二项式系数的性质(说课课件)定稿剖析
二项式系数的性质课件
[解] 由题设 m＋n＝19，
∵m，n∈N＋，
∴mn＝＝118，，
m＝2， n＝17，
…
m＝18， n＝1.
x2 的系数为 C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171．
1234 5
∴当 m＝9 或 10 时，x2 的系数取最小值 81，此时 x7 的系数为 C79 ＋C710＝156．
B．82 020－1
C．22 020
D．82 020
B [由已知，令 x＝0，得 a0＝1，令 x＝3，得 a0＋a1·3＋a2·32＋…
＋a2 020·32 020＝(1－9)2 020＝82 020，所以 a1·3＋a2·32＋…＋a2 020·32 020＝ 82 020－a0＝82 020－1，故选 B．]
1234
3．若二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为－1，则含 x2 的项的系数为________．
1234
560 [取 x＝1，得二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为(1 ＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得 a＝－2．二项式x2＋ax7的展开式的通项 为 Tr＋1＝C7r·(x2)7－r·－2xr＝C7r·(－2)r·x14－3r．令 14－3r＝2，得 r＝4．因 此，二项式x2－2x7的展开式中含 x2 项的系数为 C47·(－2)4＝560．]
1234 5
3．设复数 x＝1－2i i(i 是虚数单位)，则 C21 019x＋C22 019x2＋C32 019x3＋…
＋C22 001199x2 019 等于(
)
A．i
B．－i
C．－1＋i
D．－1－i
D [x＝1－2i i＝
1＋
6.3.2 二项式系数的性质PPT课件(人教版)
第二层(有几个通道就算第几层)的六棱柱上面,之后,再落到第二层
中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再之后,
它又会落到下一层的三个通道之一里边去,……,以此类推,最终落
到下边的长方形框中.求一下C0 + C1 +
C2 +…+C +…+C-1 + C =2n 个小弹子通过 n+1
C10 2 ,
2
1
≥ 11- ,
19
22
1
2 解不等式组得 3 ≤k≤ 3 .
≥ +1 ,
10-
∵k∈N,∴k=7.
∴展开式中系数最大的项为
-25
7 7 2
T8=C10
2
=15 360
25
2.
-
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
二项式系数和问题
例2已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:
应的二项式系数.
激趣诱思
知识点拨
微思考
n
令 f(k)=nk ,k∈{0,1,2,…,n},则直线 k=2 将函数 f(k)的图象分成对称的
n
n
2
2
两部分,即直线 k= 是图象的对称轴,由此我们得到结论:当 k= 时,nk
最大.这个结论正确吗?
n -1
2
n +1
2
提示:不正确.当 n 是偶数时,nk 最大;当 n 是奇数时,n = n 最大.
∴n0 + n2 + n4 +…=n1 + n3 + n5 +…=2n-1,即 A=B.
二项式系数的性质课件
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些组合数学问题，如排 列、组合、概率等。在物理中，二项式定理可用于描述量子 力学和统计力学的某些现象。在工程中，二项式定理可用于 解决一些近似计算问题。
二项式定理的发展历程
总结词
二项式定理的发展经历了漫长的历史过程。
数学教育的普及
随着数学教育的普及，二项式系数等基础数学知 识将更加受到重视，需要进一步研究和推广。
THANKS
感谢观看
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
二项式系数在实际问题中的应用
在统计学中的应用
概率计算
二项式系数在概率计算中有着广 泛的应用，例如在二项分布的概 率计算中，二项式系数用于计算
成功的次数。
置信区间
在置信区间估计中，二项式系数用 于计算样本比例的置信区间，帮助 我们了解样本比例的可靠程度。
ERA
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一 ，它描述了二项式展开后的各项系数 规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数的 和或差，即 (a+b) 或 (a-b)，它们的 展开式中的每一项都可以表示为组合 数 C(n, k) 与 a 和 b 的幂次方的乘积 。
二项式定理的应用场景
要点二
详细描述
对称性是指C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个 元素和从n个元素中选取n-k个元素的结果相同。递推性是 指C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k)，即从n+1个元素中选 取k个元素等于从n个元素中选取k-1个元素和从n个元素中 选取k个元素的和。组合恒等式是指C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个元素等于从n-1个元 素中选取k-1个元素和从n-1个元素中选取k个元素的和。
《二项式系数的性质》说课稿(附教学设计)
