
C. 1011 m2 2
（ A）
D. 1009 பைடு நூலகம்2
解：依题可得：
A2（1,1），A4（2，0），A8（4,0），A12（6,0）……
∴A4n（2n，0），
∴A2016=A4×504（1008,0），
∴A2018（1009,1），
∴A2A2018=1009-1=1008,
∴S△
= ×1×1008=504（m2）.
针对演练
1. (2018烟台)如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成
的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为 （ C）
A. 28
B. 29
C. 30
D. 31
第1题图
2. (2018重庆B卷)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第
①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③
动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的
点A3处；再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…；
按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是
（ A）
A. 4
B. 2 C. 2 3
D. 0
解：如图，∵⊙O的半径=2， 由题意得，
第4题图
5. (2018赤峰)观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵” 中★的个数是 n2+n+2 ．
4
8
14
22
【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有 2+1 ×2=4 个★，第二个图形中有 2+2×3=8 个★，第三个图 形中有 2+3×4=14 个★，…，继而可求出第 n 个图形中★ 的个数．
是解题的关键．
3. (2018广州)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点
O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1 m，
其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到
An，则△OA2A2018的面积是
A. 504 m2
B.1009 m2
6. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，
1)，第2次接着运动到点(2，0),第3次接着运动到点(3，2),…，按这样的规律运动，经过第
2019次运动后，动点P的坐标为
．
∵第1次运动到点（1，1）， 第2次运动到点（2，0）， 第3次接着运动到点（3，2）， 第4次运动到点（4，0）， 第5次运动到点（5，1）…， ∴运动后点的横坐标等于运动的次数，
30°，∴∠AOB＝∠OBC，∴△AOB是等腰
三角形．在Rt△OBC中，OB＝
OC2 BC2 3 2 32 2 3 ，
例题解图
∵∠OA1B＝∠AOB＝30°，∴OB＝A1B＝2 ， ∴B31(3 ，9)，3∴yB1＝9＝32.同理可得 B2(9 3，27)，∴yB2＝27＝33， ∴yBn＝3n＋1 ， ∴点B2018的纵坐标为32019.
例题解图
【方法指导】图形成倍递变规律题常考的有两种类型： 1．点坐标成倍递变： (1)根据图形的变换规律分别求出前几个点的坐标，归纳出后一个点的坐标 与前一个点的坐标之间存在的倍分关系； (2)根据(1)中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标． 2．线段(面积)成倍递变： 已知一个几何图形的边长(周长或面积)，通过一定变换确定第M次变换后 的图形的边长(周长或面积)，
转动第三次的路线长是： 90 6 =3π，
180
转动第四次的路线长是： 0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：4π+5π+3π=12π， 99÷4=24余3， 顶点A转动四次经过的路线长为：12π×25=300π． 故选C
5. 根据以下图形变化的规律，第2019个图形中黑色正方形的数量是 3029．
置，依次类推．这样连续旋转99次后顶点A在整个旋转过程中所经过的路程
之和是 A. 288π
（ C）
B. 294π C. 300π D. 396π
在矩形ABCD中，AB=8，BC=6， ∴AC=BD=10，
转动一次A的路线长是：90 8
180
=4π，
转动第二次的路线长是：90 10 =5π，
180