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古典概率模型 高考数学真题解析 高考数学复习

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高考数学概率与统计题型解析与答题技巧

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。

对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。

下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。

一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。

它的特点是试验结果有限且等可能。

例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。

答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。

然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。

2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。

常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。

比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。

答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。

例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。

然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。

3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。

答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。

4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。

答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。

二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。

高中数学概率几何概型古典概型精选题目(附答案)

高中数学概率几何概型古典概型精选题目(附答案)

高中数学概率几何概型古典概型精选题目（附答案）一、古典概型1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，当事件A与B对立时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝mn求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．1.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[解]甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E，F表示．(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝4 9.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．所以，选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.注：解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．2．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为()A.13 B.110C.25 D.310解析：选D设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P＝3 10.3．随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3 000名学生的体重发育评价情况，得下表：0.15.(1)求x的值；(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？(3)已知y ≥243，z ≥243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．解：(1)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15，可知x3 000＝0.15，所以x ＝450.(2)由题意，可知肥胖学生人数为y ＋z ＝500(人)．设应在肥胖学生中抽取m 人，则m 500＝603 000.所以m ＝10.即应在肥胖学生中抽10名．(3)由题意，可知y ＋z ＝500，且y ≥243，z ≥243，满足条件的基本事件如下： (243,257)，(244,256)，…，(257,243)，共有15组．设事件A ：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y ≤z ，满足条件的(y ，z )的基本事件有：(243,257)，(244,256)，…，(250,250)，共有8组，所以P (A )＝815.所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为815.二、几何概型(1)几何概型满足的两个特点：①等可能性；②无限性． (2)几何概型的概率求法公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积、体积)试验的全部结果长度(面积、体积).4.(1)已知平面区域D 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )| ⎩⎨⎧|x |＜2，|y |＜2，D 2＝{}(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2＜4.在区域D 1内随机选取一点P ，则点P 恰好取自区域D 2的概率是( )A.14 B.π4 C.π16D.π32(2)把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为________．[解析] (1)因区域D 1和D 2的公共部分是一个半径为2的圆的14，从而所求概率P ＝14×22π42＝π16，故选C.(2)将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于13木棒长度的区域内，故所求概率为2×13＝23.[答案] (1)C (2)23 注：几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P (A )＝mn 求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．5．如图，两个正方形的边长均为2a ，左边正方形内四个半径为a2的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a 的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的大小关系是( )A ．P 1＝P 2B ．P 1＞P 2C ．P 1＜P 2D ．无法比较解析：选A 由题意知正方形的边长为2a .左图中圆的半径为正方形边长的14，故四个圆的面积和为πa 2，右图中圆的半径为正方形边长的一半，圆的面积也为πa 2，故P 1＝P 2.6．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：选A 不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.7．圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M ，现随机往图4的圆内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.34πB.334πC.2πD.3π解析：选B 设圆内每一个小正三角形的边长为r ， 则一个三角形的面积为12×r ×32r ＝34r 2， ∴阴影部分的面积为334r 2. 又圆的面积为πr 2，∴点A 落在区域M 内的概率是334r 2πr 2＝334π.。

2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题22 概率问题(解析版)

2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题22 概率问题(解析版)

专题22 概率问题【高考真题】1．(2022·全国乙理)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ____________．1．答案 310解析 从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=，甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所 以甲、乙都入选的概率310P =，答案为310． 2．(2022·全国甲理) 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 2．答案 635解析 从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的 有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为635． 3．(2022·全国甲文) 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片 上的数字之积是4的倍数的概率为( )A ．15 B ．13 C ．25D ．23 3．答案 C 解析 从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为62155=．故选C ． 4．(2022·新高考Ⅰ) 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．234．答案 D 解析 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不 互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213P -==．故选D ． 5．(2022·全国乙理) 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、 乙、丙比赛获胜的概率分别为123, , p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( ) A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大5．答案 D 解析 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，则此时连胜两盘的概率为p 甲，则21321331231211(1)(1)(1)(1)22p p p p p p p p p p p p p =-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦甲123123()2p p p p p p =+-；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p 乙，则123123213123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-乙．记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p 丙．则132132312123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-丙则()123123213123123()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<⎡⎤⎣⎦甲乙，()213123312123231()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<⎡⎤⎣⎦乙丙，即p p <甲乙，p p <乙丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大．选项D 判断正确；选项BC 判断错误；p 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关．选项A 判断错误．故选D ．【知识总结】1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的样本点数试验的样本点总数. 2．独立重复试验如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n ． 3．相互独立事件同时发生的概率：若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )．4．互斥事件至少有一个发生的概率：若事件A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，P (A －)＝1－P (A )．5．条件概率公式设A ，B 为随机事件，且P(A)>0，则P (B |A )＝P (AB )P (A ). 6．全概率公式设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑i ＝1nP (A i )P (B |A i )．【题型突破】题型一 古典概型1．(2021·全国甲)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．451．答案 C 解析 方法一 (将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为1A ,1B ,1C ,1D ,2个0分别设为0A ,0B ，将4个1和2个0随机排成一行有A 66种排法，将1A ,1B ,1C ,1D ，排成一行有A 44种排法，再将0A ,0B 插空有A 25种排法，所以2个0不相邻的概率P ＝A 44A 25A 66＝23． 方法二 (含有相同元素的排列)将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C 26种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C 25种排法．所以2个0不相邻的概率P ＝C 25C 26＝23． 2．已知多项选择题的四个选项A ，B ，C ，D 中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得 分．若某题的正确答案是ABC ，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为( )A ．12B ．310C ．16D ．3112．答案 A 解析 由题意得，从4个选项里选两个选项，共有C 24＝6(种)方法，从3个正确选项里选择两个选项，共有C 23＝3(种)方法．由古典概型的概率公式得所求的概率为P ＝36＝12． 3．有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1,2,3,4．现每次有放 回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：1314 1234 2333 1224 3322 1413 31244321 2341 2413 1224 2143 4312 24121413 4331 2234 4422 3241 4331 4234由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为( )A ．23B ．13C ．27D ．5213．答案 C 解析 由题意得，直到标有偶数的球都取到过就停止，且恰好在第4次停止摸球，表示所得 到的4个数中包含2和4，且前3次只能出现2或4中的一个(不限次数)，第4次又摸到另外一个偶数，有1234,1224,3124,1224,4312,2234，共有6组，所以恰好在第4次停止摸球的概率P ＝621＝27． 4．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为( )A ．114B ．37C ．47D ．344．答案 C 解析 从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只的方法为C 38，这3只鞋子中任意两只都不成 双，选取的方法为C 34×23，所以所求概率为P ＝C 34×23C 38＝47． 5．定义：abcde ＝10 000a ＋1 000b ＋100c ＋10d ＋e ，当五位数abcde 满足a <b <c ，且c >d >e 时，称这个五位数为“凸数”．由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )A ．16B ．110C ．112D ．1205．答案 D 解析 由题意知，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有12 543,13542,14 532,23 541,24 531,34 521，共6个，所以恰好为“凸数”的概率为P ＝6120＝120． 6．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的 上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为________．6．答案 16解析 设齐王的上、中、下三个等次的马分别记为a ，b ，c ，田忌的上、中、下三个等次的 马分别记为A ，B ，C ，双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛，所有的可能为Aa ，Bb ，Cc ，田忌得0分；Aa ，Bc ，Cb ，田忌得1分；Ba ，Ab ，Cc ，田忌得1分；Ba ，Ac ，Cb ，田忌得1分；Ca ，Ab ，Bc ，田忌得2分；Ca ，Ac ，Bb ，田忌得1分，田忌得2分的概率为P ＝16． 7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分 为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．答案 A 解析 在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n ＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C 36＝20．故在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率p ＝2064＝516． 8．“六艺”出自《周礼·地官司徒·保氏》，是指礼、乐、射、御、书、数．已知某人觉得“君子不学礼无 以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，该人依据自己能力，只能为每个孩童选择六艺中的四艺进行培养，若要令该人和两个孩童对所选的四艺都满意，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为( )A ．12B ．34C ．59D ．458．答案 B 解析 依题意，所选四艺要令该人和两个孩童都满意，则四艺中必选“礼”，“数”，两个孩童再分别从剩余的四艺“乐”、“射”、“御”、“书”中选两艺，共有n ＝C 24·C 24＝36(种)等可能选法，其中两孩童都不选“御”共有C 23·C 23＝9(种)等可能选法，其概率为936＝14，则两孩童至少有一个选到“御”的概率p ＝1－14＝34． 9．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A ，B ，C 三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问：甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于( )A ．13B ．23C ．12D ．199．答案 C 解析 甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A ，B ，C 三家医院接种新冠疫苗的情况有A 33＝6种，符合题意的情况有3种，故所求概率为P ＝36＝12．故选C ． 10．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗，一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为( )A ．1021B ．1121C ．1142D ．521 10．答案 B 解析 从七颗星中随机选两颗，共有C 72＝21种可能的结果，玉衡和天权至少一颗被选中共有C 21C 51＋C 22＝11种可能的结果，所以所求概率P ＝1121．故选B ． 题型二 相互独立事件与独立重复试验11．(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立11．答案 B 解析 事件甲发生的概率P (甲)＝16，事件乙发生的概率P (乙)＝16，事件丙发生的概率P (丙) ＝56×6＝536，事件丁发生的概率P (丁)＝66×6＝16．事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P (甲丙)≠P (甲)P (丙)，故A 错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P (甲丁)＝P (甲)P (丁)，故B 正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P (乙丙)≠P (乙)P (丙)，故C 错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D 错误．12．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则( )A ．该软件通过考核的概率为18B ．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C ．该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D ．在此次比赛中该软件平均考核了6524轮 12．答案 ABD 解析 设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，则P (A 1)＝56，P (A 2)＝35， P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.该软件通过考核的概率为P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝56×35×34×13＝18，选项A 正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝56×35×14＝18，选项B 正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1－P (A 1)－P (A 1A 2)＝1－16－56×25＝12，选项C 不正确；设在此次比赛中，该软件考核了Y 轮，∴Y 的可能取值为1,2,3,4，P (Y ＝1)＝P (A 1)＝16，P (Y ＝2)＝P (A 1A 2)＝56×25＝13，P (Y ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝18，P (Y ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×35×34＝38，∴E (Y )＝1×16＋2×13＋3×18＋4×38＝6524，故选项D 正确． 13．甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局．根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3∶2获胜的概率为________．13．答案 0.18 解析 由题意知，甲队以3∶2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中胜两局，有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，其概率为C 23×0.62×0.4×0.5×0.5＋C 13×0.6×0.42×0.5×0.5＝0.18.14．小明在做一个与扔质地均匀的正六面体骰子有关的游戏，规定：若骰子1点或2点向上，则小明前进1步，若骰子3点或4点向上，则小明前进2步，若骰子5点或6点向上，则小明前进3步．小明连续扔了三次骰子，则他一共前进了8步的概率是( )A ．127B ．227C ．19D ．2914．答案 C 解析 易知小明三次共前进了8步时，只能是2次前进3步，1次前进2步的情况．根据题意得，前进1步、前进2步、前进3步的概率相同，均为13．故所求概率P ＝C 32×(13)2×(13)1＝19．故选C ．15．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为p 1和p 2，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能15．答案 B 解析 方法一中每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率p 1＝1－⎝⎛⎭⎫91020．方法二中每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率p 2＝1－⎝⎛⎭⎫4510．p 1－p 2＝⎝⎛⎭⎫4510－⎝⎛⎭⎫91020＝⎝⎛⎭⎫4510－⎝⎛⎭⎫8110010<0，则p 1<p 2．16．(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的 是( )A ．目标恰好被命中一次的概率为12＋13B ．目标恰好被命中两次的概率为12×13C ．目标被命中的概率为12×23＋12×13D ．目标被命中的概率为1－12×2316．答案 B D 解析 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，在A 中，目标恰好被命中一次的概率为12×13＋12×23＝12，故A 错误；在B 中，由相互独立事件概率乘法公式得目标恰好被命中两次的概率为12×13＝16，故B 正确；在C 、D 中，目标被命中的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝23，故C 错误，D 正确．故选B 、D ． 17．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(当一人先赢3局时获胜，比赛结束)．棋局以红棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走．假设甲执红棋时取胜的概率为23，执黑棋时取胜的概率为12，各局比赛结果相互独立，且没有和局．若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以3∶2获胜的概率为________．17．答案 1354解析 甲以3∶2获胜，则第5局甲获胜，前四局甲两胜两负．根据规则，甲执红棋开局， 则前四局甲执棋顺序是“红黑红黑”，第5局甲执红棋．前四局甲取胜可能的情况是：①甲2次执红棋取胜；②甲2次执黑棋取胜；③甲1次执红棋和1次执黑棋取胜．故概率为⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－232×122×23＋⎣⎡⎦⎤C 2123⎝⎛⎭⎫1－23·C 2112⎝⎛⎭⎫1－12×23＝1354． 18．如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯 亮的概率为( )A ．38B ．12C ．58D ．7818．答案 C 解析 由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，所以灯泡亮的概率为12×12×12＋12×12×12＋12×12×12＋2×12×12×12＝58．故选C ． 19．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13．若前两局中乙队以2∶0领先，则下列说法中正确的有________(填序号)．①甲队获胜的概率为827；②乙队以3∶0获胜的概率为13； ③乙队以3∶1获胜的概率为29；④乙队以3∶2获胜的概率为49． 19．答案 ①②③ 解析 对于①，在乙队以2∶0领先的前提下，若甲队获胜，则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为P 1＝⎝⎛⎭⎫233＝827，故①正确；对于②，乙队以3∶0获胜，即第三局乙队获胜，概率为13，故②正确；对于③，乙队以3∶1获胜，即第三局甲队获胜，第四局乙队获胜，概率为23×13＝29，故③正确；对于④，若乙队以3∶2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3∶2获胜的概率为23×23×13＝427，故④错误． 20．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为25，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为( )A ．225B ．310C ．110D ．32520．答案 C 解析 分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为P 1＝12×35×12×25＝350；②后四 球胜方依次为乙甲甲甲，概率为P 2＝12×25×12×25＝125．所以所求事件概率为：P 1＋P 2＝110． 题型三 条件概率与全概率21．2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则P (B |A )＝( )A ．13B ．12C ．23D ．3421．答案 D 解析 ∵P (AB )＝12，P (A )＝23，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1223＝34.故选D ． 22．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出2个球，记事件A 为“取出的2个球颜色不同”，事件B 为“取出1个红球，1个白球”，则P (B |A )等于( )A ．16B ．313C ．59D ．2322．答案 B 解析 ∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球，∴依题意，得P (A )＝C 12C 13＋C 12C 14＋C 13C 14C 29 ＝1318．又∵取出2个球的颜色不同，且1个球为红球，1个球为白球的概率为P (AB )＝C 12C 13C 29＝16，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝161318＝313． 23．某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P (A |B )等于( )A ．16B ．310C ．12D ．3523．答案 D 解析 根据条件概率的计算公式可得，P (A |B )＝P (AB )P (B )＝36×3536＝35． 24．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A ．310B ．13C ．38D ．2924．答案 B 解析 设A ＝{甲第一次拿到白球}，B ＝{甲第二次拿到红球}，则P (AB )＝A 12A 13A 210＝115，P (A ) ＝C 12C 110＝15，所以P (B |A )＝P AB P A ＝13． 25．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )A ．0.155B ．0.175C ．0.016D ．0.09625．答案 B 解析 设事件B 1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B 2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B 3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P (B 1)＝20%，P (B 2)＝50%，P (B 3)＝30%．设事件A 表示“被保险人在一年内发生事故”，则P (A |B 1)＝0.05，P (A |B 2)＝0.15，P (A |B 3)＝0.30．由全概率公式，得P (A )＝ i ＝13P(B i )P (A |B i )＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175．26．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )A ．1100B ．160C ．150D ．13026．答案 B 解析 设B 表示汽车中途停车修理，A 1表示公路上经过的汽车是货车，A 2表示公路上经过的汽车是客车，则P (A 1)＝23，P (A 2)＝13，P (B |A 1)＝0.02，P (B |A 2)＝0.01，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＝23×0.02＋13×0.01＝160． 27．(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )A ．P (A )＝35B ．P (AB )＝310C ．P (B |A )＝12D ．P (B |A )＝1227．答案 ABC 解析 P (A )＝C 13C 15＝35，故A 正确；P (AB )＝C 13C 12C 15C 14＝310，故B 正确；P (B |A )＝P AB P A ＝31035＝ 12，故C 正确；P (A )＝1－P (A )＝1－35＝25，P (A B )＝C 12C 13C 15C 14＝310，P (B |A )＝P A B P A ＝31025＝34，故D 错误．28．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( )A ．P (A )＝P (B )＝P (C ) B ．P (BC )＝P (AC )＝P (AB )C ．P (ABC )＝18D ．P (B |A )＝1228．答案 ABD 解析 由已知得P (A )＝24×24＋24×24＝12，P (B )＝P (C )＝24＝12，所以P (A )＝P (B )＝P (C )， 则A 中结论正确；P (AB )＝24×24＝14，P (AC )＝14，P (BC )＝14，所以P (BC )＝P (AC )＝P (AB )，则B 中结论正确；事件A ，B ，C 不相互独立，故P (ABC )＝18错误，即C 中结论错误；P (B |A )＝P AB P A ＝1412＝12，则D 中结论正确．29．有三个箱子，分别编号为1,2,3．1号箱装有1个红球、4个白球，2号箱装有2个红球、3个白球，3号箱装有3个红球．某人从三个箱子中任取一箱，从中任意摸出一球，取得红球的概率为________．29．答案 815 解析 记事件A i 为“球取自于i (i ＝1,2,3)号箱”，记事件B 为“取得红球”，B 发生总是 伴随着A 1，A 2，A 3之一同时发生，即B ＝A 1B ＋A 2B ＋A 3B ，且A 1B ，A 2B ，A 3B 两两互斥，P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝13，P (B |A 1)＝15，P (B |A 2)＝25，P (B |A 3)＝1，所以P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝13×15＋13×25＋13×1＝815． 30．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0．06B ．任取一个零件是次品的概率为0．052 5C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为27D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2730．答案 BC 解析 记A i 为事件“零件为第i (i ＝1,2,3)台车床加工”，记B 为事件“任取一个零件为次 品”，则P (A 1)＝0.25，P (A 2)＝0.3，P (A 3)＝0.45．对于A ，即P (A 1B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＝0.25×0.06＝0.015，故A 错误；对于B ，P (B )＝P (A 1)·P (B |A 1)＋P (A 2)·P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，故B 正确；对于C ，P (A 2|B )＝P (A 2)·P (B |A 2)P (B )＝0.3×0.050.052 5＝27，故C 正确；对于D ，P (A 3|B )＝P (A 3)·P (B |A 3)P (B )＝0.45×0.050.052 5＝37，故D 错误．。

