整式的运算恒等变形竞赛课程
005七年级下册第一章 整式的运算(4)恒等式的证明
第一章整式的运算(4)第一部分例题解析代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它是学好初中代数必备的基本功之一．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．“由繁到简”证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．例2 若abc=1，求证1111=++++++++ccacbbcbaaba评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。
例3 已知bc=ad，求证：ab(c2-d2)=(a2-b2)cd 利用比例的性质证明：∵bc=ad ∴a/b=c/d,(a+b)/b=(c+d)/d, (a-b)/b=(c-d)/d,c/d=c/d将此三式左、右两边分别相乘得∴ab(c2-d2)=(a2-b2)cd评注：条件恒等式的证明常从已知条件出发推出结论。
第二部分巩固练习1、计算（x2-3x+n）（x2+mx+8）的结果中不含x2和x3项，则m、n的值为（）BA、m=0，n=0B、m=3，n=1C、m=-3，n=8D、m=-3，n=-92、如果一个多项式与（2x-3）的积是4x2-12x+9，那么这个多项式是（）AA、2x-3B、4x2+9C、8x2-27D、2x+33、若 4a2-2ka+9是一个完全平方的展开形式，试求k的值：（）BA、12B、±6C、6D、±124、下列计算正确的有（）A①、（-4m2a）3=-64m6a3②、(2m2x3)2=4m2x6③、a m-n=a m-a n④、6a n+2÷3a n-1=2a ⑤、(-a3)2=-a6A、1个B、2个C、3个D、4个5、若a、b是有理数，且a 2001+b 2001=0，则ＣA、a=b=0B、a-b=0C、a+b=0D、ab=06、若abc满足a2+b2+c2=9，则代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是( )A提示：(a+b+c)2≥0,得ab+bc+ca最小值A、27B、18C、15D、127、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=200420012003200120022001x c x b x a ，则ca bc ab c b a ---++222的值是( )Ｄ A 、0 B 、1 C 、2 D 、38、如果11111=++=++z y x z y x ，则下列说法正确的是( ) Ａ提示：先用Z 表示x,y ，讨论中可得到(x-1)(y-1)=0A 、x 、y 、z 中至少有一个为1B 、x 、y 、z 都等于1C 、x 、y 、z 都不等于1D 、以上说法都不对 9、已知=+-=-+-+=-+-+=++-+q q q q b a c c b a a c b b a c c b a a c b 23 ,则( )Ｄ提示：q 3+q 2+q=A*B*C+A*B+A=1A 、1B 、1-qC 、1-q 3D 、1-2q 210、已知a+b+c=10，a 2+b 2+c 2=38，a 3+b 3+c 3=160，则abc 的值是( )BA 、24B 、30C 、36D 、42提示：先求ab+bc+ca,再利用a 3+b 3+c 3公式求abc,再(a 2+b 2+c 2)2,及a 2b 2+ b 2c 2+ c 2 a 2=( ab+ bc+ c a)2,最终可求a ４+b ４+c ４11、已知()()()=+≠--=-a c b a a c b a c b ，则且0 412 212、已知a-b=2，b-c= -3，c-d=5，则(a-c) (b-d) ÷ (a-d)= -1/213、已知abc ≠0，a+b+c=0，则211111b 1a +⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a c a c b c 的值为 提示：乘进去，再分组-114、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011911311211 = 11/20 15、已知a 、b 、c 、d 均不为0，当a ≠b 且a d dc c b b a ===时，=-+++++ad c b d c b a 0 第三部分 提高练习１、求证：2(a-b) (a-c)+2(b-c) (b-a)+2(c-a) (c-b)= (b-c)2+(c-a)2+(a-b)2２、求证：(a 2+b 2+c 2) (m 2+n 2+k 2) – (am+bn+ck)2=(an-bm)2+(bk-cn)2+(cm-ak)2(拉格朗日恒等式)３、若14(a 2+b 2+c 2)=(a+2b+3c)2，求证：a ∶b ∶c=1∶2∶3４、已知a、b、c、d满足a+b=c+d，a3+b3=c3+d3, 求证：a2001+b2001=c2001+d 2001提示：先用立方差公式得到a+b=c＋d=0,或ab=cd两种情况．第二种情况设ab=cd=m，代入a+b=c+d，分解因式．。
整式恒等变形
第8讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二 整体代入消元法【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．题型三 换元法强化挑战【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．模块二 恒等变形→因式分解与不定方程题型一 因式分解基础夯实【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．强化挑战【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．题型二 不定方程【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．【练7】当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是________．模块三 恒等变形→配方法【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则ba的值等于____．【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：(1)(a＋b)(a－b)＝__________．(2)(a－b)2＝__________．2、三元二次：(3)(a＋b＋c)2＝_________．