计算方法 第四章 参考答案

第四章 参考答案

1. 设2

()35,,0,1,2,...k f x x x kh k =+==，则12[,,]n n n f x x x ++=3

和123[,,,]n n n n f x x x x +++= 0 2. 给定()f x x =

在144,121,100这3点处的函数值，试以这3点建立2次

(抛物)插值公式，利用插值公式求115的近似值并估计误差。 答：

(144)(121)(144)(100)(100)(121)

()101112(100144)(100121)(121144)(121100)(144100)(144121)

x x x x x x p x ------=

⨯+⨯+⨯------

当x=115 p(x)=10.6728

11510.7238=

()()()53

213()115144115121115100 1.631103!8

R X ε--=⨯---=⨯

()()

()()

()()

()()

(144)(121)169(144)(100)169()1011

(100144)(100121)100169(121144)(121100)121169(100)(121)169(100)(121)1441213

(144100)(144121)144169(169100)(169121)169144x x x x x x p x x x x x x x ------=⨯+

⨯------------+

⨯+

⨯------

P(115)=10.7236

此题用牛顿公式来做要简单点,特别是后面还需要增加一点节点,这个自己做做! 3. 设j x 为互异节点0,1,...,j n =,求证：

()n

k k

j j j x l x x

==∑ k n ≤

证明：记gk(x)= k

x , k=0,1 n 作gk(x)以01,,n x x x 为插值节点的n 次插值多项式，则有()()()()

()(1)0

()01!n n

n

k k k

j

j

j

j j g g x g x l x x x n ε+==-

=-=+∑∏

()0

0n

k

k

j j x x l x =-=∑ k=0,1 n 或()0

n

k

k j j x x l x ==∑ k=0,1 n

4. 已知函数()y f x =的函数表： xi 1 2 3 4 5 yi=f(xi)

1

4

7

8

6

分别写出(1) 4次拉格朗日插值多项式; 答：

()

()

()

()

()

(1

()24

(1

4

1

(6)

24

x x x x x x x x x x x x p x x x x x x x x x --

--

-

-

--

--

--=⨯+⨯+

⨯

--

-

--

-

-

--

+⨯⨯-

P(2.5)=5.6875

(2) 4次Newton 插值多项式

答

11

()13(1)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)324

p x x x x x x x x x =+-----+----

P(2.5)=5.6484