《分数乘法、除法和百分数乘法、除法应用题讲解》

教学过程《分数乘法、除法和百分数乘法、除法应用题讲解》新大纲规定分数四则应用题，包括工程问题；百分数的实际应用包括发芽率、合格率、利息等计算，最多不超过三步计算，而且只限于比较容易的。

这就从内容上和难度上作了具体的限制，有利于保证基本的知识和解题能力的落实，防止任意拔高要求，人为地编造出许多不切实际的难题，加重学生的学习负担。

新大纲对于分数、百分数应用题的教学要求：一、会解答分数、百分数应用题会解答分数、百分数应用题的要求，一般是指能够理解应用题的题意，掌握最基本的数量关系，正确判别计算的方法，会列式计算，并且善于检验解答的合理性与准确性。

由于分数、百分数应用题的数量关系，跟整数应用题相比，既有共性，又有它们的特殊性，要求学生既了解其共性，又能懂得它们的特殊性，使学生的认知水平有所提高。

对此，略举数例如下。

1.分数加、减法应用题分数加、减法应用题中的已知分数有两种情况：一种是表示具体的数量，另一种是表示两个量的比。

譬如：①食堂第一天烧煤吨，第二天烧煤吨，两天共烧煤多少吨？题中已知的分数，都表示具体的数量，跟整数里求和应用题的数量关系是一致的，要求学生知道这是求两个相同单位的量的和。

②食堂有一批煤，第一天烧去这批煤的，第二天烧去这批煤的，两天共烧去这批煤的几分之几？题中已知的分数，都是两个量的比，而不是具体的数量。

数量关系虽然跟整数里求和应用题是一致的，这是共性；但是，学生要理解题中的、以及求出的和，都是对这批煤而言的，不是具体的量。

③地球表面积的是海洋，剩下的是陆地，陆地占地球表面积的几分之几？这一题的数量关系跟整数里求剩余数，用减法计算是一致的，这是共性，可是题中只给出一个已知条件是，另一个条件要学生自己想象整个地球表面积看作“1”，然后用1－＝，这就是与整数应用题不同的特殊性。

2.分数、百分数乘、除法应用题分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，要求学生能够辨析清楚。

譬如：①一辆汽车平均每分钟行千米，30分钟行多少千米？这种题的数量关系跟整数里求相同加数的和，或者说求的30倍是一致的。

②10个鸡蛋重千克，平均每个鸡蛋重多少千克？这种题的数量关系跟整数除法题是一致的。

分数乘、除法应用题，既含有整数乘、除法应用题的数量关系，又具有新的数量关系，通常分为三种情况，或者叫做分数的三种基本应用题：（1）求一个数是另一个数的几分之几的除法应用题。

（2）求一个数的几分之几是多少的乘法应用题。

（3）已知一个数的几分之几是多少，求这个数的除法应用题。

上面三种情况中的几分之几，如果是百分数，那末这三种情况就是百分数的三种基本应用题。

（1）求一个数是另一个数的几（百）分之几的应用题。

在实际生活中，经常需要比较两个数量的倍数关系，当它们的倍数等于1或大于1的时候，通常称为“几倍”；当它们的倍数小于1的时候，通常称为“几分之几”。

在小学里，学生学习整数应用题的时候，只知道一个数是另一个数几倍。

如：白兔16只，黑兔4只，白兔只数是黑兔的16÷4＝4（倍）。

那时，学生只知道两个数量相比较的一个侧面，到了学习分数以后，黑兔的只数也可以与白兔去比较，即黑兔的只数是白兔的4÷16＝。

当他们学习了百分数以后，应当让他们知道：求一个数是另一个数的几倍或几分之几，就统一为一个数是另一个数的百分之几了。

这类问题的数量关系跟整数里求两个数的倍数是一致的，要求学生掌握谁与谁相比较。

如，甲是乙的几分之几，是用甲与乙相比较，那么乙是标准的量，甲是比较的量。

并且知道用标准的量作除数。

可是，百分数在实际应用上，还有一些特殊性。

求一个数是另一个数的百分之几，也叫做两个数的百分比或百分率。

例如，产品合格率，种子发芽率，工人出勤率，存款的利息率，向国家交税的纳税率等。

要使学生知道所求的这些“率”，都是用百分数表示的，所以，在这些百分率的公式里，添上乘以100％，表示求得的结果必须用百分数表示。

如，小麦出粉率＝×100％在百分数里，经常会遇到除不尽的情况，应该让学生知道，除了指定精确度的以外，一般除到小数第四位，即万分位，然后四舍五入取三位小数，化成百分数后，百分号前面的数保留一位小数。