《“杨辉三角”与二项式系数的性质》说课稿1．教材分析《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时.教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力；也有利于学生理解数学知识，培养其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.根据以上对教材及学情的分析，特制定教学重点如下：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.2．教学目标分析“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，了解我国古代数学成就之一的“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，运用函数的知识深化对二项式系数性质的理解，联系函数图象和性质、赋值法、两个计数原理等知识探究证明二项式系数的性质，体会用函数知识研究问题的方法，体验数形结合、特殊到一般进行归纳等数学思想的渗透和运用，体现教师引导、学生探究的教学方式，培养学生问题意识，提高数学思维能力，培育学生理性精神.根据以上分析特制定教学目标如下：1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.2．通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.4．通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情.3．学情分析教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，不仅是因为“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感，而且“杨辉三角”与二项式系数的性质紧密相联，由它可以直观的看出二项式系数的性质，同时课程体系在本节课后编排了关于探究与发现“杨辉三角”中的奥妙的阅读材料，为了凸现数学史教学，更好的掌握本节知识，促进学生发展，在高中学生学习的各个领域渗透研究性学习，因此对教材内容进行了精心加工，合理调整，课前开展了探究与发现“杨辉三角”的一些规律的学习活动，课上进行展示.学生不难发现和概括二项式系数的对称性和增减性与最大值，如何证明呢？这就需要适当引导学生联系函数知识，画出6n =和7的函数图象，讨论函数的性质，让学生经历再发现、再提炼、深入探究的学习过程，培育理性思维.在证明各二项式系数的和的过程中，教材中运用赋值法，求证很简略，但是让学生记住这个结论并不难，难的是在这个学习过程中如何遵循学生的认知规律，提高学生的思维能力？基于此，让学生自己归纳、猜想各二项式系数的和，运用多种方法予以求证，如：（1）利用赋值法：在.0122(1)C C C C C n r r n n n n n n n x x x x x +=++++++中，令1x =可得；（2）利用模型化思想：引入n 元集合子集的个数的问题，利用分类计数原理和分步计数原理进行说明，很好的解决了上面的问题.根据以上分析，制定教学难点如下：（1）结合函数图象，理解二项式系数的增减性与最大值时，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；（2）利用赋值法证明二项式系数的性质.4、教法特点及预期效果分析数学是思维的科学，数学学习不是简单的“告诉”，而应是学生个性化的“体验”. 在本节课的学习中，采用问题引导、合作探究的教学方法，设计六大教学环节：展示成果话杨辉、感知规律悟性质、联系旧知探新知、合作交流议方法、反馈升华拨思路、悬念小结再求索.倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流，为学生开展数学体验，丰富学习方式，形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利的条件和广阔的空间.在探究二项式系数的性质中，设计为探究“三部曲”：第一步是数形结合、概括性质.通过学生画出n=6和n=7时函数图象，并观察分析其对称性和增减性与最大值，引导学生概括性质，学生有目的地动手实践，亲身参与探究活动远比目睹幻灯播放更能体验数学蕴含的规律，使抽象的数学知识直观生成.第二步是分组讨论、证明性质. 在学生初步认识“杨辉三角”包含的规律及“杨辉三角”与二项式系数的关系的基础上，在画出n=6和n=7时函数图象并观察分析其对称性和增减性与最大值的情境下，采取分组讨论、交流展示的学习方式，诱发学生内在的认知冲突，激发学生沉淀的知识，培养学生解决问题的能力，让知识经历一个再发现、再创造的过程，体验到探究过程中涉及的思维策略，促进学生对内容的深刻理解，把课堂教学的“话语权”、“生成权”、“展示权”、“交流权”交给学生，用学生的“亮点”，点亮学生的智慧.第三步是师生合作、再探性质. 在探究各二项式系数的和的教学中，设计探究性的问题串，运用特殊到一般的归纳思想，猜想结论，再运用赋值法证明这一性质，培养学生思维的严谨性和深刻性，引导学生挖掘问题的本质特征，同时呈现用分类和分步计数原理说明()na b的展开式的各二项式系数的和，引发学生的认知冲突，培养学生思维的灵活性和独创性，激发学生的探索兴趣.学生经历课前初探、课中深探、变式细探的探究过程，对“杨辉三角”及二项式系数的性质有比较深刻的认识，不断提高学生探究和解决问题的能力，促进学生数学思维发展.5．教后反思通过本节课的教学实践，认识到多一点精心设计，就能融一份直观生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，学生成为课堂上的真正主人.开展数学体验，丰富学习方式，师生会有共同的、积极的情感体验.成功之处：一是教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，通过三步探究实现本节课的教学目标，突出以学生为主体，教师以引导者的身份参与其中；二是教态自然得体，亲和力强，能很好的驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃.改进之处：一是可考虑通过网上链接搜集一些杨辉三角包含的规律，比较学生展示的结论，让学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论增减性与最大值时出现口误，以及教师板书将“各二项式系数的和”写成“各二项式的系数和”，虽然课后通过师生沟通，学生说不影响掌握本节知识，但是在以后的教学中一定要做得更好.“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计一、教材背景分析1．