知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换与线性方程组
.
1 a
1 1
,
r − 2r1 r3 + (a − 2)r2 2 3 a+2 3 2 0 −1 0 −1 a 1 r3 − 3r1 3 a −2 0 0 a − 2 −3 −1 0 0
1 −2
1 −2
x2 = k1 −3 + k2 −1 + 0 1 x 3 0 x4 1
1 . 0 0
其中 k1 , k2 为任意常数.
(II) 当 λ =
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组
秩是矩阵的一种内在属性. 矩阵的这种内在属性是与生俱来的, 一个矩阵一旦诞生, 它 的这种内在属性就确定了. 虽然初等变换可以把它们变得面目全非, 但是它们的这个内在 属性是不变的. 等价的矩阵, 看上去各各不同, 但是有一个内在属性是一样的, 那就是它们 的秩.
§3.1
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
min R(A), R(B ) . 其中 A, B 分别为 s × n 和 n × m 矩阵.
(三) 线性方程组有解判别 (1) 一般的方程 Ax = b 的情形.
对 n 元线性方程组 Ax = b, 记 B = (A, b). 注意到 R(B ) 比 R(A) 只多 0 或 1.
是否出现矛盾方程是方程组有解与否的关键; 是否出现自由未知量又是区分有无限多解和有唯 一解的关键. 换成秩的角度去说问题, 就呈现为下面的表达:
n 元线性方程组 Ax = b 有解 ⇐⇒ R(A) = R(B ). 且 n 元线性方程组 Ax = b 无解 ⇐⇒ R(A) = R(B ). (2) 齐次方程组 Ax = 0 的情形. R(A) = R(B ) = n, 有唯一解; R(A) = R(B ) < n, 有无限多解.
矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。
为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。
§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。
一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。
且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。
其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。
线性代数知识点全面总结
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
反证法.
二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵惟一。 3、n阶矩阵A可逆⇔ |A| ≠ 0 ⇔ R(A)=n ⇔ A为满秩矩阵。 4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT ＝A 。 6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A 。
0 D= B
1 x1 x
2 1
A (1)mn A B 。 0
1 x2 x2
2
4、范德蒙得行列式 1 xn xn
2
( xi x j )。
n i j 1
x1n-1
x2 n-1 xn n-1
四、典型例题
1、3～4阶的行列式
2、简单的n阶行列式
3、用公式
5、若A可逆，则存在有限个初等方阵P1,P2,…,Pl,使 A ＝ P1P2…Pl 。 6、n 元齐次线性方程组Am×nx = 0 有非零解的充分必 要条件是系数矩阵的秩r(A) < n 。
7、n 元非齐次线性方程组Am×nx = b 有解的充分必要 条件是系数矩阵的秩r(A) 等于增广矩阵r(A，b) 的秩。
秩：矩阵非零子式的最高阶数.
考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。
线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。
因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.２ 初等矩阵教学目的和要求：了解矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念. 教学重点:矩阵的初等变换、初等矩阵 教学难点：矩阵的初等变换. 教学方法与手段：传统教学,教练结合 课时安排:2课时 教学过程§1 矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。
一、矩阵的初等变换在利用行列式的性质计算行列式时,我们对其行(列)作过三种变换——“初等变换”． 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ↔ j i c c ↔ ② 数乘)0(≠k i r k i c k③ 倍加 j i r k r + j i c k c +矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.n m A ⨯经过初等变换得到n m B ⨯, 记作n m n m B A ⨯⨯→.定义２ 等价矩阵：若n m n m B A ⨯⨯→有限次, 称n m A ⨯与n m B ⨯等价, 记作n m n m B A ⨯⨯≅. 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ≅ （２） 对称性：n m n m B A ⨯⨯≅n m n m A B ⨯⨯≅⇒(３) 传递性：n m n m B A ⨯⨯≅, n m n m C B ⨯⨯≅n m n m C A ⨯⨯≅⇒定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为１,且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.例1 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41311221222832A ,利用初等行变换化为行最简形矩阵. 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→413144606690行A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000044604131行行最简形：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→00003232104131行A B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→0000232102301行标准形：⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→O O O E H A 000000100001行与列§２ 初等矩阵定义4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵． １. ２.),()()(0110Δj i E j i E E E E j i r r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→↔ )]([Δk i E E k E E i r k =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ )0(≠k 3.)](,[)()(11Δk j i E j i E E k E E j i r k r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→+设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m j i αααα 1[]n j i n m A ββββ,,,,,,1 =⨯ 性质1 =A j i E m ),(⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m i j αααα 1, =A k i E m )]([⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m j i k αααα 1, =A k j i E m )](,[⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+m j j i k ααααα 1 由此可得:对A 进行一次初等行变换, 相当于给A 左乘一个同类型的初等矩阵.性质2 =),(j i E A n []n i j ββββ,,,,,,1=)]([k i E A n []n j i k ββββ,,,,,,1 =)](,[k j i E A n []3Δ1,,,,,,B k n i j i =+βββββ 注意:3B A ij c k c +→因此可得:对A 进行一次初等列变换, 相当于给A 右乘一个同类型的初等矩阵. 