2.3近世代数
近世代数-文档资料

06.09.2020
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数学上的确切描述
设由m颗珠子做成一个项链,可用一个正m边形 来代表它,它的每个顶点代表一颗珠子。
沿逆时针方向给珠子标号,
2
由于每一颗珠子的颜色有n种选
ห้องสมุดไป่ตู้
择,因而用乘法原理,这些有标 3
号的项链共有nm种。
图。 问题:n个点的图中互不同构的图有多少个?
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5.开关线路的构造与计数问题 一个有两种状态的电子元件称为一个开关,
例如普通的电灯开关,二极管等。由一些开关 组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路 的两端也只有两种状态:通与不通。
问题:用n个开关可以构造出多少种不同的 开关线路?
了几十年。
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伽利略死后,直到19世纪末期,他的理 论才由别的数学家加以进一步的发展和系统 的阐述。
这样一门具有悠久历史、充满许多有趣 问题和故事的数学分支,在近代又得到了蓬 勃发展和广发应用,出现了许多应用与某一 领域的专著,正吸引越来越多的科技人员和 学生来学习和掌握它。
利用近世代数的方法可得到更高效的检 错码与纠错码。
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7. 几何作图问题
古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题:用 圆规和直尺能做出哪些图形?
而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上 做记号。为什么会提出这样的问题呢?
一方面是由于生产发展的需要,圆规、直尺是 丈量土地的基本工具,且最初的直尺是没有刻度 的;另一方面,从几何学观点看,古人认为直线与 圆弧是构成一切平面图形的要素。据说,古人还认 为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性。且 整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本工具。
近世代数知识点教学文稿
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近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集,记作2A.1.2映射●证明映射:●单射:元不同,像不同;或者像相同,元相同。
●满射:像集合中每个元素都有原像。
Remark:映射满足结合律!1.3卡氏积与代数运算●{(a,b)∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积,其中(a,b)为有序元素对,所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系:1 自反性:∀a∈A,a a;2 对称性:∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性:∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark:对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类,反之,一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交,一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律,记作(S,)Remark: i.证明代数运算:任意选取集合中的两个元素,让两元素间做此运算,观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换,即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在,即使存在也可能不唯一,甚至可能都不存在;若都存在,则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性,且在交换半群中:左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中,规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中,存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性,记作a-1且在交换半群中,左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群,≠T S,若T对S的运算做成半群,则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1.群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark:i. 若代数运算满足交换律,则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆(满秩)矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左(右)单位元+左(右)逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群,则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群,满足左右消去律,则G是一个群4. 群的阶群G的阶,即群G中的元素个数,用表示。
近世代数简介
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k
= i( x )
i 1
(2-4)
这里,
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的
多项式系数
多项式
m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
g(x) 一般多项式:多项式环 m素数或合数,有限数环
PI(x) 既约多项式:多项式域(q元扩域)
q素数,整环
P(x) 本原多项式:域元素构成循环群
例2.8:剩余类环Rq(x) f(x) 中,q =2,f(x) = x3+x+1。若A(x)= x2+x+1、B(x)= x2+ 1 是 两个环元素,求A(x) B(x)是什么元素?该剩余类环至多由多少元素组成?
有限环(Ring)
一个有限集合,模m加,模m乘
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环( subring )
理想子环(强收敛性)
主理想(所有元素是一个元
素幂的线性组合)
若集合S是集合R的子集(S R), 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1. a、b S, a-b S。 2. a、b S, a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性,条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是:
元素的阶
15 / GCD(k,15)
1 15 15 5 15 3 5 15 15 5 3 15 5 15 15
近世代数及其应用
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近世代数及其应用近世代数是一门研究几何形状及其变化的数学分支。
它主要关注形状如何在空间中进行旋转、平移和缩放等变化,以及这些变化如何可以通过线性变换来表示。
近世代数的研究内容包括几何变换、向量空间、矩阵、行列式、特征值和特征向量等。
近世代数在计算机图形学、机器人学、几何建模和计算机视觉等领域有广泛的应用。
在计算机图形学中,近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。
在机器人学中,近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。