(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．3、二元三次：(5)(a＋b)3＝______________．(6)a3＋b3＝______________．4、三元三次：(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)5、三元四次：(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a26、二元n次：(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)7、n元二次：(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值．【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．【例13】(2009年北京市初二数学竞赛)设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．(1)求ab＋bc＋ca的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝83，(1)求abc的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．【练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．第8讲课后作业【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m( )A．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值( ) A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．【习9】(1999年北京市初二数学竞赛)若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．的值．【习11】(十八届希望杯初二二试)已知a1，a2，a3，…，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，试比较M、N的大小．【习12】(2013年联赛)已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．【习13】(2013年竞赛)已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为____________．【习14】(2001年联赛)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。
初中联赛题型解读一：整式与恒等变形
联赛题型解读（一）——整式与恒等变形左右。
而代数的基础便是整式,其中乘法公式、因式分解以及恒等变形,为代数提供了丰富的知识和技巧。
下面我们通过统计近16 年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对整式的考察才会计入分值统计）,帮助大家更好的了解整式在联赛中考察的分值比重。
总结这几年来初中数学联赛对整式的考察,整式一般会考察2道题左右,考察的分值最高达到41 分（3 道一试题外加 1 道二试题）,而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟随几年的低峰。
我们可以认为在接下来的一两年内,会在一试中进行2 题左右的考察。
而且近三年的趋势就是这一块的内容有加强考察的趋势,说明这方面的能力要求在提升。
恒等变形的技巧贯穿了整个代数,可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。
整式中的知识大体来说包含了：乘法公式,因式分解及恒等变形,三个部分,这里简单的介绍前两个部分的基础知识。
1.乘法公式这里介绍常用的八个乘法公式：（1）平方差：a2 -b2 =(a +b)(a -b)；⎣⎦（2） 平方： (a ± b )2= a 2 ± 2ab + b 2 ；（3） 三元完全平方： (a + b + c )2= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ；（4）a 2 +b 2 +c 2 ± ab ± bc ± ca = 1 ⎡(a ± b )2 + (b ± c )2 + (c ± a )2⎤ ； 2 （5） 和（差）的立方： (a + b )3= a 3 + b 3 + 3ab (a + b );(a - b )3= a 3 - b 3 - 3ab (a - b )；（6） 立方和（差）： a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 ); a 3 - b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2 )；（7）（8） a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca )-a 4 - b 4 - c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2= (a + b + c )(a + b - c )(b + c - a )(c + a - b )2. 因式分解简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取公因式：上午+下午=（上+下）午；（2） 公式法： x 6 - y 6 = (x 3 + y 3 )(x 3 - y 3 ) = (x + y )(x - y )(x 2 + xy + y 2 )(x 2 - xy + y 2 )； （3） 分组分解法： ax + ay + bx + by = a (x + y ) + b (x + y ) = (a + b )(x + y ) ； （4） 十字相乘:二次三项式 abx 2 + (ad + bc ) x + cd = (ax + b )(cx + d ) ；（5） 双十字相乘：选定两个二次三项式进行十字相乘；分步两次十字相乘大致相同； （6） 拆项天项: a 4 + a 2b 2 + b 4 = a 4 + 2a 2b 2 + b 4 - a 2b 2 = (a 2 + ab + b 2 )(a 2 - ab + b 2 ) ; （7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单；（8） 主元法：多字母的代数式,可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解； （9） 因式定理：多项式 f (x ) ,当 x = a 的时候 f (a ) = 0 ,则 f ( x ) 有因式 x - a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于 x 、y 、z 的轮换式有因式 x - y ,则其有因式(x - y )( y - z )(z - x )前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握,后 2 种有兴趣有精力的学生可以选择性的进行学习。
