梁的弯曲

计算结果为负，说明1-1截面上弯矩的实际方向与图中假定的方向相反， 即1-1截面上的弯矩为负值。
弯曲内力
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩
1
取2-2截面的右侧为隔离体。
2 q=15kN/m FP =30kN
∑Y =0
B
A 1 2m 2 1m
V2－FP－q×1=0 V2= FP＋q×1
=30＋15×1=45kN (正剪力)
对dx 段进行平衡分析，有：
x
y
M(x) V(x)
dx
q(x) V(x)+d V(x)
C
dx
M(x)+d M(x)
∑Fy =0 V(x)+q(x) dx−[ V (x)+d V(x)]=0
dV x q(x)
dx
剪力图上某点处的切线 斜率等于该点处荷载集度 的大小。
弯曲内力
MC 0 ,
V (x)dx 1 q(x)(dx)2 M (x) [M (x) dM (x)] 0 2
（2）列剪力方程和弯矩方程
FBy
FAy=
FP b (↑) l
FB y =
FP a l
(↑)
弯曲内力
a
FP b
A
B
C
FAy
Fb l
x1
x2
l
AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究
V1＝FAy
FPb l
0 x1 a
M1＝FAy x1
FPb l
x1
0 x1 a
CB段：距B端为x2的任意截面2-2以右研究
对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一 侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。
弯曲内力
例7-5 作图8示悬臂梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。
解 (1) 列剪力方程和弯矩
FP
方程。 将坐标原点假定在左端点
A
x
B
A处，并取距A端为x的1-1截面
l
的左侧研究。
剪力方程为：
V =－FP (0＜x＜l) 弯矩方程为：
弯曲内力
第三节 用内力方程梁的内力图 通常情况下，梁上不同截面上的剪力和弯矩 值是不同的，即梁的内力（剪力和弯矩）随梁横 截面的位置而变化。 对梁进行强度和刚度计算时，除了要计算指 定截面上的内力外，还必须知道内力沿梁轴线的 变化规律，从而找到内力的最大值以及最大内力 值所在的位置。
弯曲内力
一、剪力方程和弯矩方程
FP
V图
M =－FP x (0≤x＜l)
FPl
(2) 作剪力图和弯矩图
当x=0时 MA=0 当x=l时 MB=－FP l
M图
弯曲内力
例7-6 作图示简支梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。
a
FP b
A
B
C
l
FAy 解 （1）求支座反力
∑MB=0
－FAy l＋FP b=0
∑MA=0 －FP a＋FB y l=0
梁的弯曲
弯曲内力
第一节 平面弯曲的概念
一、弯曲和平面弯曲
1. 弯曲:
受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆 轴线所在平面内作用的外力偶的作用。
变形特点：杆轴线由直变弯。
M
FP
q
以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
弯曲内力
弯曲内力
房屋建筑中的楼（屋）面梁、挑梁
弯曲内力
2. 平面弯曲
工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、 T形、槽形等
MB 0
MA 0
FAy＝ - M / l FBy＝ M / l
（2）列剪力方程和弯矩方程
弯曲内力
A
FAy＝ - M / l
a
x1 l
b B
C x2
FBy＝ M / l
AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究
V x1＝FAy M / l 0 x1 a M x1＝FAyx1 Mx1 / l 0 x1 a
q
FP
M2
B
V2
∑M2=0
M2 ＋ q×1×0.5 ＋ FP×1=0
M2=－q×1×0.5－FP×1
=－15×1×0.5－30×1 =－37.5kN·m (负弯矩)
弯曲内力
例7-2 用截面法求外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。
FP=100kN 1 A2
C 12
M = 75kN·m
34
B
34
1.5m FAy1.5m 1.5m FBy
dM (x) V (x) dx
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y
q(x)
V(x)+d V(x)
M(x) V(x)
C dx
M(x)+d M(x)
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2
q(x)
弯曲内力