性质3 1),(det -=j i E , ),()],([1j i E j i E =-0)]([det ≠=k k i E ， )]1([)])(([1ki E k i E =- 1)](,[det =k j i E ， )](,[)])(,([1k j i E k j i E -=-定理1 n n A ⨯可逆A ⇔可以表示为有限个初等矩阵的乘积．证 必要性 已知0det ≠A , 则A 满秩n E A ≅⇒， 故存在初等矩阵 Ps P ,,1⋅⋅⋅及Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得n E Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 111111----⋅⋅⋅⋅=Q Q P P A t s 而1-i P 与1-j Q 都是初等矩阵．充分性 设l P P P A ⋅⋅⋅=21,因初等矩阵可逆,有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故A 可逆.定理２ 设n m A ⨯，n m B ⨯, 则⇔≅⨯⨯n m n m B A 存在可逆矩阵m m P ⨯和n n Q ⨯, 使得B PAQ =． 证 必要性 已知n m n m B A ⨯⨯≅, 则存在m 阶初等矩阵Ps P ,,1⋅⋅⋅和n 阶Qt Q ,,1⋅⋅⋅,使得B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 令 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,则有B PAQ =.充分性 已知B PAQ =， 则由定理１知, P 和Q 都可以表示为有限个初等矩阵的乘积， 即 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,故B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11， 也就是n m n m B A ⨯⨯≅. 由此可得矩阵求逆方法之二(初等行变换法）0det ≠⨯n n A s P P P A 21=⇒ (i P 都是初等矩阵）⎭⎬⎫==-------11112111121A E P P P E A P P P s s ⇒ [][]111121----=A E E A P P P s由此可得：对n n 2⨯矩阵[]E A 施行“初等行变换”，当前n 列(A 的位置)成为E 时,则后n 列(E 的位置)为1-A .例２ 设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=431212321A . 用初等变换法求1-A解[]E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100431010212001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101110012430001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→012430101110001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100101110203101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-3154161121A ． 例3 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010010001232a a a a a aA ,试用初等变换法求1-A 解 []E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001010001001000100010001232a a aa a a依次作初等行变换 34ar r -, 23ar r -， 12ar r -可得[]E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→10010000100100001001000010001a a a 故 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11111a a a A . 例４ 判断方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2114415212211111A 是否可逆.若可逆，求1-A 解()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=---100401020011000123302330233011111000010000100001211441521221111113121424 r r r r r r E A因为233023323301111-------,所以0||=A ，故A 不可逆,即1-A 不存在.［注] 此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中,即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断.例5 解矩阵方程B AX =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=141254121B 解:()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100010001523012101 E A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→2112711521125100010001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴-21127115211251A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-14125412121127115211251B A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=640892521 思考与作业: 习题三 P79:１(1)（4)４, 5讲授内容§3.３ 矩阵的秩教学目的和要求:理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩． 教学重点:矩阵的秩.教学难点:矩阵的秩的定义及计算. 教学方法与手段:传统教学,教练结合 课时安排:2课时矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用. 一、矩阵的秩的基本概念定义4. 子式:在n m A ⨯中， 选取k 行与k 列, 位于交叉处的2k 个数按照原来的相对位置构成k 阶行列式， 称为A 的一个k 阶子式， 记作k D .对于给定的k , 不同的k 阶子式总共有k n k m C C 个.定义5． 矩阵的秩：在n m A ⨯中，若 (1) 有某个r 阶子式0≠r D ；(2) 所有的1+r 阶子式01=+r D （如果有1+r 阶子式的话）． 称A 的秩为r , 记作r A =rank , 或者 r A r =)(.规定：0rank =O 例6 求下列矩阵的秩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=331211010011A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=3620130131120101B解()0110012≠==A D ,而A 的所有三阶子式(4个)0312101011=-,0312101011=-,332111001=,331110001=-所以2)(=A R362013013112011-----=B 362014013312000113-----=-C C 362140331-----=036900140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R二、矩阵的秩的性质及结论 性质：1. O A A R =⇔=0)(;2. 对于n m A ⨯,有);,min()(0n m A R ≤≤3. 若r A R =)(，则A 中至少有一个0)(≠A D r ，而所有的0)(1=+A D r .4. 0≠k 时, )()(A R kA R =5. )()(A R A R T=6. A 中的一个r A R D r ≥⇒≠)(07. A 中所有的r A R D r ≤⇒=+)(01８. )()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤ 9. )}(),(min{)(B R A R AB R ≤10．若O B A l n n m =⨯⨯, 则n B R A R ≤+)()( [注] n m A ⨯, 若m A =rank ， 称A 为行满秩矩阵; 若n A =rank , 称A 为列满秩矩阵．n n A ⨯, 若n A =rank , 称A 为满秩矩阵(可逆矩阵, 非奇异矩阵）; 若n A <rank ， 称A 为降秩矩阵(不可逆矩阵, 奇异矩阵）．