2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)6-2 古典概型及条件概率(精讲)(解析版)

2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)6-2 古典概型及条件概率(精讲)(解析版)

6.2 古典概型及条件概率（精讲）（基础版）思维导图考点呈现例题剖析考点一古典概型【例1】（2022·河南安阳）某市在疫情期间，便民社区成立了由网格员､医疗人员､志愿者组成的采样组，并上门进行，核酸检测，某网格员对该社区需要上门核酸检测服务的老年人的年龄（单位：岁）进行了统计调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左开右闭区间），得到的频率分布直方图如图所示.(1)求m 的值，并估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数；（精确到1，同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)在年龄处于(]70,90的老人中，用分层随机抽样的方法选取9人，再从9人中随机选取2人，求2人中恰有1人年龄超过需要上门核酸检测服务的老年人的平均年龄的概率. 【答案】(1)0.016m =，平均数为80岁(2)59【解析】（1）解：由图可得()0.0320.0400.012101m +++⨯=，解得0.016m =.估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数为650.16750.32850.4950.1279.880⨯+⨯+⨯+⨯=≈岁.（2）解：(]70,80，(]80,90两组的人数之比为0.032:0.0404:5=，∴在(]70,80，(]80,90的老人中抽取的人数分别为4，5，分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，从9人中随机选取2人，样本空间()()()()()()()(){1213141112131415Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a ab a b a b a b a b =()()()()()()()23242122232425,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a b a b a b ()()()()()()343132333435,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b ()()()()()4142434445,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()12131415,,,,,,,,b b b b b b b b ()()()232425,,,,,,b b b b b b ()()3435,,,,b b b b ()}45,b b ，共有36个样本点，恰有一人年龄超过80岁，即恰有一人年龄在(]80,90，令“恰有一人年龄在(]80,90”为事件B ，则()()()()(){1112131415,,,,,,,,,,B a b a b a b a b a b =()()()()()2122232425,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()()3132333435,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()()}4142434445,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ，共有20个样本点，∴()205369P B ==.【一隅三反】1．（2022河北省）某校为了保障体艺节顺利举办，从高一、高二两个年级的同学中挑选了志愿者60人，人数如下表所示：(1)从所有志愿者中任意抽取一人，求抽到的这人是女同学的概率；(2)用等比例分层随机抽样的方法从所有的女志愿者中按年级抽取六人，再从这六人中随机抽取两人接受记者采访，求这两人中恰有一人来自高一年级的概率.【答案】(1)35(2)815【解析】（1）高一年级志愿者有121628+=人，其中女同学12人，高二年级志愿者有82432+=人，其中女同学24人.故抽到的这人是女同学的概率1224328325+==+P .（2）在高一年级中抽取的志愿者的人数为2，在高二年级中抽取的志愿者的人数为4.记从高一年级中抽取的志愿者为a ，b ，从高二年级中抽取的志愿者为A ，B ，C ，D ，样本空间{(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()}Ω=ab aA aB aC aD bA bB bC bD AB AC AD BC BD CD ，共15个样本点.设事件M =“这两人中恰有一人来自高一年级”，则{(),(),(),(),(),(),(),()}=M aA aB aC aD bA bB bC bD ，共8个样本点.故所求概率为8()15P M =. 2．（2022·广东）新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在[)70,90的居民有660人．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并精确到0.1）；(3)为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又采用比例分配的分层抽样的方法，从评分在[)40,60的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在[)40,50之间的概率．【答案】(1)0.025(2)80.7(3)115【解析】（1）()0.0020.0040.0140.0200.035101a +++++⨯=，0.025a ∴=.（2）平均数为()450.002550.004650.014750.020850.035950.0251080.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（3）评分在[)40,50和[)50,60的频率之比为1:2，∴应在评分在[)40,50的居民中应抽取2人，记为,A B ；在[)50,60的居民中应抽取4人，记为a b c d ,,,，则从中选取两人有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共15种情况；其中选出的两人恰好都是评分在[)40,50之间的有AB ，仅有1种；∴所求概率115p =. 3．（2022·四川眉山）某校高二（2）班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图：(1)求全班人数及全班分数的中位数；(2)根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (3)若从分数在[)80,90及[]90,100的答题卡中采用分层抽样的方式抽取了5份答题卡，再从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡了解学生失分情况，求这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100的概率. 【答案】(1)50人，76.5分(2)77.2(3)710【解析】（1）解：由茎叶图可知，分数在[)50,60内的频数为3，由频率分布直方图可知，分数在[)50,60内的频率为0.006100.06⨯=，所以， 全班人数为3500.06=人，因为分数在[)60,70内的频数为11，分数在[)70,80内的频数为16，所以，全班分数的中位数767776.52+=. （2）解：由茎叶图知，分数在[)50,60内的频数为3，在[)60,70内的频数为11，分数在[)70,80内的频数为16，在[]90,100内的频数为8，所以，分数在[)80,90内的频数为5031116812----=，所以，该班本次测试的平均成绩为550.06650.22750.32850.24950.1677.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）解：因为分数在[)80,90内的频数为12，在[]90,100内的频数为8，所以，由分层抽样抽取了5份答题卡中，分数在[)80,90内的有3份，分别记为,,a b c ，分数在[]90,100内的有2份，分别记为,m n ，所以，从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡的所有情况有：()()()(),,,,,,,a b a c a m a n ，()()(),,,,,b c b m b n ，()(),,,c m c n ，(),m n 共10种，其中，这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100内的情况有：()(),,,a m a n ，()(),,,b m b n ，()(),,,c m c n ，(),m n 共7种，所以，这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100的概率为710P =. 考点二 条件概率【例2-1】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）设()()()11,||32P P P B A A B A ===，则()P B =（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】因为()()()1|3P AB P B A P A ==，且()12P A =，所以()16P AB = ()()()1|3P AB P A B P B ==，所以()12P B =，故选：D. 【例2-2】（2022·陕西渭南·高二期末（文））甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、唯怡豆奶、雪碧这3种饮品中随机选择一个，且两人的选择结果互不影响．记事件A =“甲选择唯怡豆奶”，事件B =“甲和乙选择的饮品不同”，则条件概率()P B A =________． 【答案】23【解析】由题意得，设加多宝、唯怡豆奶、雪碧分别标号为1,2,3，则两人的选择结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)，，，，，,(3,1,)(3,2)(3,3)，，，则事件A 的可能结果为：(2,1)(2,2)(2,3)，，，共3个， 在事件A 的条件下发生事件B 的结果有(2,1)(2,3)，，共2个，所以2()3P B A =.故答案为: 23.【例2-3】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求： (1)第一次取到正品的概率；(2)在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.【答案】(1)35(2)12【解析】（1）解：设A =“第一次取到正品” B =“第二次取到正品”，所以()11341154C C 3C C 5P A ==，第一次取到正品的概率为35；（2）解：()11321154C C 3C C 10P AB ==，所以()()()3110|325P A P AB P B A ===，故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为12. 【一隅三反】1．（2022·福建）设A ，B 为两个事件，已知()0.4P B =，()0.5P A =，()|0.3P B A =，则()|P A B =（ ） A ．0.24B ．0.375C ．0.4D ．0.5【答案】B 【解析】由()0.5P A =，()|0.3P B A =，得()()()|0.15P AB P B A P A =⋅=，所以()()()0.15|0.3750.4P AB P A B P B ===.故选：B 2．（2022·陕西西安）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h 的概率为（ ） A ．45B ．15C ．35D ．320【答案】A【解析】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A ，且()0.3P A =，从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过2h 记为事件B ，且由题可知，()0.60.40.24P AB =⨯=，所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h 的概率为：()0.244(|)()0.35P BA P B A P A ===.故B ，C ，D 错误.故选：A.3．（2022·福建三明）有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：(1)第1次取出的零件是一等品的概率；(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率． 【答案】(1)25(2)1127【解析】(1)设i A ＝“被挑出的是第i 箱”()i 1,2,3=，i B ＝“第i 次取出的零件是一等品”()i 1,2=， 则()()()12313P A P A P A ===， 因为()()()311121634221|,|,|105105105P B A P B A P B A ======，()()()()()()()223111111313212|||35555P B P A P B A P A P B A P A P B A ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭，所以第1次取出的零件是一等品的概率是25．(2)由（1）得()125P B =， 因为()()()222642121122123222101010C C C 121|,|,|C 3C 15C 45P B B A P B B A P B B A ======，所以()()()()()()()12112212231231|||P B B P A P B B P A P B B A P A P B B A A =++1112112233315345135=⨯+⨯+⨯=，所以()()()1221111|27P B B P B B P B ==．故在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率为1127． 考点三 综合运用【例3】（2022·江苏扬州·高三期末）为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（20212025-）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为(]50,60、(]60,70、(]70,80、(]80,90、(]90,100，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中a 、b 、c 成公比为2的等比数列．(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，用X 表示得分高于90分的人数，求X 的分布列及期望；(2)若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90的概率．【答案】(1)分布列见解析，期望为1；(2)257. 【解析】(1)解：由题意得2b a =，4c a =，因为10101010101a b c b a ++++=，所以0.01a =． 由分层抽样，抽出的20名学生中得分位于区间(]50,60内有200.12⨯=人， 位于(]60,70内有200.24⨯=人，位于(]70,80内有200.48⨯=人， 位于(]80,90内有200.24⨯=人，位于区间(]90,100学生有200.12⨯=人， 这样，得分位于80分以上的共有6人，其中得分位于(]90,100的有2人，所以X 的可能取值有0、1、2，()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===()124236C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为：所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.(2)解：记事件:A 第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内， 记事件:B 后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90内，则()82205P A ==，()1284320C A 4A 1519P AB ==⨯，由条件概率公式可得()()()4521519257P AB P B A P A ==⨯=⨯. 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率.【答案】（1）13；（2）15.【解析】记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ，则从6名成员中挑选2名成员，有AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Da ，Db ，ab ，共15种情况.（1）记“男生甲被选中”为事件M ，不妨假设男生甲为A ，事件M 所包含的基本事件为AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，共有5个，∴()51153P M ==. （2）记“男生甲被选中”为事件M ，“女生乙被选中”为事件N ，不妨设男生甲为A ，女生乙为b ，则()115P M N ⋂=. 又由（1）知：()13P M =，故()()()15P M N P N M P M ⋂==. 2．（2022·辽宁沈阳·二模）甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．(1)甲在每次挑战中，成功的概率都为12．设X 为甲在3次挑战中成功的次数，求X 的分布列和数学期望；(2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1．（∴）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率； （∴）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率． 【答案】(1)分布列见解析，32(2)（∴）0.4；（∴）0.62． 【解析】(1)由题意得，1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3311C 122k kk P X k -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,1,2,3k =， 则X 的分布列为：则()13322E X =⨯=. (2)设事件i A 为“乙在第i 次挑战中成功”，其中1,2,3i =．（∴）设事件B 为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则1212B A A A A =+， 则()()()()()()()1212121121P B P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+()()0.510.610.50.40.4=⨯-+-⨯=．即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4．（∴）因为()()()()()()21212121121P A P A A A A P A P A A P A P A A =+=+0.50.60.50.40.5=⨯+⨯=，且()()()()23123123123123P A A P A A A A A A P A A A P A A A =+=+0.50.60.70.50.40.50.31=⨯⨯+⨯⨯=，所以()()()233220.310.620.5P A A P A A P A ===． 即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.62．。

