5.7三角函数模型的简单应用
5.7 三角函数的应用 课件(共26张PPT)
5.7 三角函数的应用课件（共26张PPT）(共26张PPT)5.7三角函数的应用第五章学习目标学科素养1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型;2.会用三角函数模型解决简单的实际问题1.数学建模2.逻辑推理1自主学习函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义Aωx＋φφ2经典例题题型一三角函数在物理中的应用解列表如下：2t＋0 π 2πts 0 4 0 －4 0描点、连线，图象如图所示.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？解小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.(3)经过多长时间小球往复振动一次？解因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.跟踪训练1已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).∴ω≥300π>942，又ω∴N*，故所求最小正整数ω＝943.题型二三角函数在生活中的应用解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.解p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内.3当堂达标√√√4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为A.5B.6C.8D.10√解析根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.【课后作业】对应课后练习。
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用一周强化一、知识结构二、重难点知识概述1、用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题，将所发现的规律抽象为恰当的的三角函数模型．2、选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据．3、研究的方法是利用收集到的数据分析分析问题中的数量关系，通过作出散点图，根据散点图进行函数拟合，得到函数模型．4、三角函数模型的应用包括（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图象；（3）根据实际问题处理数据，作出图象进行函数拟合，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．5、建立数学模型解决实际问题，所得的模型一般是近似的，并且得到的解也是近似的，所以需要根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析．三、例题讲解例1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式为：，那么单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间为（）A．2π秒B．π秒C．0.5秒D．1秒分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式，单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期．解：∵ω=2π，∴．故选D．说明：客观世界中很多物理现象的数量之间存在着三角函数关系，熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助于解决此类问题．例2、如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h=f(t)的关系式；(2)画出函数h=f(t)的图象．解析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力．解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．设点A的坐标为(x,y)，则h=y＋0.5．设∠OO1A=θ，则又，即，所以(2)函数的图象如下例3、下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x1 59 80 117 126 172 225 263 298 356白昼时间y（小时）5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.48.5 5.4(I)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；(Ⅱ)试选用一个形如y=Asin(ωx＋)+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系．(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算)(Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．解：（I）画散点图见下面．（II）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=Asin(ωx＋)＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即y max=19.4，y min=5.4，由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4＋5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，∴，例4、在长江汽车渡口，马力不足或装货较重的汽车上岸时，采用沿着坡面斜着成S形的方向向上升，这是为什么？解析：在汽车马力恒定的情况下，行驶单位路程内，垂直上升高度愈大，汽车愈费“力”，当“力”所不及时，就会发生危险．日常经验告诉我们，走S形可减少这种危险．从数学的角度看，如图所示，AB表示笔直向上行走的路线，(AB⊥CA)，α表示它与水平面所成的夹角，CB表示斜着向上所行走的路线，β表示它与水平面所成的夹角，它们所达到的高度都是BD．现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大．在Rt△BAD中，，①在Rt△BCD中，，②比较①与②，因为AB、CB分别是Rt△ABC的直角边和斜边，也就是说AB＜CB，所以，所以sinα＞sinβ．又因为α、β都是锐角，所以α＞β．因此，汽车沿着CB方向斜着向上开要省力．说明：山区修筑的公路，采取盘山而上的方法，也就是这个道理．另外实际问题中也要碰到利用三角函数来比较大小的问题．。
5.7三角函数的应用课件(人教版)
函数y A sin(x )图像与性质的应用
1.函数y=Asin(ωx＋φ)中φ值的确定
以寻找“五点法”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
2
“第三点”(即图象降落时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
0.8
2
请看课本P245：
例1:如图，某地一天从6～14时的温度变化曲
线近似满足函数:
T/度
y Asin( x ) b. 30
这段曲线对应的函数
20
是什么？ 10
A 1 30 10 10
O
6 10 14 t/h
2
b 1 30 10 20
y 10sin( x 3 ) 20, x 6,14
三角函数
y＝a＋Acos
πx－6 6
(x＝1,2,3，…，12，A>0)来表
示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28 ℃，12 月份的月
平均气温最低，为 18 ℃，则 10 月份的平均气温值为_2_0_.__5_ ℃.
解析：由题意得
a＋A＝28， a－A＝18，
所以
a＝23， A＝5，
所以 y＝23＋5cos π6x－6 .
当
x＝10
时，y＝23＋5×
－1 2
＝20.5.