A 为满秩方阵,0≠⇔A (A 可逆 A ⇔为满秩方阵). 判断1,,,=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛bc ad d c b a d c b a 满足是否可逆，其中． 因为,01≠=-=bc ad dc b a 所以可逆.定理1 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇒.证明： 只需证明n m n m B A ⨯⨯→次1B A rank rank =⇒. 设r A =rank , 仅证行变换之（３)的情形：B k A j j ir k r j i j i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+ααααα(1) 若},{min n m r <， 则有 )(1B r D +不含i r :0)(1)(1==++A r B r D D)(1B r D +含i r , 不含j r :0)(1)(1)(1=±=+++A r A r B r D k D D )(1B r D+含i r , 且含j r ：0)(1)(1==++A r B r D D 倍加故B 中所有的1+r 阶子式0)(1=+B r D A r B rank rank =≤⇒ A B ji r k r -→B A rank rank ≤⇒, 于是可得B A rank rank =． （2) 若m r =或者n r =， 构造矩阵 )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O A A ， )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O B B 由(1)可得11B A ji r k r +→11rank rank B A =⇒⎭⎬⎫==B B A A rank rank rank rank 11B A rank rank =⇒其余情形类似.定理2 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000***0022111121r rr ri i i i i i b b b b b b A 行B =：行阶梯形][][][21r i i i⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000*1*01*00100 行A H =：行最简形定理3 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡→O O O E A r , 称为A 的等价标准形． 推论1 若n n A ⨯满秩， 则n E A ≅． 推论2 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇔.三、利用初等变换求矩阵的秩利用定理4可以简化求秩)(A R 的计算,其常用的方法有: 1. 只用初等行变换,可把A 变成阶梯形矩阵. 例７ 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=14011313021512012211A解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→+--22200000001512012211222001512015120122112313142r r r r r r A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→↔0000022200151201221143r r (阶梯形)，有此可看出 .3)(=A R２.进一步，再进行列初等变换，A 可化为标准型I .在例7中,IA =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→0000000100000100000100000222001512012211I 的特点：左上角为一个)(A R 阶单位矩阵，其它元素为0.在具体的解题过程中，如果A 经过几次初等变换后即可看出)(A R 的秩时，就不必再继续将A 化为阶梯形.例8 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=07521321111321021101A解.26420131013210211011314B 2A r r r r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→--至此，易知2)(=B R （B 不是阶梯矩阵)所以 2)(=A R .例9 试分析以下给出的解答的错误,并给出正确的解答.已知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5321A ， 求1-A错误解答⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11310010113110010110113010110530121即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-113011A错误原因: 没有注意到利用 )()(1-→A E E A 来求1-A 时，要使用初等行变换才可以.而在解法中第1、3步却使用了列变换.正确答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-1325111*1A A A思考与作业:习题三 P79：6,7,10⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn n m m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111讲授内容§3.4 线性方程组的解教学目的和要求：理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.教学重点：线性方程组的解.教学难点:线性方程组有解的条件及应用. 教学方法与手段:传统教学,教练结合 课时安排:2课时设有n 个未知数m 个方程的线性方程组(1)(1）式可以写成以向量x 为未知元的向量方程b Ax =引例 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-)3(622)2(4524)1(13231321321x x x x x x x x )1()3()1(2)2(-- ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-)6(5)5(24)4(1323232321x x x x x x x )6()5()6(4)5(↔- ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-)9(183)8(5)7(132332321x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==619321x x x解线性方程组的初等变换： (１) 互换两个方程的位置(2） 用非零数乘某个方程(3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程 用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=620245241312b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→511021401312行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1830051101312行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→610010109001行方程组： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21 或者 b Ax = 增广矩阵:[]b A A =~设r A =rank , 且A 的左上角r 阶子式0≠r D , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→++++000000000100010001~11,221,2111,1r r rn r r n r nr d d b b d b b d b b A 行: 行最简形 b Ax =的同解方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=++++++++++111,2211,221111,110r rn rn r r r r n n r r n n r r d dx b x b x dx b x b x d x b x b x（３.4） 若01≠+r d , 则方程组（3．４)无解：=>+=r r A 1~rank A rank若01=+r d ， 则方程组(３.