竞赛讲座(整式的恒等变形)
竞赛讲座(整式的恒等变形)一、知识要点1、整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。
3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：①(a+b) (a-b)=a2-b2②(a±b)2=a2±2ab+b2③ (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3④ (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3⑤ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc⑦(a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b34、整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。
5、余数定理多项式()x f除以 (x-a) 所得的余数等于()a f。
特别地:()a f=0时，多项式()x f能被(x-a) 整除二、例题精讲例1在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解因1+2+3+ (1998)()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。
先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。
很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1,例2计算 (2x3-x+6)•(3x2+5x-2)分析计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。
高中数学奥林匹克竞赛讲座：28代数式的变形(整式与分式)
竞赛讲座28－代数式的变形（整式与分式）在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1．配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.例1 （1986年全国初中竞赛题）设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0∴(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0∴x=y=z,∴原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求的值.解∵a为x2-3x+1=0的根,∴ a2-3a+1=0,,且=1.原式说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.3.换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例4 设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0∴p3+q3+r3-3pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例5 (民主德国竞赛试题) 若,试比较A、B的大小.解设则.∵2x＞y ∴2x-y＞0, 又y＞0,可知∴A＞B.4.设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6 若求x+y+z的值.解令则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,,求a+b+c的值.解设 a+b+c=k则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.由条件知即∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.∵a2+b2+c2=1,∴k=a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,∴k(-ab-bc-ac)=0.若K=0, 就是a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,∴(a+b+c)2=1,∴a+b+c=±1综上知a+b+c=0或a+b+c=±15.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形：（1）分离分式为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n，分数皆不可约.,证明如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约. 而显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.（2）表示成部分分式将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.例9 设n为正整数，求证：①②证明令通分，比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.∴令k=1,2,…,n得(3)通分通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.例10(1986年冬令营赛前训练题)已知求证:.证明6.其他变形例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______.解 x2=x(x+1)-x或 x2=x(x-1)+x例12 （第3届美国中学生数学竞赛题）设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.