二、用M(x)、V (x)、q(x)三者之间的微分关系说明内力 图的特点和规律
22
弯曲内力
V x＝ql qx 0 x l
2
M x＝ql x qx2 0 x l
A
22
q B
由弯矩方程可知：弯矩为x
l
的二次函数，弯矩图为一条二 次抛物线，至少需要确定三个 控制截面的数值。
当 x＝０时 MA=0 当 x＝l 时 MB=0
ql FAy 2
ql 2
ql FBy 2
ql 2
1.5m FAy1.5m
M = 75kN·m
4
B
4
1.5m FBy
∑M2=0 M2＋ FP×a=0 M2=－FP a =－100×1.5 = － 150KN·m (负弯矩)
FP=100kN M2
A C
FAy V2
弯曲内力
（4）求3-3截面的剪力和弯矩 ∑Y=0 V3－FBy=0 V3=FBy=25kN (正剪力) ∑M3=0 M3＋M＋FBy×a=0 M3=－M－FBy×a = －75－25×1.5 =－112.5kN·m (负弯矩)
图突变，突变的绝对值等
于集中力的数值，而弯矩
图是斜直线，在集中力作
用处，弯矩图发生转折，
出现尖角现象。
A
x1
FAy
Fb l
a
FPb
B C
l
FPb l
x2
FBy
Fa l
FP a l
V图
M图
FP ab l
弯曲内力
例7-7 作图示简支梁在集中力偶作用下的剪力图和弯
矩图。
A
M
a
b
B C
l
FAy
FBy
解 （1）求支座反力
∑M1=0 M1＋FP×a=0 M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩)
FP=100kN M1
A C
V1
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩
∑Y=0 V2 ＋ FP－FBy－=0
V2=－FP＋FBy
C
=－100＋125
=25kN (正剪力)
FP=100kN 1 A2 3 12 3
（5）求4-4截面的剪力和弯矩
FP=100kN 1 A2
C 12
M = 75kN·m
34
B
34
1.5m FAy1.5m 1.5m FBy
V3
M3
M
∑Y=0
V4－FBy=0
V4= FBy=25kN (正剪力)
∑M4=0 M4 ＋ FBy×a=0
FBy
V4
M4
M4=－FBy×a=－25×1.5=－37.5kN·m (负弯矩)
弯曲内力
q>0
弯曲内力
FQ=0截面
弯曲内力
三、应用规律绘制梁的剪力图和弯矩图
用规律作剪力图和弯矩图的步骤 (1) 求支座反力。 对于悬臂梁由于其一端为自由端，所以可以不求支 座反力。 (2) 将梁进行分段 梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布 荷载的起止截面都是梁分段时的界线截面。 (3) 由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的 剪力图和弯矩图的形状。 (4) 确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值， 并作图。
M=FAy x ()
弯矩M ： 构件受弯时，横截面上其作
用面垂直于截面的内力偶矩。
剪力V ： 构件受弯时，横截面上其作
用线平行于截面的内力。
A FAy
A FAy
1
1 x
V C
V MC
FP B
FBy
M FP FBy
弯曲内力
二、剪力和弯矩的正负号规定
剪力：剪力绕脱离体产生顺时针转动趋势时为正
F V
V
F
作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯 矩方程分别绘出剪力图和弯矩图。
绘图时，以平行于梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置 ，以垂直于x轴的纵坐标（按适当的比例）表示相应横截面 上的剪力或弯矩。
弯曲内力
在土建工程中，对于水平梁而言，习惯将正剪力作 在x轴的上面，负剪力作在x轴的下面，并标明正、负号 ；正弯矩作在x轴的下面，负弯矩作在x轴的上面。即弯 矩图总是作在梁受拉的一侧。
剪力绕脱离体产生逆时针转动趋势时为负
F V
V F
弯曲内力
弯矩： 外力使脱离体产生下部受拉时为正
M
外力使脱离体产生上部受拉为负
M
弯曲内力
三、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩 截面法是求梁的内力的最基本的方法。
其步骤为 (1) 求支座反力。 (2) 用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。 (3) 取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图，列平衡方
弯曲内力
二、梁的类型
凡是通过静力平衡方程就能够将梁的支座反力全部 求出的梁，统称为静定梁。
梁的三种基本形式
FP
悬臂梁
M FP
q
简支梁
M
FP
q
外伸梁
弯曲内力
第二节 梁的弯曲内力