在几何建模中,近世代数用于建立三维几何模型,并进行几何变换。
在计算机视觉中,近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。
1.计算机图形学在计算机图形学中,近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。
例如,在游戏开发中,近世代数可用于控制三维模型的运动和姿态,以生成真实感十足的动画效果。
在三维建模软件中,近世代数也可用于控制三维几何图形的变换,方便用户进行几何建模和设计。
2.3.机器人学在机器人学中,近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。
例如,在机器人抓取物体时,近世代数可用于控制机器人的末端机械臂的运动轨迹,使其能够精确地抓取目标物体。
在机器人导航时,近世代数也可用于表示机器人的位置和方向,方便机器人进行自主导航。
3.几何建模在几何建模中,近世代数用于建立三维几何模型,并进行几何变换。
例如,在机械设计中,近世代数可用于建立三维机械零件模型,并对其进行旋转、平移和缩放等变换,以方便设计师进行零件布局和装配规划计算机视觉4.在计算机视觉中,近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。
例如,在图像识别中,近世代数可用于对图像进行旋转、平移和缩放等变换,以提高图像识别的准确率。
在视频监控中,近世代数也可用于检测图像中的运动目标,并对其进行跟踪。
5.地理信息系统在地理信息系统中,近世代数用于表示地理数据的旋转、平移和缩放等变换。
例如,在地图制作中,近世代数可用于控制地图投影的旋转、平移和缩放,以生成适合不同使用场景的地图。
近世代数知识点
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近世代数知识点近世代数,又称抽象代数,是数学的一个重要分支,它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说,一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”,满足一些特定的条件。
比如,对于集合中的任意两个元素 a 和 b,运算的结果ab 仍然属于这个集合;存在一个单位元 e,使得对于任意元素 a,都有ae = ea = a;对于每个元素 a,都存在一个逆元 a^(-1),使得 aa^(-1) = a^(-1)a = e。
群的例子在生活中也有不少,比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合,上面定义了两种运算:加法“+”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律,有零元,每个元素都有相反数;乘法满足结合律;乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环,它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的,那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中,子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集,在原来的运算下也构成群;子环是环的一个子集,在原来的两种运算下也构成环;理想则是环中的一个特殊子集,对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例,给定一个群 G 和它的一个正规子群N,就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理,它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出,子群的阶整除群的阶。
最后,我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中,群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数文档
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近世代数引言近世代数是数学中一个重要的分支,研究代数结构及其性质的理论体系。
通常包括群论、环论、域论等内容。
近世代数的发展对于数学的各个领域产生了深远的影响,也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
群论群论是近世代数的一个基础概念和重要分支。
群由三个基本要素组成:集合、运算和满足一定性质(结合律、封闭性、单位元、逆元)的公理。
群论研究集合中的元素如何进行运算,并研究这些运算的性质。
•子群:给定一个群,若一个集合中的元素满足群的性质和封闭性,则称其为一个子群。
•循环群:由一个元素生成的群称为循环群,循环群的结构相对简单。
•群的同态:将一个群的元素映射到另一个群中,并保持运算结构,称为群的同态。
同态的研究对于理解群之间的关系和性质非常重要。
环论环论是近世代数的另一个重要分支,研究满足特定性质的运算集合和运算规则。
环由两个基本要素组成:集合和满足一定性质(结合律、封闭性、零元、乘法交换律、分配律)的公理。
环论的研究主要关注集合中的元素之间的加法和乘法运算。
•子环:给定一个环,若一个集合中的元素满足环的定义和封闭性,则称其为一个子环。
•理想:一个环中的子集,满足特定运算性质(左右理想、乘法吸收律)的集合。
•商环:对于一个环和其中的一个理想,可以通过模运算构建一个新的环,称为商环。
商环中的元素相当于原环中的一个等价类。
域论域论是近世代数中的一个重要分支,研究满足一定性质的运算集合和运算规则。
域是一个满足加法和乘法交换律、分配律以及存在加法和乘法的单位元和乘法的逆元的环。
域是一种结构相对简单但非常重要的代数结构。
•子域:给定一个域,若一个集合中的元素满足域的定义和封闭性,则称其为一个子域。
•拓展域:给定一个域F,在F中添加一个新的元素,并扩展运算规则,得到的新的集合和运算称为拓展域。
•有限域:域中的元素个数是有限的,则称该域为有限域。
有限域具有特殊的性质和应用。
应用领域近世代数的研究对于数学的各个领域产生了深远的影响,也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
近世代数习题解答
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近世代数题解第一章基本概念§1. 11.4.5.近世代数题解§1. 2 2.3.近世代数题解§1. 31. 解1)与3)是代数运算,2)不是代数运算.2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n.3. 解例如A B=E与A B=AB—A—B.4.5.近世代数题解§1. 41.2.3.解1)略2)例如规定4.5.略近世代数题解§1. 51. 解1)是自同态映射,但非满射和单射;2)是双射,但不是自同构映射3)是自同态映射,但非满射和单射.4)是双射,但非自同构映射.2.略3.4.5.§1. 61.2. 解1)不是.因为不满足对称性;2)不是.因为不满足传递性;3)是等价关系;4)是等价关系.3. 解3)每个元素是一个类,4)整个实数集作成一个类.4.则易知此关系不满足反身性,但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可;实际上这个例子只有数0和0符合关系,此外任何二有理数都不符合关系).5.6.证1)略2)7.8.9.10.11.12.第二章群§2. 1 群的定义和初步性质一、主要内容1.群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子.2.群的初步性质1)群中左单位元也是右单位元且惟一;2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一:3)半群G是群⇔方程a x=b与y a=b在G中有解(∀a ,b∈G).4)有限半群作成群⇔两个消去律成立.二、释疑解难有资料指出,群有50多种不同的定义方法.但最常用的有以下四种:1)教材中的定义方法.简称为“左左定义法”;2)把左单位元换成有单位元,把左逆元换成右逆元(其余不动〕.