４)有解：==r A ~rank A rank （1) n r =时， 方程组(3.4)成为11d x =， 22d x =, …, n n d x = 是其唯一解(2) n r <时, 方程组(3.4)成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++nrn r r r r r nn r r n n r r x b x b d x x b x b d x x b x b d x 11,211,222111,111一般解为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==---=---=---=-+-+-+-+r n nr r n rn r r r r r n n r r n n r k x k x k b k b d x kb k b d x k b k b d x 1111,211,222111,111其中r n k k k -,,,21 为任意常数． 定理5 n m A ⨯, []b AA =~(增广矩阵)(1） b Ax =有解=⇔A ~rank A rank ；(２) b Ax =有解时, 若n A =rank ， 则有唯一解; 若n A <rank , 则有无穷多组解. 证明 设r A =rank , 且A 的左上角r 阶子式0≠r D , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→++++00000000000100010001~11,221,2111,1r r rn r r n r nr d d b b d b b d b b A 行 （行最简形) b Ax =的同解方程组为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=++++++++++111,2211,221111,110r rn rn r r r r n n r r n n r r d dx b x b x dx b x b x d x b x b x （2) (1）若01≠+r d ， 则方程组(2)无解，=>+=r r A 1~rank A rank（２)若01=+r d , 则方程组(2)有解，==r A ~rank A rank当n r =时, 方程组(２)成为n n d x d x d x =⋅⋅⋅==,,,2211，故有唯一解. 当n r <时， 方程组(2)成为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++nrn r r r r r nn r r n n r r x b x b d x x b x b d x x b x b d x 11,211,222111,111其一般解为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==---=---=---=-+-+-+-+r n nr r n rn r r r r r n n r rn n r k x k x k b k b d x kb k b d x k b k b d x 1111,211,222111,111 （其中.,,21r n k k k -⋅⋅⋅为任意常数) 定理６ (１) 0=⨯x A n m 有非零解.)(n A R <⇔; (２) 0=⨯x A n m 有非零解0det =⇔A . 例10用初等行变换法解引例方程的解⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-)3(622)2(4524)1(13231321321x x x x x x x x 解法二 (初等行变换法）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6100101090011830051101312511021401312620245241312]|[行行行b A得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==619321x x x例11 求解b Ax =, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=212164424321A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=385b解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=321218644254321~A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→222002220054321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→000001110054321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→000001110021021行⇒<==42rank ~rank A A b Ax =有无穷多解同解方程组:⎩⎨⎧-=--=43421122x x x x x一般解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==--=242312211122k x k x k x k k x （21,k k 为任意常数）例12 求解b Ax =, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111111λλλA , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21λλb 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21111111111~λλλλλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→101011001111112λλλλλλλ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→≠101011001111111λλλ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+→1001110101)1(1002λλλ行(1)1≠λ同解方程组:⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=++=+=141312)2()1()1(1xx x x x x λλλ一般解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=++=+==kx k x k x k x )2()1()1(14321λλλ (k 为任意常数）(２) 1=λ同解方程组:)(14321x x x x ++-=一般解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===---=34231232111k x k x k x k k k x （321,,k k k 为任意常数）例13 讨论方程组b Ax =何时有唯一解， 无穷多解, 无解? 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112111μλλA , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=443b 解 计算可得)1(det μλ-=A(1） 0≠λ且1≠μ时,根据C ｒamer 法则, 方程组有唯一解. (２) 0=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=41141013101~μA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→μμ3411010003101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→1000341103101ημ行因为3)~(,2)(==A R A R , , 故方程组无解. (３) 1=μ且0≠λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=41114121311~λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→4111100311λλ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→41111002101λ行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→411110102101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→λλ1200010102101行当21≠λ时, 3)~(,2)(==A R A R ， 故方程组无解. 当21=λ时, 32)~()(<==A R A R , 故方程组有无穷多解.思考与作业:习题三 Ｐ80:１１，12教学后记:。
行列式的初等变换与线性方程组总结
矩阵的秩的相关性质：
性质1：0 RAmn min m, n
性质2： R AT RA
性质3：若 A ~ B 则 RA RB
性质4：若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) R(A)
性质5：maxRA, RB RA B RA RB 性质6：RA B RA RB 性质7： RAB min RA, RB
