大学文科数学极限知识讲解

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各类极限知识点总结

各类极限知识点总结一、函数的极限1. 定义：给定函数f(x)，当x趋近于某一点a时，如果函数值f(x)无论怎么接近a都会趋于一个确定的值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim⁡(x→a)⁡f(x)=L。

通常情况下，我们也会将x趋近于a的这一过程称为x趋近于a时的极限，即x→a。

2. 性质：函数的极限有一些基本的性质，这些性质有助于我们计算和理解函数的极限。

比如极限的唯一性、极限的局部有界性、函数的连续性等。

3. 一些特殊函数的极限：（1）常数函数的极限；（2）幂函数的极限；（3）指数函数和对数函数的极限；（4）三角函数的极限；（5）复合函数的极限等。

二、无穷大和无穷小1. 定义：在极限的理论中，无穷大和无穷小是两个非常重要的概念。

当x趋近于某一点a 时，如果函数值f(x)可以任意增大，并且没有上界，则称f(x)是当x趋近于a时的无穷大。

反之，如果函数值f(x)可以任意接近于0，并且没有下界，则称f(x)是当x趋近于a时的无穷小。

2. 性质：无穷大和无穷小也有一些基本的性质，包括无穷大和无穷小的性质、无穷大与有界性的关系、无穷小的运算规律等。

3. 一些特殊函数的无穷大和无穷小：（1）常数函数的无穷大和无穷小；（2）幂函数的无穷大和无穷小；（3）指数函数和对数函数的无穷大和无穷小；（4）三角函数的无穷大和无穷小；（5）复合函数的无穷大和无穷小等。

三、极限的运算规律1. 四则运算的极限性质：加减乘除都有着相应的极限运算规律。

比如两个函数的极限之和等于它们的极限之和、两个函数的极限之积等于它们的极限之积等。

2. 复合函数的极限性质：当函数与另一个函数进行复合时，它们的极限也满足一定的规律。

比如复合函数的极限等于内函数的极限等。

3. 一些特殊函数的极限运算：（1）三角函数的加减角极限性质；（2）指数函数和对数函数的极限性质；（3）特殊组合函数的极限性质等。

四、常见的极限形式1. 0/0型：在计算函数的极限时，经常会遇到0/0型的不定式形式。

大一高数函数极限知识点

大一高数函数极限知识点函数极限是高等数学中的重要概念之一，它是分析函数性质和求解各种数学问题的基础。

在大一高数课程中，函数极限是必修内容，下面将介绍几个常见的函数极限知识点。

一、基本极限公式在求解函数极限的过程中，常用的基本极限公式有以下几个：1. 当n趋向于无穷大时，$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^p} = 0$，其中p是大于0的实数。

2. 当x趋向于无穷大时，$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^p} = 0$，其中p是大于0的实数。

3. $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x} = 1$。

4. $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$，其中e是自然对数的底数。

这些基本极限公式在求解各种函数极限时非常常用，熟练掌握它们可以简化计算过程。

二、函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，下面介绍两个常用的性质。

1. 函数极限的唯一性：如果$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，且$\lim_{x \to x_0}f(x) = B$，那么A=B。

即函数在某一点的极限存在时，它的极限值是唯一确定的。

2. 函数极限的四则运算法则：设$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$，$\lim_{x \to x_0}g(x) = B$，其中A、B都存在，则有以下四则运算法则：（1）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$（2）$\lim_{x \to x_0}[f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$（3）$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$，其中B不等于0。

