第二十二讲相关函数性质及谱密度

cosω0τ
付里叶变换和反变换
• 用F表示付里叶变换，F −1 表示反变换。 • 则有(1) F (c1 f1 (τ ) + c2 f 2 (τ )) = c1 F ( f1 (τ )) + c2 F ( f 2 (τ )) • (2) F −1 (c1 f1 (ω ) + c2 f 2 (ω )) = c1 F −1 ( f1 (ω )) + c2 F −1 ( f 2 (ω )) • (3)
即RX (t , t + τ + T ) − RX (t , t + τ ) = 0
由平稳性，RX (τ + T ) = RX (τ )
例：指出图中所列函数曲线哪些不是平 稳过程的相关函数?那些可能是？
•
(a) (b)
(c)
(d)
(a),(c),(d)不是，(b)可能是
第四节 平稳随机过程的功率谱密度
= RX (0) RY (0)
(4) RX (τ )
非负定
∀t1 , t 2 ,..., t n ∈ T ∀g (t )实函数，有
i , j =1
∑R
n
X
(ti − t j )g (ti ) g (t j ) ≥ 0
• 意义：若一个连续函数具有非负定性，则它一 定是某平稳过程的自相关函数。
(5)周期为T的平稳过程其自相关函数 必为周期函数，周期也是T。
2
• 平均功率 lim 1 T →∞ 2T
1 ∫−T x (t )dt = Tlim 2π →∞
+∞
∫
+∞
−∞
1 Fx (ω , T ) dω 2T
2
1 = 2π
1 2 ∫− ∞ Tlim 2T Fx (ω , T ) dω →∞
1 2 lim Fx (ω , T ) • 称 T → ∞ 2T 为x(t)在 ω 处的功率谱 密度
1 S XY (ω ) = lim E{FX (ω , T ) FY (ω , T )} T →∞ 2T • 为X(t)和Y(t)的互谱密度。 • (1) S (ω ) = S * (ω )
XY YX
• (2) RXY (τ ) 和 S XY (ω ) 是付里叶变换对
互谱密度及其性质
• (3) Re[ S XY (ω )], Re[ SYX (ω )] 是偶函数 Im[S XY (ω )], Im[SYX (ω )] 是奇函数 • • (4)
RX (0) = E ( X (t ) X (t + 0)) = E ( X (t )) ≥ 0
2
RX (−τ ) = E ( X (t ) X (t + (−τ ))) = E ( X (t − τ ) X (t − τ + τ ))
RX (−τ ) = RX (τ ) RXY (−τ ) = RXY (τ ) 对称性 (2)
2π
−∞
• 其中 F x (ω ) = 频谱
∫
+∞
−∞
x ( t ) e − i ω t dt
称作信号x(t)的
巴塞伐等式：若 ∫
+∞
−∞
x 2 (t )dt < ∞
则
2
∫
+∞
−∞
1 2 x (t )dt = 2π
∫
∫
+∞
−∞
Fx (ω ) dω
• 总能量=各谐分量能量叠加，但是总能量=oo • 考虑平均功率 lim 1 T x 2 (t )dt 用x(t)的截尾函数
2 2
故∆ = [2 E ( XY )] − 4 E ( X ) E (Y ) ≤ 0
2 2 2
(3) 自相关、协方差函数不等式
RX (τ ) ≤ RX (0)
2
C X (τ ) ≤ C X (0) = σ
2
2
RX Y (τ ) ≤ RX (0) RY (0) C XY (τ ) ≤ C X (0)CY (0)
3 1 5 1 3 −1 1 5 −1 1 RX (τ ) = F { + }= F ( 2 )+ F ( 2 ) 2 2 8 ω +1 8 ω + 9 8 ω +1 8 ω +9
−1
3 1 − τ 5 1 −3 τ 3 −τ 5 −3 τ = e + e = e + e 82 8 2×3 16 48
= E ( X (t ′) X (t ′ + τ )) = RX (τ ) 只需计算大于零部分
许瓦尔兹不等式
•
[ E ( XY )] ≤ E ( X ) E (Y )
2 2 2
任意实数s,
0 ≤ E{( X + sY ) } = E{ X + 2 sXY + Y }
2 2 2
= E ( X ) + 2 sE ( XY ) + E (Y )
−3 τ
1 + cos 4τ ) 2
= 5F (1) + 2 F (e
−3 τ
) + 2 F (cos(4τ )e
−3 τ
)
2×3 3 3 = 5 × 2πδ (ω ) + 2 2 + 2[ 2 + 2 ] 2 2 2 3 +ω 3 + (ω − 4) 3 + (ω + 4)
互谱密度及其性质
• 设X(t),Y(t)是两个平稳相关的随机过程，称
+∞ −∞
dτ
1 R X (τ ) = 2π
∫
S X (ω )e i ωτ d ω
• 证明见P358维纳—辛钦定理
常见过程自相关函数和对应谱密度