行阶梯形矩阵 （1）可画出一条阶梯线，横线下方全为零； （2）每个台阶只有一行； （3）台阶数为非零行的行数； （4）阶梯线的竖线（长度为一行）后面的第一个元素为
非零数，称为首非零元；
行最简形矩阵
首先是阶梯线矩阵，其次每一个首非零元都是1，且 首非零元所在列的其余元素全为零。
(四) 矩阵的标准形
显然：n 阶矩阵 A 可逆 RA n 。
且：可逆矩阵的秩等于其阶数，故称可逆矩阵为满秩矩阵； 而不可逆矩阵的秩小于其阶数，故称不可逆矩阵为降秩矩阵。
定理 ： 若 A ~ B ，则 R(A) R(B)
即，初等变换不改变矩阵的秩。
求矩阵的秩的方法
A 行的初等变换行阶梯线矩阵
方阵可逆存在有限个初等矩阵方阵可逆可经一系列行的初等变换将化为单位矩阵行的初等变换性质5
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 (一) 线性方程组的同解变换
(二) 矩阵的初等变换 三种初等行变换 三种初等列变换
性质：（1）矩阵的初等变换都是可逆变换； （2）矩阵的等价
(三) 矩阵的等价
若矩阵 A 可经有限次初等变换得到矩阵 B 则称矩阵 A 与 B 等价，并记作： A ～ B
命题： 对于 mn 阶矩阵 A 总可以经若干次行与列的初等
变换将其化为标准形：FmnFra bibliotek
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221aa a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112aa aa ，即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。
（课本P1）同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作111213212223313233a a a aa a a a a 。
即111213212223313233a a a aa a a a a =112233122331132132112332122133132231,aa a a a a a a a a a a a a a a a a ++---二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222ax a x b ax a x b +=⎧⎨+=⎩设11122122a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a D xa a Da a ==，1112122211122122.a b a b D x a a Da a ==（课本P2）对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，设1112132122233132330a a a D aa a a a a =≠，1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a Da b a a b a =，1112132122231323a ab Da ab a a b =，则11D x D=，22D xD=，33D xD=。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
r2r3
12 00
3 45 002
0.5×r2
12 00
3 40 001
0 0 0 0 0 r1+(-5)r2 0 0 0 0 0
例：继续将A的行简化阶梯形化为标准形。
1 2 3 4 0 1 0 0 0 0
A 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
结论：任意矩阵Am×n总是与一个行阶梯形矩阵或行 简化阶梯形矩阵等价，也与一个标准形矩阵等价。
转例
注：矩阵A的行阶梯形矩阵中非零行的数目， 称为A的秩R(A)。
➢矩阵在作初等变换后其秩不改变，即 若A→B，则R(A)=R(B)。
➢矩阵秩的性质： （1）0 R( Amn ) min{ m, n}
（2）R( A) R( AT )
转例
3.1 线性方程组的增广矩阵
线性方程组的一般形式为
a11x1a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2 a2nxn b2
———
2 10 -2 -2 1 -9 3 7 3 8 -1 1
r1+r4×(-2)
———
0 14 -4 -8 1 -9 3 7 3 8 -1 1
1 -2 1 3
1 -2 1 3
1.2 初等矩阵 初等矩阵一定是方阵
定义：对单位矩阵E作一次初等变换后，得 到的矩阵称为初等矩阵。
初等矩阵有如下三种类型（对应于三种变 换），分别记作P ( i,j )，P (i[k])，P (i,j[k]) 。
对上式现右乘A-1，得 Ps Ps-1 P2 P1 AA-1 EA-1
则有 Ps Ps-1 P2 P1 E A-1 表明，通过有限次的初等行变换，将可逆矩 阵A化为E的同时，单位矩阵E则化为A-1 。
第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组
第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组第三章主要介绍了矩阵的初等变换与线性方程组的关系，以及利用矩阵的初等变换来求解线性方程组的方法。
一、矩阵的初等变换1.矩阵的初等变换包括三种操作：互换两行、用一些非零标量乘以其中一行、将其中一行的若干倍加到另一行上。
2.初等变换的性质：初等变换保持矩阵的秩不变；有逆变换；多次初等变换的结果等于这些变换分别作用于单位矩阵的结果的乘积。
二、线性方程组的解1.线性方程组可用矩阵表示为AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知向量，B为常数列。
2.系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A，B)的秩，即r(A)=r(A，B)。
3.齐次线性方程组与非齐次线性方程组：-齐次线性方程组为AX=0，其中0为零向量。
它总有零解，即使有非零解也有无穷多个。
-非齐次线性方程组为AX=B，其中B不为零向量。
它只有唯一解或无解两种可能。
4.矩阵的秩和线性方程组解的关系：r(A)=n，即系数矩阵A的秩等于未知数的个数，则线性方程组只有唯一解；r(A)<n，则线性方程组有无穷多解或无解。
三、求解线性方程组的方法1.初等变换法：-将线性方程组的系数矩阵A和常数列B增广为(A，B)的增广矩阵。
-利用初等变换将增广矩阵化为行简化形式。
-根据化简后的增广矩阵，确定线性方程组的解。
2.矩阵的逆法：-若系数矩阵A可逆，则可将AX=B两边同时左乘A的逆矩阵A-1，得到X=A-1B。
-利用矩阵的逆可以直接求解线性方程组的解。
3.克拉默法则：-若系数矩阵A可逆，则线性方程组AX=B的解可以表示为Xi=，Ai，/，A，其中Ai是将系数矩阵A的第i列替换为常数列B后所得到的矩阵，A，是系数矩阵A的行列式。
-克拉默法则可以用来求解二元线性方程组和三元线性方程组的解。
综上所述，矩阵的初等变换与线性方程组有着密切的关系。
利用矩阵的初等变换可以简化线性方程组的求解过程，而线性方程组的解与系数矩阵的秩有关。
在求解线性方程组时，可以通过初等变换法、矩阵的逆法或克拉默法则来得到方程组的解。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
0 0 1
0
0
2
类型二、含参数线性方程组解的讨论
2010年期末考题 课后题16
四、（12分）设有线性方程组：
x1x1xx22
x3 x3
1
x1
x2
x3
2
问 取何值式时，此方程(1)有唯一解，(2) 无解，(3) 有无限
多解？并在有无限多解时求其通解。
答案：(1) 1且 -2有唯一解；(2) -2无解； （3） 1有无限多解，
x1 1 1 1
x2 c1 1 c2 0 0
x
3
0
1 0
2011年选考题
四.(12分)当c, d取何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1
3xx2 122xx3 22xx34
x4 3x5 6x5 3
c
5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 d
并在有无穷多解时求其通解。
答案：(1) 1或 10，有唯一解， (2) 10,
2 2 1
(3)
1,
通解c 1
1
c 2
0
0
0 1 0
类型三、判断线性方程组的解
2009年期末考题
4. 设B是数域K上的n阶可逆矩阵，对应K中任意n个数b1,…,bn,
x1 b1
线性方程组B
2x2 x3
x1
x2
2x3
2
当 取何值时有解？并求出它的通解。
1 1
答案：(1)=
1，通解c
1
0
1 0
1 2
(2)
2,
通解c
1
2
1 0
课后题18
设 (2 )x1 2 x2 2 x3 1
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
X1+5X2- 9X3-8X4=0
解：对增广矩阵B进行初等行变换化为最简形
B=
而得：X1= X3 X4+
X2= X3 X4
X3=X3
X4= X4
进而 =C1 +C2 + (其中C1,C2∈R)
例4：设有线性方程组：
(1+λ)X1+X2+X3=0
X1+(1+λ)X2+X3=3
…..