这些性质在计算复杂函数极限时非常有用，可以简化计算步骤。

三、函数极限的求解方法对于一些特殊函数，我们需要使用一些特殊的求解方法来计算其极限。

大学文科数学2 第二章第二节函数极限

A+ε A A−ε
y
y = f ( x)
o
x0
(δ −
x0
x0 + δ
)
x
明 lim 常例1 证 x→x C = C (C为数).
0
证明任给ε > 0, 任取δ > 0, 当 0 < x − x 0 < δ 时 ,
lim f ( x ) − A = C − C = 0 < ε 成立, ∴ x → x C = C .
2
= lim( x + 1)
x →1
=2
有关函数极限的说明：有关函数极限的说明：
★ 函数在某点的
极限与函数在这点的函数值是否存在，的函数值是否存在，以及取值是多少并
没有关系. 没有关系.
★ 函数在该点
的极限只与函数在该点附近的变化趋势有关系. 势有关系.
定义
U 。 x0 , δ ) 内有定义，如果对于内有定义，设函数 f(x)在点 ( ( )
x → x0
lim f ( x ) = A 或
f ( x ) → A( x → x0 ).
对于任意的存在
该定义称为“ε −δ”定义.
该定义的简洁表示方法： ∀ε > 0, ∃ δ > 0, 使当0 < x − x 0 < δ 时 , 恒有 f ( x ) − A < ε .
x从x0右侧无限趋近x0 , f ( x )的极限称为右极限，
作记 x → x0+；
x→0 x→0
y = x −1
o
−1
x
lim f ( x) = lim( x +1) = 1, + +

数学极限知识点总结

数学极限知识点总结一、极限的概念极限是一个重要的数学概念，它描述了一个函数在自变量趋近某个特定值时的行为。

具体地说，当自变量x在某一点a附近不断靠近，同时函数f(x)的取值也逐渐接近某个特定的数L时，我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

这个定义可以用符号表示为：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。

在这个定义中，ε和δ分别表示"误差"和"变化范围"，而当自变量x距离a足够近时，函数f(x)的取值与极限L的差异也会变得足够小。

换句话说，极限描述了函数在某点附近的稳定性和趋势。

在实际问题中，极限的概念常常用于描述随着自变量的变化，函数取值的趋势。

比如，在物理学中，我们可以用极限来描述速度、加速度、流体的流动等随着时间或空间的变化而变化的量。

而在工程中，极限也可以描述材料的强度、电路的稳定性等。

因此，极限是数学中一个十分重要、普遍且有广泛应用的概念。

二、极限的性质1.极限的唯一性如果一个函数在某点附近有极限，那么这个极限是唯一的。

换句话说，对于一个自变量x趋近于a的函数f(x)，其极限只能有一个确定的值。

这个性质使得我们可以不用担心在计算函数的极限时会出现多个可能的结果，从而保证了极限的一致性和确定性。

2.极限的局部保号性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则当L>0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都大于0；当L<0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都小于0。

这个性质表明了在极限存在的情况下，函数在足够靠近极限点的地方都具有一致的正负性。

3.极限的局部有界性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则存在一个正数M，使得a的某个邻域内函数的取值都在区间(-M,M)之间。

极限概念知识点总结

极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。

当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。

例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。

因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。

1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。

对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。

这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。

这就是极限的基本定义形式。

1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。

以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。

也就是说，一个数列只能有一个极限。

类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。

2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。

3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。

这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。

4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。

极限基础知识点总结

极限基础知识点总结一、极限的概念1.1 极限的概念极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

在数学中，极限通常表示某一数列或函数在自变量取某一值时，与另一给定值（通常是无穷大或无穷小）的距离在很小的范围内。

1.2 极限的符号表示当趋近的过程是无穷远时，称为无穷极限。

常用符号表示：1.3 极限的定义数列极限的定义：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时， a_n与特定数a的距离小于ε，即 |a_n - a|<ε。

函数在x=a处的极限定义：若对于任意ε>0，存在δ>0，当0< |x-a|<δ时， |f(x)-L|<ε。

1.4 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：若函数在某点处有极限，则函数在该点的去心邻域内有界。

（3）局部保号性：若函数在某一点有极限，则该点的去心邻域内函数与该点的极限保持同号。

二、极限的求解2.1 函数在无穷远处的极限当x趋于无穷大时，通常分析函数的渐近行为，例如当x趋近无穷大时，若函数趋近某一有限值，则说明函数有水平渐近线；若函数趋近无穷大，则说明函数有垂直渐近线。

2.2 无穷小的性质与判定无穷小在极限的计算中占有重要地位，一些基本的无穷小性质与无穷小的判定方法：2.3 函数的极限存在性判定对于一些特殊类型的函数，判断其在某一点是否存在极限，例如当x趋近某一值时，函数的变化趋势是否稳定，是否可以利用夹逼定理进行求解等。

