大学文科数学极限知识讲解

推论2 如果 lim f(x)存,在 而 n是正,整 则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
5. 判定极限存在的准则
0 x x0 时，对应的函数值 f (x)都满足
不 等 式 f (x) A ,那 么 常 数 A 就 叫 函 数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限 , 记 作
lim f ( x ) A 或
x x0
f ( x ) A (当 x x 0 )
""定义 0,0,使0 当 xx0时 ,
6. 两个重要极限
(1) lim six n1 x 0 x
lHale Waihona Puke Baidumsin1; 某过程
(2) li(m 11)xe x x
1
lim (1x)x e
x0
1
lim(1) e.
某过程
7. 无穷小的比较
定义:设,是同一过程中穷 的小 ,且 两 个 0. 无
(1)如果 lim0,就说 是比 高阶的无 , 穷小
★另两种情形:
10.x 情形 : limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .
20.x 情形 : limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 当 恒 f ( x ) A 有 .
定:l理 im f(x )A lif( m x ) A 且 lif( m x ) A .
3. 极限的性质
定理 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则 (1) lim[ f (x) g(x)] A B; (2) lim[ f (x) g(x)] A B; (3) lim f (x) A, 其中B 0. g(x) B
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则 数 lim c(f[x)]clim f(x).
定 : x l x 0 i f ( x ) m 理 A f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ) A .
定义③ 设函数 f (x)当 x 大于某一正数时有定 义 ，对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么 小 ),总 存
在 正 数 X ,使 得 当 x 满 足 不 等 式 x X 时 ，对 应
准则Ⅰ′ 如果当xU0(x0,r)(或x M)时,有 (1) g(x) f (x) h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
xx0 ( x)
xx0 ( x)
那末lim f (x)存在,且等于A.(夹逼准则) xx0 ( x)
准 则 Ⅱ 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .
的函数值 f (x)都满足不等式 f (x) A ,那 么 常 数 A 就 叫 函 数 f ( x ) 当 x 时的极限 ,记
作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A(当 x ) x
"X"定义limf(x)A x
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .
xn
a,
或
xn a (n ).
"N"定义
0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒 x n a 有 .
定义② 设函数 f (x) 在点 x0的某一去心邻域 内 有 定 义 ， 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么
小 ),总 存 在 正 数 ,使 得 当 x 满 足 不 等 式
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
第二章 极 限 习题课
主要内容 典型例题
一、主要内容
（一）极限的概念 （二）连续的概念
数列极限
函数极限
ln im xn a
lim f(x)A
x
limf(x)A
xx0
无穷大
两者的
lim f(x) 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
limf (x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限
记作 o();
(2)如l果 im C(C0)就 , 说 与 是同阶;的
特殊如 地果 lim1,则称 与是等价的;无
记作 ~;
(3)如l果 im kC (C0,k0)就 , 是 说 是 k阶的 无穷 . 小
8. 等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .
9. 极限的唯一性
定 理 若 lif( m x ) 存 在 ,则 极 限 唯 一 .
x
x
x
2. 无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记 lif ( 作 m x ) 0( 或 lif ( m x ) 0 ).
x x 0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记 lif ( 作 m x ) ( 或 li f ( x m ) ).
x x 0
恒f有 (x)A.
左极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
右极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
1. 极限的定义
定义① 如果对于任意给定的正数 (不论它
多么小),总存在正整数 N ,使得对于n N 时
的一切xn,不等式 xn a 都成立,那末就称 常数 a是数列xn 的极限,或者称数列 xn 收敛 于 a,记为
lim
n