Xr=-br1Xr+1-…--br.n-rXn+dr
令自由未知数Xr+1=c,….Xn=Cn-r即得
= =C1 +…+C1 +
其中C1…Cn-r为任意常数
例2：求解齐次线性方程组：
X1+2X2+2X3+X4=0
2X1+X2-2X3-2X4=0
X1- X2- 4X3-3X4=0
解：对系数矩阵A施行初等行变换化为最简行矩阵
规定零矩阵的秩为0
设AB=0，若A为列满秩矩阵，则B=0，R(B)=0
非零子式
K阶子式
矩阵A=(aij)m*n的任意k个行和k个列的交点上的k2个元素按原顺序排列成k阶行列式
称为A的K阶子式(其中k=1,2，…,min{m,n})
矩阵的秩：矩阵A中存在（至少一个）R阶子式不为0，而所有r+1阶子式全为零（若存在），则称矩阵的秩为r，记为r(A)=r，即非零子式的最高阶数
三、线性方程组的解：
定理：对于n元线性方程组AX=b
i.无解的充要条件：R(A)<R(A,b);
ii.有唯一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n；
线性代数第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
✓一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 i ＋k j .
其逆变换是：
ij
i ×k i +k j
ij
i ÷k i －k j
结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变
换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2. 在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算．
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
0 0 0 0 1
以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列．
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
? E5
0
0
1
0
0 c53 c53 k 0
0
1
0
k0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0k 0 1
a11 a12 a13 a14
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
知识点回顾：克拉默法则
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
设
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该 线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）
✓对调两行，记作 ri rj ； ✓以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri k ； ✓某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri krj .
其逆变换是：
ri rj ri k ri krj
ri rj ; ri k; ri krj .
知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组
知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组。
这篇文章将对矩阵的初等变换及其与线性方程组的关系进行详细阐述。
一、矩阵的初等变换的定义和种类矩阵的初等变换是指对矩阵进行的三种基本操作：交换两行，用数乘一个非零常数乘以其中一行，以及把一行的倍数加到另一行上去。
这三种操作都可以表示为可逆矩阵的乘积，因此初等变换不改变矩阵的行秩和行空间。
三种初等变换可以分别表示为：1. 交换两行：用一个单位矩阵的行交换矩阵作用于原矩阵，例如将第i行与第j行交换可以表示为Pij * A，其中Pij为单位矩阵的行交换矩阵。
2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：用一个对角矩阵作用于原矩阵，例如将第i行乘以非零常数k可以表示为Di(k)*A，其中Di(k)为对角矩阵。
3. 把一行的倍数加到另一行上去：用一个单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和作用于原矩阵，例如将第j行的k倍加到第i行可以表示为Lij(k) * A，其中Lij(k)为单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和。
二、矩阵的初等变换和线性方程组的关系解线性方程组的过程中，我们常用到矩阵的初等变换来简化方程组的形式，从而更容易找到方程组的解。
下面以一个简单的线性方程组为例进行说明。
假设有一个线性方程组：a1*x1+a2*x2=b1c1*x1+c2*x2=b2将该线性方程组表示为矩阵形式：A*X=B其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
我们可以通过矩阵的初等变换来简化系数矩阵A，从而简化方程组的求解过程。
1.交换两行：通过交换方程组的两个方程，可以改变线性方程组的次序，从而改变系数矩阵A的排列顺序。
这样做有时可以使系数矩阵更容易进行进一步的变换和求解。
2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：通过将一些方程的系数乘以一个常数k，可以改变该方程的形式。
这样做可以使一些系数简化为1，从而更容易求解。
如果系数k为0，则可以直接删除该方程。
3.把一行的倍数加到另一行上去：通过将一些方程的系数与另一个方程相加，可以使两个方程中的一些系数为0，从而进一步简化系数矩阵A。
线性代数第三章,矩阵初等变换与线性方程组
（称 B 是该线性方程组的增广矩阵）
3
6 9
7 9
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
~r1
r2
2
r3
1 2
2
3
1 3 6
1 1 9
1 1 7
~ 2
r2 r3
r3 2 r1
0
2
r4
3r1
0
9 0
2 5 3
2 5 3
2 3 4
0
6
3
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
A,
E
2
3
2 4
1 3
0 0
1 0
0 1
r2 r3
2 r1
~
3r1
0 0
2 5 2 2 6 3
1 0
0
1
1
r1 r2
~ r3 r2
0 0
0 2 1 1 2 5 2 1 0 1 1 1
0 1
0 1
r1 2r3
~
r2 5r3
0 0
0 0 1 3 2
2 0
3
6
5
0 1 1 1 1
2 4 4
2 4 0
4 4 0