B 则当
t
＝1 200
s 时，电流强度 I
为(
)
A.5 A C.2 A
B.2.5 A D.－5 A
学以致用：
πx＋π 4.已知函数 f(x)＝Asin 3 6 (A＞0)在它的一个最
5.7 三角函数的应用
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(1)游客甲从最低点Q坐上摩天轮的座舱，转动t min后距离地面的高
度为H m，求在转动过程中，H关于t的函数解析式；
解析：以摩天轮中心O为原点，与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系．
2π
12
π
6
由题意得摩天轮的角速度ω＝ ＝ rad/min，
1
解析：∵周期T＝2×[
180
−
1
−
900
1
2π
]＝ ，∴ω＝ ＝150π，
75
T
又A＝300，∴I(t)＝300sin (150πt＋φ)，
1
将点(－ ，0)代入上式得sin
900
π
2
π
6
π
(φ－ )＝0，
6
π
6
又∵|φ|< ，∴φ－ ＝0，φ＝ ，
∴I(t)＝300sin
π
(150πt＋ )．
6
所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时．
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学习目标三
三角函数模型的拟合
例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪
高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化．每天各时
刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0
5π
4
π
2
3π
4
所以 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，即φ＝－ ＋2kπ，k∈Z，
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义一、引言在我们的日常生活和学习中，三角函数的应用无处不在。
从物理学中的波动现象到建筑设计中的角度计算，从音乐的旋律到天文学中的星球运动，三角函数都发挥着重要的作用。
通过建立三角函数模型，我们能够更好地理解和解决这些实际问题。
二、三角函数的基础知识首先，让我们回顾一下三角函数的基本概念。
1、正弦函数（sin）：对于一个锐角θ，正弦函数的值等于它的对边与斜边的比值。
2、余弦函数（cos）：余弦函数的值等于它的邻边与斜边的比值。
3、正切函数（tan）：正切函数的值等于它的对边与邻边的比值。
三角函数的周期性质也是非常重要的。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
三、三角函数模型的构建在实际问题中，我们常常需要根据给定的条件构建三角函数模型。
例如，假设一个物体做简谐运动，它的位移 y 与时间 t 的关系可以表示为 y ＝A sin(ωt ＋φ)，其中 A 表示振幅，ω 表示角频率，φ 表示初相位。
又比如，在研究交流电的电压变化时，我们可以用函数 u ＝ U₀sin(ωt) 来描述，其中 U₀是电压的最大值，ω 是角频率。
四、三角函数模型在物理学中的应用1、波动现象在物理学中，声波、光波等都属于波动现象。
以声波为例，声音的强度可以用三角函数来描述。
当一个声源发出声音时，声音的传播可以看作是一种波动，其强度随距离和时间的变化可以通过三角函数模型来计算。
2、单摆运动单摆的运动也是一个典型的可以用三角函数模型描述的物理现象。
单摆的摆动角度与时间的关系可以用正弦函数来表示。
五、三角函数模型在天文学中的应用1、星球的位置和运动在天文学中，星球的位置和运动可以通过建立三角函数模型来预测和研究。
例如，地球绕太阳的公转轨道可以近似看作一个椭圆，而太阳位于椭圆的一个焦点上。
通过三角函数，我们可以计算出地球在不同时间的位置和速度。
2、日月食的预测日月食的发生也可以用三角函数模型来预测。
5.7三角函数的应用(课件(人教版))
新知探究
练习1 图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过 1 2
周期后，乙点的位置将移至何处？
乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处．
新知探究
练习2 从诞生之日起，人的情绪、体力、智力等状况就呈周期性变 化，根据心理学统计，人体节律分为体力节律，情绪节律，智力节律 三种，这些节律的时间周期分别为23天，28天，33天．每个节律周期 又分为高潮期，临界日，低潮期三个阶段．节律周期的半数为临界日， 临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置 （平衡位置），请根据自己的诞生日期，绘制自己的体力，情绪，智 力曲线，并预测本学期期末考试期间，你在体力，情绪，智力方面会 有怎样的表现，需要注意哪些问题？
0.4
1.0
目标检测
（1）试画出散点图；
（2）视察散点图，从y＝at＋b，y＝Asin（ωt＋φ）＋b，y＝Acos（ωt ＋φ）＋b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（3）如果确定当浪高不低于0.8 m时才进行训练，试安排合适的训练 时间段．
解：（1）如图；
目标检测
（2）由散点图可知，选择y＝Asin（ωt＋φ）＋b函数模型较为合适． y 2 sin πt 1(1≤ t ≤ 24). 56
（3）在11 h～19 h进行训练较为合适．
5.7 三角函数的应用
第二课时
新知探究
例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y Asin(x ) b．
（1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．
新知探究
例2 海水受日月的引力，在一定时候产生涨落的现象叫潮．一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进巷道，靠近 码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表是某港口某天的时刻与水深关 系的预报．
5.7【课件(人教版)】三角函数的应用
3．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋π4)＋60(美 元)，t 为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价 80 美元，当 t ＝150 天时，油价最低，则 ω 最小值为________． 解析：A＋60＝80 得 A＝20，且 150πω＋π4＝－π2＋2kπ，k∈Z，即 k＝1 时， ω 最小值为1120. 答案：1120
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
解析：设 y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以看到 A＝4，ω＝ 2Tπ＝02.π8＝52π， 又由 4sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1，取 φ＝－π2，则 y＝4sin52πt－π2，即 y ＝－4cos52πt. 答案：y＝－4cos52πt
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 的最大值为 A.
(× )
(2)函数 y＝Asin(ωx－φ)的初相为 φ.
( ×)
(3)“五点法”作函数 y＝2sinx＋π3在一个周期上的简图时，第一个点为
π3，0.