并且知道百分号前面通常写成小数形式，不用带分数的形式，如通常写成33.3％。

（2）求一个数的几分之几或百分之几是多少的乘法应用题。

新大纲在整数应用题里，增加了求一个数的几分之一或几分之几是多少的内容，那时是用整数乘、除法计算的。

例如，有学生600人，其中十分之九（或）是少先队员，求少先队员有多少人。

这就是把600人分成10等份，求出的是的人数，再乘以9，就是的人数，列式为：600÷10×9＝540（人）。

学生有了这个基础，学习分数乘法应用题，思考方法一致，只是把整数乘除的方法转化为分数乘法。

即600÷10×9＝540（人）用分数表示×9＝600×＝540（人）这里，要求学生比较熟练地掌握求一个数的几（百）分之几是多少，用乘法计算的结论。

（3）已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数的除法应用题。

这是分数乘法的逆向题，也是学生容易与分数乘法相混淆的问题，新大纲规定在分数四则计算的前面要学习简易方程，到这里用列方程解答，可避免乘、除法混淆。

因此，要求学生运用求一个数的几分之几是多少，用乘法计算的思考方法去解题。

例如，一根钢管的是48厘米，这根钢管长多少厘米？学生应思考：（钢管的长）×＝48（厘米），设钢管长x米，即x×＝48或者x＝48，x＝192。

有些题目，既可以用上述方法解答，也可以根据已知的数量关系进行思考。

如，一个工程队小时开凿山洞米，求1小时开凿山洞多少米。

用上述方法解答，设1小时开凿山洞x米，列方程为：x×＝或x＝，解得x＝。

也可以根据：工作总量÷工作时间＝单位时间的工作量所以，列式为：÷＝（米）以上是分数、百分数应用题中最基础的内容，应该让学生理解并掌握。

二、能够运用所学的知识解决生活中一些简单的实际问题新大纲中这个要求是小学阶段最后一个学期的要求，在分数、百分数应用题里也应该贯彻这个精神。

根据最多不超过三步计算的限制，再按照实际生活中常见的分数问题、百分数问题，大致要求学生掌握以下几方面的实际问题。

1.求一个数比另一个数增加或减少百分之几的问题。

这类问题在生活和生产上经常要用到，例如，实际产量比计划生产量增产百分之几，或者本月用电比上月节约百分之几等等。

要求学生根据求一个数是另一个数的百分之几的思考方法，先要求出增产（或节约）的数量，然后把它与计划生产的数量（或原来用电度数）相比。

列式为：（实际产量－计划产量）÷计划产量或也可以先求出实际产量相当于计划产量的百分之几，再求增产百之几，列式为：实际产量÷计划产量－100％＝增产的百分之几这类问题有一个重要的概念，必须让学生掌握。

学生在整数里已知5比3多2，3比5就必定少2。

但是在分数、百分数里5比3多＝66.7％，反过来3却并不比5少66.7％，而是少＝40％，因为它们相比较的标准数量不同，所以，两个百分数是不等的。

2．求一个数增加（减少）它的几（百）分之几是多少的应用题以及这类问题的逆向问题。

例如，原有少先队员400人，现在增加12％，现在有队员多少人？这是求400增加它的12％以后是多少。

要求学生能够用两种方法解答：400＋400×12％＝400＋48＝448（人）；400×（1＋12％）＝448（人）。

这个应用题的逆向题是：现在有少先队员448，比原来增加了12％，原来有少先队员多少人？这是已知一个数增加了它的12％以后是448，要求这个数。

应该使学生理解为原来的人数加上增加了它的12％的人数等于现在的人数。

设原来为x人，那么x＋12％x＝448，1.12x＝448，x＝400。

3．工程问题。

这是有关工作总量、单位时间的工作量（通常叫做工作效率）和工作时间的问题。

这三者之间的关系是：工作时间＝工作总量÷单位时间的工作量例如，“一项工程，由甲队修建需20天完成，由乙队修建需30天完成，两队合修需要多少天完成？”要求学生知道把整个工程看作“1”，还要知道甲队每天可完成这项工程的，乙队每天可完成这项工程的，两队合修一天可以完成这项工程的（＋），这是两队合修的工作效率，然后用工作总量除以工作效率，列式为：1÷（＋）＝12（天）工程问题的变化很多，可以一个人独做，也可以是几个人合做的；可以是几个人同时开始做的，也可以是有先有后做的；工作的进程可以是向前的，也可以是倒退的（如水管注水与放水）等等。

但是，必须根据新大纲最多不超过三步计算的限制，在这个限度内适当有些变化。

三、能够有条理地说明解题思路有条理地说明解题思路是要求培养学生有条有理、有根有据地说清楚自己是怎么思考的，决不是背诵一个模式，或者是思路说不清楚，颠三倒四，要让学生能够用自己的话表达清楚。

这是培养逻辑思维能力的一个重要方面。

例如，发电厂有煤2500吨，用去，还剩多少吨？学生独自解答，可能出现以下两种解法：①2500－2500×；②2500×（1－）这时，让学生说明解题思路，第一种解法必然要说先求用去多少吨，再求剩下多少吨。

第二种解法必然要说先求剩下的占总吨数的几分之几，再求这个几分之几是多少吨。

上述第一种解法接近学生原有的认知结构，因为在整数应用题已知从总吨数中减去用掉的，就是剩下的。

第二种解法是从问题出发分析出来的，是一种新的思路，而这种思路在分数应用题中常常用到，教师不仅赞赏，还应该让更多的学生学会这种思考方法。