240
故 R A 2 。
特别，当 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 ，则 R A n ；反之，当 n 阶方阵 A 的秩 R A n ，
则 A 0 。因此 n 阶方阵可逆的充分必要条件是 R A n （满秩）。
定理 若 A ~ B ，则 R A RB 。
3 2 0 5 0
x2
c
1
2
x3 1 0
一些推广：
1． 矩阵方程 AX B 有解 R A R A, B 。 2． AB C ，则 RC min{R A, RB}。 3． 矩阵方程 Amn X nl O 只有零解 R A 0 。
矩阵的初等变换与线性方程组求解
矩阵的初等变换与线性方程组求解矩阵在数学中扮演着重要的角色，它们被广泛用于各个领域的问题求解。
在矩阵中，初等变换是一种常用的工具，用于改变矩阵的形式，进而帮助我们解决线性方程组的求解问题。
本文将详细介绍矩阵的初等变换的概念和操作，以及如何利用初等变换来求解线性方程组。
一、初等变换的概念初等变换是指在满足一定规则下对矩阵进行的一系列基本操作。
根据初等变换的不同类型，可以将其划分为三类：交换两行或列、某行或列乘以非零常数、某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上。
通过这些操作，我们可以改变矩阵的行列式、秩、高斯消元等性质，从而为线性方程组的求解提供便利。
二、初等变换的操作1. 交换两行或列：通过交换矩阵中任意两行或两列的位置，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。
2. 某行或列乘以非零常数：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。
3. 某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，并加到另一行或列上，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。
三、利用初等变换，我们可以将线性方程组的系数矩阵通过一系列操作，转化为特殊形式的矩阵。
这个特殊形式的矩阵通常被称为行简化阶梯形矩阵或行最简矩阵。
行简化阶梯形矩阵的主对角线上的元素全为1，并且每个主对角线上方的元素全为0。
得到行简化阶梯形矩阵后，就可以利用高斯消元法等技巧，快速求解线性方程组的解。
通过矩阵变换的过程，我们可以发现行简化阶梯形矩阵的解可以直接得到，而不需要进行繁琐的计算。
四、实例分析为了更好地理解矩阵的初等变换与线性方程组求解的过程，我们来看一个具体的例子。
考虑以下线性方程组：x + y + z = 62x + 3y + 4z = 174x + 5y + 6z = 28将其转化为矩阵形式：( 1 1 1 | 6 )( 2 3 4 | 17 )( 4 5 6 | 28 )接下来，我们利用初等变换将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵。
知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第一节 矩阵的初等变换初等行变换1 对调两行，记作 （r i r j ） 。
2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素，记作 （r i k ） 。
3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去，记作 （r ikr j ） 。
初等列变换： 把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“ r ”换成“ c ”。
扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换， 初等变换的逆变换仍为初等变换 , 且类型相同。
矩阵等价 如果矩阵 A经有限次初等变换变成矩阵 B ，就称矩阵 A 与 B 等价。
等价关系的性质（ 1）反身性 A~A（2）对称性 若 A ~ B ,则 B~ A;（3）传递性 若 A ~B,B~ C,则 A ~ C 。
（课本 P59）行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零， 每个台阶只有一行， 台阶数即是非零 行的行数阶梯线的竖线 （每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元， 也是非零行 的第一个非零元。
行最简形矩阵： 行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0.为标准型。
标准形矩阵是所有与矩阵 A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。
初等变换的性质设 A 与 B 为 m × n 矩阵，那么标准型 ：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如E rO的矩阵，称mnr（1）A: B 存在m阶可逆矩阵P，使PA B;c（2）A~ B 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ B;（3）A: B 存在m阶可逆矩阵P，及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B;初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。
初等矩阵的性质设A是一个m×n 矩阵，则（1）对A施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m阶初等矩阵；r即A~B 存在m阶可逆矩阵P，使PA B;（2）对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵；即A~B 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ B;（3）A~B 存在m阶可逆矩阵P，及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B;（4）方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵P1,P2,L ,P l,使A P1P2L P l 。
矩阵的初等变换与线性方程组
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2 1 4
r1 r2 r3 2
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2 2
B1
9
r2 r3 1 1 2 1 4
r3 2r1 r4 3r1
0 0 0
2 5
3
2 5
3
2 3
4
0 6
B2
3
r2 2 r3 5r2
0 1 0 A 0
0 1
1 1 0 6
2 5
3 4
,
求
A
.