一、梁的内力——剪力和弯矩
a
FP
A
B
l
FP
A
B
FAy
FBy
弯曲内力
∑Y=0
FAy－V=0
V=FAy (↓) ∑MC=0 －FAy x+M=0
V图
当 x＝l/2 时 MC q=l 2
8
ql 2
M图
8
在水平梁上有向下均布荷载作用的区段，剪力图为从左向右的下斜直
线，弯矩图为开口向上（下凸）的二次抛物线；在剪力为零的截面处，弯
矩存在极值。
弯曲内力
第四节 弯矩、剪力和荷载集度之间的微分关系及其应用
一、M(x)、V(x)、q(x)之间的微分关系
q(x)
CB段：距B端为x2的任意截面2-2以右研究
V x2 ＝ FBy M / l 0 x2 b M x2 ＝FByx2 Mx2 / l 0 x2 b
弯曲内力
V x1 M / l 0 x1 a
A
M x1 Mx1 / l 0 x1 a
V x2 M / l 0 x2 b
x1
M x2 Mx2 / l 0 x2 b
程求出剪力和弯矩。
弯曲内力
例7-1 试用截面法求图示悬臂梁1-1、2-2截面上的剪力和 弯矩。已知：q=15kN/m，FP =30kN。
1
2 q FP
B
A 1 2m 2 1m
解 由于悬臂梁具有一端为自由端的特征，所以在计算 内力时可以不求其支座反力。
弯曲内力
（1）求1-1截面的剪力和弯矩
1 取1-1截面的右侧为隔离体。1-1截面
FAy＝ - M / l
在集中力偶作用处， 剪力图无变化；弯矩图 不连续，发生突变，突 变的绝对值等于集中力 偶的力偶矩数值。
a l
b B
C x2
FBy＝ M / l
M l
Ma V图
l
Mb
l
M图
弯曲内力
例 7-8 作图示简支梁在满跨向下均布荷载作用下的 剪力图和弯矩图。
q
A
B
l
解 （1）求支F座Ay 反力
解 （1）求支座反力
∑MB=0
FAy 125 kN (↑)
∑Y=0 FBy=25kN (↓)
弯曲内力
（2）求1-1截面上的剪力和 弯矩
列平衡方程
FP=100kN 1 A2
C 12
M = 75kN·m
34
B
34
∑Y=0 V1 ＋ FP=0 V1=－FP=－100kN (负剪力)
1.5m FAy1.5m 1.5m FBy
V2＝ FBy M 2＝FBy x2
FPa FPl a
l
0
x2
x2 b
0 x2
b
FBy Fa l
弯曲内力
V1
FPb l
0 x1 a
M1
FPb l
x1
0 x1 a
V2 M2
FPa
l
FPa l
x2
0 x2 b 0 x2 b
在梁上无荷载作用的区
段，其剪力图都是水平线
，在集中力作用处，剪力
上的剪力和弯矩都按照正方向假定。
∑Y=0
A 1 2m
－FP－q×1＋V1=0
V1
V1= FP＋q×1
M1
=30＋15×1=45kN
2 q=15kN/m FP =30kN
B
2 1m
q
FP
B
致，∑计即M算11-=结10截果面为上M正的，1 ＋剪说力明q×为1-正11×截值面2。.5上＋剪力F的P×实3际=方0 向与图中假定的方向一 M1=－q×1×2.5－FP×3 =－15×1×2.5－30×3=－127.5kN·m
FBy
弯曲内力
总结与提示
截面法是求内力的基本方法。 (1) 用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但 为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 (2) 作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 (3) 在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待，因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的。横截面 沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪 力和弯矩就都可以表示为坐标x的函数，即
V=V（x）和 M=M（x） 以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
弯曲内力
二、剪力图和弯矩图
为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变 化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图 形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
∑MB=0
－FAy l＋FP b=0
∑MA=0 －wenku.baidu.comP a＋FB y l=0
FBy
FAy=
FP b (↑) l
FB y =
FP l
a
(↑)
弯曲内力
q
A
FAy
ql 2
C x
l
B
FBy
ql 2
（2）列剪力方程和弯矩方程 距A端为x的任意截面C以左研究
V x ql qx 0 x l
2
M x ql x qx2 0 x l