数学高考真题答案及解析版

数学高考真题答案及解析版

数学高考真题答案及解析版一、选择题1. 本题考查函数的性质和应用。

设函数f(x) = 2^x - 3，若f(x) = 5，则x = 2。

因为f(x)在R上是增函数，所以f(x) > 5 当 x > 2。

因此，选项A正确。

2. 根据题目，我们需要求解不等式。

首先，将不等式整理为标准形式：3x - 2 > 7。

解得x > 3，所以选项C是正确答案。

3. 题目涉及三角函数的图像和性质。

正弦函数y = sin(x)在区间[0,2π]内的最大值为1，最小值为-1。

因此，选项B描述正确。

4. 这是一个关于复数的问题。

设复数z = a + bi，其中a和b是实数。

根据题目条件，z的模长为5，即√(a^2 + b^2) = 5。

又因为z的实部为3，即a = 3。

代入模长公式，解得b = 4。

所以，复数z = 3 +4i，选项D正确。

5. 本题要求我们利用概率的基本原理计算事件的概率。

根据古典概型，事件A的概率P(A) = 事件A的基本事件数 / 总的基本事件数。

这里，事件A是抽取到红色球，有3个红色球和5个蓝色球，总共8个球。

所以，P(A) = 3/8。

选项B是正确答案。

二、填空题1. 题目要求求解几何级数的和。

根据等比数列求和公式，S = a(1 -r^n) / (1 - r)，其中a是首项，r是公比，n是项数。

将题目中的数值代入公式，得到S = 1(1 - 2^5) / (1 - 2) = 31/(-1) = -31。

2. 本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系。

设圆心为O(0,0)，半径r = 3。

直线方程为y = x + 1。

圆心到直线的距离d = |0 - 0 + 1|/ √2 = 1/√2。

因为 d < r，所以直线与圆相交。

根据相交弦的性质，弦长l = 2√(r^2 - d^2) = 2√(9 - 1/2) = √34。

三、解答题1. 首先，我们需要证明函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0,3]上是单调递增的。

2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)6-2 古典概型及条件概率(精练)(解析版)(1)