教材的地位和作用《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时. 教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.2．学情分析知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生课前探究“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，并从函数的角度研究二项式系数的性质.心理特征：高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题.3．教学重点与难点重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.关键：函数思想的渗透.二、教学目标1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.2．通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.4．通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情.三、教法选择和学法指导教法：问题引导、合作探究．学法：从课前探究和课上展示中感知规律，结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟性质，在探究证明性质中理解知识，螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想.四、教学基本流程设计五、教学过程1. 展示成果话杨辉课前开展学习活动：了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用，探究与发现“杨辉三角”包含的规律.（1）学生从不同的角度畅谈“杨辉三角”，对它有何了解及认识.（2）各小组展示探究与发现的成果——“杨辉三角”包含的一些规律.【设计意图】引导学生开展课外学习，了解“杨辉三角”，探究与发现“杨辉三角”包含的规律，弘扬我国古代数学文化；展示探究与发现的杨辉三角的规律，为学习二项式系数的性质埋下伏笔.2. 感知规律悟性质通过课外学习，同学们观察发现了杨辉三角的一些规律，并且知道杨辉三角的第n 行就是()n a b +展开式的二项式系数，()n a b +展开式的二项式系数具有杨辉三角同行中的规律——对称性和增减性与最大值.【设计意图】寻找二项式系数与杨辉三角的关系，从而让学生理解二项式系数具有杨辉三角同行中的规律.3. 联系旧知探新知【问题提出】怎样证明()n a b +展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢？【问题探究】探究：（1）()n a b +展开式的二项式系数012C ,C ,,,C n n n n n C ，C rn 可以看成是以r 为自变量的函数()C rn f r =吗？它的定义域是什么？（2）画出6n =和7时函数()C rn f r =的图象，并观察分析他们是否具有对称性和增减性与最大值.（3）结合杨辉三角和所画函数图象说明或证明二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．C C m n m n n-=． 增减性与最大值：(1)(2)(1)C (1)!kn n n n n k k k ---+=-1(1)C k n n k k --+=，所以C k n 相对于1C k n -的增减情况由(1)n k k -+决定．由(1)112n k n k k -++>⇔<可知，当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 的偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C n n -，22C n n +相等，且同时取得最大值．【设计意图】教师引导学生用函数思想探究二项式系数的性质，学生画图并观察分析图象性质；运用特殊到一般、数形结合的数学思想归纳二项式系数的性质，升华认识；通过分组讨论、自主探究、合作交流，说明或证明二项式系数的对称性和增减性与最大值，提高学生合作意识.4. 合作交流议方法【继续探究】问题：()n a b +展开式的各二项式系数的和是多少？探究：（1）计算()n a b +展开式的二项式系数的和（n =1，2，3，4，5，6）.（2）猜想()n a b +展开式的二项式系数的和.（3）怎样证明你猜想的结论成立？赋值法：已知.0122(1)C C C C C n r r n n n n n n n x x x x x +=++++++，令1x =，则0122C C C C n n n n n n =++++．这就是说，()n a b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ．n 元集合子集的个数（两个计数原理）.分类计数原理：012C C C C n n n n n ++++分步计数原理：n 个2相乘，即2n ．所以012C C C C 2n n n n n n ++++=．【问题拓展】你能求012345C C C C C C n n n n n n -+-+-+吗？在展开式011222()C C C C n n n n n n n n n n a b a a b a b b --+=++++中，令1,1a b ==-， 则得0123(11)C C C C (1)C n n nn n n n n -=-+-++-，即02130(C C )(C C )n n n n =++-++，所以0213C C C C n n n n ++=++，在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.【设计意图】通过学生归纳猜想各二项式系数的和，引导学生验证猜想结论是否正确；同时为了突破利用赋值法证明二项式系数性质的难点，引导学生从模型化的角度出发，多角度的分析问题、探究问题、解决问题，将学生思维推向高潮，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应.5. 