解由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757练习七1选择题（1）（第34届美国数学竞赛题）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（）（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8（3）已知则的值是（）.(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3（3）（第37届美国中学数学竞赛题）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（）.（A）p% (B)% (C)% (D)% (E)%2填空题（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______.(2)若=_____.(3)已知y1=2x,y2=,则y1y1986=______3若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.4（1985年宁夏初中数学竞赛题）把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证7已知a2+c2=2b2,求证8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.练习七1.C.C.E2.(1)-32,210 (2) (3)23.略.4.5. 6.略, 7.略.8.∵p2-4q-4(m+1)=0, ∴4q=p2-4(m+1)=0,∴f(x)=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x=[2x2-px-(m+1)]2.9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).均可得出ac=bd.。
著名机构七年级数学秋季班讲义整式的运算(教师)
第2课时 整式的运算课时目标1.理解同类项的概念；能判断同类项，且能熟练的合并同类项.2.掌握去括号，添括号的法则，能准确的进行去括号，添括号.3.掌握整式的加减运算,注意要把每一个整式用括号括起来.4.掌握同底数幂的乘法法则，知道法则适用于三个或三个以上的同底数幂相乘.5.能正确，熟练地进行同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方以及加减的混合运算.知识精要一、同类项所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也是同类项.如：8和12是同类项. 二、合并同类项1、意义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.2、合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变. 合并同类项的两个要点：一是字母和字母的指数不变；二是同类项的系数相加作为和的系数.3、几项式：一个多项式合并后．．．几项，这个多项式就叫做几项式. 如:42422123x x x -+-叫做四次三项式. 三、去添括号法则1、去括号法则：括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号.去括号法则可简记为：“负”变“正”不变.如：a +(b -c +d )=a +b -c +d ；a -(b -c +d )=a -b +c -d2、添括号法则：括号前面添上“+”号，括号里各项都不变号；括号前面添上“-”号，括号里各项都要变号.添括号法则可简记为：“负”变“正”不变.如：a -b +c =+（a -b +c ）；a -b +c =-（-a +b -c ）四、整式的加减几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号相连.其运算的一般步骤是：（1）如果有括号，先去括号；（2）合并同类项五、求代数式的值的一般方法先化简已知条件，再化简所求代数式，最后代入求值.六、同底数幂的乘法1、a 的n 次幂a 的n 次乘方的结果叫做a 的n 次幂，写成n a ，其中a 表示底数，正整数n 表示指数.2、同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用式子表示就是：m n m n a a a +⋅=（m 、n 都是正整数）注:三个或三个以上同底数的幂相乘，也符合上述法则.如：p n m p n m a a a a ++=⋅⋅（m ，n ，p 是正整数）如：)()()(q p q p q p n m +⋅+⋅+= 1)(+++n m q p 七、幂的乘方1、幂的乘方，底数不变，指数相乘，即mn n m a a =)(（m ，n 是正整数） 幂的乘方法则也可拓展.如：mnp p n m a a=])[(（m ，n ，p 为正整数） 如：84242)(a aa -=-=-⨯，84242)(a a a ==-⨯2、幂的乘方法则的灵活运用：幂的乘方法则的运用包括两个方面：一是正用：mn n m a a=)(； 二是逆用：mn a =n m a )(=m n a )(，其中m ，n 是正整数.如：已知：32=n x ，求23)3(n x ⋅的值.24327939)(9)(3)3(33223223=⨯=⨯==⋅=⋅n n n x x x本题的关键在于利用了n m a )(=m n a )(的性质，将23)(n x 转化为32)(n x .八 、积的乘方1、积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）可以说成：积的乘方等于乘方的积.积的乘方法则可以拓展，如：n n n n c b a abc =)(（n 为正整数）. 2、积的乘方法则的灵活运用：积的乘方法则的运用包括两个方面：一是正用：n n n b a ab =)(；二是逆用： nn b a =n ab )(，其中n 是正整数.如：计算：11)8125.0(8)125.0(8888==⨯=⨯ 计算：2171171719181719181723)61(23)61()2()3()61(++⨯⨯=⨯⨯=-⨯-⨯- 1212)2361()42()33()61(17171717=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 方法提炼本题的关键是逆用积的乘方法则，解决这类问题的一般方法是先认准同底数的最低次幂．．．．，然后转化同底数的较高次幂. 热身练习一、填空题1.写出2a b 的一个同类项： 22a b - .