2.4 极限存在性的定理弦截定理、单调有界定理、闭区间上连续函数的性质等有助于判断函数在某一点的极限是否存在。

三、极限的计算方法3.1 函数极限的基本运算法则函数极限的基本运算法则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数乘积与函数商的极限等。

3.2 极限的计算方法极限的计算方法包括利用函数的性质、夹逼定理、洛必达法则、泰勒展开等方法。

3.3 极限的分析对于一些复杂函数极限的计算问题，需要先进行极限的分析，例如观察函数的泰勒级数展开式，取其前几项进行计算等。

大学文科数学——极限ppt课件

0
x2n1
•
1
an (1)n1
x
②
11
1
, ,L 24
, 2n
,L
… xn … x3
x2
••••• •••••
011
1
2n 8
4
这个数列的通项是:
x1
1 an 2n
1x
2
数列极限的定义(定性描述):
如果当n无限增大时，数列{an }的通项无限趋近于常数a，则称数列以a为极限，
记作
lim
n
an
a，或an
a(n
).
也称该数列收敛.
若该数列不以任何常数为极限，则称
这个数列发散.
这个定义是在运动观点的基础上凭借几何图像,直觉用自然语言作出的定性描述.
a2n
–1
0
a2n1
x
1
(1){(1)n1 }的极限不存在;
因为当n∞ 时，{(1)n1 }
1 lim 0 n 2n
反复地取 1和－1，没有明显的变化趋势, 是发散的.
一列数：
10，1，0.1，0.01，…，102－n，… 称为数列. 102－n为通项. 以下均为数列 :
111 1
, , ,L 248
, 2n
,L
.
1,1, 1,L ,(1)n ,L .
2, 4, 6,L , 2n,L .
一、数列的极限（问题的引入）：
在《庄子·天下篇》中有“截丈问题”的精彩论述：
阿基里斯追龟
一位古希腊学者芝诺（Zenon，约公元前496 — 约前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！

极限公式知识点总结

极限公式知识点总结一、极限的定义在微积分中，对于一个函数f(x)，当x趋于某一个特定的值a时，可以用极限的概念来描述。

具体的定义如下：若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，都有|f(x)-L|＜ε成立，那么就称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作lim┬(x→a) f(x) = L。

这个定义描述了当自变量x趋于a时，函数f(x)的取值趋于L。

其中ε为任意给定的正数，δ为与ε对应的正数。

当|x-a|小于δ时，|f(x)-L|也小于ε。

二、极限的性质极限具有一些基本的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解极限概念，也可以用于极限的计算中。

下面是极限的一些基本性质：1. 极限的唯一性：若lim┬(x→a) f(x)存在，则极限唯一。

2. 极限的局部有界性：若lim┬(x→a) f(x) = L，则存在邻域U(a, δ)，使得f(x)在U(a, δ)上有界。

3. 极限的局部保号性：若lim┬(x→a) f(x) = L，且L＞0（或L＜0），则存在邻域U(a, δ)，使得f(x)在U(a, δ)上恒大于0（或小于0）。

这些性质对于理解极限以及进行极限的计算都具有重要的意义，可以帮助我们更好地掌握极限的概念。

三、极限的计算方法在实际应用中，需要对极限进行计算，以便求解问题或证明定理。

对于一些常见的函数，可以通过一些特定的计算方法来求解极限。

下面是一些常见的极限计算方法：1. 代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数中，从而得到极限的值。

例如lim┬(x→2) (x²-4) = 2²-4 = 0。

2. 夹逼准则：当极限存在时，如果存在另外两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)对于x∈(a-d, a+d)成立，并且l im┬(x→a) g(x) = lim┬(x→a) h(x) = L，则有lim┬(x→a) f(x) = L。

大一数学第一章极限知识点

大一数学第一章极限知识点在大一的数学课程中，极限是一个非常重要的概念，也是学习数学的基础。

在这一章节中，我们将介绍极限的概念、性质和计算方法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、极限的概念极限是数学中描述函数变化趋势的概念。