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6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）题组一古典概型1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率.2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表.分组频数频率[)6,6.550.10[)6.5,780.16[)7,7.5x0.14[)7.5,812y(1)求该校学生总数及频率分布表中实数,,x y z 的值；(2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100人的平均成绩；(2)若成绩在[]90,100的学生中恰有两位是男生，现从成绩在[]90,100的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率． 5．（2022·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[)0,20，第二组[)20,40，第三组[)40,60，第四组[)60,80，第五组[]80,100，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 1．（2022·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于7的概率为（ ） A ．1318B ．712C ．310D ．232（2022·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件A =“恰好抽取的是2，4”，B =“恰好抽取的是4，5”，C =“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ） A ．()()()P AB P A P B =B ．1()6P C =C ．()()P C P AB = D ．(|)(|)P A C P B C =3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ） A ．()25P A =B ．()3|5P B A =C ．()1325P B =D ．()1|2P A B =题组二 条件概型4．（2022·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A ．128B ．110 C ．19D ．275．（2022·黑龙江）已知()12P AB =，()35P A =，则()P B A 等于（ ）．A ．56B ．910C ．310D ．1106．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A ．716B ．38C ．516 D ．147．（2022·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12，连续闯过前三关的概率为13，且各关相互独立.事件A 表示小明第一关闯关成功，事件C 表示小明第三关闯关成功，则()|P C A =（ ）A ．18B ．23C ．13D ．498．（2022·山东济宁）（多选）设M 、N 是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）A ．()()()P M N P M P N ⋃=+ B ．()()1P MN P MN =- C ．()()()|P MN P M P N M =D ．()()()()||P N M P M P M N P N =9．（2022·福建福州）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B =D ．()922P B =题组三 古典与条件综合运用1．（2022·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（）A．14，14，12B．14，14，14C．13，13，12D．14，13，122．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，3．（2022·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a ；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率.【答案】(1)0.020a =(2)74.4分钟(3)310【解析】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，解得0.020a =.（2）因为(0.0100.020)100.30.5+⨯=<，(0.0100.0200.045)100.750.5++⨯=>.则中位数位于区间[70,80)内，设中位数为x ，则0.3(70)0.0450.5x +-⨯=，解得74.4x ≈，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.（3）由题意，阅读时间位于[50,60)的人数为1000.110⨯=，阅读时间位于[60,70)的人数为1000.220⨯=，阅读时间位于[80,90)的人数为1000.220⨯=，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为515010=，则抽取的5人中位于区间[50,60)有1人，设为a ，位于区间[60,70)有2人，设为1b ，2b ，位于区间[80,90)有2人，设为1c ，2c .则从5人中任取3人，样本空间()()()(){12111221Ω,,,,,,,,,,,,a b b a b c a b c a b c =()()()()()()}2212121122112212,,,,,,,,,,,,,,,,,a b c a c c b b c b b c b c c b c c .含有10个样本点.设事件A 为“恰有2人每天阅题组一 古典概型读时间在[80,90)”，()()(){}12112212,,,,,,,,A a c c b c c b c c =，含有3个样本点.所以3()10P A =，所以恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率为310. 2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h ）的频率分布表.(1)求该校学生总数及频率分布表中实数,,x y z 的值；(2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.【答案】(1)1800人，7,0.24,8x y z ===(2)35【解析】(1)设该校学生总数为n ，由题意1501505045660n --=，解得1800n =， ∴该校学生总数为1800人.由题意0.1450x=，解得127,0.2450x y ===，()505812108.z x =-----= (2)记“选中的2人恰好为一男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为12,F F ，男生为123,,M M M ， 从中任选2人有以下情况：()()()()()()()12111213212223,,,,,,,,,,,,,F F F M F M F M F M F M F M ，()()()121323,,,,,M M M M M M ，基本事件共有10个，其中事件A 包含的基本事件有6个，故()63105P A ==， 所以选中的2人恰好为一男一女的概率为35.3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100人的平均成绩；(2)若成绩在[]90,100的学生中恰有两位是男生，现从成绩在[]90,100的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.【答案】(1)73分(2)35【解析】(1)由频率分布直方图可知()0.0050.040.030.005101a ++++⨯=，解得0.02a =， 所以这100人的平均成绩为：()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 即这100人的平均成绩为73分.(2)依题意可知成绩在[]90,100的有1000.005105⨯⨯=人，其中2位男生、3位女生，设3位女生分别为a 、b 、c ，2位男生为A 、B ，从中任取3人的取法有(),,a b c 、(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c A 、(),,a c B ，(),,a A B ，(),,b c A ，(),,b c B ，(),,b A B ，(),,c A B 共10种取法，其中恰有一个男生的有(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c A 、(),,a c B ，(),,b c A ，(),,b c B 共6种， 所以恰有一位男生的概率63105P ==. 4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率．【答案】(1)25(2)23（元）(3)35【解析】(1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有20105540+++=（位）， 所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率4021005P == (2)第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为603030-=（元）， 第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.953027⨯-=（元）， 第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.903024⨯-=（元）， 第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.853021⨯-=（元）， 第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.803018⨯-=（元） 所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为302724211818236+++++=（元）(3)由题意知，从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人，2人， 这6人中，将消费3次的会员分别记为a ，b ，c ，d ，消费4次的会员分别记为e ，f 从6人中随机抽取3人的情况有(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b e a b f ;(,,),(,,),(,,)a c d a c e a c f ;(,,),(,,)a d e a d f ;(,,)a e f ;(,,),(,,),(,,)b c d b c e b c f ;(,,),(,,)b d e b d f ；(,,)b e f ；(,,),(,,)(,,)c d e c d f c e f ；(,,)d e f ，共20种设“抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次”为事件A ，则事件A 包含的情况有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b e a b f a c e a c f a d e a d f b c e b c f b d e b d f c d e c d f ，共12种．根据古典概型的概率计算公式可得，()123205P A ==5．（2022·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[)0,20，第二组[)20,40，第三组[)40,60，第四组[)60,80，第五组[]80,100，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 【答案】(1)众数为70，平均数为65；(2)815【解析】(1)由频率分布直方图可知，众数为6080=702+； 5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，所以平均数为 100.05300.1500.2700.35900.365⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(2)由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1， 则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人， 所以按分层抽样的方法抽到的6人中，第一组抽2人，记为12、a a ；第二组抽4人，记为1234b b b b 、、、，则121112131421222324121314232434{,,,,,,,,,,,,,,}a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b Ω=， 设事件A 为抽到的2人来着不同的组，则1112131421222324{,,,,,,,}A a b a b a b a b a b a b a b a b =，所以8()15P A =. 1．（2022·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于7的概率为（ ） A ．1318B ．712C ．310D ．23【答案】D【解析】设事件A 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数为奇数”，题组二 条件概型事件B 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，两次点数和不大于7”， 则1()2P A =，121()363P AB ==,所以1()23()1()32P AB P B A P A ===.故选：D. 2（2022·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件A =“恰好抽取的是2，4”，B =“恰好抽取的是4，5”，C =“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ） A ．()()()P AB P A P B = B ．1()6P C =C ．()()P C P AB =D ．(|)(|)P A C P B C =【答案】D【解析】由题知，从6个数中随机抽取2个数，共有2615C =种可能情况，则1()15P A =，1()15P B =．对于A 选项，“恰好抽取的是2，4”和“恰好抽取的是4，5”为互斥事件，()0P AB =，()()0≠P A P B ，故A 错误；对于B 选项，1526C 1()C 3P C ==，故B 错误； 对于C 选项，()0P AB =，故C 错误；对于D 选项，由于1()()15P AC P BC ==，故由条件概率公式得()()()()(|)(|)P AC P BC P A C P B C P C P C ===，故D正确． 故选:D ．3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ） A ．()25P A =B ．()3|5P B A =C ．()1325P B = D ．()1|2P A B =【答案】C 【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以()25P A =，故选项A 正确； 因为236()5525P AB =⨯=，所以()()()6325|255P AB P B A P A ===，故选项B 正确； 因为()233212555525P B =⨯+⨯=，故选项C 错误；因为()2365525P AB =⨯=，所以()()()6125|12225P AB P A B P B ===，故选项D 正确. 故选：C .4．（2022·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A ．128B ．110 C ．19D ．27【答案】D【解析】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为27.故选：D 5．（2022·黑龙江）已知()12P AB =，()35P A =，则()P B A 等于（ ）．A ．56B ．910C ．310D ．110【答案】A【解析】()()()152365P AB P B A P A ===.故选：A. 6．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A ．716B ．38C ．516 D ．14【答案】A【解析】令事件1A =“玩手机时间超过1h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过1h 的学生”，B =“任意调查一人，此人近视”，则样本空间12ΩA A =⋃，且12,A A 互斥，()()()()1210.2,0.8,0.5,0.45P A P A P B A P B ====∣， 依题意，()()()()()()112220.20.50.80.45P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=∣∣∣， 解得()2716P BA =∣，所以所求近视的概率为716. 故选：A .7．（2022·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12，连续闯过前三关的概率为13，且各关相互独立.事件A 表示小明第一关闯关成功，事件C 表示小明第三关闯关成功，则()|P C A =（ ）A ．18B ．23C ．13D ．49【答案】D【解析】设事件B 表示小明第二关闯关成功，可得()()P AC P ABC =， 由条件概率的计算公式，可得()()()143394P ABC P CA P A ===∣.故选：D. 8．（2022·山东济宁）（多选）设M 、N 是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ） A ．()()()P M N P M P N ⋃=+B ．()()1P MN P MN =-C ．()()()|P MN P M P N M =D ．()()()()||P N M P M P M N P N =【答案】CD【解析】对A ，当,M N 不互斥时，()()()P M N P M P N ⋃=+不成立，故A 错误；对B ，当,M N 为对立事件时，()()0P MN P MN ==，则()()1P MN P MN =-不成立，故B 错误； 对C ，当()0P M =时，()()()|0P MN P M P N M ==成立，当()0P M ≠时，根据条件概率的公式()()()|P MN P N M P M =可得()()()|P MN P M P N M =成立，故C 正确；对D ，根据条件概率的公式，结合C 选项可得()()()()()()||P MN P N M P M P M N P N P N ==成立，故D 正确；故选：CD 9．（2022·福建福州）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B = D ．()922P B =【答案】BD【解析】由题意知：()151102P A ==，()221105P A ==，()3310P A =，()1511P B A =，()2411P B A =，()3411P B A =， ()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A ∴=++1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=，D 正确；()()()()()()11111552119922P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，B 正确；()()()22214451155P A B P A P B A ==⨯=，C 错误；()()()333346101155P A B P A P B A ==⨯=，()()339271022220P A P B =⨯=， ()()()33P A B P A P B ∴≠，∴事件B 与事件3A 不相互独立，A 错误.故选：BD. 1．（2022·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）A ．14，14，12B ．14，14，14C ．13，13，12D ．14，13，12【答案】A【解析】4号卡片“第一次被抽到的概率”114P =， “第二次被抽到的概率”2311434P =⨯=，“在整个抽样过程中被抽到的概率”313114432P =+⨯=． 故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？题组三 古典与条件综合运用(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)答案见解析 (2)（i ）证明见解析；(ii)6R =；【解析】（1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯，又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅3．（2022·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.【答案】(1)23(2)25(3)35【解析】(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB ，从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为()26A 30n Ω==，根据分步计数原理有()1145A A 20n A ==，所以()()()202303n A P A n Ω===.(2)由(1)知，()24A 12n AB ==，所以()()()122305n AB P AB n Ω===. (3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 ()()()235253P AB P B A P A ===.。

高考数学热点问题专题练习——古典概型知识归纳及例题讲解

高考数学热点问题专题练习——古典概型知识归纳及例题讲解

古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。

例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。

3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A（1）基本事件两两互斥（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A =（3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：()()()()()1212n n P P A A A P A P A P A Ω==+++因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A +++=4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。

5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可证明：设基本事件为12,,,n A A A ，可知()()()12n P A P A P A ===()()()121n P A P A P A +++= 6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个7、运用古典概型解题的步骤：① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ② ()(),n A n Ω可通过计数原理（排列，组合）进行计算③ 要保证A 中所含的基本事件，均在Ω之中，即A 事件应在Ω所包含的基本事件中选择符合条件的 二、典型例题：例1：从16-这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________思路：事件Ω为“6个自然数中取三个”，所以()3620n C Ω==，事件A 为“一个数是另外两个数的和”，不妨设a b c =+，则可根据a 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：{}{}{}{}{}{}3,2,1,4,3,1,5,4,1,5,3,2,6,5,1,6,4,2，所以()6n A =。

高考数学冲刺古典概型考点全面解析

高考数学冲刺古典概型考点全面解析

高考数学冲刺古典概型考点全面解析高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。

而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。

在数学的众多考点中，古典概型是一个不容忽视的重要部分。

在高考冲刺阶段，对古典概型进行全面且深入的复习，对于提高数学成绩具有重要意义。

一、古典概型的基本概念古典概型是一种概率模型，具有两个重要特征：有限性和等可能性。

有限性指的是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；等可能性则表示每个基本事件出现的可能性相等。

例如，掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数就是一个古典概型问题。

因为骰子的点数只有 1、2、3、4、5、6 这六种可能，且每种点数出现的可能性相同。

二、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件个数／试验中所有可能的基本事件个数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出一个球，求取出红球的概率。

这里试验中所有可能的基本事件个数为 5（3 个红球和2 个白球），取出红球的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为3/5。

三、古典概型的常见题型1、摸球问题这是古典概型中常见的一类问题。

例如，一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出 2 个球，求摸出一红一白的概率。

解决这类问题时，首先要确定总的基本事件个数，即从 8 个球中选2 个的组合数。

然后计算摸出一红一白的基本事件个数，可以分两步考虑，先选一个红球，再选一个白球，两者相乘即为摸出一红一白的基本事件个数。

2、掷骰子问题掷骰子问题常常会与其他条件相结合。

比如，同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和大于 8 的概率。

对于这种问题，需要列出所有可能的基本事件，然后找出点数之和大于 8 的基本事件个数，最后计算概率。

3、抽样问题抽样问题可以分为有放回抽样和无放回抽样。

例如，从 10 件产品中抽取 3 件，有放回抽样和无放回抽样时，抽到特定产品的概率是不同的。

2019届浙江省基于高考试题的复习资料——古典概型(解析版)

2019届浙江省基于高考试题的复习资料——古典概型(解析版)

九、计数原理与古典概率(三）古典概率数我最型工作室一、高考考什么？[考试说明]4．了解事件、互斥事件、对立事件及独立事件的概念。

5． 了解概率和频率的概念。

6． 了解古典概型，会计算古典概型中事件的概率。

7．了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解两点分布，了解独立重复试验的模型及二项分布。

8．了解离散型随机变量均值、方差的概念。

[知识梳理] （一） 古典概型１．随机事件A 的概率：0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件； 2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)=nm。

理解这里m 、ｎ的意义。

3．互斥事件：A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生。

计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )。

4．对立事件：A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生。

计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P (A )=1－P (A )；（二）分布列1．分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ2散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）0(1,2,)i P i ≥=; （2）121P P ++=.对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和，即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 3.数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++ 数学期望的性质：()()E a b aE b ξξ+=+.4.方差：()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+5.标准差：σξ=ξD .6.方差的性质：()2D a b a D ξξ+=；7．二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，且E np ξ=；(1)D np p ξ=-.8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是：像上面这样的分布列称为两点分布列．[全面解读]古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。

【2020年江苏省高考数学考点探究】专题69 古典概型(解析版)

【2020年江苏省高考数学考点探究】专题69 古典概型(解析版)

专题69 古典概型专题知识梳理1. 随机事件及其概率(1) 在一定的条件下必然要发生的事件，叫作 必然事件 ． (2) 在一定的条件下不可能发生的事件，叫作 不可能事件 ． (3) 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫作 随机事件 ．(4) 在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫作事件A 发生的 概率 ，记作 P (A ) ． (5) 随机事件的概率P(A)的取值范围是 [0，1] ． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n .4．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.考点探究考向1 随机事件的概率与频率【例】某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)记A(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值．【解析】 (1) 事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55. (2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a . 题组训练1.某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 【解析】 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．考向2 古典概型的概率问题【例】(1) 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 .(2) (2018·南京三模)甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球.现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 .【解析】 (1) 将第一次抽取的卡片上的数记为a ，第二次抽取的卡片上的数记为b ，先后两次抽取的卡片上的数记为(a ，b)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共25种抽取方法，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的抽取方法有10种，所以所求概率P= =.(2) 由题意得，从甲、乙两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，共有2×4=8种情况，编号之和大于6的有(1，6)，(2，5)，(2，6)，共3种，所以取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为. 题组训练1.(1) (2018·苏北四市期末)从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为 .(2) (2018·南通二调)100张卡片上分别写有1，2，3，…，100.从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 .【解析】(1) 从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n=15，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有(1，2)，(1，5)，(2，4)，(3，6)，(4，5)，共5个， 所以所取2个数的和能被3整除的概率P= =.(2) 从100张卡片上分别写有1，2，3，…，100中任取1张，基本事件总数n=100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有1×6，2×6，…，16×6，共16个，所以所取这张卡片上的数是6的倍数的概率P= =.2.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为x ，y ，则为整数的概率是 .【解析】所有可能的基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种，其中满足条件的有(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(2，2)，(3，3)，(4，2)，(4，4)，共8种，故所求的概率为.3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m ，n ，则点P(m ，n)在直线y= x 下方的概率为 .【解析】连续抛掷一枚骰子两次，得到的基本事件的总数为36个，其中满足点P (m ，n )在直线y=x 下方的基本事件有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6个基本事件，故所求的概率为P= =. 4.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是________．【解析】 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数的所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有6种，而满足所取2个数的乘积为偶数的基本事件为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有5种，根据古典概型的公式可得所求的概率为P ＝56.5.在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝nπ3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________．【解析】基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为3， 故所求概率为P ＝310.考向3 古典概型与统计的综合【例】在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用xn 表示编号为n(n=1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下:(1) 求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s;(2) 从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率.【解析】(1) 因为这6位同学的平均成绩为75分，所以(70+76+72+70+72+x6)=75，解得x6=90，这6位同学成绩的方差s2=×[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49，所以标准差s=7.(2) 从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有:(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10种.恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的有:(70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4种.故所求的概率为=0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率为0.4.题组训练1.某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位:m)及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:(1) 从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78 m以下的概率；(2) 从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率.【解析】(1)从身高低于1.80 m的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个.设“选到的2人身高都在1.78 m以下”为事件M，其包括的基本事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个，故P(M)==.(2) 从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个.设“选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中”为事件N，则事件N包括的基本事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个，故P(N)=.。