反馈升华拨思路练1．()n a b +的展开式中的第四项和第八项的二项式系数相等，则n 等于 .练2．11(23)x y -的展开式中前 项的二项式系数逐渐增大，后半部分逐渐减小，二项式系数取得最大值的是第 项.练3．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求： （1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++. 【设计意图】促进学生进一步掌握二项式系数的性质，学会用赋值法解决问题，促进其有意识的运用．6. 悬念小结再求索【课堂小结】 通过本节课的学习，你有什么收获和体会（从数学和生活的角度）？还有什么疑问吗？【课堂延伸】今天同学们展示了一些杨辉三角的规律，但是作为我国古代数学重要成就之一的杨辉三角还有更多有趣的规律，相信大家一定有极高的热情和严谨的态度去探究与发现杨辉三角的奥妙之处.【课外活动】（研究性学习）活动主题：杨辉三角中的奥妙.活动目标：探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.活动方案步骤：查阅资料，收集信息；独立思考，发现规律，猜想证明；合作探究，小组讨论，形成初步结论；与指导老师及其他小组成员交流展示；撰写研究性学习报告.【设计意图】通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法，再次感受我国古代数学成就，激励自己努力学习.“杨辉三角”还有很多有趣的规律，让学生带着问题走进课堂，带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高学生探究问题、解决问题的能力.设计研究性学习活动，诱发学生创造性的想象和推理.同时教会学生如何开展研究性学习.杨辉三角与二项式系数的性质教学点评本节课有以下几点值得一提：一、目标定位准确本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体.教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的.二、突出主体地位1．放手发动学生把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释：一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则.二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困.三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高.2．彰显理性数学本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维，更能影响和渗透到他们的终身学习和今后从事的工作中去.3．呈现合作交流本节课每个问题的波浪式出现，我们不仅发现每个学生动手做、动眼看、动口说、动笔写、动脑想，全身心投入到学习过程中去，真正地让学生动起来，让课堂活起来，更令人吃惊的是“合作交流”发挥得淋漓尽致. 这不仅反映在四人小组毫无掩饰、捏造的交流过程，更有把自己的不同想法敢于同学面前展示和袒露的真实场景. 这种“生生合作”的经典，更来自于“师生合作”的源头. 教师始终把自己放在和学生平等的位置上，“同欢乐，共困苦”，让学生心情愉悦地、神情自信地回答和展示自己的“成果”，这些话成果、说思路、讲道理、议方法、谈感悟等系列活动，既寄托了老师的殷切希望和拳拳爱生之心，又破除了传统的学生蹑手蹑脚演板，胆怯地来回张望，等待老师去评点乃至训斥的那种尴尬局面，展现了一种兴趣盎然、生动活泼的自主、合作、交流的课堂活动场景.三、主导水到渠成综观整节课三个性质的呈现（教师板书的主题）毫无生涩造作，支离隔阂的痕迹. 却是分块搭建，彼此衔接，宛若于活动中生成，从过程中体验，在操作中建构，水到渠成之感，这得益于教师充分挖掘和把握教材内在联系之功力和涵养，也借助于教师过渡衔接之妙：和蔼微笑的教态，激励动情的语言，豁达激情的风貌，使得课堂情境天人合一.四、增色情感价值教材的主干内容之一“杨辉三角”就蕴含较丰富的文化价值（包括数字演变），我国古代数学成就和爱国主义情结.教学过程中，由于提及到与“帕斯卡三角”的比照，涉及到与“斐波那契数列”的联系，学生的民族自豪感，爱国主义情操不时会写在那一张张稚嫩、率真的脸上，相信对他们的精神风貌是一种陶冶，思想品质是一种升华.本节课值得改进的地方：一是可考虑通过网上链接搜集一些“杨辉三角”包含的规律，比较学生展示的结论，让学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论增减性与最大值时出现口误，以及教师板书将“各二项式系数的和”写成“各二项式的系数和”，尽管课后通过师生沟通，形成了共识，但值得在以后的教学中更好地把握好教学细节.。
二项式系数的性质及应用-PPT课件
r
n
2
1
时，
C r1 n
Cnr
(4) Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n
(5)在 (a b)n 展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项
式系数的和.
(6)当 n 为偶数时，Cn0 Cn2 ... Cnn 2n1
2
考点一： (a b)n 展开式的二项式系数 例.已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 ... a7 x7 .求： (1) a0 a1 a2 ... a7 (2) a1 a3 a5 a7 (3) a0 a2 a4 a6 (4) a0 a1 a2 ... a7
3
跟踪训练：
已知 (1 2x 3x2 )7 a0 a1x a2 x2 ... a13x13 a14 x14 ，求： (1) a0 a1 a2 ... a14 (2) a1 a3 a5 ... a13
4
考点二： (a b)n 展开式的二项式系数的最大值 例.在 (1 2x)10 的展开式中.
