高中数学-二次函数定区间上最值问题

高中数学-二次函数定区间上最值问题

bx c （ a, b ，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元.

a 0,而

b ,

c 可以为零•二次函数的定义域是全体实数.

2

（二）二次函数 y ax bx c 的性质

当x —时，y 随x 的增大而减小；当 x 2a

2

当x —时，y 有最小值

4ac b

.

2a 4a

（三）二次函数基本形式:

2

1、y ax 的性质:

2

2. y ax c 的性质: 上加下减。

、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概

念: 1•当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为

x

亦，顶点坐标为

b 4a

c b 2

2a ' 4a

2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为 x —，顶点坐标为

2a

b 4a

c b 2 2a ' 4a

R 时, 2a P 时, 2a

y 随x 的增大而增大；当 y 有最大值 2 4ac b 4a

y 随x 的增大而减小;

2 一般地，形如 y ax 次方程类似，二次项系数

—时，y 随x 的增大而增大;

2a

3. y a x h 的性质:

2

一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况

2

如设：f(X ax bxc (a 0)，求f (x)在x [m，n]上的最大值与最小值。

方法思路分析：将f(x)配方，得顶点为

b

2a

4ac b2

、对称轴为x

4a

b

2a

当a 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上f (x)的最值:

图1

大者。 当a 0时，可类比得结论。

三、例题分析归类 (一)、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。 此类问题包括以下四种情形:

1. 轴定区间定

2、轴定区间变

2

解：函数f(x) (x 1) 1,其对称轴方程为 x

如图1所示，若顶点横坐标在区间 t , t 1左侧时，有1 t ,此时，当x t 时，函数取 得 最小值 fx( )min ft( ) (t 1)2

1 o

L J

'、/

I h i 0

1 t t+1 x

(1)当 y-

2a m , n 时，f (x)的最小值是f

b 4a

c b 2 2a 4a

,f (x)的最大值是 f (m)、 f(n) 中的较

.b

(2)当—

2a b m ,

m ，由 若 2a

卄

b

若n —，由

2a f (x)在 m ，n 上是增函数则

f (x)在m , n 上是减函数则

f (x)的最小值是 f (x)的最大值是

f (m)，最大值是 f (m)，最小值是 f(n) f (n)

(1)轴定，区间定；(

2 )轴定，区间变；(

3 )轴变，区间定；(

4 )轴变，区间变。

2

例1.函数y x 4x

2在区间［0，3］上的最大值是

，最小值是

答案：函数的最大值为

f (2)

2，最小值为f (0)

例2.如果函数f (x) (x

2

1) 1定义在区间t , t

上，求f (x)的最小值。

，顶点坐标为(1， 1)，图象开口向上。

如图2所示，若顶点横坐标在区间 t , t 1上时，有t 1 t 1，即0 t 1。当X 1时，函数取得

最小值 f (X min f (1)

1

3、轴变区间定

a

二次函数f(x)的对称轴方程是x

2顶点坐标为

a

由a 2可得x 2 1

，显然其顶点横坐标在区间

函数的最小值是 f( 1)

4 a ，最大值是f(1) 4 a

2

例4.已知x 1，且a 2

0，求函数f (x)

2

x ax 3的最值

解：由已知有

1 x 1，a 2，于是函数

f (x)是定义在区间

1， 1上的二次函数，

将

f (x)配方得：f(x)

2

a x

2

如图3所示，若顶点横坐标在区间

t ，t 1右侧时，有t 1

1，即t 0。当x t 1时，函数取得最

小值飒)

min

ft( 1)

t 2

1

(t 1)2 1,t 1

综上讨论，

f (x)min 1, 0 t 1

t 2 11 0

2

旦，3 —，图象开口向上

2

4

1， 1的左侧或左端点上

图3

下列三图分别为

(2)求函数y x(x a)在x ［1, 1］上的最大

值。

解：(1)二次函数的对称轴方程为x a，

当a 1 即a

2

1时,

2

f(x)max f(2) 4a 5 ；

当a

1 即a

2

1时,

2

f ( x

hax f( 1) 2a 2。

2a 2,a

1

2

例5.⑴ 求f (x ) x 2ax 1在区间［-1,2］上的最大值。

f ( X )max

综上所述:

4a5,a

2

。

⑵函数y(x

2)2

2

a

图象的对称轴方程为

4

应分12这三种情形讨论,

(1) 2 ；由图可知f ( x)max f (1)

(2) a 2 ；由图可知f (x)

max

f(2)

(3) 2时；由图可知f(x) max f(1)

y ty

■ 2 !

2