( ×)
2．函数 y＝2sinx2＋π5的周期、振幅依次是
A＋b＝14， 【解】 (1)由题意知－A＋b＝－2，
A＝8， 解得b＝6， 易知T2＝14－2，所以 T＝24， 所以 ω＝1π2， 易知 8sin1π2×2＋φ＋6＝－2，
即 sin1π2×2＋φ＝－1， 故1π2×2＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<π，得 φ＝－23π， 所以 y＝8sin1π2x－23π＋6(x∈[0，24))．
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义一、引入在我们的日常生活和学习中，三角函数无处不在。
从物理学中的波动现象，到建筑设计中的结构计算，甚至是音乐中的音符频率，都能看到三角函数的身影。
那么，如何将三角函数的知识运用到实际问题中，建立有效的数学模型来解决这些问题呢？这就是我们今天要探讨的主题——三角函数模型的简单应用。
二、三角函数的基础知识回顾首先，让我们简要回顾一下三角函数的基本概念。
我们最常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
正弦函数sinθ 表示直角三角形中对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。
它们的周期性质也非常重要。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
此外，三角函数的一些基本公式，如两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等，也是我们解决问题时经常会用到的工具。
三、三角函数模型在实际生活中的应用1、潮汐现象在海洋学中，潮汐的涨落可以用三角函数模型来描述。
假设某地的潮汐高度 h 与时间 t 之间的关系可以近似表示为 h ＝A sin(ωt＋φ) ＋k ，其中A 表示潮差（即高潮和低潮之间的高度差），ω 表示角频率，φ 表示初相位，k 表示平均海平面高度。
通过对当地潮汐数据的观测和分析，可以确定这些参数的值，从而准确预测潮汐的变化。
2、交流电在电学中，交流电的电压或电流随时间的变化通常也可以用三角函数来表示。
例如，正弦交流电的电压 u 可以表示为 u ＝ U₀ sin(ωt ＋φ₀) ，其中 U₀是电压的最大值（也称为峰值），ω 是角频率，φ₀是初相位。
3、物体的简谐运动一个物体在直线上做往复运动，如果它所受的力与位移成正比，并且方向相反，那么这个物体就做简谐运动。
比如弹簧振子的运动，其位移 x 与时间 t 的关系可以表示为 x ＝A sin(ωt ＋φ) ，其中 A 是振幅，ω 是角频率，φ 是初相位。
三角函数的应用
解三角函数应用问题的基本步骤 (1)已知函数模型，利用题目中提供的数据和有关性质解决问题，其关键 是求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式， 然后解方程或不等式，可使问题得以解决． (2)未知函数模型，把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型， 再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
典例 1 已知简谐运动 f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简 谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( A )
A．T＝6，φ＝π6
B．T＝6，φ＝π3
C．T＝6π，φ＝π6
D．T＝6π，φ＝π3
解析：T＝2ωπ＝2ππ＝6.因为图象过点(0,1)，所以 sin φ＝12.因为－π2<φ<π2， 3
教学时，建议教师结合教材实例，利用信息技术，展现丰富多彩的物理、 生活、自然中的现象，让学生体会三角函数的广泛应用．从题意理解、 数据提取、模型建立、问题解决几个方面入手，帮助学生掌握数学建模 的基本方法，再利用所学的三角知识解决问题．
一、导入新课
同学们，钱塘江观潮，惊涛拍岸，波澜壮阔！古今很多文人骚客都留下 了精美的关于潮水涨落的诗句，其中南宋著名诗人王十朋曾在江心屿中 题了一副对联，上联是“云朝朝朝朝朝朝朝朝散”，下联是“潮长长长 长长长长长消”．在这里，诗人十分巧妙地运用了叠字诗展现了潮水涨 落的壮阔画面，当然他对潮水的描述是感性的，今天我们学习了三角函 数模型的应用后，就可以从数学的视角理性地研究有关潮水涨落的一些 实际问题了！
在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距 12 h，低潮时水的深度为 8.4 m，高潮时水的深度为 16 m，其中有一次高潮发生在 10 月 10 日 4：00. 每天涨潮落潮时，水的深度 d(m)与时间 t(h)近似满足关系式 d＝Asin(ωt ＋φ)＋h. (1)若从 10 月 10 日 0：00 开始计算时间，用三角函数来近似描述该港口 的水深 d(m)和时间 t(h)之间的函数关系； (2)10 月 10 日 17：00 时，该港口水深约为多少 m？(精确到 0.1 m)
三角函数的应用教案(1 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第五章三角函数5.7 三角函数的应用（第2 课时）【教学内容】学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”。
【教学目标】1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；2.初步学会使用数据分析或图像特征进行一些简单的函数模型求解；3.会使用三角函数模型解决简单的实际问题。
【教学重难点】教学重点：用三角函数模型解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.【教学过程】一、导入新课思考：生活中有什么事情是周而复始发生的？举例：小结：从上述例子中，可以得知生活中有很多重复出现的现象，我们尝试利用某种函数模型去研究当中的规律，帮助我们做出更加科学的决策。
请问你认为目前我们所学的什么函数模型适用于上述规律呢？函数模型；因为它具有性质。
二、课堂探究例题 1 如图，我国某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +ϕ) +b ( A > 0,ω> 0, ϕ<π)（1）求这一天 6—14 时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。
解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20℃（2）由图可以看出，从 6—14 时的图像是函数小结：（1）振幅A=b=如何求函数中的ω和ϕ；（2）所求函数模型只能近似刻画某个区间的变化规律。
例题 2：货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头；卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时刻与水深关系的预报.(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 米,安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4 米,安全间隙为1.5 米,该船在2:00 开始卸货,吃水深度以每小时0.3 米的速度减少,如果这条船停止卸货后需0.4 小时才能驶到深水域，那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?问题探究 1：请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？小组合作发现，代表发言。
第五章5.7三角函数的应用PPT课件(人教版)
(2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝ 20×10＝200(cm). 5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
题型二 已知三角函数解析式解决应用问题 【例 2】 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开
平衡位置的位移 s(单位：厘米)与时间 t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin(2πt＋π6). (1)画出它一个周期的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即 t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期 T＝22ππ＝1(秒). 列表：
t
0
1 6
5 12
2 3
11 12
1
2πt＋π6
π 6
π 2
π
3π 2
2π 2π＋π6
6sin(2πt＋π6) 3
6
0 －6 0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米. ③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).
