积分平均值定理、积分第二中值定理

定积分不有等式、积分平均值定理、积分第二中值定理（连续可微情形）的证明

简单不等式

定理1、设)(x f 在[]b a ,上可积，且0)(≥x f ，（[]b a x ,∈），则有⎰≥b

a dx x f 0)(。

定理2、设)(x f 在[]b a ,上连续且非负，（即0)(≥x f ，[]b a x ,∈），如果)(x f 不恒等于0，则有⎰>b

a dx x f 0)(。

证明：由条件得，存在一点[]b a x ,0∈使0)(0>x f 。由连续函数的性质，存在一个子区间[]βα,，适合[][]b a x ,,0⊂∈βα，使得对一切[]βα,∈x ，有

)(21)(0x f x f ≥

由积分对区间的可加性，知⎰⎰⎰⎰++=b

a a

b dx x f dx x f dx x f dx x f αβ

βα)()()()( ⎰≥β

αdx x f )( ⎰

≥βαdx x f )(210 0))((2

10>-=αβx f 。 推论1、设[]0,,≥∈f b a f ，如果有⎰=b

a dx x f 0)(，则有0)(=x f ，[]

b a x ,∈。

推论2、设[]b a f ,∈，如果对任意[]b a g ,∈都有⎰=b

a dx x g x f 0)()(，则必有0)(=x f ，

[]b a x ,∈。

积分平均值定理

定理3、设[],f C a b ∈，则存在),(b a ∈ξ，使得⎰-=b a a b f dx x f ))(()(ξ

证明：设m M ,分别是f 在[]b a ,上的最大值和最小值，显然[]b a x M x f m ,,)(∈≤≤ 于是 ⎰⎰⎰≤≤b a

b a b

a Mdx dx x f mdx )( )()()(a

b M dx x f a b m b

a -≤≤-⎰

从而有 M dx x f a b m b a

≤-≤⎰)()(1。 如果M m =，则)(x f 常数，则对任意),(b a ∈ξ，

有⎰-=b

a a

b f dx x f ))(()(ξ。

如果M m <，则m x f ≥)(，但f 不恒等于m ；

M x f ≤)(，但f 不恒等于M ，

必有

M dx x f a b m b a <-<⎰)()

(1， 利用闭区间上连续函数的介值定理，存在),(b a ∈ξ，使得

⎰-=

b a dx x f a b f )(1)(ξ， 即⎰-=b

a a

b f dx x f ))(()(ξ。

定理4、设[]b a C g f ,,∈，且g 在[]b a ,上不改变符号，则存在[]b a ,∈ξ，使得 ⎰⎰=b

a b

a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ 。 证明：不妨设0)(≥x g ，（[]

b a x ,∈），如果0)(≡x g ，则结论结论自然成立。 下设)(x g 不恒等于0，此时⎰>b

a dx x g 0)(。

设m M ,分别是f 在[]b a ,上的最大值和最小值，

于是[]b a x M x f m ,,)(∈≤≤，

用0)(≥x g 去乘上式，

得到M x g x f x g x mg )()()()(≤≤，

求积分，得到

⎰⎰⎰≤≤b

a b a b a dx x g M dx x f x g dx x g m )()()()(， 由此推出

M dx

x g dx

x f x g m b a b a ≤≤⎰⎰)()()(，

再据连续函数的介值定理，存在一点[]b a ,∈ξ， 使得⎰⎰=b a b a dx

x g dx

x f x g f )()()()(ξ，

即得⎰⎰=b

a b

a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。

积分第二中值定理（分部积分证法）

证明（1）设)(max ),(min ,)()(x F M x F m dt t f x F b x a b x a x a ≤≤≤≤===⎰

, ⎰⎰'=b

a b a dx x g x F dx x g x f )()()()(

⎰'-=b

a dx x g x F

b g b F )()()()(

因为,0,0≤'≥g g

)()()()(b Mg b g b F b mg ≤≤，

))()(()()())()((a g b g M dx x g x F a g b g m b

a -≤'≤-⎰， )())()(()()()(a Mg a g

b g M b Mg dx x g x f b

a

=--≤⎰， )())()(()()()(a mg a g b g m b mg dx x g x f b a =--≥⎰

， F 在[]b a ,上连续，由连续函数的介值定理，得，存在[]b a ,∈ξ，使得 ⎰⎰

==ξξa b a dx x f a g F a g dx x g x f )()()()()()(。 （2）设)(m ax ),(min ,)()(x F M x F m dt t f x F b x a b x a b x ≤≤≤≤===⎰

, ⎰⎰'-=b a

b a dx x g x F dx x g x f )())(()()( ⎰'-=b a dx x g x F a g a F )()()()(，

因为,0,0≥'≥g g

)()()()(a Mg a g a F a mg ≤≤，

))()(()()())()((a g b g M dx x g x F a g b g m b

a -≤'≤-⎰， 于是

)()()()(b Mg dx x g x f b mg b

a ≤≤⎰， 由连续函数的介值定理，得，存在[]

b a ,∈ξ，使得 ⎰⎰

==b b a dx x f b g F b g dx x g x f ξξ)()()()()()(。 （3）（i ）如果)(x g 单调递增，)()()(b g x g a g ≤≤，