随机事件的概率 古典概型-高考数学复习

随机事件的概率 古典概型-高考数学复习

相等 若B⊇A，且____A_⊇__B_____，则称事件A与 关系 事件B相等
___A_∪__B____
并事件 (和事件)
若某事件发生_当__且__仅__当__事__件__A_与__事__件__B____ _至__少__有__一__个__发__生____，则称此事件为事件A 与事件B的并事件(或和事件)
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
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3．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满 足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
___A__∪__B_____ __(_或__A_＋__B_)___
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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定义
交事件 若某事件发生_当__且__仅__当__事__件__A_与__事__件__B__同__时_ _发__生___，则称此事件为事件A与事件B的交
(积事件) 事件(或积事件)
高考一轮总复习 • 数学 是对立事件，则 A∪B 为必然事件，再 由概率的加法公式得 P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币 3 次，满足 P(A)＋ P(B)＝1，但 A，B 不一定是对立事件，如：事件 A：“至少出现一次正 面”，事件 B：“出现 3 次正面”，则 P(A)＝78，P(B)＝18，满足 P(A)＋ P(B)＝1，但 A，B 不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件．
中的 k 个样本点，则事件 A 的概率 P(A)＝nk.
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布

高考数学必刷真题分类大全-专题05-古典概型与几何概型

高考数学必刷真题分类大全-专题05-古典概型与几何概型

专题05古典概型与几何概型考向一古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】6 35.【试题解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C70n==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m=+=个，故所求概率1267035mPn===．故答案为：635．【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）列举法求古典概型的概率；（2）列表法求古典概型的概率；（3）树状图法求古典概型的概率．【得分要点】(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.考向二几何概型【母题来源】2021年高考全国卷（理科）【母题题文】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A．79B．2332C．932D．29【答案】B【试题解析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率；（4）由角度比求几何概型的概率.【得分要点】(1)能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.一、单选题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（）A ．14B ．56C ．13D ．5122．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（）A ．16B ．12C ．910D ．19204．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（）A ．12B ．23C ．34D ．13165．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）A ．25B ．13C ．16D ．146．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为（）A ．152B ．827C ．413D ．17527．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义：10000100010010,(,,,,)abcde a b c d e a b c d e Z =++++∈，当a b c d e ><><时，称这个数为波动数，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）A ．115B ．215C ．760D ．1128．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间[]0,1上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于12的概率为（）9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间[]1,1-内随机取一个实数t ，则直线y tx =与双曲线2214xy -=的左、右两支各有一个交点的概率为（）A ．14B ．12C ．18D ．3410．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M 地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）.A ．13B ．16C ．59D ．38二、填空题11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值．假如统计结果是36m =，那么π的估计值为______．13．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m 不放回，再从余下的卡片中取一张记作n ．则点(),P m n 在第二象限的概率为______．14．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________________一、单选题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（）A．14B．56C．13D．512【答案】B【解析】【分析】计算出甲单独去分配的社区，甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，从而得到总的分配方法，再计算出甲乙分配到同一舍去的方法，得到乙与甲分配到不同社区的方法，根据古典概型求概率公式进行计算.【详解】甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有212312C C A6=种方法；甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有1232C A6=种方法；其中甲乙分配到同一社区的方法有22A2=种，则乙与甲分配到不同社区的方法有66210+-=种，所以乙与甲分配到不同社区的概率是105 666= +故选：B2．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A．13B．25C．1130D．310【答案】B【解析】【分析】列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得.【详解】解：甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10， (29)乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10， (30)丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9， (29)在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29∴三人同一天工作的概率为122305P ==．故选：B ．3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（）A ．16B ．12C ．910D ．1920【答案】D 【解析】【分析】由对立事件的概率公式计算．【详解】没有买到中国疫苗的概率为13611C 20P ==，所以买到中国疫苗的概率为119120P P =-=．故选：D ．4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（）A ．12B ．23C ．34D ．1316【答案】D 【解析】【分析】由古典概型与对立事件的概率公式求解即可【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有2333314C C +=+=种选择，所以甲、乙两所高校共有4416⨯=种选择，其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有233C =种，所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为31311616P=-=，故选：D5．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）A．25B．13C．16D．14【答案】B【解析】【分析】先求出这六个国家的所有可能出场的顺序的排列数，再求出乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的排列数，将即乌兹别克斯坦、安道尔看作一个国家，利用捆绑法，根据古典概型的概率公式求得答案.【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有66A种，其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有2525A A种,故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为252566A A1A3=，故选：B6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为（）A．152B．827C．413D．1752【答案】C【解析】【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.【详解】依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16，所以抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为1645213=，故选：C.7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义：10000100010010,(,,,,)abcde a b c d e a b c d e Z =++++∈，当a b c d e ><><时，称这个数为波动数，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）A ．115B ．215C ．760D ．112【答案】B 【解析】【分析】先判断出由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数有120种，列举出波动数有个，即可求出波动数的概率.【详解】由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数一共有55A 120=种.而构成波动数，需满足a b c d e ><><，有：31425，31524，41325，41523，51324，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16个.所以波动数的概率为16212015=.故选：B.8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间[]0,1上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于12的概率为（）A ．34B ．12C ．14D ．18【答案】C 【解析】【分析】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，满足12x y ->，画出不等式表示的平面区域，结合面积比的几何概型，即可求解.【详解】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，则12x y ->，即12x y ->，或12x y -<-．画出可行域，如图所示，则12x y->，或12x y-<-所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为14，故所求概率11414P==；故选：C.9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间[]1,1-内随机取一个实数t，则直线y tx=与双曲线2214x y-=的左、右两支各有一个交点的概率为（）A．14B．12C．18D．34【答案】B【解析】【分析】求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出t的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】双曲线的渐近线斜率为12±，则12t<，即1122t-<<，故所求概率为12P=，故选：B.10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）.A．13B．16C．59D．38【答案】B【解析】【分析】从早上7点开始计时，设甲经过x十分钟到达，乙经过y十分钟到达，可得x、y满足的不等式线组对应的平面区域为如图的正方形ABCD，而甲乙能够见面，x、y满足的平面区域是图中的四边形EFGH．分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概率公式计算可得．【详解】解：从早上7点开始计时，设甲经过x 十分钟到达，乙经过y 十分钟到达，则x 、y 满足0639x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形ABCD ，若甲乙能够见面，则x 、y 满足||1x y -≤，该不等式对应的平面区域是图中的四边形EFGH ，6636ABCD S =⨯= ，114422622EFGH BEH BFG S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 因此，甲乙能见面的概率61366EFGHABCDSP S===故选：B ．二、填空题11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）【答案】49【解析】【分析】先计算总共的选择数，再计算三个核酸检测点都有志愿者到位的数量，即可得答案.【详解】解：四个志愿者总的选择共333381N =⨯⨯⨯=种，要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共有24C 6=种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共33A 6=种，所以6636n =⨯=，所以364819n P N ===.故答案为：49.12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值．假如统计结果是36m =，那么π的估计值为______．【答案】3.2【解析】【分析】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 表示的点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得．【详解】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，如图正方形OABC （不含边界），x 、y 两数能与1构成钝角三角形满足条件2211x y x y +>⎧⎨+<⎩，(,)x y 表示的点构成的区域是图中阴影部分（不含边界），因此所求概率为113642142120P ππ-==-=，估计 3.2π≈．故答案为：3.213．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m 不放回，再从余下的卡片中取一张记作n ．则点(),P m n 在第二象限的概率为______．【答案】16【解析】【分析】列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可【详解】由题，点(),P m n 所有可能的情况为()1,0-，()1,2--，()1,3-，()0,1-，()0,2-，()0,3，()2,1--，()2,0-，()2,3-，()3,1-，()3,0，()3,2-共12种情况，其中在第二象限的为()2,3-，()1,3-，故点(),P m n 在第二象限的概率为21126=故答案为：1614．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________________．【答案】59【解析】先把两人能够会合转化为几何概型，利用几何概型的概率公式直接求解.【详解】设小明到达的时刻为8时x 分，小强到达的时刻为8时y 分，其中030,030x y ≤≤≤≤，则当|x-y |≤10时，两人能够在图书馆门口会合.如图示：两人到达时刻（x ，y ）构成正方形区域，记面积为S ,而事件A ：两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为S 1所以1900-22005()=9009S P A S ⨯==.故答案为：59.【点睛】（1）几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型；（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比13。

高中数学 古典概型(含解析)

高中数学 古典概型(含解析)

第二节古典概型最新考纲考向预测1.理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．考情分析：古典概型及其与平面向量、函数、解析几何、统计等知识综合仍是高考考查的热点，题型仍将是选择与填空题．学科素养：数学建模、数据分析1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．3.古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．基本事件的求法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x ，y)可以看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1，2)(2，1)相同．(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．()(2)基本事件的概率都是1n .若某个事件A 包含的结果有m 个，则P (A )＝mn.()(3)掷一枚质地均匀的硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()答案：(1)×(2)√(3)×2．(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A．15B．25C．12D．453.(必修3P127例3改编)把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1，2)，则向量m与向量n不共线的概率是()A．16B．1112C．112D．1184．某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为________．5．在集合A ＝{2，3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1，2，3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．简单的古典概型[题组练透]1．(2020·安徽省部分重点学校联考)甲、乙、丙三位客人在参加中国科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点参观的概率为()A ．18B ．14C ．38D ．122．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A．16B．14C．13D．12D[将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，情况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P＝12.故选D．]3．从集合A＝{－2，－1，2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1，1，3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为()A．29B．13C．49D．14利用公式法求解古典概型问题的步骤较复杂的古典概型的概率(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工A B C D E F项目子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解析：由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事件M发生的概率P(M)＝1115.求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．1．(2020·河北九校第二次联考)博览会安排了分别标有“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接待嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则()A．P1·P2＝14B．P1＝P2＝13C．P1<P2D．P1＋P2＝562．某科技开发公司甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为108，72，72，现采用分层抽样的方法从这三个部门中抽取7人到智博会参观．(1)求从甲、乙、丙三个部门分别抽取的人数；(2)从这7人中随机抽取2人向全体员工作汇报，求这2人来自不同部门的概率．解析：(1)抽取比例为7∶(108＋72＋72)＝1∶36.所以应从甲、乙、丙三个部门分别抽取3人，2人，2人．(2)7人分别记为A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2，从中随机抽取2人的所有可能情况有：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 1C 2，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 2C 2，A 3B 1，A 3B 2，A 3C 1，A 3C 2，B 1B 2，B 1C 1，B 1C 2，B 2C 1，B 2C 2，C 1C 2，共21种．其中2人来自不同部门的可能情况有：A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 1C 2，A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 2C 2，A 3B 1，A 3B 2，A 3C 1，A 3C 2，B 1C 1，B 1C 2，B 2C 1，B 2C 2，共16种．故所求事件的概率为1621.微专题系列41[学科素养]数学建模——求古典概型的概率在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：A类轿车B类轿车C类轿车舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数x i(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为x，求|x i－x|≤0.5的概率．解析：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得50n＝10100＋300，所以n＝2000，则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得4001000＝a5，得a＝2，所以抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2分别表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3分别表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车”．从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个，其中事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．故P(E)＝710，即所求的概率为710.(3)样本平均数x ＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数x i (1≤i ≤8，i ∈N )，|x i －x |≤0.5”，则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个．所以P (D )＝68＝34，即所求的概率为34.本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．培养学生的数学建模能力．甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解析：(1)设“两个编号和为8”为事件A ，则事件A 包括的基本事件有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个．又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36种等可能的结果，故P (A )＝536.(2)这种游戏规则是公平的．设甲赢为事件B ，乙赢为事件C ，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共18个．所以甲赢的概率P (B )＝1836＝12，故乙赢的概率P (C )＝1－12＝12＝P (B )，所以这种游戏规则是公平的．。