简称为“右右定义法”;3)不分左右,把单位元和逆元都规定成双边的,此简称为“双边定义法”;4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(∀a ,b∈G).此简称为“方程定义法”.“左左定义法”与“右右定义法”无甚差异,不再多说.“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立,而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的,多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易的);优点是:①不用再去证明左单位元也是右单位元,左逆元也是右逆元;②从群定义本身的条件直接体现了左与右的对称性.以施行“除法运算”,即“乘法”的逆运算.因此,群的‘方程定义法”直接体现了在群中可以施行“乘法与除法”运算.于是简言之,可以施行乘法与除法运算的半群就是群.为了开阔视野,再给出以下群的另一定义.定义一个半群G如果满足以下条件则称为一个群:对G中任意元素a,在G中都存在元素1-a,对G中任意元素b都有1-a(ab)=(ba)1-a=b.这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练习.2.在群的“方程定义法”中,要求方程a x=b与y a=b都有解缺一不可.即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解.4.关于结合律若代数运算不是普通的运算(例如,数的普通加法与乘法,多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法),则在一般情况下,验算结合律是否成立比较麻烦.因此在代数系统有限的情况下,有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法.但无论哪种方法,一般都不是太简单.5.关于消去律.根据教材推论2,对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立.而消去律是否成立,从乘法表很容易看出,因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可.6.在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢?答不可以,例如上面例2就可以说明这个问题,因为e1是左单位元,而e1与e2都有右逆元且均为e1.但G并不是群.7.群与对称的关系.1)世界万物,形态各异.但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性.而在这些具有对称性的万事万物中,左右对称又是最为常见的.由群的定义本身可知,从代数运算到结合律,特别是左、右单位元和左、右逆元,均体现出左右对称的本质属性.2)几何对称.设有某一几何图形,如果我们已经找到了它的全部对称变换(即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称),则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群,称为该图形的完全对称群.这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的.凡对称图形(即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合),总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群.反之,如果一个图形存在着非平凡的对称变换,则该图形就是对称图形.不是对称的图形,就不能有非恒等的对称变换.显然,一个图形的对称程度越高,则该图形的对称变换就越多.也就是说它的完全对称群的阶数就越高,即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关.因此;这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质,用群的理论去研究对称.所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论.显然,每个n元多项式都有一个确定的n次置换群:例如n元多项式例6 任何n元对称多项式的置换群都是n次对称群.很显然,一个多元多项式的置换群的阶数越高,这个多元多项式的对称性越强.反之亦然.因此,我们通常所熟知的多元对称多项式是对称性最强的多项式.三、习题2.1解答1.略2.3.4.5.6.§2. 2 群中元素的阶一、主要内容1.群中元素的阶的定义及例子.周期群、无扭群与混合群的定义及例子.特别,有限群必为周期群,但反之不成立.2.在群中若a=n,则4.若G是交换群,又G中元素有最大阶m,则G中每个元素的阶都是m的因子.二、释疑解难在群中,由元素a与b的阶一般决定不了乘积ab的阶,这由教材中所举的各种例子已经说明了这一点.对此应十分注意.但是,在一定条件下可以由阶a与b决定阶ab,这就是教材中朗定理4:4.一个群中是否有最大阶元?有限群中元素的阶均有限,当然有最大阶元.无限群中若元素的阶有无限的(如正有理数乘群或整数加群),则当然无最大阶元,若无限群中所有元素的阶均有限(即无限周期群),则可能无最大阶元,如教材中的例4:下面再举两个(一个可换,另一个不可换)无限群有最大阶元的例子.5.利用元素的阶对群进行分类,是研究群的重要方法之一.例如,利用元素的阶我们可以把群分成三类,即周期群、无扭群与混合群.而在周期群中又可分出p—群p是素数),从而有2—群、3—群、5—群等等.再由教材§3. 9知,每个有限交换群(一种特殊的周期群)都可惟一地分解为素幂阶循环p—群的直积,从而也可见研究p—群的重要意义.三、习题2.2解答1.2.3.4.5.推回去即得.6.§2. 3 子群一、主要内容1.子群的定义和例子.特别是,特殊线性群(行列式等于l的方阵)是一般线性群(行列式不等于零的方阵)的子群.4.群的中心元和中心的定义.二、释疑解难1.关于真子群的定义.教材把非平凡的子群叫做真子群.也有的书把非G的于群叫做群G的真子群.不同的定义在讨论子群时各有利弊.好在差异不大,看参考书时应予留意.2.如果H与G是两个群,且H⊆G,那么能不能说H就是G的子群?答:不能.因为子群必须是对原群的代数运算作成的群.例如,设G是有理数加群,而H 是正有理数乘群,二者都是群,且H⊆G但是不能说H是G的子群.答:不能这样认为.举例如下.例2设G是四元数群.则显然是G的两个子群且易知反之亦然.三、习题2.3解答1.证赂.2.证必要性显然,下证充分性.设子集H对群G的乘法封闭,则对H中任意元素a和任意正整数m都有a m∈H.由于H 中每个元素的阶都有限,设a =n ,则3.对非交换群一放不成立.例如,有理数域Q 上全体2阶可逆方阵作成的乘群中,易知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021a , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1031b的阶有限,都是2,但易知其乘积⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011ab的阶却无限.即其全体有限阶元素对乘法不封闭,故不能作成子群.4.证 由高等代数知,与所有n 阶可逆方阵可换的方阵为全体纯量方阵,由此即得证. 5.证 因为(m ,n )=1,故存在整数s ,t 使 ms 十n t =1. 由此可得6.7.§2. 4 循 环 群一、主要内容1.生成系和循环群的定义.2.循环群中元素的表示方法和生成元的状况.3.循环群在同构意义下只有两类:整数加群和n 次单位根乘群,其中n =1,2,3,…. 4.循环群的子群的状况.无限循环群有无限多个子群.n 阶循环群a 有T (n )(n 的正出数个数)个子群,且对n 的每个正因数k ,a 有且仅有一个k 阶子群kn a.二、释疑解难1.我们说循环群是一类完全弄清楚了的群,主要是指以下三个方面:1)循环群的元素表示形式和运算方法完全确定.其生成元的状况也完全清楚(无限循环群有ϕ个生成元而且a k是生成元⇔(k n)=1);两个生成元,n阶循环群a有)(n2)循环群的子群的状况完全清楚;3)在同构意义下循环群只有两类:一类是无限循环群,都与整数加群同构;另一类是n(n =1,2,…)阶循环群,都与n次单位根乘群同构.2.