规律方法 根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，视察散点图，然后进行函数 拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.
【训练4】 一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下 表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 ________.
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
规律方法 已知三角函数图象解决应用问题，第一由图象确定三角函数的 解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值 范围.
统编人教A版高中必修第一册数学《5.7 三角函数的应用》集体备课ppt课件
5.7 三角函数的应用
学习目标
1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数 模型解决一些简单的实际问题．
2．实际问题抽象为三角函数模型．
提出问题
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象， 如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描 述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．
【解】 由题意得： T≤1100，即2ωπ≤1100， ∴ω≥200π， ∴正整数 ω 的最小值为 629.
5.某港口的水深 y(m)是时间 t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水 深的数据：
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型 函数 y＝Asin ωt＋b 的图象． (1)试根据以上数据，求出 y＝Asin ωt＋b 的表达式；
课堂小结
解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意； (2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．
归纳总结
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮 动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在 物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离 的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用 函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈［０，＋∞） 表示，其中A＞０， ω ＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都 与这个解析式中的常数有关：
5.7 三角函数的应用(精讲)(原卷版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.7三角函数的应用（精讲）一.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)表示，其中A >0，ω>0.(1)A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；(2)简谐运动的周期是T ＝2πω，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；(3)简谐运动的频率由公式f ＝1T ＝ω2π给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；(4)ωx ＋φ称为相位；x ＝0时的相位φ称为初相.2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.3.在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.考点一三角函数在物理中的应用【例1-1】（2023云南）(多选)如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断不正确的是（）A ．该质点的振动周期为0.7sB ．该质点的振幅为5cm-C ．该质点在0.1s 和0.5s 时的振动速度最大D ．该质点在0.3s 和0.7s 时的加速度为零【例1-2】（2023春·北京·高一校考期中）如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）由关系式π2sin(3h t =+确定，下列结论正确的是（）A ．小球的最高点和最低点相距2cmB ．小球在0=t 时的高度1cm h =C ．每秒钟小球往复运动的次数为2πD ．从1t =到3t =，弹簧长度逐渐变长【一隅三反】1．（2023春·辽宁沈阳）（多选）已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t （s ）时离开平衡位置的位移s （cm ）满足函数关系式π2sin 4s t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出的下列说法中正确的是（）．A ．小球开始时在平衡位置上方2cm 处B ．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm 处C ．经过2π s 小球重复振动一次D ．小球振动的频率为12π2．（2023·全国·高一假期作业）（多选）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）A ．该质点的运动周期为0.7sB ．该质点的振幅为5cmC ．该质点在0.1s 和0.5s 时运动速度为零D ．该质点在0.3s 和0.7s 时运动速度为零3．（2023秋·安徽阜阳）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）A ．1s3B ．2s3C ．1sD ．4s34．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）如图，一个质点在半径为2的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向运动，每3s 转一圈．则该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（）A ．2ππ2sin 34y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．22cos π4π3y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2ππ2sin 34y t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．ππ2cos 34y t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭考点二三角函数在生活中的应用【例2】（2023秋·四川绵阳）（多选）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d (单位：m)(P 在水下则d 为负数)、d 与时间t (单位：s)之间的关系是π33sin 3062d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．筒车的半径为3m ，旋转一周用时60sB ．筒车的轴心O 距离水面的高度为1mC ．盛水筒P 出水后至少经过20s 才可以达到最高点D ．()40,50t ∈时，盛水筒P 处于向上运动状态【一隅三反】1．（2023·北京）如图，某港口某天从6h 到18h 的水深y （单位：m ）与时间x （单位：h ）之间的关系可用函数()()()πcos 50,0,2f x A x A ωϕωϕ=++>><近似刻画，据此可估计当天12h 的水深为（）A ．7m2B ．4mC ．5m ⎛-⎝⎭D ．5m⎛ ⎝⎭2．（2023秋·辽宁沈阳）（多选）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（P 在水下则d 为负数）、d 与时间t （单位：s ）之间的关系是33sin 3062d t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．筒车的半径为3m ，旋转一周用时30sB ．筒车的轴心O 距离水面的高度为3m2C ．()40,50t ∈时，盛水筒P 处于向上运动状态D ．盛水筒P 出水后至少经过20s 才可以达到最高点3．（2023秋·湖南株洲）（多选）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），h （单位：m ）表示在时间t （单位：s ）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点P 距离地平面50m.最低点Q 距离地平面10m.入口处M 距离地平面20m.当4s t =时，过山车到达最高点P ，10s t =时，过山车到达最低点Q .设()()πsin 0,0,2h t A t B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A ．函数()h t 的最小正周期为12B ．π6ϕ=C ．14s t =时，过山车距离地平面40mD ．一个周期内过山车距离地平面低于20m 的时间是4s考点三三角函数模型的拟合【例3】（2023春·贵州遵义）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t 与位移s 之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（）t 0123456789101112s20.0-17.8-10.1-0.110.31.720.017.710.30.110.1-17.8-20.0-A ．π20sin 6ts =，[)0,t ∈+∞B ．π20cos6t s =C ．π20cos6ts =-D ．ππ20sin 62t s ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：时）的函数，记作：()y f t =，下表是某日各时的浪高数据：t （时）03691215182124y （米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观察，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+的图象.(1)根据以上数据，求函数cos y A t b ω=+的最小正周期T ，振幅A 及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？2．（2023春·江西吉安·高一校联考期中）某港口水深y （米)是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是水深数据：t （小时）03691215182124y （米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数sin y A t b ω=+的图象.(1)试根据数据表和曲线，求出sin y A t b ω=+()0,0,0A b ω>>>的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）3．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的大致关系：假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．(1)请运用函数模型ππsin()0,0,,R 22y A x h A h ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<<∈ ⎪⎝⎭，根据以上数据写出水深y 与时间x的函数的近似表达式；(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．①求该船可以进港的时间段；②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．。