0 0 1 0 0 1 7 8 9
解
设
B
1 6
2 5
3 4
,
则有
E(1,2)AE(1,3(1)) B ,
7 8 9
即 A E(1,2)1 BE(1,3(1))1 E(1,2)BE(1,3(1))
1 B 6
2 5
3 6 r1r2
E(ij(k))1 E(ij(k))
定理 初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵
如
0 1
1 0
0 0
1
0 1
1 0
0 0
E(1,2) 1 E(1,2)
0 0 1 0 0 1
E(i, j)1 E(i, j)
1 0
0
0 1 0
0
1
0
- 2
1
0
0
0 1 0
0
0 -1
2
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换
初等行变换
()1()i j r r ↔对调两行，记作。
()20()i k r k ≠⨯以数乘以某一行的所有元素，记作。
()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。
初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。
扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。
矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。
等价关系的性质
（1）反身性 A~A
2 A ~B , B ~A;（）对称性若则
3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。
（课本P59）
行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。
行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.
标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r
m n
E O
F O O ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭的矩阵，称为标准型。
标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。
初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么
(1);r
A B m P PA B ⇔=:存在阶可逆矩阵，使
(2)~;c A B n Q AQ B ⇔=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ⇔=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。
初等矩阵的性质
设A 是一个m ×n 矩阵，则
（1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r
A B m P PA B ⇔=即存在阶可逆矩阵，使
（2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ⇔=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ⇔=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使
（4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。
（5）~r
A A E 可逆的充分必要条件是。
（课本P ？ ）
初等变换的应用
（1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -−−−−→初等行变换或1A E E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
初等列变换。
（2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即()
1(|)|A B E A B -−−→行，则P =A -1B 。
或1E A B BA -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
初等列变换. 第二节 矩阵的秩
矩阵的秩 任何矩阵m n A ⨯，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。
（非零行的行数即为矩阵的秩）
矩阵的秩 在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有r + 1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式。
数r 称为矩阵A 的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0.
说明
1. 矩阵A m ×n ，则 R (A ) ≤min{m ,n };
2. R (A ) = R (A T );
3. R (A )≥r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;
4. R (A )≤r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零.
满秩和满秩矩阵 矩阵()ij m n
A a ⨯=，若()R A m =，称A 为行满秩矩阵；若()R A n =，称A 为列满秩矩阵；,(),A n R A n A =若为阶方阵且则称为满秩矩阵。
()n A R A n =若阶方阵满秩，即0A ⇔
≠；1A -⇔必存在；A ⇔为非奇异阵； ,~.n n A E A E ⇔必能化为单位阵即
矩阵秩的求法
定理1 矩阵A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。
即若A ～B ，则R (A )=R (B )。
矩阵A m ×n ，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A 的秩。
（证明课本P ？ ）
推论 ()()P Q R PAQ R A =若、可逆，则（课本P ？ ）
矩阵秩的性质总结
(1)0()min{,}m n R A m n ⨯≤≤ (2)()()T R A R A = ()()(3)~, A B R A R B =若则
()()P Q R PAQ R A =(4)若、可逆，则
(5)max{(),()}(,)()()
()(,)() 1.R A R B R A B R A R B B b R A R A R A ≤≤+=≤≤+b 特别当为非零列向量时，有
(6)()()()R A B R A R B +≤+ (7)()min{(),()}.R AB R A R B ≤
(8),()().m n n l A B O R A R B n ⨯⨯=+≤若则
(9)AB=O A B=O 设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。
（课本P71）
第三节 线性方程组的解
线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L 如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容 定理2 n 元齐次线性方程组 Ax =0
（1）R(A) = n ⇔Ax=0 有唯一解，零解
（2）R(A) < n ⇔Ax=0 有非零解.
定理3 n 元非齐次线性方程组Ax b =
（1） 无解的充分必要条件是(A)R(A,b)R <
（2） 有唯一解的充分必要条件是(A)R(A,b)n R ==
（3） 有无限多接的充分必要条件是(A)R(A,b)n R =<（证明课本P71）
基础解系 齐次线性方程组0Ax =的通解具有形式1122x c c ξξ=+(c 1, c 2为任意常数)，称通解式()
112212,x c c c c ξξ=+为任意常数中向量12,ξξ构成该齐次线性方程组的基础解系。
线性方程组的解法
齐次线性方程组：将系数矩阵A 化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解. 若有非零解，化成
行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为n －R (A )，齐次线性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合”。
非齐次线性方程组：将增广矩阵B =(A ,b )化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的。
非齐次线性方程组解的通解具有形式*1122x c c ξξη=++ (c 1, c 2为任意常数)，不带参数
部分*η是非齐次方程组的一个解；带参数部分1122c c ξξ+的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。
定理
矩阵方程AX ＝B 有解的充分必要条件是R(A)＝R(A,B) 定理 ,()min{(),()}AB C R C R A R B =≤设则。