高三数学古典概型试题答案及解析

高三数学古典概型试题答案及解析

高三数学古典概型试题答案及解析1.小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）根据图中的数据信息，求出众数和中位数（精确到整数分钟）；（2）小明的父亲上班离家的时间在上午之间，而送报人每天在时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件）的概率．【答案】（1），；（2）.【解析】（1），由频率分布直方图可知即，列方程=0.5即得；（2）设报纸送达时间为，小明父亲上班前能取到报纸等价于，由几何概型概率计算公式即得.试题解析：（1） 2分由频率分布直方图可知即， 3分∴ =0.5解得分即 6分（2）设报纸送达时间为 7分则小明父亲上班前能取到报纸等价于， 10分如图可知，所求概率为12分【考点】1.频率分布直观图；2.几何概型.2.从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字的四位数，这个数不能被3整除的概率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成没有重复数字的四位数，共有＝300个．∵0＋1＋2＋3＋4＋5＝15，∴这个四位数能被3整除只能由数字：1,2,4,5；0,3,4,5；0,2,3,4；0,1,3,5；0,1,2,3组成，所以能被3整除的数有＋4×＝96个，∴这个数能被3整除的概率为P＝＝，∴这个数不能被3整除的概率为1－＝，选A．3.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，共有条线段，点与，，，四点中任意1点的连线段都小于该正方形边长，共有，所以这2个点的距离小于该正方形边长的概率，故选B.【考点】古典概型及其概率计算公式.4.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）【答案】B【解析】掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B.【考点】古典概型概率5.（本小题满分14分）将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.（1）求；（2）当时，求的表达式；（3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）解概率应用题，关键要正确理解事件. 当时，这个数中有9个一位数，90个二位数，一个三位数，总共有192个数字，其中数字0的个数为9+2=11，所以恰好取到0的概率为（2）按（1）的思路，可分类写出的表达式：，（3）同（1）的思路，分一位数，二位数，三位数进行讨论即可，当当当即同理有由可知，当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为试题解析：（1）解：当时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为（2）（3）当当当即同理有由可知所以当时，,当时，当时，，当时，由关于k单调递增，故当，最大值为又，所以当时，最大值为【考点】古典概型概率6.从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 .【答案】【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．【考点】古典概型．7. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.【答案】【解析】从10件产品中任取4件，共有种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有，因此所求概率为【考点】古典概型概率8.一个袋中装有8个大小质地相同的球，其中4个红球、4个白球，现从中任意取出四个球，设X为取得红球的个数．（1）求X的分布列；（2）若摸出4个都是红球记5分，摸出3个红球记4分，否则记2分．求得分的期望．【答案】（1）分布列详见解析；（2）.【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望、古典概型等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，分析题意，先写出取得红球的个数X的所有可能取值，利用古典概型，利用排列组合列出每一种情况的概率表达式，最后列出分布列；第二问，利用第一问的分布列，结合第二问提到的分数列出数学期望的表达式.（1）X，1,2,3,4其概率分布分别为：，，，，．其分布列为X01234（2）．（12分）【考点】离散型随机变量的分布列和数学期望、古典概型.9. [2013·课标全国卷Ⅰ]从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A．B．C．D．【答案】B【解析】从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6种不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3)，(2,4)2种结果，概率为，故选B.10.(2014·温州模拟)记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为()A．B．C．D．【答案】B【解析】所有的(a,b)共有6×6=36(个),方程x2-ax+2b=0有两个不同实根,等价于Δ=a2-8b>0,故满足条件的(a,b)有(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共9个,故方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为=.11.连掷两次骰子分别得到点数m,n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角θ>90°的概率是__________.【答案】【解析】即(m,n)·(-1,1)=-m+n<0.所以m>n,基本事件总共有6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15(个).所以P==.12.某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是________．【答案】【解析】某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.3个景区都有部门选择可能出现的结果数为·3！(从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有＝6种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法)，记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为P(A1)＝＝.13.有驱虫药1618和1573各3杯,从中随机取出3杯称为一次试验(假定每杯被取到的概率相等),将1618全部取出称为试验成功.(1)求恰好在第3次试验成功的概率(要求将结果化为最简分数).(2)若试验成功的期望值是2,需要进行多少次相互独立重复试验?【答案】(1)试验一次就成功的概率为； (2)4.【解析】(1) 从6杯中任选3杯,不同选法共有种，而选到的3杯都是1618的选法只有1种，由古典概型概率的求法可得试验一次就成功的概率为.恰好在第3次试验成功相当于前两次试验都没成功，第3次才成功.由于成功的概率为，所以一次试验没有成功的概率为，三次相乘即得所求概率.（2）该例是一个二项分布，二项分布的期望是，解此方程即可得次数.试题解析：（1）从6杯中任选3杯,不同选法共有种,而选到的3杯都是1618的选法只有1种,从而试验一次就成功的概率为.恰好在第3次试验成功相相当于前两次试验都没成功,第3次才成功,故概率为.(2)假设连续试验次,则试验成功次数,从而其期望为,再由可解出.【考点】1、古典概型；2、二项分布及其期望.14.一个口袋中装有形状和大小完全相同的3个红球和2个白球，甲从这个口袋中任意摸取2个球，则甲摸得的2个球恰好都是红球的概率是（）A．B．C．D．【解析】设3个红球为A，B，C，2个白球为X，Y，则取出2个的情况共有10种，其中符合要求的有3种，所求的概率为，故选A【考点】古典概型概率。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 52 古典概型