5.7三角函数的应用(教学课件)高一数学(人教A版必修第一册)
ωx+φ称为相位；x＝０时的相位φ 称为初相．
问题2 图5.7 2(1)是某次实验测得的交变电流i (单位：A)随时间t (时间：s )
变化的图象. 将测得的图象放大, 得到图5.7 2(2).
(1) 求电流i随时间t 变化的函数解析式;
由交变电流的产生原理可知, 电流i随时间t的变化规律可用i A sin( t )
【解析】
【答案】 B
由题图可知，该质点的振幅为 5 cm.
)
2．与图中曲线对应的函数解析式是(
)
A．y＝|sin x|
B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x|
D．y＝－|sin x|
【解析】
注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项 A，D.
当 x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项
来刻画, 其中
表示频率, A表示振幅 , 表示初相.
2
由图5.7 2(2)可知, 电流最大值为5 A, 因此A 5; 电流变化的周期为
频率为50 Hz , 即
50, 解得 100
2
再由初始状态 ( t 0)的电流约为4.33 A,
可得 sin 0.866,因此 约为
31
5
5
交点A, B , 因此 sin
x 0.2014或
x 0.2014
31
31
如图, 在区间[0,12]内, 函数y 2.5sin
解得x A 0.3975, xB 5.8025
由函数的周期性易得 :
xC 12.4 0.3975 12.7975,
x D 12.4 5.8025 18.2025
2019-2020学年高中数学人教A版(2019)必修第一册教师用书：5.7 三角函数的应用
5．7 三角函数的应用考点学习目标学科素养 三角函数模型的构建 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 数学抽象、数学建模三角函数模型在实际问题中的应用会用三角函数模型解决简单的实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材P242－P248，并思考以下问题：1．在简谐运动中，y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？ 2．解三角函数应用题有哪四步？1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义■名师点拨当A <0或ω<0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4.2．三角函数模型的建立程序判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝A sin(ωx －φ)的初相为φ.( )(3)“五点法”作函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在一个周期上的简图时，第一个点为⎝⎛⎭⎫π3，0.( )答案：(1)× (2)× (3)×函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π5的周期、振幅依次是( )A ．4π，－2B ．4π，2C ．π，2D ．π，－2答案：B函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象如图，则它的振幅A 与最小正周期T 分别是( )A ．A ＝3，T ＝5π6B ．A ＝3，T ＝5π3C ．A ＝32，T ＝5π6D ．A ＝32，T ＝5π3答案：D已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin(160πt )＋115.其中f (t )为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数(心跳次数即求频率)为( )A ．60B ．70C ．80D ．90答案：C已知电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200s 时，电流强度为( )A ．5AB ．2.5AC ．2AD ．－5A 答案：B三角函数在物理中的应用已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)与时间t (s)的函数关系式为h ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．【解】 (1)令t ＝0，得h ＝3sinπ4＝322，所以开始振动的位置为⎝⎛⎭⎫0，322. (2)由题意知，当h ＝3时，t 的最小值为π8，即所求最高点为⎝⎛⎭⎫π8，3；当h ＝－3时，t的最小值为5π8，即所求最低点为⎝⎛⎭⎫5π8，－3.利用三角函数处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．1.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O 的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数解析式为s ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π3，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为( )A ．2 sB ．1 s C.12s D.14s 解析：选C.由题意，知周期T ＝2π2π＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为12s. 2. 已知电流I (A)与时间t (s)的关系为I ＝A sin(ω t ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2.(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；(2)如果t 在任意一段1150s 的时间内，电流I 都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？解：(1)由题图知A ＝300，周期 T ＝2⎝⎛⎭⎫1180＋1900＝175， 所以ω＝2πT ＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|＜π2，所以φ＝π6.故所求的解析式为 I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫150πt ＋π6.(2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150，所以ω≥300π，故ω的最小值为300π.三角函数在实际生活中的应用如图一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现(图中点P 0)时开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)求点P 第一次到达最高点需要多长时间？【解】 (1)如图，建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角，OP 每秒钟所转过的弧度为5×2π60＝π6，又水轮的半径为4 m ，圆心O 距离水面2 m ，所以z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数表达式为 z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1.取π6t －π6＝π2，得t ＝4. 故点P 第一次到达最高点需要4 s.解三角函数应用问题的基本步骤下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温(). 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x 轴，x ＝月份－1，平均气温为y 轴建立直角坐标系． (1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①yA ＝cos πx 6；②y －46A ＝cos πx 6； ③y －46－A＝cos πx 6；④y －26A ＝sin πx6.解：(1)(2)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．(3)1月份的平均气温最低，为21.4 ，7月份的平均气温最高，为73.0，根据散点图知T2＝7－1＝6，所以T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A ＝25.8. (5)因为x ＝月份－1，所以不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0， 代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，所以①不适合．代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，所以②不适合，同理，④不适合，所以③最适合．1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C.由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4kπ＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.2．