循环群不仅是一类完全弄清楚了的群,而且是一类比较简单又与其他一些群类有广泛联系的群类.例如由下一章§9可知,有限交换群可分解为一些素幂阶循环群的直积.更一般地,任何一个具有有限生成系的交换群都可分解成循环群的直积.由于循环群已完全在我们掌握之中,所以这种群(具有有限生成系的交换群)也是一类研究清楚了的群类.它在各种应用中有着非常重要的作用.例如在组合拓扑学中它就是一个主要的工具.三、习题§2. 4解答1.2.3.4.5.6.7.§2. 5 变换群一、主要内容1.变换群、双射变换群(特别是集合M上的对称群和n次对称群)和非双射变换群的定义及例子.2.变换群是双射变换群的充要条件;双射变换群与抽象群的关系.1)集合M上的变换群G是双射变换群 G含有M的单或满)射变换;2)任何一个群都同一个(双射)变换群同构.3.有限集及无限集上非双射变换群的例子(例2和例3).二、释疑解难1.一般近世代数书中所说的“变换群”,都是由双射变换(关于变换乘法)所作成的群,即本教材所说的“双射变换群”.而本教材所说的“变换群”则是由一个集合上的一些变换(不一定是双射变换)作成的群.通过教材§5定理2和推论1可知,实际上变换群可分成两类:一类是双射变换群(全由双射变换作成的群,即通常近世代数书中所说的“变换群”),另一类是非双射变换群(全由非双射变换作成的群).在学习本书时应留意这种差异.2.本节教材定理2(若集合M上的变换群G含有M的单射或满射变换.则G必为M上的一个双射变换群,即G中的变换必全是双射变换)比有些书上相应的定理(若集合M上由变换作成的群G含有M的恒等变换,则G中的变换必全为双射变换)大为推广.因为后者要求G包含恒等变换(一个特殊的双射变换),而前者仅要求G包含一个单(或满)射变换即可.因此,后音只是前者(本节教材定理2)的一个推论,一种很特殊的情况.两相比较,差异较大.这种差异也说明,M上的任何一个非双射变换群不仅不能包含恒等变换,而且连M的任何单射或满射变换也不能包含.另外,在这里顺便指出,集合M上的任何双射变换群G的单位元必是M的恒等变换.3.集合M 上的全体变换作成的集合T (M ),对于变换的乘法作成一个有单位元的半群.在半群的讨论中,这是一类重要的半群.并且本节习题中第4题还指出,当M >1时T (M )只能作成半群,而不能作成群.三、习题§2. 5解答1. 解 作成有单位元半群,τ是单位元.但不作成群,因为σ无逆元.2.3. 解 G 作成群:因为易知4.5.§2. 6 置 换 群一、主要内容1.任何(非循环)置换都可表为不相连循环之积,任何置换都可表为若干个对换之积,且对换个数的奇阴偶性不变.从而有奇、偶置换的概念,且全体n 次置换中奇、偶置换个数相等,各为2!n 个(n >1).2.k —循环的奇偶性、阶和逆元的确定方法,以及不相连循环乘积的奇偶性、阶和逆元的确定方法.1)k—循环与A有相反奇偶性.2)k—循环的阶为k.又(i1,i2…i k)-1=(i k,…,i2,i1 ).3)若σ分解为不相连循环之积.则其分解中奇循环个数为奇时σ为奇置换,否则σ为偶置换.σ的阶为各因子的阶的最小公倍.其逆元可由k—循环的逆元来确定.3.由置换σ,τ求置换στσ-1的方法.n次对称群s n的中心.4.传递群的定义、例子和简单性质.二、释疑解难1.研究置换群的重要意义和作用.除了教材中已经指出的(置换群是最早研究的一类群,而且每个有限的抽象群都同一个置换群同构)以外,研究置换群的重要意义和作用至少还有以下几方面:1) 置换群是一种具体的群,从置换乘法到判断置换的奇偶性以及求置换的阶和逆置换,都很具体和简单.同时它也是元素不是数的一种非交换群.在群的讨论中举例时也经常用到这种群.2) 在置换群的研究中,有一些特殊的研究对象是别的群所没有的.如置换中的不动点理论以及传递性和本原性理论等等.3) 置换群中有一些特殊的子群也是一般抽象群所没有的.例如,交代群、传递群、稳定子群和本原群等等.就教材所讲过的交代群和传递群的重要性便可以知道,介绍置换群是多么的重要.2.用循环与对换之积来表出置换的优越性.首先,书写大为简化,便于运算。
近世代数发展简史
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近世代数发展简史引言概述:近世代数是数学中一个重要的分支,它的发展可以追溯到16世纪。
近世代数的发展不仅对数学本身产生了深远的影响,也在其他科学领域中发挥了重要作用。
本文将介绍近世代数的发展历程,分为五个部份,分别是:1. 代数基础的奠定;2. 方程论的发展;3. 群论的兴起;4. 环论的发展;5. 近世代数的应用。
一、代数基础的奠定:1.1 古希腊代数的起源:古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得等人奠定了代数的基础,提出了平方数和立方数的概念,并研究了它们的性质。
1.2 文艺复兴时期的代数发展:文艺复兴时期,数学家卡尔丹诺和维埃塔等人开始研究代数方程,并提出了求解一元二次方程的方法。
1.3 笛卡尔的坐标系:17世纪,笛卡尔引入了坐标系的概念,将代数问题转化为几何问题,为代数的发展开辟了新的道路。
二、方程论的发展:2.1 代数方程的分类:18世纪,数学家拉格朗日将代数方程分为代数方程和超越方程,并研究了它们的性质和解法。
2.2 高次方程的解法:19世纪初,数学家阿贝尔和伽罗瓦等人独立地证明了五次及以上的代数方程无法用根式解出,这一结果被称为“阿贝尔-伽罗瓦定理”。
2.3 线性代数的发展:19世纪,数学家凯莱和哈密尔顿等人提出了线性代数的概念,研究了线性方程组和线性变换等内容。
三、群论的兴起:3.1 群的定义与性质:19世纪,数学家狄利克雷和凯莱等人提出了群的定义,并研究了群的性质,如封闭性、结合律和逆元等。
3.2 群论的应用:群论不仅在代数中有广泛应用,还在物理学、化学和密码学等领域中发挥了重要作用。
3.3 群论的扩展:20世纪,数学家冯·诺伊曼和埃米·诺特等人进一步发展了群论,提出了正规子群、商群和群同态等概念。
四、环论的发展:4.1 环的定义与性质:20世纪初,数学家费罗和诺特等人提出了环的定义,并研究了环的性质,如加法和乘法的封闭性、结合律和分配律等。
4.2 环论的应用:环论在代数几何、代数编码和数论等领域中有广泛应用,为解决实际问题提供了有力的工具。
近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程
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近世代数教学大纲近世代数课程是高等学校数学专业的必修课程《近世代数》教学大纲《近世代数》课程是高等学校数学专业的必修课程,是大学数学的重要基础课程之一。
它是现代数学的一个重要分支,其主要研究对象不是代数机构中的元素特性,而是各种代数结构本身和不同代数结构之间的相互联系。
《近世代数》已成为进入现代数学的阶梯和基础,不仅在知识方面,而且在思想方法上对于学习和研究近代数学都起着明显而有力的作用,它的理论结果也已经应用到诸多相关的科学领域,如计算机科学、理论物理、理论化学等。
设置本课程的目的:向学生介绍近世代数的最基本的概念、理论和方法,介绍现代数学的基础知识,培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
从而满足学生对代数学进一步学习和研究的要求,满足其他数学领域及数学应用对代数的基本要求。
学习本课程的要求:学生应了解近世代数的基本的概念和理论,掌握代数学研究代数结构的一般方法,注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力,能为以后的代数学习或其他数学领域的学习打下良好的代数学基础。
先修课程要求:集合论初步,线性代数,高等代数本课程学时:54学时选用教材:刘绍学、章璞编著,近世代数导引,高等教育出版社(2011)教学手段:课堂讲授为主,讨论、课外辅导为辅考核方法:考试注:1、注意章节之间的相互联系,每章内容在全教材中所处的地位及作用。
2、在概念的讲授中,应注意由特殊到一般,由具体到抽象。
教学的初始阶段,宜慢不宜快。
3、不拘泥于教材,同时编写课程讲义。
4、时刻把握学生的接受能力。
5、教材中打“*”的内容根据实际情况选择讲解。
主要教学内容与重难点:第一章集合与运算一、学习目的通过本章的学习,能够熟练掌握近世代数中常见的一些基本概念和符号,初步了解近世代数课程研究的对象和一般的研究方法。
二、课程内容§1.1 集合§1.2 运算映射的定义,单射,满射,双射(一一映射);变换的定义,单射变换,满射变换,双射变换。
近世代数
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近世代数