二项式系数的性质及应用 学习目标： 掌握二项式系数的性质并能解决简单的二项式系数有关的问题
1
(a b)n 展开式的二项式系数Cn0 , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn 有如下性质：
(1) Cnm
C nm n
(2) Cnm
C m1 n
Cm n1
(3)当 r
n
2
1
时，
Cnr
C r1 n
；当
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
考点四：证明恒等式
例.求证：1 3Cn1 32 Cn2 ... 3n Cnn 4n
10
跟踪训练：
求证： Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn n • 2n1
《二项式系数性质》课件
数学课上经常会提到二项式系数，那么二项式系数是什么？它有什么性质和 应用？在这个课件中，我们将探索它的奥秘。
二项式系数的定义及公式
定义
在代数中，指定两个变量x和y及它们的正整数指数n时，二项式系数是以下数值的代数系数。
公式
二项式系数可以通过二项式公式由阶乘算出，公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
二项式系数的递推公式
1
概念和基本形式
递推公式是一种将一个问题分解成子问题的方法。在组合数学中，递推公式被用 于计算二项式系数。
2
推导过程
递推公式是通过将组合恒等式代入二项式系数公式中得到的。通常，我们会使用 一个简单的三角形状的递推公式来计算二项式系数。
3
应用
递推公式可以用于模拟一些问题，如从n个元素中选择k个元素并计算可能的组 合数。
4
杨辉三角形是由二项式系数构成的三角 形，它的每一行都是帕斯卡三角形的一 部分。杨辉三角形也具有许多有趣的性
质。
交错性质
二项式系数的相邻数为交错的正负数， 即C(n,k) = (-1)^k*C(n,k-1)。
帕斯卡三角形
帕斯卡三角形是由二项式系数构成的一 条斜边排成的三角形，它有许多有趣的 性质。例如，每个数字等于上方两个数 字之和。
二项式系数的应用
1 概率论中的应用
二项分布指的是在n次独 立的重复试验中，恰好有 k次成功的概率。这个概 率可以用二项式系数进行 计算。
2 数据分析中的应用
二项式系数可以用于计算 样本量，从而帮助我们确 定数据分析的精度。
3 组合数学在密码学中
的应用
组合数学在加密技术中有 着广泛的应用。其中，一 种称为“组合攻击”的攻击 方法就是利用了二项式系 数的组合意义。
课件 二项式系数的性质
新课程标准解读 掌握二项式系数的性质，会运用二项式系 数的性质解决系数求和等问题
核心素养 数学运算
预习教科书，思考并回答下列问题 1．什么是二项式系数表？该表有何特征？
2．(a＋b)n 的展开式中，各二项式系数的和是什么？奇数项的二项式 系数和与偶数项的二项式系数的和各是多少？
．
解析：令展开式左、右两边 x＝1，得各项系数和为 1； 各二项式系数之和为 26＝64.
答案：1 64
3. (2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则 a8＝
．
解析：由题意可知 a8 是 x8 的系数，所以 a8＝C810 ×22＝180. 答案：180
1．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质
可直接由公式 Cmn ＝Cnn－m 得到； (2)增减性与最大值：当 k＜n＋2 1 时，二项式系数逐渐增大；当 k＞n＋2 在中间取得最大值．当 n 是偶数时，展开
n
式的中间一项 Tn 1 的二项式系数 Cn2 最大；当 n 是奇数时，展开式的中间两项 Tn1
1. (1＋x)2n＋1 的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
解析：因为 2n＋1 是奇数，所以中间两项， 即第 n＋1，n＋2 项二项式系数最大．
答案：C
2. (2x－1)6 展开式中各项系数的和为
；
各项的二项式系数和为
知识点 二项式系数的性质 当 n 依次取 1，2，3，…时，(a＋b)n 展开式的二项式系数如图：
(1)该表叫作 二项式系数 表，也称为杨辉三角； (2)特征：表中每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”的两 个数 之和 ．
6.3.2二项式系数的性质课件(人教版)
于是
CC22rr 00
320-r 320-r
2r 2r
Cr 1 20
319-r
2r 1 ,
Cr -1 20
321-r
2r
-1
,
化简得
3(r 1) 2(21-r)
2(20-r), 3r,
解得 37 ≤r≤ 42 (r∈N),所以r=8,
5
5
即T9=C820 ×312×28x12y8是系数绝对值最大的项.
因为第10行最后5个数从右至左依次为
C10 11
,
C191,
C181,
C171,
C161
,
所以此数列的前50项的和为4
072-
C10 11
-
C191-
C181
-
C171-
C161=4
072-11-55-165-330-462=3
0
49.
答案 D
第六章 计数原理
在(3x-2y)20的展开式中,求:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数绝对值最大的项;
(3)系数最大的项.
解析
(1)二项式系数最大的项是第11项,T11=
C10 20
×310×(-2)10x10y10=
C10 20
×610x10y10.
