整式的运算恒等变形竞赛课程

整式恒等变形

【专题简介】

把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式，在数学求根作图方面有很广泛的应用．因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显．

基本的分解方法有：①提公因式法②公式法③十字相乘

常见分解技巧有：①主元法②换元法③拆添法④双十字相乘法

高端分解方法有：①因式定理②待定系数③轮换对称

【学习目标】

学习换元法、因式定理、待定系数

题型一消元与降次

强化挑战

【例1】化简(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2－3(y－z)2－3(x－y)2－3(x－z)2

【练1】已知x，y，z为有理数，(y－z)2＋(x－y)2＋(x－z)2＝(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2，求(yz＋1)(zx＋1)(xy＋1)

的值．

()

z2＋1

x2＋1()

y2＋1()

【例2】（第14届希望杯1试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值

【练2】当x－y＝1，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值

【例3】（第14届希望杯邀请赛试题）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝.

【练3】（1990年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．

题型二因式分解

基础夯实

【例3】（1）已知a5＋a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3＝.

(2)若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝.

(3)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋bc ＋ac ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a 、b 、c 的值．

【练4】（1）方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解（x ≤y ）为 .

(2)若x 5＋x 4＋x ＝－1，则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝ .

(3)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y

的值．

【例5】长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．

【练5】矩形的周长为28cm ，它的两边长x cm ，y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．

强化挑战

【例6】（已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求2b ＝a ＋c .

【练6】（1）在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b .

(2)已知∆ABC 三边a ，b ，c 满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断∆ABC 的形状，并说明理由．

题型三乘法公式

强化挑战

【例7】若x ＋y ＝a ＋b ，且x 2＋y 2＝a 2＋b 2，求证：x 2014＋y 2014＝a 2014＋b 2014.

【练7】已知a ＋b ＝c ＋d ，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证：a 2013＋b 2013＝c 2013＋d 2013.

巅峰突破

【例8】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013.

【练8】（第6届希望杯初一）已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x

＋y)＋6xy－17

2(a＋b)的值

【例9】已知a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0. 【练9】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝．

【例10】（2009北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，（1）求ab＋bc＋ac的值

（2）求a4＋b4＋c4的值

【练10】若a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，a3＋b3＋c3＝8

3，求①abc的值；②a

4＋b4＋c4的值

题型四配方深入研究

【例11】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y

【练11】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y

【例12】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y

【练12】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y.

【例13】已知实数a ，b ，c 满足a －b ＋c ＝7，ab ＋bc ＋b ＋c 2＋16＝0，则 b a

的值等于 ．

【练13】已知a －b ＝4，ab ＋c 2＋4＝0，则a ＋b ＝ ．

【例14】当x 变化时，分式3x 2＋6x ＋512

x 2＋x ＋1的最小值是 ．

【练14】（2000年联赛）实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y

＝ .

第9讲7年级尖端班课后作业

【习1】已知求x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值.

【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．

【习3】若m＝20062＋20062×20072，则m（）

A．是完全平方数还是奇数B.是完全平方数，还是偶数

C．不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数

【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24则这样的三角形有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【习5】已知a、b、c是三角形三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c2b2的值（）

A恒正B恒负C可正可负D非负

【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值

【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋2b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值【习8】已知x是实数，并且x3＋2x2＋2x＋1＝0，求x2008＋x2011＋x2014的值

【习9】（1999年北京初二数学竞赛）若3 x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．

【习10】（第18届希望杯初一）有理数a、b、c满足a∶b∶c＝2∶3∶5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．

【习11】（2010北京市初二数学竞赛）x、y为实数，满足x＋y＝1，x4＋y4＝7

2，求x

2＋y2的值．

【习12】（十八届希望杯初二二试）已知a1、a2、a3……a2007是彼此互不相等的负数，且

M＝（a1＋a2＋a3……＋a2006）（a2＋a3……＋a2007）

N＝（a1＋a2＋a3……＋a2007）（a2＋a3……＋a2006）试比较M、N的大小

【习13】（2013年联赛）已知实数x、y、z满足x＋y＝4，│z＋1│＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝．

【习14】（2013年竞赛）已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0则abc的最大值为．

【习15】（2001年联赛）求实数x、y的值，便得（y－1）2＋（x＋y－3）2＋(2x＋y－6)2达到最小值．