一弹簧振子的位移y 与时间t 的函数关系式为y ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为2π7，初相为π6，则这个函数的解析式为________．解析：由题意得A ＝3，T ＝2π7，φ＝π6，则ω＝2πT ＝7，故所求函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7t ＋π6.答案：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7t ＋π63．某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数解析式；(其中t 以年初以来经过的月份数为计量单位)(2)画出种群数量y 关于时间t 变化的草图．解：(1)设表示该曲线的函数为y ＝A sin(ωt ＋a )＋b (A ＞0，ω＞0，|a |＜π)，由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，故振幅A ＝2002＝100，ω＝2π12＝π6，b ＝800.又因为7月1日种群数量达到最高， 所以π6×6＋a ＝π2＋2k π(k ∈Z )．又因为|a |＜π，所以a ＝－π2.故种群数量y 关于时间t 的函数解析式为 y ＝800＋100sinπ6(t －3)．(2)种群数量关于时间变化的草图如图所示．[A 基础达标]1．函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x2的周期、振幅、初相分别是( )A ．2π，－2，π4B ．4π，－2，π4C ．2π，2，－π4D ．4π，2，－π4解析：选D.y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，所以周期T ＝2π12＝4π，振幅A ＝2，初相φ＝－π4.2．(2019·河南灵宝实验高中月考)在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h ，低潮时水深9 m ，高潮时水深15 m ．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y (m)关于时间t (h)的函数图象可以近似地看成函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋k 的图象，其中0≤t ≤24，且t ＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( )A ．y ＝3sin π6t ＋12B ．y ＝－3sinπ6t ＋12 C ．y ＝3sin π12t ＋12D ．y ＝3cos π12t ＋12解析：选A.根据题意，由ω＝2πT ＝2π12＝π6，排除选项C ，D.当t ＝3时，3sin π6t ＋12＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6×3＋12＝15，符合题意，－3sin π6t ＋12＝－3sin ⎝⎛⎭⎫π6×3＋12＝9.不符合题意，故选项B 错误．3．(2019·山东聊城期末考试)已知点P 是单位圆上的一个质点，它从初始位置P 0⎝⎛⎭⎫12，－32开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s 做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于运动时间t (单位：s)的函数关系式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，t ≥0B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π6，t ≥0C ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫t －π3，t ≥0D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫t －π6，t ≥0解析：选A.由题意，知圆心角∠POP 0的弧度数为t ·1＝t ，则∠POx 的弧度数为t －π3，则由任意角的三角函数的定义，知点P 的纵坐标y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，t ≥0，故选A.4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f (t )＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12t －π6，其中f (t )的单位为m ，t 的单位是h ，则12点时潮水的高度是________m.解析：当t ＝12时，f (12)＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π－π6＝2sin 5π6＝1.答案：15．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d (cm)表示成时间t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0，60]．解析：秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示，sinπt60＝d25， 所以d ＝10sin πt 60. 答案：10sinπt 606．如图，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50(m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续____________min.解析：40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50>70，即cos π6t <－12，从而2π3<πt 6<4π3，4<t <8，即持续时间为4 min. 答案：47．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．记某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解：(1)T ＝2π|ω|＝2π160π＝180(min)．(2)f ＝1T＝80.(3)p (t )max ＝115＋25＝140(mmHg)， p (t )min ＝115－25＝90(mmHg)．即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg ，在正常值范围内．8.如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化曲线是一个三角函数的图象．(1)经过多长时间，小球往复振动一次？ (2)求这条曲线的函数解析式；(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 解：(1)由题图可知， 周期T ＝2⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π，所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.(2)可设该曲线的函数解析式为s ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t ∈[0，＋∞)，从题图中可以看出A ＝4，T ＝2×⎝⎛⎭⎫7π12－π12＝π.即2πω＝π，即ω＝2，将t ＝π12，s ＝4代入解析式，得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，解得φ＝π3.所以这条曲线的函数解析式为 s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．(3)当t ＝0时，s ＝4sin π3＝23(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 3 cm.[B 能力提升]9．如图所示，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min) 之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos π6t ＋10B ．h ＝－8cosπ3t ＋10C ．h ＝－8sinπ6t ＋10 D ．h ＝－8cos π6t ＋10解析：选D.依题意可设h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，易知T ＝12，A ＝8，B ＝10，所以ω＝2π12＝π6，则h ＝8sin ⎝⎛⎭⎫πt6＋φ＋10，当t ＝0时，8sin φ＋10＝2，得sin φ＝－1，可取φ＝－π2，所以h ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋10＝－8cos π6t ＋10.10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(A ＞0，x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5.答案：20.511．某港口一天内的水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据： t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y ＝A sin ωt ＋B (A >0，ω>0)的图象．(1)试根据数据和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解：(1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT＝π6. 又因为y min ＝7，y max ＝13，所以A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10. 所以函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)． (2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0，24]，所以sin π6t ≥12，所以π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0，1，所以t ∈[1，5]或t ∈[13，17]． 所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00 能安全进港．若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时．12．