元素不尽相异的排列问题

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[定理 6] 若 n1,n2,n3,…,nk 中至多只有两个奇数，则在重集 S={e1·n1，e2·n2，…，ek·nk}的
k ni [ ] ! i 1 2 （个）其中[x]表示 x 的整数 所有元素作成的圆排列中共有对称圆排列 M S k n [ i ]! i 1 2
X1 Xn
X2
X3
···
图1
元素 {x1x2x3…xn} 构成的圆排列
Xi
···
可以分成完全相同的 d 段， 则每一段称为圆排列的一个循环节， 循环节的长度 t 称为圆排列 的周期，最小的周期 t 称为圆排列的最小周期。 容易证明： [引理 4] 每一个最小周期为 t 的线排列，对应一个最小周期为 t 的圆排列；而每一个最 小周期为 t 的圆排列，对应着 t 个互不相同的最小周期为 t 的线排列。 [定理 3] 设重集 S={e1·n1，e2·n2，…，ek·nk}，且 的元素组成的圆排列数为：
(n1,n2,n3,…,nk) = p ，若 d | p ，则在由 S 的所有元素组成的线排列的集合 A1 中，有：
n )! n qd ( p) k 个线排列以 为最小周期。 n d p q| ( i )! d i 1 qd (
1, (若p 1); r （其中： ( p ) ( 1) , (若是个不同质数的乘积）； 为茂陛乌斯函数 0， (若是被一质数的平方整除).
[5，6]

d |p
表示展布在正整数 p 的一切正因数上的和式。）
证明：在周期为 其中 q |
n n 的线排列的集合 Ad 中， 任一元素的最小周期都可以写成 的形式， d qd
n n n ， 在 q=1 时所对应的元素即为最小周期为 的线排列， 因此最小周期为 的线排 d d d
列的集合为
A
p q| d q 1
The arrangement problems of elements with repeat
Chang Xinde
Yongcheng Vocational College, Yongcheng, Henan (476600) Abstract
In this paper, by introducing the concept of ordered cycles, and using Mobius 'function μ(p) and Euler' functionφ(x) in the number theory ,the author derived the formulas of N disparate elements in the circular arrangement , about the number of arrangement of the simmetrical round and for calculating
3 2
5! 10 ）。 3!2!
[定理 1] 设 S={e1·n1，e2·n2，…，ek·nk}为一个有重复元素的集合（简称重集），其中 ei·ni 中的 ei 为元素，ni 为元素 ei 的重复数(i=1,2,3,…,k)，且 n1+n2+…+ nk=n。则由 S 的全部元素 所作的线排列的总数为：
q| x
x
[5，6]
）
例 2 的解：
1 8! 4! 2! Q ( 4,4) (1) ( 2) ( 4) 8 4!4! 2!2! 1!1! 1 (1 70 1 6 2 2) 10 8
4 环排列
例 3．由 4 棵红色珠子和 4 棵黄色珠子可以串成多少种不同花色的珠环？ 这个问题与上面的例 2 在本质上是不同的， 因为不仅旋转而且翻转也不会将一个珠环改 变花色。所以我们把这一问题称为环排列问题。（解答在后面给出） [定义 5] 把一些元素按一定顺序串成一个环，就叫做由这些元素组成的一个环排列，由 这些元素组成的所有环排列的个数称为这些元素的环排列数。 容易证明： [引理 5] 一个圆排列对应一个环排列， 而一个环排列对应一个翻转不变的圆排列或两个 翻转改变的圆排列。 翻转不变的圆排列简称为对称圆排列。 由引理 5 容易证明： [定理 4] 若重集 S 的所有元素的圆排列数为 Q， 其中对称圆排列数为 M， 则 S 的所有元 素的环排列数为
n ( )! d [引理 3] | Ad | n1 n2 n ( )!( )! ( k )! d d d
(其中 d | ni , i =1,2,3,…,k.
n
i 1
k
i
n ).
[定理 2] 设重集 S={e1·n1，e2·n2，…，ek·nk}，且
n
i 1
k
i
n ，n1,n2,n3,…,nk 的最大公约数
1 (Q ·n1，e2·n2，…，ek·nk} 的所有元素组成的圆排列中，有对称圆排 列当且仅当在 n1,n2,n3,…,nk 中的奇数个数不超过两个。 证明：设 S 的一个圆排列（图 1）的每一个元素都是在圆的 n 等分点上，若(图 1)是对 称圆排列，则至少有一个对称轴，且对称轴是圆的直径。在一条轴上至多有两个元素，轴两 边的元素完全相同，因此除一条轴上的元素外，其余每一种元素的重数都是偶数。 Ⅰ、若这条轴上没有元素，则 n1,n2,n3,…,nk 全为偶数； Ⅱ、若这条轴上只有一个元素，则 n1,n2,n3,…,nk 中只有一个是奇数； Ⅲ、若这条轴上有两个不同的元素，则 n1,n2,n3,…,nk 中只有两个是奇数； Ⅳ、若这条轴上有两个相同的元素，则 n1,n2,n3,…,nk 全为偶数。 总结以上四条可知，定理 5 正确。
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| Ad | | Ari d | | Ari r j d | | Ari r j rk d | ( 1) s | Ar1 r2 rs d | n )! qd ( q ) | Aqd | ( q ) k n p p q| q| ( i )! d d i 1 qd (
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元素不尽相异的排列问题
常新德
河南省永城职业学院，河南永城（476600） 摘 要： 本文通过排列的周期概念的引入，利用数论中茂陛乌斯函数 ( p ) 和欧拉函数
E-mail：changxde@
( x) ，导出了 n 个不尽相异元素的圆排列数公式、对称圆排列数公式和计算环排列数的公
式，应用这些公式可以方便的解决有重复元素的排列问题。 关键词：圆排列；对称圆排列；环排列；茂陛乌斯函数；欧拉函数。 中图分类号：O122.4
1 引言
引例[1] 用红色珠 5 粒，绿色珠 5 粒，黄色珠 6 粒穿成一只珠环，能穿成多少种花式？ 这个问题属于有重复元素即元素不尽相异的环形排列问题， 它的计算方法如何？有没有 计算公式？象这类元素不尽相异的排列问题， 特别是圆排列与环排列的问题在一些书上都介 绍甚少
n
i 1
k
i
n ，(n1,n2,n3,…,nk)=p，则由 S
1 Q ( S ) (d ) n d| p
其中 ( d ) 为欧拉函数[5
，6]
n ( )! d k n ( i )! i 1 d
。
证明：由引理 4 和定理 2 得：
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n n )! ( )! d x 1 dp Q ( S ) (q ) k ( (q )) k x n n n x| p q| x q d | p n q| p ( i )! ( i )! d x i 1 dp i 1
(