(2)设系数绝对值最大的项是第r+1(0≤r≤20,r∈N)项,
②
随k的增加而增大
;当k>
n
2
1
时,
Ckn
随k的增加而减小.当n是偶
n
n -1
n1
数时,中间的一项③ Cn2 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项④ Cn2 与 Cn2
二项式系数性质课件
在二项式定理中，二项式系数是组合数的一种特殊形式，表示从n个不同元素中 取出k个元素的组合数。具体地，对于二项式$(a+b)^n$，其展开后的每一项可 以用组合数来表示，即第$k+1$项的系数为$C_n^k$，其中 $C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$。
二项式系数的对称性证明
适用于大规模和高精度计算的问 题。
总结词
二项式系数的对称性是指二项式系数在展开式中的对称位置 相等。
详细描述
对于二项式$(a+b)^n$的展开，其第$r+1$项和第$n-r+1$ 项的系数相等，即$C_n^r=C_n^{n-r}$。这一性质可以通过 组合数的性质证明，因为$C_n^r=C_n^{n-r}$是组合数的基 本性质之一。
二项式系数的递推关系证明
03
二式系数的用
在组合数学中的应用
组合数学中，二项式系数常用于计算组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的 组合方式数。
二项式系数在组合数学中具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性质 在解决一些组合问题时非常有用。
二项式系数在组合数学中还常用于证明一些重要的定理，如二项式定理、组合恒等 式等。
二项式系数的表示方法
二项式系数可以用组合数的公式表示， 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!" 表示阶乘。
也可以用"+"、"*"等运算符来表示二 项式系数，例如C(n, k) = n+k-1 choose k。
二项式系数的性质
二项式系数具有对称 性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
在概率论中的应用
高中数学课件-二项式系数的性质
C0n＝ __C__nn____， C1n＝
C__nn_－_1__，…， Ckn＝ _C__nn_－_k__
栏目 导引
第一章 计数原理
性质
增减 性与 最大
值
自然语言
二项式系数 Ckn，当
n＋ k<
1时，二项式系数
2
是 ___递__增___的，由对称 性知它的后半部分 是
___递__减____的．当 n 是偶
栏目 导引
第一章 计数原理
(3)令 x＝－1， 得 32 015＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 014－a2 015①. 令 x＝1， 得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＋a2 015②. 由②－①得，－1－32 015＝2(a1＋a3＋…＋a2 015)， 所以 a1＋a3＋a5＋…＋a2 015＝－12(1＋32 015)．
栏目 导引
第一章 计数原理
(4)因为(1－2x)2 015 的展开式中，a0，a2，a4，a6，…，a2 014 大于 零，而 a1，a3，a5，a7，…，a2 015 小于零， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015| ＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2 014)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015) 令 x＝－1，得 32 015＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 014－a2 015， 解得(a0＋a2＋a4＋…＋a2 014)－(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＝32 015， 即|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 015|＝32 015.
第一章 计数原理
2.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求 (1)a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
高中数学《二项式系数的性质》课件
系数相同的项是( C ).
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 2、在(a-2b)11展开式中，二项式系数最大
的项是( C ).
A.第6项 C.第6项和第7项
B.第7项 D.第5项和第6项
注：此种类型的题目应该先找准r的值，
然后再确定第几项。
课堂小结： 观察-归纳-论证
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
(a+b)5 1 5 10 10 5 1
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
C50C51C52C53C54C55
(a+b)6 ……
1 6 15 20 15 6 ……………………
1
C60C61C62C63C64C65C66
………………
(a+b)n
r n1Cnn
(这a 就b是)4说，(a 1 b)4n的展6 开4式1的各二项式系16 24
数的(和a 等b于)5：2n 1 5 10 10 5 1
32 25
对恒(a等式b)的6 字1母进6行1赋5 值2，0 可1得5 一6些重1 要性质
——赋值法(是数学中一种常用方法).
C0n
C1n
C
2 n
………………
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两
项的二项式系数相等.即：C
r n
C
n n
r
性质3.
二项式系数的增减性及最大值
f(r)
36
C f(r)= r
f(r)
6
34 32 30 28
26
24
20
22
6.3.2二项式系数的性质(一)课件(人教版)
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
问题导学
(a b )1
10
( a b )2
20
30
( a b )3
( a b )5
( a b )6
50
60
61
21
31
40
( a b )4
11
62
22
43
42
52
63
1
33
32
41
51
1 1
53
1 3
44
n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 Cn 2 ,Cn 2 相等，且
同时取得最大值.
(4) C n0 C n1 Cnn 2 n
典例剖析——知识应用
例1 证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶
数项的二项式系数的和.
已知 (1 x )n C n0 C n1 x C n2 x 2
• 二项展开式的通项 Tk 1 C k a n k b k
n
0
1
2
n
k
C
,
C
,
C
,
,
C
C
(
k
0
,
1
,
,
n
)
• 二项式系数： n
n
n
n
n
问题导学
问题2 计算( + ) 展开式的二项式系数并填入下表
(a+b)n展开式的二项式系数
n
1
1
1
2
1
2
二项式系数的性质课件
A. C195
B. C185
C. -C195 D. -C185
解析：(2 3x)15的展开式中共有16项，中间的两项为第8项 和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为 C175 C185 ，故选B.