简单来说，当自变量接近某个特定值时，函数的值会趋近于一个固定的数，我们就称这个固定的数为极限。

例如，当自变量x接近无穷大时，函数f(x)的值会趋近于无穷大，我们可以表示为lim(x→∞)f(x) = ∞。

二、极限的性质1. 极限存在性：如果一个函数在某个点上的左极限和右极限相等，那么它的极限存在。

换句话说，函数在该点附近的取值逐渐趋近于一个固定的数。

2. 极限唯一性：如果一个函数在某个点上的极限存在，那么它的极限是唯一的。

这意味着无论从哪个方向逼近，所得到的极限都是相同的。

3. 极限的四则运算规则：如果函数f(x)和g(x)的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也存在，并且可以通过极限的性质进行计算。

三、极限的计算方法1. 代入法：当函数在某个点上连续时，可以通过直接代入该点来计算极限。

例如，lim(x→1)(x^2) = 1^2 = 1。

2. 分离变量法：当函数不能直接代入计算时，可以通过分离变量来化简。

例如，lim(x→0)(x^2 * sin(1/x))可以将其分离为lim(x→0)(x^2) * lim(x→0)(sin(1/x))，然后分别计算两个极限。

3. 夹逼法：当函数不能直接计算极限时，可以通过夹逼定理来确定极限的值。

夹逼法的基本思想是找到两个函数，一个上界和一个下界，并证明它们的极限都是相同的。

例如，要计算lim(x→0)(x * sin(1/x))，可以使用夹逼法将其夹在两个函数 x 和 -x 之间。

四、极限在实际问题中的应用极限不仅仅是数学中的一个概念，它在实际问题中也有广泛的应用。

例如，在物理学中，极限可以描述物理量的趋势和变化规律。

在经济学中，极限可以用于分析市场供需关系和价格变化趋势。

高数函数的极限知识点

高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。

2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。

二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。

2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。

3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。

三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。

极限知识点总结大学

极限知识点总结大学一、极限的定义1. 函数极限的定义设f(x)是定义在开区间(a, b)上的函数，x0是(a, b)的聚点，A为实数，如果对于任意给定的正数ε，总存在另一正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立，则称当x趋于x0时f(x)的极限为A，记作lim(x→x0)f(x) = A。

2. 无穷极限的定义当x的取值在给定区间内无上（下）界，但x接近于无穷时，称函数f(x)在x趋于无穷时的极限为无穷极限，记作lim(x→∞)f(x) = +∞(-∞)。

3. 极限存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处极限存在的充要条件是：当x→x0时f(x)的确界和极限存在，并且两者相等。

二、极限的性质1. 极限唯一性若函数f(x)当x趋于x0时的极限存在，则该极限值唯一。

2. 极限存在性与有界性的关系若函数f(x)在点x0的邻域内有界，且极限存在，则函数必定收敛于某一有限值。

反之，函数收敛于有限值，则函数一定在该点的邻域内有界。

3. 两个函数的极限性质设lim(x→x0)f(x) = A，lim(x→x0)g(x) = B，若A和B都存在，则有下列极限性质：（1）四则运算法则：lim(x→x0)[f(x)±g(x)] = A±B，lim(x→x0)[f(x)×g(x)] = A×B，lim(x→x0)f(x)/g(x) = A/B（当B≠0时）。

（2）复合函数的极限：若g(x)在x0的邻域内有极限lim(x→x0)g(x) = u，而f(x)在u的邻域内有极限lim(u→u0)f(u) = A，则复合函数f(g(x))在x趋于x0时的极限为lim(x→x0)f(g(x)) = A。

4. 极限存在性的判断（1）夹逼定理：若在点x0的某个去心邻域内，始终有h(x)≤f(x)≤g(x)，而lim(x→x0)h(x) = lim(x→x0)g(x) = A，则lim(x→x0)f(x) = A。