近世代数是数学中的一个分支,它研究的对象是代数结构,如群、环、域等,以及它们之间的关系和性质。
这个领域的主要目标是揭示这些结构的本质和共性,并开发出一些通用的技术和方法来处理这些结构和它们之间的关系。
近世代数主要研究群、环、域等代数结构的性质和关系。
群是一种代数结构,它由一个集合以及一个二元运算组成,满足封闭性、结合律、存在单位元素以及每个元素都有逆元素等性质。
环是另一种代数结构,它由一个集合以及两个二元运算组成,分别满足加法和乘法的封闭性、结合律、分配律、存在单位元素和每个元素都有加法和乘法的逆元素等性质。
域是群和环的进一步推广,它不仅满足群和环的所有性质,还满足乘法的交换律。
近世代数的研究方法主要是利用抽象代数的思想,即将一些常见的代数概念抽象出来,从而得到一些通用的性质和方法来处理这些抽象的代数结构。
例如,通过将群、环、域等代数结构抽象出来,我们可以得到一些通用的定理,如拉格朗日定理、卡氏定理、高斯引理等,它们在处理各种具体的代数问题时都具有广泛的应用价值。
总之,近世代数是数学中的一个重要分支,它研究的对象是代数结构及其性质和关系,通过抽象代数的思想和方法,揭示了这些结构的本质和共性,为解决各种具体的代数问题提供了一些通用的技术和方法。
近世代数的基础知识
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近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数(Classical algebra ),它的研究对象主要是代数方程和线性方程组)。
近世代数(modern algebra )又称为抽象代数(abstract algebra ),它的研究对象是代数系,所谓代数系,是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括:群论、环论和域论等几个方面的理论,其中群论是基础。
下面,我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识,然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3.1 集合、映射、二元运算和整数3.1.1 集合集合是指一些对象的总体,这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”,反之,“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ,若对A 中的任意一个元素a (记作A a ∈∀)均有B a ∈,则称A 是B 的子集,记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆,即A 和B 有完全相同的元素,则称它们相等,记作B A =。
若B A ⊆,但B A ≠,则称A 是B 的真子集,或称B 真包含A ,记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集,空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种:一种是直接列出所有的元素,另一种是规定元素所具有的性质。
例如:{}c b a A ,,=;{})(x p x S =,其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有:整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ;非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ; 正整数(自然数)集合{} ,3,2,1=+Z ;有理数集合Q ,实数集合R ,复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时,称为有限集,否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集,∞<A 表示A 是有限集。
近世代数教学大纲
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近世代数教学大纲一、引言近世代数是数学中一个重要的分支,涉及到代数方程、群论、域论、线性代数等内容。
近世代数的研究对于推动数学的发展以及应用于其他学科具有重要的意义。
近年来,随着科学技术的快速发展,近世代数的应用也越来越广泛。
为了培养学生对近世代数的深入理解,本文将从教学的目标、基本内容、教学方法和评估方式等方面,制定一份近世代数教学大纲。
二、教学目标通过近世代数的学习和教学,学生应具备以下知识和能力:1. 掌握近世代数的基本概念、基本理论和基本技巧;2. 理解和运用近世代数的基本原理和定理;3. 能够应用近世代数的知识解决实际问题;4. 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
三、基本内容1.1 代数方程的定义和基本概念 1.2 一元高次方程的解法1.3 多项式方程的解法2. 群论2.1 群的定义和基本性质2.2 群的子群和正规子群2.3 群的同态、同构和陪集2.4 群的分类和应用3. 域论3.1 域的定义和基本性质3.2 域的子域和扩域3.3 域的代数闭包和超越数3.4 域的分类和应用4.1 线性方程组的解法4.2 矩阵的基本运算和性质4.3 矩阵的特征值和特征向量4.4 线性变换和线性空间的基本概念四、教学方法1. 讲授法:通过课堂讲授,系统地介绍近世代数的基本理论和技巧,帮助学生理解和掌握相关知识。
2. 实例法:通过举例分析,引导学生运用近世代数的知识解决实际问题,培养学生的应用能力。
3. 探究法:组织学生进行小组讨论、探究性实验等,激发学生的求知欲和创造力,培养学生的问题解决能力和团队合作精神。
4. 演示法:运用多媒体教学手段,展示近世代数的相关应用场景,增加学生的学习兴趣和动力。
五、评估方式1. 课堂小测:定期进行课堂小测,检测学生对知识点的掌握情况。
2. 作业评估:批改学生的作业,评估学生的应用能力和逻辑思维能力。
3. 期中期末考试:进行期中和期末考试,全面检测学生对近世代数的理解和应用能力。
近世代数文档
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近世代数引言近世代数是数学中的一个分支,是研究代数结构的一种方法。
它主要研究了群、环、域等代数结构,以及它们之间的关系和性质。
本文将介绍近世代数的基本概念和一些重要的定理。
群群是近世代数的基础概念之一,它是一个集合和一个二元运算的组合。
这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。
封闭性对于群中的任意两个元素a和b,它们的运算结果ab也必须属于群中的元素。
结合律群中的运算满足结合律,即对于群中的任意三个元素a、b 和c,满足(a·b)·c = a·(b·c)。
单位元存在性群中存在一个元素e,称为单位元,对于群中的任意元素a,满足a·e = e·a = a。
逆元存在性对于群中的任意元素a,存在一个元素a’,称为逆元,满足a·a’ = a’·a = e,其中e是单位元。
环环是一种比群更一般的代数结构,它是一个集合和两个运算的组合。
这两个运算分别是加法和乘法,并且满足封闭性、结合律、分配律和单位元存在性等性质。
封闭性对于环中的任意两个元素a和b,它们的加法和乘法结果a+b和a·b也必须属于环中的元素。
结合律环中的加法和乘法满足结合律,即对于环中的任意三个元素a、b和c,满足(a+b)+c = a+(b+c)和(a·b)·c = a·(b·c)。
分配律环中的加法和乘法满足分配律,即对于环中的任意三个元素a、b和c,满足a·(b+c) = a·b + a·c和(b+c)·a = b·a + c·a。
单位元存在性环中存在一个元素0,称为加法的单位元,对于环中的任意元素a,满足a+0 = 0+a = a。
同时,环中存在一个元素1,称为乘法的单位元,对于环中的任意元素a,满足a·1 = 1·a = a。
近世代数
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§2.2 子环
• 定理2 设R是一个环,S是R的非空子集, 则S为R的
证明
证明
例3
§2.2 子环
由S关于R的减法封闭, 从而(S,+)是(R,+)的子环. 进一 步由定理条件知, 满足定理1的两个条件, 所以 为 的子环. 于是, 充分性得证, 而必要性是显然的.