变式训练1： 在 (1 x)n的展开式中，第5、6、7三项的二项
式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.
每一行中的系数具有对称性
f(r)
r3
对于(a b)n 展开式的二项式系数
20
C0n ,C1n ,Cn2 , ,Cnn .
15
我们还可以从函数角度分析它们.C
r n
可看成
10
是以r为自变量的函数 f (r),其定义域是
5
0,1,2, ,n.
对于确定的n，我们还可以画出它的图象. O 1 2 3 4 5 6 r
2.二项式系数： Ckn (k 0,1, 2, , n)
3.二项展开式的通项： Tk1 Cknankbk
三、探究新知
(a b)n 的展开式的二项式系数 C0n , C1n , C2n , , Cnk , , Cnn
有很多有趣的性质，而且我们可以从不同的角度进行研究
用计算工具计算(a b)n 的展开式的二项式系数，并填入下表：
将函数f (r) Cnr
的图象分成对称的两部分，
它是图象的对称轴.
2. 增减性与最大值
Ckn
n(n 1)(n
2) (k
(n k 1)!k
2)(n
k
1)
Ck 1 n
nk k
1
，∴ Ckn
Ck 1 n
nk k
1.
∴当n
k k
1
1,即k
二项式系数的性质ppt课件
因为 Ckn
n!
nn 1 n 2 n k 1
k! n k !
k 1 !k
Cnk 1 n
k k
1，
所以，当 n
k
1
，即 k 1
k
时， Ckn Cnk 1 .
n 2 1 时，Ckn
Cnk 1 ；当 n
k k
1
1 ，即k
n1 2
三项式的展开式 （1）利用多项式的乘法法则及组合数即得三项式的展开式中的每一项的特 征及同类项的个数，即得其展开式；
（与 a,b 的值无关，只与 n 的值有关）
C
n n
，这表明在二项
C
n n
2n
②在二项式定理中，令 a=1，b=-1，则有
1 1 n 0n C0n C1n
1 k Cnk
1 n Cnn ，这表明在二项展开式中奇
数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于 2n 1 ．即
C0n C2n C4n
求项的系数的最大（小）值只需比较两组相邻两项系数的大小，根据二项式通项
列出不等式（组）即可，即设第（ k 1）项的系数最大（或最小），则
Tk
的系数
1
Tk
的系数
1
Tk的系数
Tk
的系数
2
（或
Tk Tk
的系数
1
的系数
1
Tk的系数
Tk
的系数
2
）
3.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
4.若 (2x 1)100 a0 a1x a2 x2 a100 x100 ，则 2 a1 a3 a99 3 被 8 整除的余数
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根据分类计数原理得：
C0n C1n Cn2 Cnn 2n
C0n C1n Cn2
Cnn 2n
教 学 过 程
【问题拓展】 你能求二项式展开式中所有奇数项的二项式 系数的和与偶数项的二项式系数的和吗？
在展开式
(a b)n C0nan C1nan1b C2nan2b2 Cnnbn
教 学
重点： 杨辉三角中数字规律的探究。
重
点 与 难点： 二项式系数的性质归纳及简单证明，
赋值法的应用。
难
点 难点突破： 组合数的性质和二项式定理的应用。
导教 法 选 择 与 学 法 指
教法:
为了实现本节课的教学目标，在教法上采用“观察、 猜想、归纳、论述、证明、合作交流”的方法。让学 生通过对低阶杨辉三角的观察,猜想并归纳出二项式系 数的性质。
通过课外学习，了解“杨辉三角”， 弘扬我国古代 数学文化；探究与发现杨辉三角中数字规律。
感知规律 领悟性质
【问题提出】 怎样理解 (a b)n展开式的二项式系数
具有递推性和对称性呢？
教
老教材：从整体到局部
学
新教材： 从局部到整体
过 【反思教材】 培养学生观察和归纳能力，减轻论证的难
程
度，降低学习的门槛，提高学习的兴趣， 让学生学的简单、自然、快乐。
这样的设计遵循认知的渐进性原则，让学生更好的理解赋值法
交流合作 贯彻模式
教 学 过 程
理解结论 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
可以看作是 n元集 个数；分成n+1类。 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
a1, a2 , , an 的所有元素子集
C0n C1n Cn2 Cnn 2n
中，令 a 1,b 1