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 52 古典概型

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结52 古典概型高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.理解古典概型及其概率计算公式2．会计算一些随机事件所包含的样本点数及事件发生的概率一、基础小题1．某银行储蓄卡上的密码是一个六位数号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取．某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是()A．1106B．1105 C.1102D．110答案 D解析只考虑最后一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为110.2．食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为( )A ．13B ．23 C.310 D ．710答案 C解析 由题意，可得样本点总数n ＝C 25＝10，所以它们相克的概率为P ＝310.故选C. 3．某英语初学者在拼写单词“steak ”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a ”“e ”“k ”三个字母组成，并且“k ”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为( )A ．16B ．14 C.12 D ．13答案 B解析 解法一：由题知可能的结果有C 12A 22＝4种，其中正确的只有一种，所以拼写正确的概率是14.故选B.解法二：由题知可能的结果有eak ，aek ，eka ，ake ，共4种，其中正确的只有一种，所以拼写正确的概率是14.故选B.4．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是( )A ．16B ．13 C.12 D ．23答案 B解析 3卷文集随机排列，共有A 33＝6种结果，其中卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的只有2种，所以卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是26＝13.故选B.5．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～15这15个数中随机抽取3个，则这三个数为勾股数的概率为( )A ．1910B ．3910 C.4455 D ．6455答案 C解析 从这15个数中随机抽取3个数，样本点的个数为C 315，其中为勾股数的有(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(5，12，13)，共4个，故所求概率为P ＝4C 315＝4455.故选C.6．将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )A ．736B ．12 C.1936 D ．518答案 C解析 投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为⎩⎨⎧1≤a ≤6，a ∈N *，1≤b ≤6，b ∈N *.所以a 和b 的组合有36种，若方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，则Δ＝b 2－4a ≥0，所以b 2≥4a .当b ＝1时，没有a 符合条件；当b ＝2时，a 可取1；当b ＝3时，a 可取1，2；当b ＝4时，a 可取1，2，3，4；当b ＝5时，a 可取1，2，3，4，5，6；当b ＝6时，a 可取1，2，3，4，5，6.满足条件的组合有19种，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率P ＝1936.故选C.7．(多选)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则( )A ．P 1·P 2＝16B ．P 1＝P 2＝12C ．P 1＋P 2＝56D ．P 1＞P 2答案 ACD解析 三辆车的出车顺序可能为123，132，213，231，312，321，共6种．方案一坐到“3号”车可能为132，213，231，共3种，所以P 1＝36＝12；方案二坐到“3号”车可能为312，321，共2种，所以P 2＝26＝13.所以P 1＞P 2，P 1·P 2＝16，P 1＋P 2＝56.故选ACD.8．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是________． 答案 712解析 ∵a ·b ＝m －n ，夹角θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴a ·b ≥0，即m ≥n .满足θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的点A (m ，n )有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，点A (m ，n )的样本点总数为36，故所求概率为2136＝712.二、高考小题9．(2022·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A ．13B ．25 C.23 D ．45答案 C解析 将4个1和2个0安排在6个位置，选择2个位置安排0，共有C 26种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C 25种排法．所以2个0不相邻的概率P ＝C 25C 26＝23.故选C. 10．(2022·全国Ⅰ卷)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A ．15B ．25 C.12 D ．45答案 A解析 如图，从O ，A ，B ，C ，D 5个点中任取3点的取法分别为{O ，A ，B }，{O ，A ，C }，{O ，A ，D }，{O ，B ，C }，{O ，B ，D }，{O ，C ，D }，{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，C ，D }，{B ，C ，D }，共10种不同取法，3点共线的有{O ，A ，C }与{O ，B ，D }，共2种情况．由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为210＝15.故选A.11．(2022·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132 C.2132 D ．1116答案 A解析 在所有重卦中随机取一重卦，其样本点总数n ＝26＝64，恰有3个阳爻的样本点数为C 36＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P ＝2064＝516.故选A.12．(2022·全国Ⅱ卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A ．112B ．114 C.115 D ．118答案 C解析 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种等可能的结果，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30包含的可能结果有3种，故概率为345＝115.故选C.13．(2022·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．答案 19解析 根据题意可得样本点总数为6×6＝36，点数和为5的样本点有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4个，∴向上的点数和为5的概率为436＝19.14．(2022·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．答案 710解析 解法一：样本点总数为C 25＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学的样本点有C 13C 12＋C 22＝7个，故所求概率为710. 解法二：同解法一，得样本点总数为10，选出的2名同学中没有女同学的样本点有C 23＝3个，故所求概率为1－310＝710.解法三：设3名男同学分别为A ，B ，C ，2名女同学分别为a ，b ，则样本空间为{AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab }，共包含10个样本点，选出的2名同学中至少有1名女同学的事件所包含的样本点分别为Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共7个，故所求概率为710.解法四：同解法三，得样本点总数为10，选出的2名同学中没有女同学的事件所包含的样本点分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－310＝7 10.三、模拟小题15．(2022·新高考八省联考)在三张卡片上分别写上三位同学的学号后，再把卡片随机分给这三位同学，每人一张，则恰有一位同学分到写有自己学号的卡片的概率为()A．16B．13 C.12D．23答案 C解析设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1，2，3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如(1，3，2)表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号．三人可能拿到的卡片结果为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6种，其中满足题意的结果有(1，3，2)，(2，1，3)，(3，2，1)，共3种，结合古典概型的概率计算公式可得，满足题意的概率P＝36＝12.故选C.16．(2022·山东菏泽一模)菏泽万达商场在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是()A．59B．49 C.89D．916答案 B解析若有4名顾客都领取一件礼品，则样本点总数n＝34＝81，其中他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的样本点个数为m ＝C 24A 33＝36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是P ＝m n ＝3681＝49.故选B.17．(多选)(2022·湖北武汉市第十四中学月考)从集合A ＝{－1，－3，2，4}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－5，1，4}中随机选取一个数记为b ，则( )A ．ab >0的概率是12B ．a ＋b ≥0的概率是12C ．直线y ＝ax ＋b 不经过第三象限的概率是13D ．ln a ＋ln b >1的概率是512答案 AC解析 由题意可得(a ，b )所有可能的取法有(－1，－5)，(－1，1)，(－1，4)，(－3，－5)，(－3，1)，(－3，4)，(2，－5)，(2，1)，(2，4)，(4，－5)，(4，1)，(4，4)，共12种．对于A ，满足ab >0的取法有(－1，－5)，(－3，－5)，(2，1)，(2，4)，(4，1)，(4，4)，共6种，所以ab >0的概率为P ＝612＝12，故A 正确；对于B ，满足a ＋b ≥0的取法有(－1，1)，(－1，4)，(－3，4)，(2，1)，(2，4)，(4，1)，(4，4)，共7种，所以a ＋b ≥0的概率为P ＝712，故B 不正确；对于C ，因为直线y ＝ax ＋b 不经过第三象限，所以a <0，b ≥0，所有满足直线y ＝ax ＋b 不经过第三象限的取法有(－1，1)，(－1，4)，(－3，1)，(－3，4)，共4种，所以直线y ＝ax ＋b 不经过第三象限的概率P ＝412＝13，故C 正确；对于D ，因为ln a ＋ln b ＝ln ab >1，所以a >0，b >0，ab >e ，所有满足ln a ＋ln b >1的取法有(2，4)，(4，1)，(4，4)，共3种，所以ln a ＋ln b >1的概率为P ＝312＝14，故D不正确．故选AC.18．(2022·河北石家庄模拟)公元960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面．北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到广泛应用.1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，为数学的发展创造了良好的条件.11世纪至14世纪出现了一批著名的数学家和数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，现从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选的两部专著中至少有一部不是杨辉所著的概率为( )A.35 B ．710 C.45 D ．910答案 B解析 由题意，五部专著中有三部是杨辉所著．现从这五部专著中选择两部的样本点总数n ＝C 25＝10，所选的两部专著中至少有一部不是杨辉所著包含的样本点个数m ＝C 22＋C 12C 13＝7，则所选的两部专著中至少有一部不是杨辉所著的概率为P ＝m n ＝710.故选B.19．(多选)(2022·重庆市高三阶段考试)在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则( )A ．甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率为140B.甲、乙两人不在同一岗位服务的概率为45C ．五名志愿者中有两人同时参加A 岗位服务的概率为14D.五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率为34答案 ACD解析 记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140，A 正确；记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E －)＝1－P (E )＝910，B 错误；有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C 25A 33C 25A 44＝14，C 正确；仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34，D 正确．20．(多选)(2022·河北省保定市高三月考)设集合M ＝{2，3，4}，N ＝{1，2，3，4}，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝k 上”为事件A k (3≤k ≤8，k ∈N *)，若事件A k 的概率最大，则k 的取值可能是( )A ．4B ．5 C.6 D ．7答案 BC解析 由题意，点P (m ，n )的所有可能情况为(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共12个样本点，则事件A 3＝“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝3上”包含其中(2，1)，共1个样本点，所以P (A 3)＝112；事件A 4＝“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝4上”包含其中(2，2)，(3，1)，共2个样本点，所以P (A 4)＝16；事件A 5＝“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝5上”包含其中(2，3)，(3，2)，(4，1)，共3个样本点，所以P (A 5)＝14；事件A 6＝“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝6上”包含其中(2，4)，(3，3)，(4，2)，共3个样本点，所以P (A 6)＝14；事件A 7＝“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝7上”包含其中(3，4)，(4，3)，共2个样本点，所以P (A 7)＝16；事件A 8＝“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝8上”包含其中(4，4)，共1个样本点，所以P (A 8)＝112.综上可得，当k ＝5或6时，P (A k )max ＝P (A 5)＝P (A 6)＝14.故选BC.21．(2022·河北张家口第三次模拟)2022年3月18日至19日的中美高层战略对话结束后，某校高二(1)班班主任王老师利用班会时间让学生观看了相关视频，见识了强大的祖国对中美关系的霸气表态，同学们非常激动，爱国情感油然而生．为使班会效果更佳，班主任王老师计划从由3名女生(分别记为甲、乙、丙)和4名男生(分别记为A ，B ，C ，D )组成的学习小组中选出4名进行观后体会交流，则男生A 和女生甲没有被同时选中的概率为________．答案 57解析 从3名女生和4名男生组成的学习小组中选出4名，共有C 47＝35种选法，男生A 和女生甲被同时选中有C 25＝10种选法，故所求概率P ＝1－1035＝57.22．(2022·江苏南京金陵中学模拟)从集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，12，23中取两个不同的数a ，b ，则log a b >0的概率为________．答案 13 解析 取两个不同的数a ，b ，记为有序数对(a ，b )，所有样本点为(2，3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，(3，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12，共12种，满足log a b >0的情况有(2，3)，(3，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12，共4种，故所求概率为13.一、高考大题1．(2022·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．解 (1)由已知，得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由(1)知，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝521.二、模拟大题2．(2022·四川省遂宁市高三三模)我国的高等教育中对于硕士研究生的培养，按照培养方向分类，可分为普通硕士和专业硕士两类：一类是普通硕士，根据我国的有关规定，普通硕士教育以培养教学和科研人才为主，授予学位的类型主要是学术型学位；另一类是专业硕士，根据国务院学位委员会的定位，专业型学位为具有职业背景的学位，培养特定职业高层次专门人才．专业硕士教育的学习方式比较灵活，大致可分为在职攻读和全日制学习两类．某大学团委为了解该校大学一年级的学生对未来的考硕士研究生的规划，从中随机抽取容量为100的样本，其中有考硕士研究生规划的有24人(其中有考普通硕士规划的6人中，2名是男生，4名是女生).(1)若从样本中选一位学生，那么该同学有考普通硕士规划的概率是多大？(2)从这6名有考普通硕士规划的学生中，选出3个人，求其中男生至少有一人的概率．解(1)样本容量为100，其中有考普通硕士规划的有6人，故该同学有考普通硕士规划的概率P＝6100＝3 50.(2)从6人中选取3人有C36＝20种情况，其中至少有一个男生有C12C24＋C22C14＝16种情况，故其中男生至少有一人的概率P＝16 20＝45.3．(2022·湖南省四校高三摸底调研联考)为检查学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级1500名同学进行了传染病防控知识检测，并从中随机抽取了300份答卷，按得分区间[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]分别统计，绘制成频率分布直方图如上．(1)估计高一年级传染病防控知识答卷得分的中位数(结果精确到个位)；(2)根据频率分布直方图，按各得分区间的人数的比例，从得分在区间[80，90)内和[90，100]内的学生中任选7人，并从这7人中随机选3人作传染病预防知识宣传演讲，求这3人中至少有一人得分在区间[90，100]内的概率.解(1)设高一年级传染病防控知识答卷得分的中位数的估计值为x，根据频率分布直方图得，0.005×10＋0.010×10＋0.022×10＝0.37，0.37＋0.028×10＝0.65，则x∈[70，80).由0.37＋0.028(x－70)＝0.5(中位数左边和右边小长方形的面积和均为0.5)，解得x ＝74914≈75.∴估计高一年级传染病防控知识答卷得分的中位数为75.(2)根据频率分布直方图得，得分在区间[80，90)内和[90，100]内的频率分别为0.25，0.1，对应人数的比为5∶2，∴所选的7人中，得分在[80，90)内的有5人，得分在[90，100]内的有2人． ∴从7人中随机选3人，这3人中至少有一人得分在区间[90，100]内的概率为1－C 35C 37＝57. 4．(2022·湖北省武汉市第十四中学月考)袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中红色球有3个，黄色球有2个，绿色球有1个．规定取出红色球记1分，取出黄色球记2分，取出绿色球记3分．在无法看到球颜色的情况下，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回袋中，然后由乙取出剩余的球，规定取出球的总积分多者获胜．(1)求甲、乙平局的概率；(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性．解 (1)甲从6个球中取出3个球，有C 36＝20种情况，6个小球总分为3×1＋2×2＋1×3＝10分，故甲、乙平局时都得5分，此时，甲取出的3个小球中有1个红色球和2个黄色球，或有2个红色球和1个绿色球，共有C 13C 22＋C 23C 11＝6种情况，所以平局的概率为P 1＝620＝310.(2)由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是7分或6分，即取出的3个小球中有1个绿色球和2个黄色球，或有1个绿色球和1个黄色球和1个红色球，共7种情况，所以甲获胜的概率P 2＝720，由(1)可得平局的概率为P 1＝310，所以乙获胜的概率为P 3＝1－310－720＝720，由上述可知甲、乙获胜的概率相同．同理，由乙先取球时，甲、乙获胜的概率也相同. 故先后取球的顺序不影响比赛的公平性．5．(2022·湖北省武汉市部分学校高三9月起点质量检测)在某班学生举办的庆祝建党一百周年活动中，指定4名同学依次在分别写有“建”“党”“百”“年”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果．(1)求最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率；(2)用X 表示结果中这四个字各出现次数中的最大值，求E (X ).解 (1)因为是放回地简单随机抽样，所以每位同学都有四种选择，故共有4×4×4×4＝256种，其中最后的结果中没有“建”“党”两字，有2×2×2×2＝16种，“建”“党”两字只出现一个，有2×(C 14×2×2×2＋C 24×2×2＋C 34×2＋1)＝130种，所以最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率为256－16－130256＝55128. (2)X 的可能取值为4，3，2，1，所以P (X ＝4)＝4256＝164，P(X＝3)＝C34C14C13256＝316，P(X＝2)＝C24C24＋C14C24A23256＝4564，P(X＝1)＝A44256＝332，所以E(X)＝4×164＋3×316＋2×4564＋1×332＝178.。

2025版高考数学大一轮复习第九章概率第51讲古典概型课时达标文含解析新人教A版

2025版高考数学大一轮复习第九章概率第51讲古典概型课时达标文含解析新人教A版

第51讲 古典概型课时达标一、选择题1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为( )A.45B.35C.25D.15D 解析 从1,2,3,4,5中随机选取一个数的取法有5种，从1,2,3中随机选取一个数的取法有3种，所以a ，b 的可能结果有5×3＝15(种)，其中a <b 的结果有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种．所以所求概率为P ＝315＝15.故选D.2．(2024·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色调笔的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15C 解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色调笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝25.3．有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34A 解析 甲、乙两位同学参与3个小组的全部可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参与同一个小组的状况有3种，故甲、乙两位同学参与同一个爱好小组的概率P ＝39＝13.4．从1,2,3,4这四个数字中一次随机取两个，则取出的这两个数字之和为偶数的概率是( )A.16B.13C.12D.15B 解析 从1,2,3,4这四个数字中一次随机取两个，共有6种状况，其中取出的这两个数字之和为偶数的状况有(1,3)，(2,4)，共2种，所以P ＝26＝13.5．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，其次次出现的点数记为n ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝3，2x ＋3y ＝2只有一组解的概率是( )A.23B.34 C.15D.1718D 解析 方程组只有一组解，除了⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝6这两种状况之外都可以，故所求概率P ＝6×6－26×6＝1718.6．随机掷两枚质地匀称的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 1＜p 3C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 2C 解析 随机抛掷两枚骰子，它们向上的点数之和的结果如图，则p 1＝1036，p 2＝2636，p 3＝1836，所以p 1＜p 3＜p 2.故选C.二、填空题7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析 设2本数学书分别为A ，B ，语文书为C ，则全部的排放依次有ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA ，共6种状况，其中数学书相邻的有ABC ，BAC, CAB ，CBA ，共4种状况，故2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.答案 238．(2024·长沙一中月考)先后抛掷两枚质地匀称的骰子，骰子落地后面朝上的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为________．解析 依据题意，每枚骰子朝上的点数都有6种状况，则(x ，y )的状况有6×6＝36(种)．若log 2x y ＝1，则y ＝2x ，其状况有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种，所以log 2x y ＝1的概率P ＝336＝112. 答案 1129．(2024·上海卷)有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________(结果用最简分数表示)．解析 记5克、3克、1克砝码分别为5,3,1，两个2克砝码分别为2a,2b ，则从这五个砝码中随机选取三个，有以下选法：(5,3,1)，(5,3,2a )，(5,3,2b )，(5,1,2a )，(5,1,2b )，(5,2a,2b )，(3,1,2a )，(3,1,2b )，(3,2a,2b )，(1,2a,2b )，共10种，其中满意三个砝码的总质量为9克的有(5,3,1)，(5,2a,2b )，共2种，故所求概率P ＝210＝15.答案 15三、解答题10．一个袋中装有四个形态大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．解析 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本领件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事务共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事务的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，登记编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，登记编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满意条件n ≥m ＋2的事务为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满意条件n ≥m ＋2的事务的概率为P 1＝316.故满意条件n <m ＋2的事务的概率为1－P 1＝1－316＝1316.11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面对量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求使得事务“a⊥b ”发生的概率； (2)求使得事务“|a |≤|b |”发生的概率．解析 (1)由题意知m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )全部可能的取法共36种．若要使a⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，则共有2种取法，分别为(3,1)，(6,2)，所以事务a⊥b 的概率为236＝118.(2)|a|≤|b|，即m 2＋n 2≤10，此时有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6种取法使得|a|≤|b|，其概率为636＝16.12．一个匀称的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面风光朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“美丽方程”，求方程为“美丽方程”的概率．解析 (1)因为是投掷两次，因此基本领件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．当z ＝4时，(b ，c )的全部取值为(1,3)，(3,1)，所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2. ③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c )的全部可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程为“美丽方程”的概率为P ＝316.13．[选做题]若x ∈A 的同时，还有1x∈A ，则称A 是“好搭档集合”，在集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，1，2，3的全部非空子集中任选一集合，则该集合是“好搭档集合”的概率为( )A.731B.732C.14D.831A 解析 由题意可得集合B 的非空子集有25－1＝31(个)，其中是“好搭档集合”的有{1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，3，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，1，3，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，2，3，⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，1，2，3，共7个，所以该集合是“好搭档集合”的概率为P ＝731.。

