向量的分解与向量的坐标运算

§2.2向量的分解与向量的坐标运算
第一课时 平面向量基本定理
一、自主学习
1、平面向量基本定理
（1）定理：如果21e e 和是一个平面内的两个 的向量，那么该平面内的 a ，存在唯一的 a 1, a 2，使a = .
（2）基底与向量的分解
把 向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为
},{21e e 。

2211e a e a +叫做向量a 关于基底},{21e e 的分解式。

2、直线的向量参数方程式
（1）向量的参数方程
已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点（如上图所示），则对直线l 上 一点P ，一定存在惟一的一个实数t 与之对应，向量等式= ，反之，对每一个数值，在直线l 上都有 的一个点P 与对之对应，向量等于OP = + 叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称 。

（2）线段中点的向量表达式 在向量等式t t +-=)1(中，若t= ，则点P 是AB 的中点，且= 。

这是线段AB 的中点的向量表达式。

二、典例解析
中，M 、N 分别是边DC 、BC 的中点。

（1）求证：MN BD 21； （2）设b y a x MN b AD a AB +===且,，求x, y 的值。

三、小结
四、课后作业
1、下列三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向的基底； ②一个平面内有无数对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量。

其中正确的是（ ）
∥
A 、①②
B 、②③
C 、①③
D 、①②③
2、已知b n a m c +=，要使c b a ,,的终点在一条直线上（设c b a ,,有公共起点），
),(,R n m n m ∈需满足的条件是（ ）
A 、1-=+n m
B 、0=+n m
C 、1=-n m
D 、1=+n m
3、OC OB OA ,,的终点A ，B ，C 在一条直线上，且,
3CB AC -=设
q OB p OA ==,，r =，则以下等式成立的是（ ）
A 、q p r 2
321+-= B 、q p r 2+-= C 、q p r 2123-= D 、p q r
2+-= 4、设)(3,82),5(2
2b a b a b a -=+-=+=，则共线的三点是（ ） A 、A ，B ，C B 、B ，C ，D C 、A ，B ，D D 、A ，C ，D
5、在△ABC 中，BC EF //,5
1=交AC 于F 点，设b AC a AB ==,，用b a ,表示向量BF 为 。

6、设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使31,31,31===，若b a ==,，试用b a
,将,,表示出来。

§2.2向量的分解与向量的坐标运算
第二课时 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
一、自主学习
1、（1）如果两个向量的 互相垂直，则称这两个向量互相垂直。

即向量垂直就是它们所在的直线互相垂直。

（2）如果平面向量基底的两个基向量互相 ，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做 。

（3）在直解坐标系内，分别取与x 轴和y 轴方向 的单位向量21,e e ，对任一向量，存在唯一的有序实数对（a 1, a 2），使得2211e a e a a +=
， 就
是向量a 在基底},{21e e 下的坐标，即),(21a a a = ，其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，a 2 叫做向量a 在y 轴上的坐标分量。

（4）向量的坐标：设点A(x, y), 则= ，符号（x, y ）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个点，又可以表示一个向量，因此要加以区分，在叙述中，就要反映明点（x, y ）或向量(x, y). 2、（1）设),(),,(2211y x b y x a == 则b a ±= ，即两个向量的和（差）的坐标，等于这两个向量的相应坐标的和（差）；
若R ∈λ，则a λ= ，即数乘向量的积的坐标等于这
个实数与向量的相应坐标的积。

（2）若A （x 1, y 1）, B(x 2, y 2), 则),(),(1122y x y x OA OB AB -=-== ，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标。

二、典例解析
例1、已知M （2，7）和A （6，3），若点P 在直线MA 上，且PA MP 3
1=
，求点P 的坐标。

例2、已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及AB t OA OP +=，
（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？
（2）四边形OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。

三、小结
四、课后作业
1、已知向量)4,3(),3,2(),2,1(===c b a ，且b a c 21λλ+=，则21,λλ的值分
别为（ ）
A 、-2，1
B 、1，-2
C 、2，-1
D 、-1，2 2、设向量)2,1(),4,2(),3,1(--=-=-=c b a 。

若表示向量d c a c b a ),(2,24,4--的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为（ ）
A 、（2，6）
B 、（-2，6）
C 、（2，-6）
D 、（-2，-6）
3、若M 为△ABC 的重心，点D 、E 、F 分别为三边BC 、AB 、AC 的中点，则MC MB MA ++等于（ ） A 、6 B 、6- C 、0 D 、6
4、已知向量集合),),4,3()2,1(|(R a a M ∈+==λλ R a a N ∈+--==λλ),5,4()2,2(|{，则N M 等于（ ）
A 、{（1，2）}
B 、)}2,2(),2,1{(--
C 、)}2,2{(--
D 、φ
5、已知)2
,2(,),cos ,(sin 21),4,1(),3,2(ππβαβα-∈=B A 且，则βα+= .
6、已知圆4)3()3(:22=-+-y x C 及点A （1，1），M 为圆C 上的任意一点，点N
在线段MA 的延长线上，且MA=2AN ，求点N 的轨迹方程。

§2.2向量的分解与向量的坐标运算
第三课时 用平面向量坐标表示向量共线条件
一、自主学习
两向量平行的条件
1、设),(),,(2121b b b a a a == ，则⇔b a // .
2、设),(),,(2121b b b a a a == ，如果向量b 不平行于坐标轴，即0,021≠≠b b ，则⇔b a
// 。

3、用语言可以表述为： 。

4、两个向量平行的条件是 。

二、典例解析 如果向量21212,2e m e BC e e AB +=-=，其中21,e e 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线。

三、小结
四、课后作业
1、已知A 、B 、C 三点共线，且)2,5(),6,3(--B A ，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为（ ）
A 、-13
B 、9
C 、-9
D 、13
2、已知向量)cos ,(sin ),4,3(αα==b a ，且b a //，则αtan 的值为（ ）
A 、43
B 、43-
C 、3
4 D 、34-
3、已知向量)1,(),21,8(x b x a == ，其中x>0，若)2//()2(b a b a +-，则x 值的为（ ）
A 、4
B 、8
C 、0
D 、2 4、已知向量)10,(),5,4(),12,(k k -===，且A 、B 、C 三点共线，则k=。

5、在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （-3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上，且2||=，则=OC 。

6、若三点A （2，2），B （a, 0），C （0, b ）（0≠ab ）共线，则
b
a 11+的值等于 。

7、已知点A （1，1），B （-1，5）及21,2,21-===，求点C 、D 、E 的坐标，并用共线向量的坐标形式判断向量,,,是否共线。