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2，8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12， 故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300. 根据分析可知，当x ＝2时，f (x )最小，当x ＝8时，f (x )最大，故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1， 且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6＋φ＝1. 又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－5π6. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300. (2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400， 化简，得sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6，7，8，9，10.即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．[C 拓展探究]13．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD 是函数y ＝k x (k >0)的图象的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈[4，8])的图象，图象的最高点为B ⎝⎛⎭⎫5，833，且DF ⊥OC ，垂足为点F .(1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE ，点P 在曲线OD 上，其横坐标为43，点E 在OC 上，求儿童乐园的面积．解：(1)由图象，可知A ＝833，ω＝2πT ＝2π4×（8－5）＝π6， 将B ⎝⎛⎭⎫5，833代入y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ中， 得5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k ∈Z )． 因为|φ|<π2，所以φ＝－π3， 故y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3. (2)在y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3中，令x ＝4，得D (4，4)，从而得曲线OD 的方程为y ＝2x (0≤x ≤4)，则P ⎝⎛⎭⎫43，433， 所以矩形PMFE 的面积为S ＝⎝⎛⎭⎫4－43×433＝3239，即儿童乐园的面积为3239.。
5.7 三角函数的应用(课件)
第五章 三角函数
课前自主预习
知识点 A, ω， φ的物理意义
在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义.
振幅 __A______ 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的___最__大__距__离____
周期
T＝2ωπ
它是做简谐运动的物体往复运动___一__次_____所需要的时间
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第五章 三角函数
[方法总结]
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
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第五章 三角函数
随堂本课小结
实际生活中具有周期性的现象往往可以借助三角函数模型来描述． 三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题． (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
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第五章 三角函数
[变式探究 2] 若本例中海滨浴场某区域的水深 y(米)与时间 t(时)的数据如下表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
用 y＝Asin ωt＋b 刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式． 解 函数 y＝Asin ωt＋b 在一个周期内由最大变到最小需 9－3＝6(h)，此为半个 周期，∴函数的最小正周期为 12 h，因此2ωπ＝12，ω＝π6. 又∵当 t＝0 时，y＝10；当 t＝3 时，ymax＝13， ∴b＝10，A＝13－10＝3， ∴所求函数的解析式为 y＝3sin π6t＋10(0≤t≤24)．
5.7 三角函数的应用
5.7 三角函数的应用必备知识基础练知识点一 三角函数在物理学中的应用1．如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s )满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π2，t ∈[0，＋∞)，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )A ．2，1π B.12，1πC.12，π D ．2，π2．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求： (1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．知识点二 三角函数在生活中的应用3.已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin(160πt )＋115.其中f (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．904．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________，x ∈[0,24]．5．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[0,24))的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？关键能力综合练一、选择题1．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图象如图所示，则当t ＝150秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t 2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) B ．f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 4．如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角为2°(若β(弧度)很小时，可取sin β≈β)，试估算该气球的高BC 的值约为( )A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x 1 2 3y 10 000 9 500 ？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )A ．10 000元B ．9 500元C ．9 000元D ．8 500元6．(易错题)如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )二、填空题7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m.8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (cm)表示成t (s )的函数，则d ＝________，其中t ∈[0,60]．9．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)表示，其中A ＞0，ω＞0.如图，平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，r 为半径作圆，A 为圆周上的一点，以Ox 为始边，OA 为终边的角为α，则点A 的坐标是________，从A 点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点B (x ，y )，动点B 在y 轴上的投影C 作简谐运动，则点C 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为________．三、解答题10．(探究题)如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？学科素养升级练1．(多选题)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)(t ≥0，ω＞0，|φ|＜π2)．则下列叙述正确的是( )A ．R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )单调递减D ．当t ＝20时，|P A |＝6 32．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12]3．(学科素养—数学建模)为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？。
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1
O
2
A 5 1 2 最大值 最小值 2
2
2
b 5 1 3 最大值 最小值
2
2
y
y Asin x b
A 最 大 值 最 小 值 2
4 (2) 3
4 3 2 1
2
b 最 大 值 最 小 值 2
O 2
4 (2) 1 2
y 3sin x 1
x
2
2、由图象求解析式
(2)如果一条货船的吃水深度是5米，安全条例规定至少 有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船 一天之内在港口内呆的时间总和为多少小时？
y 2.5sin x 5 0 x 24
6
8小时
变式：已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)
的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各 时的浪高数据：
曲线近似满足函数 y Asin(x ) b y
(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
30
20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C.