文科高等数学重要知识点汇总

第一章函数与极限一、内容提要1．函数是微积分研究的对象，定义域、对应法则构成其两要素。

2．极限分成数列极限与函数极限，是微积分学的基础，以后的内容绝大多数与此紧密相关。

3．无穷小与无穷大是两个特殊的变量，为了更精细的研究它们之间的关系，必须讨论它们之间比较时产生的阶的关系。

4．求极限的方法有多种，本章主要有利用极限运算法则及两个极限存在法则方法，并利用后者得到两个重要极限。

5．利用极限来描述连续这种直观现象是用极限对函数研究的第一次应用，并得到了初等函数的连续性。

作为连续函数，当其在闭区间上时具有特殊的性质。

二、重要结论1．的定义为：lim n n a a →∞=0,0,,n N n N a a εε∀>∃>∀>−<满足。

2．()0lim x x f x →=A 的定义为：()()000,0,,,x U x f x A εδδ∀>∃>∀∈−<满足ε。

()0lim x x f x +→=A 的定义为：()()000,0,,,x x x f x A εδδ∀>∃>∀∈+−<满足ε。

()0lim x x f x −→=A 的定义为：()()000,0,,,x x x f x A εδδ∀>∃>∀∈−−<满足ε。

()lim x f x →∞=A 的定义为：()0,0,,X x x X f x A εε∀>∃>∀>−<满足时成立。

()lim x f x →+∞=A 的定义为：()0,0,,X x X f x A εε∀>∃>∀>−<满足x 时成立。

()lim x f x →−∞=A 的定义为：()0,0,,X x x X f x A εε∀>∃>∀<−−<满足时成立。

3．数列极限或函数极限若存在则必唯一。

4．收敛数列必为有界数列，函数极限存在有局部有界性。

大学数学经典求极限方法及解析（最全）

大学数学经典求极限方法及解析（最全）求极限的各种方法及解析1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x 【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110113．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】13)13)(13(lim )13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限30sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非．．．．．．．．零因子．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1s inlim0=→xx x 和e x nx x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

大学文科数学2 第二章六、极限的四则运算

sin3x = 3lim ⋅1 x→0 3x
= 3.
2)
1n lim(1 + ) = e. n→∞ n e 是一个无理数， e = 2.718 281 828 459 045L
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
lim(1 + x) = e
x→0
1 x
1 x lim(1 + ) = e e x→∞ 16 例 x x 1 3 3 3 x = lim[(1 + ) ] 1 lim(1 + ) x → ∞ ）
例10 lim(2x2 + 3x − 4)
= lim(2 x 2 ) + lim 3 x + lim( −4) x →1
x →1
x→1
x→1 →
= 2 lim x +3 lim x − 4 x →1
2 x →1
= 2(lim x )2 + 3 − 4
x →1
= 1.
lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B
sinω x t =ωx sin t 其中，其中，lim lim → =1 x→0 ω x t →0 t
sin 3 x tan3x = lim 4)lim x → 0 x ⋅ cos 3 x x→0 x sin 3 x 1 = lim ⋅ lim x →0 x → 0 cos 3 x x
lim[cf ( x)] = c lim f ( x)
lim[ f ( x)] = [lim f ( x)]
n
n
代数和的极限等于极限的代数和. 代数和的极限等于极限的代数和
x −1 例11 lim x→1 x + 2

极限重要知识点总结

极限重要知识点总结一、极限的定义1.1 函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于的某一确切值。

数学上用符号“lim”表示函数的极限，具体定义如下：对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个确定的常数L，使得对于任意小的正数ε，总存在着另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

1.2 数列的极限除了函数的极限，数列的极限也是极限的一种特殊情况。

对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个确定的常数a，使得对于任意小的正数ε，总存在着自然数N，使得当n>N时，就有|an-a|<ε成立，那么就称数列{an}在n趋于无穷大时的极限为a，记作lim(n→∞)an=a。