2n1
2n-1
则 (1 1)n C0n C1n C2n C3n (1)n Cnn
即 0 (C0n Cn2 ) (C1n C3n )
所以 C0n Cn2 C1n C3n
又 C0n C1n ， Cn2
Cnn 2n
C C C0n C01n Cn2 n
减性及最大值，并加以严格的证明，按知识n的
逻辑关系来编排内容。
比 重点突出了函数思想和逻辑关系，渗透 了整体到局部的数学思想
优点： f
(r
)
C
r n
严谨，数学味道浓厚
缺点：违背了与学生的认知规律、思维方式
认知规律
新课标（北师大版）对这节课的内容 有着重大的调整：
新
（1）缩减了二项式系数性质中的增减性及最大值
材 节第2课时。
分
本节课教学内容是从“杨辉三角”
析
பைடு நூலகம்
出发，猜想归纳出二项式系数性质，并加 以应用。杨辉三角中蕴含了丰富的数学规
律、数学思想、数学方法；是学生探究数
学一个非常好的课题。
教材的作用在于 ：
教 材 分 析
（1）加深对组合数两个性质的理解。
C C ，C C C m
nm
m
m1
m
n Cnm
C2nn 2n n
C1n C3n
2n1
原来这么简简单单的一个结论蕴含了如此丰富的内容
【设计意图】
观察、猜想
找出规律
归纳结论
证明结论
应用结论
归纳小结,体验方法
1、知识方面: 自主探究杨辉三角中数字规律;
教 2、方法方面: 认识事物的一般方法“观察-猜想-归
学
纳-论证-应用”;从特殊到一般的思 想方法;
【教学建议】
在写完杨辉三角表中的第四行后，让学生 根据表中的规律自己猜想并归纳第五行、
第六行的二项式系数；目的：为课本中的
例题5就是根据杨辉三角写出中n=7的二项
式系数，让学生去感知规律，渗透特殊到
一般、数形结合思想。
问题探究 培养思维
教 材背景分教 学 过 析程
例6
证明：2n
C0n
C1n
C
2 n
C
n n
教学建议： (a b)n展开式的各二项式系数的
（问题探究） 2n
C0n
C1n
C
2 n
C
n n
和是多少？(a b)n
设置问题：（1）计算当n=1，2，3，4时(a b)n 展开式的所有二项式系数的和
（2）猜想 (a b)n展开式的二项
(a b)n
式系数的和 （3）怎样证明你猜想的结论成立？
北师大版《数学》选修2-3
二项式系数的性质
广丰一中 林里溪
教材分析
二
项
式
教学目标
系
数
教法选择和学法指导
的
性 质
教学基本流程设计
教学过程
函数思想 逻辑关系
从杨辉三角出发，直观地认识二项式性质，
新 构造函数
f
(r)
C
r n
(r 0,1,2,, n)
旧 对
f (r ) C r 利用函(a数b)n 的思想理解二项式系数的对称性、增
C nm n
n
n
n
n 1 Cnm
C m1 n
Cm n1
（2）巩固深化二项式定理。
（3）为本书第二章概率中的“二项
分布”学习打下伏笔。
1
在二Cnm 项 Cn式nm 定理中，令
a
b
, 2
则展开式中
各项系数为
Cnr 2n
Cnr
1 2
r
1 2
nr
(r 0,1,2,n)
知识与技能：
了解杨辉三角的简单历史，理解二项式系数 的性质，应用性质解决一些简单问题．
（2）把利用函数的思想理解二项式系数的性质调整
旧
为：从学生认知事物的思维过程出发，观察、感知规
对
律，归纳性质。 （3）把证明改为简单的论述
比 优点： 关注学生的思维过程，遵循认识事物发
展的规律
缺点： 逻辑性减弱
教材的地位和作用
教 《二项式系数的性质》是普通高中课程 标准实验教科书北师大版选修2-3第一章第5
学法:
主张多给学生一点空间、时间, 由学生观察、探 究与交流. 提高归纳猜想能力及表达能力,使学生获得 较全面的发展。
教
学教
课前探究 了解规律
基材
本背
感知规律 领悟性质
流景
程 设 计分析
问题探究 培养思维
归纳小结,体验方法
课前探究 了解规律
课前自主探究：
教 （1）了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用 学 过 （2）探究与发现“杨辉三角”包含的规律。 程 【设计意图】
教 过程与方法：
学
根据本节课的内容和学生的实际水平，通过对二项
目 式系数表（杨辉三角）的观察猜想、归纳出二项式系数 的性质。
标 情感态度与价值观：
树立从从特殊到一般、具体到抽象的辩证唯物主义观 点。感受数学美，激发学习兴趣，增强学生的民族自豪感； 通过小组讨论，培养学生发现问题、探究知识、构建体系 的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。
过 3、情感方面: 爱国主义精神,合作学习,团队精神;
程 【设计意图】 让学生在掌握知识的同时,提高归纳