n n ( )! ( )! 1 1 ( x) k x (d ) k d n n x| p n d| p ni ( i )! ! x i 1 i 1 d
（其中
q (q ) ( x )
Q
即用这些珠子能穿成 63168 种花式的珠环。
参考文献
[1] 扬州师范学院.《中学数学教材教法-代数部分》[M].扬州师范学院,1982 [2] 翟宗荫著.《排列和组合》[M].上海教育出版社,1964 [3] 陈景润.《组合数学》[M].河南教育出版社 1985 [4] R.A.Brualdi 著.《组合学引论》[M].李盘林，王天明译.华中工学院出版社,1982. [5] 闵嗣鹤,严士健著.《初等数论》[M].人民教育出版社,1982.9 第二版. [6] 潘承洞,潘承彪著.《初等数论》[M].北京大学出版社,1998. [7] 常新德.《不尽相异元素的圆排列问题》[R].河南省中专数学会(一等奖),1992.
qd
（其中 Aqd 表示 Aqd 在 Ad 中的补集）。因为：
A
p d q 1 q|
qd
Aqd Ard Ard
p d q 1 q| r| p d r| p d
(其中 r 为
n 的质因数). d
再由斥容原理
| Aqd || Ard || Ad | | Ari d |
n 的由 S 的元素排成的线排列集合，（d | ni ，i=1,2,…,k），|Ad| 代 d
表 Ad 中线排列的个数。
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容易证明： [引理 1] 若 d1 | d2 ，则 Ad2 Ad1

[引理 2] Ad2∩Ad1= A[d1，d2] ，其中[d1，d2]表示 d1、d2 的最小公倍数。
部分。 证明：要分几种情况证明（略）。 例 3 的解：
Q 10 4! M 6 2!2! 1 所以 (10 6) 8 2
即可做成 8 种不同花色的珠环。 引例的解：n1=n2=5,n3=6,n=16,(5,5,6)=1
15! 126126 5!5!6! 7! M 210 2!2!3! 1 1 所以 (Q M ) (126126 210) 63168 2 2