1.3 极限的重要性极限对于微积分的发展具有非常重要的意义，它为导数和积分的定义提供了理论基础。

在实际问题中，极限也具有很高的应用价值，它可以帮助我们研究和描述诸如速度、加速度、概率等问题，因此对于学习微积分和实际问题的解决都具有非常重要的意义。

二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x=a的极限存在，那么这个极限是唯一的。

这意味着在某一点的极限值是确定的，不会有多个不同的极限值。

2.2 极限的有界性如果函数f(x)在x=a的极限存在且有限，那么函数f(x)在x=a的某个邻域内是有界的。

在实际应用中，有界性可以帮助我们判断函数在某个点附近的变化规律。

2.3 极限的保号性如果函数f(x)在x=a的某个邻域内恒大于（或小于）一个有限数L，则函数f(x)在x=a的极限也恒大于（或小于）L。

这个性质在实际问题中也具有很高的应用价值，可以帮助我们快速判断函数在某一点附近的变化规律。

2.4 极限的四则运算法则如果函数f(x)和g(x)在x=a的极限分别存在，那么它们的和、差、积、商的极限也分别存在，并且有如下关系：lim(x→a)(f(x)±g(x))=lim(x→a)f(x)±lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)×g(x))=lim(x→a)f(x)×lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)÷g(x))=lim(x→a)f(x)÷lim(x→a)g(x)（其中lim(x→a)g(x)≠0）。

极限的讲解及运算

非零数型 d.利用无穷小运算性质求极限; 0
型
e.利用左右极限相等求分段函数极限; f.利用两个重要极限公式求极限.
微积分
四、无穷小量的阶
例如
当x 0时, x、 x 都是无穷小.
2
但是, x 比x趋向于0的速度快.
无穷小量的阶就是来衡量无穷小趋向于 0的速度快慢程度.
2
微积分
定义
微积分
x 1 x 1 lim 0 lim C. lim x0 2 x x( 1 x 2 1) x0 1 x 1 x0
2
x2
当x 0时, tan x是x的高阶无穷小.
x lim x D. lim x 0 x x 0
3
2 3
lim
微积分
练习
x2 1 lim x 3 x 3
x 3 解 lim 2 0 x3 x 1
x2 1 lim x 3 x 3
微积分
x 1 例3 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
2
消去零 0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 . ( 型) 因 0 先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限. 子法 2
1 1 1
微积分
练习
sin 2 x 2 1 、 lim _________ . x0 x
3 3x 2、 lim _________ . 2 x0 sin 2 x
sin 2 x 3、 lim x0 sin 7 x
2 7 __________ .
1 2 __________ .
解当x 时, 1 为无穷小, x
而 sin x是有界函数.
sin x lim 0. x x

大一高等数学极限知识点

大一高等数学极限知识点大一高等数学中的极限是一门重要的数学分支，它是微积分学的基础。

在学习极限的过程中，有一些核心的知识点需要掌握。

下面将详细介绍大一高等数学中与极限相关的知识点，包括极限的概念、极限的性质、极限的计算方法以及极限的应用。

一、极限的概念1. 数列的极限：数列的极限是指当自变量n趋向于无穷大时，函数值逼近一个常数A，即lim（n→∞）an=A。

2. 函数的极限：函数的极限是指当自变量x趋向于一个定点时，函数值逼近一个常数A，即lim（x→a）f(x)=A。

二、极限的性质1.唯一性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，那么这个极限是唯一的。

2.有界性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，那么函数f(x)在x=a的一些邻域内有界。

3.累次性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，并且函数g(x)在x=a处的极限存在，那么函数f(x)g(x)在x=a处的极限也存在，并且等于这两个极限的乘积。