10
(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是
函数 y Asin(x ) b的半个周期
0 6 10 14 x
的图象，所以，A
• 1、物理情景—— • ①简谐运动 • ②星体的环绕运动 • 2、地理情景—— • ①气温变化规律 • ②月圆与月缺 • 3、心理、生理现象—— • ①情绪的波动 • ②智力变化状况 • ③体力变化状况 • 4、日常生活现象——
①涨潮与退潮
• ②股票变化
• …………
5.7
三角函数模型的简单应用
学习目标
t0
3
6
9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解 析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者 开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到 20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
情景引入：
在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数
学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数是刻
画周期变化数量的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型
函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用
（课题）
• 正弦型函数
y Asin( x ) ( A 0, 0)
y 1 cos t 1 0 t 24
26
6小时
小结：
A
1 2
f
xmax
f
x min
b
1 2
f
xmax
f
xmin
利用T 2 ，求得
利用最低点或最高点在图象上,该点的坐标
满足函数解析式可求得,注意通常
练习:
如图，它表示电流
I Asin(t )(A 0, 0, )
2 在一个周期内的图象. （i）试根据图象写出的解析式. （ii）在任意一段 1030秒的时间内，
利用函数图象的直观性,通过观察图象而 获得对函数性质的认识,这是研究数学问题 的常用方法.
总结提炼
1已知函数y Asinx b的图象，如何求其解析式？
电流I既能取得最大值A，又能 取得最小值－A吗？
若能，那么正整数ω的最小值为多少？
例2 画出函数 y sin x 的图象并观察其周期。
y
-3π -2π -π 0
π
解：函数图象如图所示。
2π 3π x
从图中可以看出，函数 y sin x 是以π为 周期的波浪形曲线。
我们也可以这样进行验证：
由于 sin(x ) sin x sin x , 所以，函数 y sin x 是以π为周期的函数。
1 2 14 6 2
1 30 10
2
.
将x
8
10,
6
b ,
y12103代0 入10上 式2， 0 解得＝34
.
综上，所求解析式为y
10 sin(
x
3
)
20,
x 6,14
84
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画
这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特
别注意自变量的变化范围.
探究(二)：海水受日月的引力作用，在一定的时候发生 涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在 通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货 后，在落潮时返回海洋．下面是港口在某季节每天的 时间与水深关系的表格：
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
选用函数y＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）来模 拟港口的水深与时间的关系．
(1)求港口的水深y与时间x之间的函数关系式.
1.了解y=Asin(x+) 的图象的物理意义，能 指出简谐运动的振幅、周期、相位、初相。
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可 以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数 学模型。
观察、发现：
1、由图象求振幅A
y 2sin x
5
向上平移3个单位长度
4 3
y 2sin x 3
2
y Asin x b
y Asin(x )(1来自A 2(2) T 4 12 6 4
T
又T 2 2
(3) y 2sin(2x )
A点的坐标为( , 2)
12
2sin(2 ) 2
sin(
12
)
1
6
2k , k Z
6
2
yA 2
O
x
6 12
2
一般2k取 ,：k | Z|≤π
当k
3
0时
，
3
y 2sin(2x )
3
练习：函的数最小y值 是Asi2n，(其x图象 )最, (高A点 与0,最低点0,横| 坐|标2差)
是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式.
探究(一)：已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，
小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s) “的五变点化法规”律作为出s这＝个4s函in数 2的t+简3 图，，t∈并[0回,＋答∞下)．列用
问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ 2 3
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移 分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
(2)小球上升到最高点和下降到最低 点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球
往复振动一次所用的时间是π s.
变式： 如图1.6-1,某地一天从6~14时的温度变化