近世代数
第二章 群、环、域
基本概念
在普通代数里,我们计算的对象是数, 计算的方法是加、减、乘、除,数学渐渐 进步,我们发现,可以对于若干不是数的 事物,用类似普通计算的方法来加以计算。 这种例子我们在高等代数里已经看到很多, 例如对于向量、矩阵、线性变换等就可 以进行运算。近世代数(或抽象代数)的 主要内容就是研究所谓代数系统,即带有 运算的集合。
定理8
设R是有单位元的交换环, 则R的每个极大理想都是素理想. • 证明 设I为R的极大理想. 设ab~I,a~]I. 令N=(a)+I,则N为R的理想,且 I(a),但I=!(a)+I. 因为I为R的极大理想, 所以N=R. 从而1R~I, 故存在 t~R,c~I,使得1R=at+c,所以,b=b*1R=abt+bc~I.这就证明了I为R的素 理想.
例7
试求Z的所有理想为dZ,d~Z且d>=0
§2.3 理想
定义3
设R为环,I1,I2为R的理想. 集合 I1+I2={a1+a2|a1~I1,a2~I2},I1#I2={a|a~I1,a~I2}分别称为理想 I1,I2的和与交. 定理3 环R的两个理想I1与I2的和I1+I2与交I1#I2都是R的理想. 类似地, 可以定义环R的任意有限多个理想的和与任意多个理想的交的 概念, 并且可以证明: 定理4 环R的任意有限多个理想的和还是理想.环R的任意多个理想的交 还是理想.
近世代数的基础知识
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近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数(Classical algebra ),它的研究对象主要是代数方程和线性方程组)。
近世代数(modern algebra )又称为抽象代数(abstract algebra ),它的研究对象是代数系,所谓代数系,是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括:群论、环论和域论等几个方面的理论,其中群论是基础。
下面,我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识,然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3.1 集合、映射、二元运算和整数3.1.1 集合集合是指一些对象的总体,这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”,反之,“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ,若对A 中的任意一个元素a (记作A a ∈∀)均有B a ∈,则称A 是B 的子集,记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆,即A 和B 有完全相同的元素,则称它们相等,记作B A =。
若B A ⊆,但B A ≠,则称A 是B 的真子集,或称B 真包含A ,记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集,空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种:一种是直接列出所有的元素,另一种是规定元素所具有的性质。
例如:{}c b a A ,,=;{})(x p x S =,其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有:整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ;非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ; 正整数(自然数)集合{} ,3,2,1=+Z ;有理数集合Q ,实数集合R ,复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时,称为有限集,否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集,∞<A 表示A 是有限集。
近世代数知识点
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近世代数知识点近世代数,是数学中的一门重要分支,涉及了许多重要的知识点和概念。
在这篇文章中,我们将探讨一些近世代数中的关键概念和应用。
一、群论群论是近世代数中的基础概念,它描述了一种抽象的代数结构。
一个群由一个集合和一个二元运算组成,同时满足封闭性、结合律、单位元和逆元这四个性质。
群论的研究具有广泛的应用,如密码学、物理学中的对称性研究等。
二、环论环论是研究带有两个二元运算的代数结构,具有更多的性质和运算规则。
一个环由一个集合和两个二元运算组成,同时满足封闭性、结合律、分配律等性质。
环论的应用包括数论、代数几何等领域。
三、域论域论是研究带有四个基本运算(加法、减法、乘法、除法)的代数结构。
域是一种满足封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。
域论在代数几何、密码学等领域有广泛应用。
四、线性代数线性代数是研究向量空间及其线性变换的代数学分支。
向量空间是一个满足特定性质的集合,其中定义了向量的加法和数量乘法运算。
线性代数的应用广泛,如机器学习、图像处理等。
五、域扩张域扩张是域论的重要内容之一,研究一个域如何通过添加元素扩张成一个更大的域。
域扩张的研究对于解决方程、证明数论中的一些性质等具有重要意义。
六、代数拓扑代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉地带,研究了如何通过代数的方法来分析拓扑空间。
代数拓扑的研究在拓扑数据分析、几何学、非线性动力系统等领域有重要应用。
七、泛函分析泛函分析是研究函数空间和函数的特性以及泛函的理论和应用的数学分支。
泛函分析的应用广泛,如量子力学、信号处理等。
近世代数作为一门重要的数学学科,对于数学的发展和应用起到了重要的推动作用。
它通过抽象的方式研究代数结构,提供了一种新的思维方式和工具,为数学家们解决实际问题提供了新的途径。
同时,近世代数的理论和方法在信息科学、工程学、物理学等领域也得到了广泛的应用。
总之,近世代数是一门充满魅力的学科,通过对群论、环论、域论、线性代数、域扩张、代数拓扑和泛函分析等知识点的学习与探索,我们能够更好地理解数学的本质和思想,从而为更广泛的数学研究和应用打下坚实的基础。
第二章 近世代数简介
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对于元素A ( x ) = ∑ a i x 和
i i=0
n-1
B (x ) =
n -1
∑ b x ,多项式加“+”定义为:
i i i= 0
n-1
A ( x ) + B ( x ) = ∑ ( ai + bi )mod q xi
i =0
(2-2)
多项式modf(x)乘“.”定义为 :
n-1 n−1 j +k A ( x ) ⋅ B ( x ) = ∑∑ ( a j bk ) x (2-3) mod q k = 0 j =0 mod f ( x )
) 多项式剩余类环的环元素是模f(x)乘的产物,即 A ( x ) ⋅ B ( x除以f(x)的余 式。余式也就是“剩余”类环名称的来历。 [ ] deg n 如果f(x)的最高次幂是n,称此f(x)是n次多项式,写做 deg [ f ( x)] =。这 里 表示阶次degree。显然,多项式剩余类环Rq ( x ) f ( x)中所有环元 素的次数不高于n-1次,通式形式为:
∀a, b ∈ I , ∃a − b ∈ I ; ∀a ∈ I , r ∈ R, ∃a r = r a ∈ I ,
则I是R的理想子环,建成理想。 与一般子环相比,理想子环要求更多的条件:R必须是交换环且具 有凝聚力,即任意一个子环元素与任意一个非子环的环元素运算后所得 的元素一定位于子环内。 环R的任意多个理想子环的交集仍是R的理想子环。
②结合性(Associativity),即