• 见P360 表12.1 RX (τ ) S (ω )
X
RX (τ )
sin ω 0τ
S X (ω )
1 ω < ω 0 0 ω ≥ ω 0
e
τ 1 − T 0
• • • • • • 1、确定信号的功率谱密度(基本概念) 设x(t)表示t时刻的电流强度或电压， 由 W = I 2 R = V 2 / R 取电阻R=1欧姆， 则 x 2 (t ) 表示信号在t时刻的功率. +∞ 考虑信号处理问题：若x(t)满足狄氏条件 ∫−∞ x(t ) dt < ∞ 则x(t)有谱分解 x ( t ) = 1 ∫ +∞ e i ω t F x ( ω ) d ω
3 5 7 = R X ( 0) = + 16 48 24
例2、已知平稳随机过程X(t)的相关函数 −3 τ 求功率谱密度函数。 RX (τ ) = 5 + 4e
cos 2 2τ
• 解： −3 τ S X (ω ) = F ( RX (τ )) = F (5 + 4e cos 2 2τ )
= 5 F (1) + 4 F (e
2、平稳随机信号的功率谱密度
• 设平稳随机信号为X(t),将前面讨论中x(t)换成X(t), T 有 − iω t
F X (ω , T ) =
T 2
∫
−T
X (t ) e
dt
1 lim E[ T →∞ 2T
1 ∫−T X (t )dt ] = 2π
1 2 ∫−∞ Tlim 2T E{ Fx (ω , T ) }dω →∞
2
E{[ X (t + T ) − X (t )] } = 0
2
0 ≤ E { X (t )[ X (t + τ + T ) − X (t + τ )]}
2
≤ E ( X (t )) E{[ X (t + τ + T ) − X (t + τ )] } = 0
2 2
即E{ X (t )[ X (t + τ + T ) − X (t + τ )]} = 0
第二十二讲
第三节
相关函数的性质
• 设X(t),Y(t)是平稳相关随机过程，记互相关函数 • RXY (t , t + τ ) = E ( X (t )Y (t + τ )) = RXY (τ ) 及X(t)和Y(t) 的自相关函数 R X (τ ), R Y (τ ) 则 • (1) R X (0) ≥ 0 (均方值函数非负)
S XY (ω ) ≤ S X (ω ) SY (ω )
2
作业：P367 11. 12. 14. 16
+∞
1 2 • S X (ω ) = lim E{ Fx (ω , T ) } 称作功率谱密度函数 T →∞ 2T
功率谱密度函数的性质
• 1、 S X (ω ) 是实的、非负偶函数。 • 2、S X (ω ) 和
R X (τ )
+∞ −∞
是一对付里叶变换对
− i ωτ
S X (ω ) =
∫
R X (τ )e
F ( f * g (τ )) = F ( f (τ )) F ( g (τ ))
例：已知X(t)的谱密度函数为
ω2 + 4 S X (ω ) = 4 ω + 10ω 2 + 9
求平稳过程X(t)的自相关函数及均方值。
3 1 5 1 ω2 + 4 ω2 + 4 • 解： (ω ) = SX = 2 = + 4 2 2 2 ω + 10ω + 9 (ω + 1)(ω + 9) 8 ω +1 8 ω 2 + 9
2 • 证：RX (τ ) = E 2 ( X (t ) X (t + τ )) ≤ E ( X 2 (t )) E ( X 2 (t + τ ))
= R X ( 0) R X ( 0) = R ( 0)
2 X
2 R XY (τ ) = E 2 ( X (t )Y (t + τ )) ≤ E ( X 2 (t )) E (Y 2 (t + τ ))
T →∞
•
x(t ) xT (t ) = 0
t ≤T 其它
2T
−T
描述。
iω t T − iω t
Fx (ω , T ) = ∫ xT (t )e dt = ∫ x (t )e
−∞ −T
+∞
dt
巴塞伐等式
∫
+T
−T
1 2 x ห้องสมุดไป่ตู้t )dt = 2π
T 2
∫
+∞
−∞
Fx (ω , T ) dω
• 定义：若平稳随机过程X(t)满足
P{ X (t + T ) = X (t )} = 1
• 称X(t)是周期为T的平稳随机过程。 • 证明(5) ：因为X(t)平稳，所以 • E(X(t+T)-X(t))=0 • 而P{X(t+T)=X(t)}=1 D(X(t+T)-X(t))=0
E[( X (t + T ) − X (t )) ] = 0
−a τ
2a a2 + ω 2
πτ
1
δ (τ )
a a 2 + (ω + ω 0 ) 2
2πδ (ω )
τ <T τ ≥T
4 sin 2 (ωT / 2) Tω 2
a a 2 + (ω − ω 0 ) 2 +
1
π [δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 )]
e
− a τ cosω 0τ