高考数学复习《概率 古典概型》

高考数学复习《概率 古典概型》
第五节 古典概型
1. 理解古典概型及其概率计算公式； 2. 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
1. 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是 互斥 的． (2)任何事件(除不可能事件外)都可以表示成 基本事件 的和． 2. 古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型： (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性 相等 ． 3. 古典概型的概率公式
方法二：“至少有一个5点或6点”的对立事件是“没有5点或6点”，如上表， “没有5点或6点”包含16个基本事件，没有5点或6点的概率为P＝3166＝49，
故至少有一个5点或6点的概率为 1－49＝59.
【考情分析】 从近两年的高考试题来看，古典概型是高考的热点，可在选择题、填空题中 单独考查，也可在解答题中与统计或随机变量的分布列一起考查，属容易或 中档题，以考查基本概念、基本运算为主． 预计2012年高考中，古典概型仍然是考查的重点，同时应注意古典概型与统 计、离散型随机变量结合命题．
【互动探究】 在本例中，条件不变，求任取1个小正方体，至少有一个面涂色的概率
解析：方法பைடு நூலகம்(间接法)：由例题知，表面无色的概率为217，∴至少有一面涂色的概
率是1－217＝2276.
方法二(直接法)：至少有一面涂色包括3种情况，一面涂色，两面涂色，三面涂色， ∴至少有一面涂色的概率是8＋2172＋6＝2267.
解析：抽出的2张均为红桃的概率为CC221532＝117. 答案：117
3. (2010·山东)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号为 1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋 中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．

高考数学复习点拨高考数学复习点拨古典概型(1)

高考数学复习点拨高考数学复习点拨古典概型(1)

古典概型考查要求：1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．2．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主．【复习指导】1．掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数．2．复习时要加强与统计相关的综合题的训练，注重理解、分析、逻辑推理能力的提升．一基础梳理1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和．2．古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件；(2)每个基本事件出现的可能性3．古典概型的概率公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.4、求古典概型的步骤：（1）判断是否为等可能性事件；（2）计算所有基本事件的总结果数n．（3）计算事件A所包含的结果数m．（4）计算一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝mn.两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．双基自测1、一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()．A.23 B.14 C.13 D.122．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()．A.16 B.12 C.13 D.233．掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率为()．A.13 B.14 C.12 D.234．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b ＞a的概率是()．A.45 B.35 C.25 D.15二、考向探究：考向一基本事件数的探求【例1】►做抛掷两颗骰子的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和大于10”．例2、从字母a、b、c、d任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件。

高考数学复习古典概率专项提升题(有解析)

高考数学复习古典概率专项提升题(有解析)

高考数学复习古典概率专项提升题（有解析）古典概率指当随机事件中各种可能发生的结果及其显现的次数都能够由演绎或外推法得知，而无需通过任何统计试验即可运算各种可能发生结果的概率。

下面是查字典数学网整理的古典概率专项提升题，请考生及时进行练习。

13.在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为.14.已知集合M={1,2,3,4},N={(a,b)|aM,bM},A是集合N中任意一点,O为坐标原点,则直线OA与y=x2+1有交点的概率是.15.(2021四川,文16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求抽取的卡片上的数字满足a+b=c的概率;(2)求抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同的概率.16.小波以游戏方式决定是去打球、唱歌依旧去下棋.游戏规则为:以O 为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X0就去打球,若X=0就去唱歌,若X 0就去下棋.(1)写出数量积X的所有可能取值;(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.参考答案13. 解析:点P(m,n)有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情形,只有(2, 1),(2,2)这2个点在圆x2+y2=9的内部,所求概率为.14. 解析:易知过点(0,0)与y=x2+1相切的直线为y=2x(斜率小于0的无需考虑),集合N中共有16个元素,其中使OA斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1, 4),(2,4),共4个,由古典概型知概率为.15.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2), (1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设抽取的卡片上的数字满足a+b=c为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.因此P(A)=.因此,抽取的卡片上的数字满足a+b=c的概率为.(2)设抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同为事件B,则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.因此P(B)=1-P()=1-.因此,抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同的概率为.16.解:(1)X的所有可能取值为-2,-1,0,1.(2)数量积为-2的有,共1种;数量积为-1的有,共6种;数量积为0的有,共4种;数量积为1的有,共4种.则所有可能的情形共有15种.因此小波去下棋的概率为P1=;因为去唱歌的概率为P2=,因此小波不去唱歌的概率P=1-P2=1-.古典概率专项提升题及答案的全部内容确实是这些，查字典数学网期望对考生复习数学有关心。

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7 21 7 1 P 24 40 40 120 7 21 7 1 9 X 的数学期望 EX＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 24 40 40 120 10 (2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为 事件 A， “恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1， “恰好取出 2 件一等品”为事件 A2，“恰好取出 3 件一等 品”为事件 A3.由于事件 A1，A2，A3 彼此互斥，且
求恰有1天空气质量超标的概率．
[审题视点] (1)求出平均数，根据平均数判断． (2)列出从5天抽取2天的所有元素个数及“恰有1天空气质量超 标”的元素数．
抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考
解
(1)甲居民区抽测的样本数据分别是37,45,73,78,88；乙
居民区抽测的样本数据分别是32,48,65,67,80.
式求解．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练2】 (2013· 苏州模拟)在10件产品中，有3件一等品，4件
二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解 (1)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果数为 C3 10，从
对于古典概型与统计的综合问题，要注意认真
审题，将问题成功转化为古典概型．而确定元素个(试验 结果)数时，常用枚举法．
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【训练3】 (2013· 烟台一模)某校从参加高三年级期中考试的学
生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整 数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：
解析 类： 第一类：文化课之间不排艺术课，设此事件为 A，则 P(A)＝
3 A4 1 4A3 ＝ . A6 5 6
相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课，可以分两
第二类：文化课之间排艺术课，设此事件为 B，
3 3 ①三节文化课之间有一节艺术课的排列情况总数为 2C1 3A3A3.
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揭秘3年高考
2.性质
(1)0≤P(A)≤1(概率总是[0，1]中的数)
(2)P(Ω)＝1(必然事件的概率为1) (3)P(∅)＝0(不可能事件的概率是零
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突破3个考向
揭秘3年高考
【助学· 微博】 一个判定标准
试验结果有限且等可能．
两种方法 (1)列举法：适合于较简单的试验．
第4讲 古典概率模型
【2014年高考会这样考】
1．考查古典概型概率公式的应用． 2．考查古典概型与互斥事件、对立事件的交汇．
3．考查古典概型与统计的交汇．
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考点梳理
1.古典概型 设试验的全集Ω有n个元素，且每个元素发生的可能性相
同．当Ω的事件A包含了m个元素时，称P(A)＝_______为 事件A发生的概率，简称为A的概率,我们把上述定义描述 的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．
10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的结果数为
3 k Ck C 3 7 ，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一
－
3 k Ck 3C7 等品的概率为 P(X＝k)＝ ， k＝0,1,2,3.所以随机变量 C3 10
－
X 的分布列是
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X
4 A. 9 1 B. 3 2 C. 9 1 D. 9
(
)．
[审题视点] 分类讨论，利用排列、组合知识求出事件 中元素个数数，由古典概型概率公式求得．
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解析
由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数
分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有
1 1 C1 若个位数为偶数时， 这样的两位数共有 C1 5C4＝20 个； 5C5
k(单位：微克)
k≤35 35<k≤75
一级
二级 超标
抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考
k>75
某环保部门为了解近期甲、乙两居民
区的空气质量状况，在过去30天中分 别随机抽测了5天的PM2.5日均值作为
样本，样本数据如茎叶图所示(十位为
茎，个位为叶)． (1)分别求出甲、乙两居民区PM2.5日均值的样本平均数，并 由此判断哪个小区的空气质量较好一些； (2)若从甲居民区这5天的样本数据中随机抽取2天的数据，
[审题视点] 由列举法求古典概型的概率．
解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，
1 1 共有 C1 3C3C2＝18 种，用 M 表示“A1 恰被选中”这一事
6 1 1 件，则包含的结果共有 C1 C ＝ 6 种，因而 P ( M ) ＝ ＝ . 3 2 18 3
抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向三 古典概型与统计的综合问题
【例3】►(2013· 潍坊一模)PM2.5是指大气中直径小于或等
于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.2012年2月 29日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标
准》，其中空气质量等级标准见下表：
PM2.5日均值 空气质量等级
考向二 古典概型与互斥、对立事件的概率的综合问题
【例2】►(2013· 南昌模拟)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者 A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓
韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，
组成一个小组． (1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；
[80,90)，12；[90,100)，4. (1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上； (2)估计成绩在85分以上学生的比例； (3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“ 二帮一”小组，即从成绩[90,100)中选两位同学，共同帮助 成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42 分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在
解析 由题意得 an＝(－3)n 1， 易知前 10 项中奇数项
－
为正， 偶数项为负， 所以小于 8 的项为第一项和偶数 6 3 项，共 6 项，即 6 个数，所以 p＝ ＝ . 10 5
答案
3 5
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向一
简单古典概型的概率
【例1】►(2012· 广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位 数中任取一个，其个位数为0的概率是
个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是(
1 A. 5 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5
)．
解析
从 5 个数中任取 2 个不同的数有：(1,2)，(1,3)，
(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 有 10 种．其中两个数的和为偶数有：(1,3)，(1,5)，(2,4)， 4 2 (3,5)，故所求概率为：P＝ ＝ . 10 5
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的事件A中元素个
数的探求．另外在确定元素个数时，(x，y)可以看成是有 序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如 (1,2)与(2,1)相同．
抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考
考点自测
1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(
1 A. 5
解析
(
)．
2 B. 5
3 C. 5
4 D. 5
从袋中任取两球有 C2 满足两球颜色为一 6＝15 种，
1 C1 C 2 3＝6
白一黑的有
6 2 种，概率等于 ＝ . 15 5
答案
B
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．(2013· 温州模拟)从数字1,2,3,4,5这5个数中高考
2 C1 3 3C3 A＝ A1∪A2∪ A3，而 P(A1)＝ 3 ＝ ， P(A2)＝ P(X＝ 2) C10 40
7 1 ＝ ，P(A3)＝P(X＝3)＝ ，所以取出的 3 件产品中一 40 120 等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋ 3 7 1 31 P(A3)＝ ＋ ＋ ＝ . 40 40 120 120
答案
B
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
4．(2011· 新课标全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自 参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相 同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(
1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4
)．
解析
甲、 乙两人都有 3 种选择， 共有 3×3＝9(种)情况，
甲、乙两人参加同一兴趣小组共有 3 种情况．∴甲、乙 3 1 两人参加同一兴趣小组的概率 P＝ ＝ . 9 3
答案
A
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
5．(2012· 江苏)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，
－3为公比的等比数例，若从这10个数中随机抽取一个 数，则它小于8的概率是________．
＝25 个； 于是， 个位数与十位数之和为奇数的两位数共有 20＋25＝45 个．其中，个位数是 0 的有 C1 5×1＝5 个．于 5 1 是，所求概率为 ＝ . 45 9
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