三、极限的计算方法1.代入法：如果函数在特定点的极限的形式为0/0或∞/∞，则可以通过将自变量代入函数来化简极限表达式。

2.约等于法：如果函数在特定点的极限的形式不易化简，可以通过近似替代的方式将复杂函数化简为简单函数。

3.极限的运算法则：和、差、积的极限等于各自函数极限的和、差、积；商的极限等于被除函数与除法函数的极限之商（需要除数函数在极限点的极限不为0）。

四、极限的应用1.极限在连续性中的应用：利用极限的性质，可以证明函数在一些点处的连续性。

2.自变量趋于无穷时的极限：通过研究自变量趋于无穷时函数的极限，可以得到函数的渐近线、无穷小量等重要概念。

3.奇偶函数的极限：奇函数在原点处的极限为0，偶函数在原点处的极限存在且相等。

4.拐点的判定：通过研究函数在特定点处的极限，可以判断函数是否存在拐点。

以上是大一高等数学中与极限相关的核心知识点。

通过对这些知识点的学习和理解，可以为后续的微积分学习打下坚实的基础。

大学极限的知识点总结

大学极限的知识点总结一、引言极限是微积分中最基本的概念之一，也是建立微积分理论的基础。

它在求导、求积分以及求解微分方程等方面都有着重要的应用。

了解极限的概念和性质对于学习微积分和其他相关数学课程都非常重要。

本文将对大学极限的知识点进行总结和讨论，帮助读者更好地理解这一重要的数学概念。

二、极限的概念1.1 极限的定义在数学中，极限可以用来描述一个函数在某个点上的“接近程度”，它是该函数在该点附近的局部性质。

具体地，如果当自变量趋于某个特定的值时，函数的取值趋于一个确定的值，那么我们就称这个确定的值为该函数在该点上的极限。

数学上用符号“lim”来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋于a时，函数f(x)的极限是L。

1.2 极限的直观理解对于一个函数f(x)，当自变量x在某个点a附近不断接近a时，相应的函数值f(x)也应该在一个特定的值L附近不断接近。

这种“接近程度”可以用一个小球的直观概念来理解，即当x在a的附近时，f(x)就像在一个小球内部，而这个小球的半径可以认为是很小的正数ε。

这也就是说，只要x在a的ε邻域内，函数值f(x)就在L的ε邻域内，即|f(x)-L|<ε。

这就是极限存在的直观理解。

1.3 无穷大与无穷小在极限的研究中，我们还经常会遇到无穷大和无穷小的概念。

无穷大通常用符号"∞"来表示，无穷小通常用符号"o"表示。

无穷大表示当自变量趋于某个特定值时，函数值趋于无穷大，而无穷小则表示当自变量趋于某个特定值时，函数值趋于0。

在极限的讨论中，我们经常会遇到无穷大和无穷小的概念，需要对其有着清晰的认识。

三、极限的性质2.1 极限的唯一性如果一个函数在某点上的极限存在，那么它的极限是唯一的。

也就是说，一个函数在某点的极限只有一个确定的值，这个值不依赖于自变量逼近该点的方式。

这是极限的一个重要性质，它保证了极限的确定性，使得我们可以确切地描述函数在某点附近的局部性质。

大一高数极限笔记整理手写

大一高数极限笔记整理手写极限笔记整理一、极限的概念1.极限是指在某个无限小范围内，函数值变化率明显减小，以至于最终趋近某一值。

2.极限也就是函数在某点上的取值，或者叫做这个函数到某一点的接近值。

3.极限的实质是用一个函数的局部特性来反映其整体特性。

4.极限的计算过程，就是要寻求到某一点的接近值，从而去探究函数在这个点上的特性。

二、极限的形式1.极限表示方法呈“两段”状。

一是用“+∞”表示函数到该点的右侧极限；二是用“-∞”表示函数到该点的左侧极限。

2.当极限接近某一值，即limit f(x) =a时，可以简记为limx→af(x)=a。

3.极限运算时形式和实质是分开的，所以极限的形式可以不变而实质却变了。

三、极限的性质及计算1.极限的性质：加法性，乘法性，极限结合律，限制乘积定理等。

2.极限的计算方法：使用“绝对值”，“拉格朗日”，“偏分”等公式。

3.利用极限计算等式：当极限都存在且有限时，等式一定成立，此时可以利用极限计算等式。

四、无穷小和无穷大1.无穷小是指在某一点，函数值越来越小，甚至不断接近0，但永远不会等于0。

2.无穷大是指在某一点，函数值越来越大，甚至不断接近无穷大，但永远不会等于无穷大。

五、无穷小和无穷大的性质1.无穷小和无穷大的性质：加法性，乘法性，无穷小乘以非零的实数有限，无穷大乘以非零实数无限大等。

2.无穷小和无穷大的计算方法：使用善于变化法，无穷小和无穷大相除，采用以积计数法等。

六、无穷级数1.无穷级数是指可以无限增加的一系列数，它的性质：无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷的。

2.无穷级数的计算方法：可以使用等比级数和等差级数计算无穷级数，以此计算无穷级数的和。