∀ a , b ∈ G , ∃ a * (b * c ) = ( a * b ) * c o
③存在惟一的一个单元e(Identity),即
∀a ∈ G ,∃a * e = e * a = a o
近世代数凯莱定理证明_概述说明
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近世代数凯莱定理证明概述说明1. 引言1.1 概述近世代数是研究代数结构的一个重要分支,它在数学和物理学领域中有着广泛的应用。
凯莱定理是近世代数中一项非常重要的定理,它关于群论的一个基本结果。
证明凯莱定理是近世代数领域内的一项经典研究课题,对于加深对近世代数以及群论的认识具有重要意义。
1.2 文章结构本文将围绕凯莱定理的证明展开详细讨论。
首先,在引言部分概述凯莱定理以及文章内容。
之后,我们会介绍近世代数的背景知识,包括定义与基本概念、关键定理和结果以及基础工具与技巧。
接下来,我们将会详细讲解凯莱定理的介绍与意义,包括凯莱定理的历史背景、核心内容以及在数学和物理中的应用。
然后,我们会对近世代数凯莱定理证明进行详述,包括准备工作与思路分析、主要步骤与推导过程以及重要细节与关键观察点。
最后,我们将进行结论与展望,总结回顾凯莱定理证明的要点,并对近世代数的未来发展进行展望和可能性探讨。
1.3 目的本文的目的是系统地介绍近世代数中凯莱定理的证明过程,帮助读者深入理解该定理以及相关的数学背景知识。
通过阅读本文,读者可以掌握凯莱定理证明所需的基本概念、技巧和推导过程,并在此基础上拓宽对近世代数领域的认识。
同时,本文也旨在引起读者对未来近世代数研究方向的思考,并为可能出现的新颖应用提供一些启示。
2. 近世代数的背景知识2.1 定义与基本概念:近世代数是代数学的一个分支,主要研究从16世纪到19世纪中叶的代数学发展。
在这个时期,代数学经历了一系列重要的转变和创新,从传统的基于几何概念和计算方法的代数进化为一门由抽象代数结构和符号运算定义的理论。
在近世代数中,人们广泛研究了群、环和域等抽象结构以及它们之间的关系。
群是指在一个集合上定义了一个二元运算,并满足一些特定的性质,如封闭性、结合律、单位元和逆元等。
环是指在一个集合上定义了两个二元运算,并满足一些特定的性质,如封闭性、结合律、分配律等。
域则是在一个集合上定义了两个二元运算,并满足更多特定性质,如交换律以及每个非零元素都有乘法逆元素等。
近世代数知识点
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近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集,记作2A.1.2映射●证明映射:●单射:元不同,像不同;或者像相同,元相同。
●满射:像集合中每个元素都有原像。
Remark:映射满足结合律!1.3卡氏积与代数运算●{(a,b)∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积,其中(a,b)为有序元素对,所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系:1 自反性:∀a∈A,a a;2 对称性:∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性:∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark:对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类,反之,一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交,一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律,记作(S,)Remark: i.证明代数运算:任意选取集合中的两个元素,让两元素间做此运算,观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换,即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在,即使存在也可能不唯一,甚至可能都不存在;若都存在,则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性,且在交换半群中:左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中,规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中,存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性,记作a-1且在交换半群中,左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群,≠T S,若T对S的运算做成半群,则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群∀a,b T,有ab T2.2 群1.群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark:i. 若代数运算满足交换律,则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆(满秩)矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左(右)单位元+左(右)逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群,则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元 e2=eiv.若G是有限半群,满足左右消去律,则G是一个群4. 群的阶群G的阶,即群G中的元素个数,用表示。
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§2.3循环群和生成群、群的同构 §2.3.1 循环群和生成群设G 是群,,令 G a ∈ H ={ | }k a Z k ∈此时,称H 为由a 在G 中生成的子群。
注:1°易验证H 确实为G 的子群,121()k k a a H −∈。
2°记H =< a >,a 称为它的生成元;若G =< a >,则称群G 为循环群。
定义1 (生成子群)设S 是群G 中的一个非空子集,G 的含有S的最小子群称为由S 生成的子群,记为< S >,S 称为它的生成元集。
注:1°< S >可表示为< S >={ …| 2121εεa a kk a εZ S a i i ∈∈ε,, k=1,2,3…}这个表达式是合理的:设右式为H ,易见H ⊇S ,并且H ≤G ;要证明任何包含S 的子群K 必然包含H 。
由于S K ,而K 为群G 的子群,所以;这也就是说H =< S >。
⊆K a ki i i∈∏=1ε 2)如果群G =< S >,且K S ∀⊄,>≠<K G ,则称S 是G 的极小生成元集。
特别,当|S|<+∞,元素个数最少的生成元集被称为最小生成元集。
若干例子:(1) K lein 四元群可表为K=<a , b | o(a )=o(b )=2,ab = ba >,它的极小生成元集为{a , b }。
(2) (Z ,+)=<1>=<-1>,它是可由1或-1生成的无限阶的循环群。
(3) (,+)≌,它们都为n 阶循环群。
n Z n U (,+)=< [1] >;= < n Z n U ξ >。
(4) 二面体群>=<0,πρn D=ρ⎟⎞⎜⎜⎝⎛−1...22110n ⎟⎟⎠⎞⎜⎛−−−11 (2211)0n n n n=6时:不难证明,()2k i k n i π=+− (mod n )k π, 上下均模n 。
l k l −=ρπ较复杂的例子: P56 例1、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,,,,)(2bc ad Z d c b a d b c a Z SL证明: >⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=<1011,1101)(2Z SL 证明: , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011B 有: ,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101k A k⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101k B kZ k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==−−01101011011110111101101111AB B Q。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=10012Q 易见,B A ,)(2Z SL ⊆,下面证明)(2Z SL d b c a X ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∀,detX=1,都可由A,B 生成。
情形1:当a,b,c,d 中有一个元素为0时,不妨设c =0,则必有a=d=1或a=d=-1,于是有b A b X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101,或。
b A Q b X −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=2101(其它情形,即当,而有一元0≠c {}d b a x ,,∈,x =0,总能通过Q 左乘或右乘X ,使得将c 位置变成0。
)易见,B A X ,∈。
情形2:当,必有(a ,c )=1,否则|X|0≠abcd ≠1。
不妨设 |a| < |c|,并令c=q ·a + r ,0≤r<|a| ,于是有,左上角元素的绝对值变小;利用A ,B 和Q ,Q ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−**a rX QB q2总能经过有限次运算,可将左上角元素变为0,转换成情形1。
所以B A X ,∈,从而B A Z SL ,)(2⊆。
综上知:B A Z SL ,)(2=。
#§2.3.2群的同构有些群在代数结构意义下是一致的,称为同构,精确地刻划为:定义2 设(G ,·)与(G ′,。
)为两个群,若存在一个从G 到G ′之上的1-1映射,满足关系ff(a ·b)=f(a )ºf(b) G b a ∈∀,则称为从G 到G ′之上的一个同构映射或同构,并称G 与G ′同构,记为G ≌G ′。
f 注:1)所谓1-1映上的映射也称之为双射。
2)通常把条件f(a ·b)=f(a)ºf(b)称为保持群的运算关系。
f3)同构映射使两个群的所有代数性质都1-1对应:f 把G 中单位元e 映成G ′中的单位元e ′;把G 中任意元素a 的逆元映成G ′中对应元素的逆元;把群G 中的子群H 映成中的子群(H);f 保持元素的阶不变,保持元素的所有代数性质。
f f例子1 R 为实数的集合,+R 为正实数的集合,若设G =(+R ,• ),G’=(R ,+),求证:G ≌G ′ 。
证明:作G 到G ′的对应关系: (),f x x lg →R R →+易见,由2121lg lg x x x x =⇒=,),(21G x x ∈∀,所以为单射;又因为,可取,有f(x)=,所以还为满射。
另一方面,有f 'G b ∈∀b x 10=b b =)10lg(f G x x ∈∀21,)()(lg lg )(212121x f x f x x x x f +=+=•所以 G ≌G ′ 。
例子2 设{}1,,2,1,02−⋅⋅⋅==•n k eU ink n π是复数域上所有n 次单位根的集合,关于复数乘法构成群。
设n U ),(+><n Z 到(,• )的一个对应关系为 n U:f []ink ek ⋅π2a k=0,1,2,…n-1易证,为f ),(+><n Z 到(,• )的一个同构。
n U§2.3.3循环群的性质循环群G=< a >有完满的对称性,它是由一个元素生成的,在同构的意义下,循环群可完全确定。
定理1 设G=< a >是由a 生成的循环群,则(1) 当o(a)=+∞时,G ≌(Z ,+),G 称为无限循环群。
(2) 当o(a)=n 时,G ≌(Z n ,+<>),G 称为n 阶循环群,记为。
n C 注:证明此定理时容易的,关键要会做表示。
(1) 当o(a)=+∞时,群G 表示为G ={}Z k a k ∈;建立从G 到(Z ,+)之上的映射ϕ:。
Z k k a k ∈,a 然后再验证ϕ为1-1映上,且保持运算关系不变。
(2) 当o(a)=n 时,群G 表示为{}120,,,,1−⋅⋅⋅==n a a a a G建立从G 到),(+><n Z 的映射ϕ:,k =0,1,2,…n-1。
][k a k a 然后证明ϕ为1-1映上,且保持运算关系不变。
(此定理的详细证明,由同学自己完成。
)由于所有循环群在同构意义下只有二类:(Z ,+)和),(+><n Z ,所以研究循环群的问题,只着眼这两类群就可以了。
定理2 关于循环群的生成元,我们有(1) (Z ,+)的生成元只能为1或-1;(2) ),(+><n Z 的生成元只能为[a ],其中(a , n)=1,共有ϕ(n)个生成元。
证明:(1)设(Z ,+)=< a >,也即+Z =< a >,因为1∈+Z ,故必有k 使得,而k 为整数,a 也为整数,所以a =1或a =-1。
显然有1=⋅=a k a k +Z =< 1 >=< -1 >。
(2)设>=<><][a n Z ,因为[1]∈><n Z =<[1]>,所以必然有k ∈Z ,使得k •[a ]=[1],即k •a ≡1(mod n),此时,k a =1+s •n ,也就是k •a +(-s)•n=1,说明(a ,n)=1,并且只要使(a’,n)=1,同样有><n Z =< a ’>,所以><n Z 中共有ϕ(n)个生成元。
# 下面研究循环群的子群性质:定理3 循环群的子群仍然是循环群,并且 (1) (Z ,+)的全部子群为>=<m H m ,m=0,1,2,…;(2) ),(+><n Z 的全部子群为< [d] >,这里d|n ,并且< [d] >为><n Z 中唯一的n/d 阶子群。
证明:(1)设H ≤+Z ,若H ≠{0},令M ={ x | x ∈H ,且x > 0},由x ∈H ,必有-x ∈H ,易见M ≠Φ。
由自然数集的良序性,知M 中有最小元,设为m 。
于是,有x=p ·m+r ,0≤r<m ;如果r ≠0,必有r=x-pm ∈M ,这与m 为M 中最小元矛盾,所以r=0,于是M ={k •m | k ∈I}。
进一步有H ={k •m |k ∈Z}=<m>=。
说明M x ∈∀m H +Z 中的全部子群都为循环群,且为,m=0,1,2,… 。
>=<m H m (2) 令><n Z ={[0] , [1] ,[2] ,…,[n-1]},设H ≤><n Z ,且H ≠{[0]}。
令M ={k |[k]∈H\{0}},易见M ≠Φ,它为自然数集I 的子集,有最小元,设为d 。
,有x=p •d+r ,0≤r<d 。
M x ∈∀由于[r]=[x]-p •[d]∈H ,若[r]≠[0],则r ∈M ,与d 为M 中的最小元矛盾,故r=0,所以有M={k •d |k ∈{0,1,2,…}};进一步有H={k[d] | k=0,1,2,…}={[k •d] | k=0,1,2,…}={[0],[d],…,[(m-1)d] | m=n/d}。
易见,H 为n/d 阶子群且是循环群,H =<[d]>。
再证唯一性:设K =<[k]>也是一个m=n/d 阶子群,则有m •k ≡0(mod n),于是存在正式r 使m •k=r •n=r •m •d ,有k=r •dd|k ,故[k]∈<[d]>,即,而|K|=|H|=m ,所以K =H 。
#⇒HK ⊆定理4(有限循环群判定定理)G 是任意n 阶群,如果对于任意d|n ,G 内至多有一个d 阶子群,则G 是n 阶循环群。
证明:首先注意,G 中任意元素的周期定是n 的约数。
(简述原因:,若G a ∈∀t a =)(π,知<a >为G 的t 阶循环子群,记<a >=H 。