(答案不唯一)2.若212m a b -与313n a b -是同类项，则m n += 6 . 3.多项式2242132x xy y x -+-是 四 次 三 项式. 4.在22221343324x xy x y yx x -+-++ 中，没有同类项的项是 3xy . 5.若单项式23m m x y +与22n x y -的和为2n x y ，则m = 2 ,n = 4 .6.已知222A x xy y =++，2B x xy =+.则2A B +=2234x xy y ++.7.多项式22234x xy y -+减去多项式22x xy y +-的2倍的差是256xy y -+.8.关于x 的多项式135m m x x +++ 是二次三项式，则m = 1 ,这个二次三项式是235x x ++.9.23(2)(2)-⋅-= －32 .10．在括号内填上适当的数83)6(5x x x x ⋅=⋅.11.在括号内填上适当的数9)4(32)()(a a a a =-⋅-⋅-.12.计算：234(2)a b -=81216a b .二、填空13.已知关于x 的多项式22ax bx +合并后的结果为零，则下列说法正确的是（ D ）（A ）0a b == (B) 0a b x ===(C) 0a b -= (D) 0a b +=14．若,A B 都是五次三项式，则 A B - 是（ B ）（A ）常数 (B) 次数不高于五次的多项式(C) 五次多项式 (D) 次数不低于五次的多项式15.在()2[2(3)3]2x y x -+-=+，括号内应填入的代数式是（ A ）.（A ）2x y + (B) 2x y -+(C) 2x y - (D)2x y --16.下列各题的计算，正确的是（ D ）（A ）279()a a = （B ）2714a a a ⋅=(C)1221()n n a a ++= (D)1333()m m a a ++=17.若2,2m n a b ==，则 2m n +等于（ B ）（A ）a b + （B ）ab(C) 2ab (D) 2a b三、简答题18.一个多项式加上32345x x y y -++，得32232x x y y -+.（1）求这个多项式；（2）当12x =-，1y =时，求这个多项式的值 解：（1）（32232x x y y -+）－（32345x x y y -++）= 32232725x x y y y -+-（2）当12x =-，1y =时，原式=-519．如果代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 所取的值无关，求代数式2223()2(5)4a ab ab b a b a b --+++的值.解：原式=22(1)(3)67b x a x y -++-+∴3,1a b =-=∴2223()2(5)4a ab ab b a b a b --+++=223526a ab b a b ---=－14精解名题1.在多项式132132006200720082009m n m n m n n a b x y a b x y -+++-（其中m ,n 为正整数）中，恰有两项为同类项，求m n +的值.解：观察可知322006,2008m n m n a b a b 两项不可能是同类项，故1132007,2009m n n x y x y -+是同类项，∴113m n n =+⎧⎨-=⎩ 解得54m n =⎧⎨=⎩，所以m +n =9.2.下列各项中，合并同类项正确的是（ C ）（A ）22431x x -=(B)220a bc ab c -=(C)332y x x y x ---=-(D)2226x x x x ++=3．下列变形正确的是（ B ）（A ）(1)1x y z x y z --+=--+(B)()4()44a b x y a b x y +--=+-+(C)[23()]233a b c d a b c d --+-=-++-(D)()2()2p q a b p q a b -+--=---+4. 一个多项式，当减去2237x x -+时，因把“减去”误认为“加上”，得2524x x -+，试问这道题的正确答案是什么？解：多项式为22222524(237)52423733x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=+-， ∴22(33)(237)x x x x +---+22233237410.x x x x x x =+--+-=+-5.求代数式的值（1）224[62(32)2]p p p p --+-，其中1p =-.解：原式=462+p ，当1p =-时，原式=10（2）22225(3)(3)x y xy xy x y --+，其中12x =-，13y =- 解：原式=22612xy y x -，当12x =-，13y =-时，原式=23-6.计算（1）23(3)(3)-⋅-解：原式=53-(2)()()()m n p q p q p q +⋅+⋅+解：原式=1()m n p q +++(3)33245a a a a a a ⋅+⋅+⋅解：原式=63a备选例题1.计算下列各式，结果用幂的形式表示（1）24()a -；（2）24()a -；（3）2()m n a ；（4）2334[()][()]x y x y +⋅+.解：（1）8a - （2）8a （3）2mn a （4）18()x y +2. 计算（1）342442()(2)a a a a a ⋅⋅++-（2）454)25.0(⨯-解：（1）原式=86a （2）原式=25.0)25.0()425.0(4-=-⨯⨯-方法提炼1、判断同类项注意两点：一是含有相同字母，二是相同字母的指数也相同.2、合并同类项可分为以下几步完成：● 标出同类项● 将同类项写在一起● 合并同类项3、去括号法则尤其注意括号前是负号时，括号里的各项都改变符号.4、注意幂的运算法则的逆用.巩固练习一、选择题1.下列各组代数式中，不是同类项的是（ B ）A.25a b 与213a b -B.415a x 与415ax C.23ab c 与323c b a D.313a b 与33ba2．下列去括号正确的是（ C ）A ．22[3()]3x x y z x x y z ---+=-+-B. 22[()]x a y b x a y b +--+=--+C.22223[2(51)]3251x x x x x x ---+=--+D.[]{}()x y z x y z ----=--3.下列去括号错误的是 （ D ）A ．[()][()]()()a b c a b c a b c a b c ++-+=++--B.()a b c d a b c d --+=-+-C.()b a a b --=-D.2222()()a a b b a b b a +--=--+二、填空题 4.20132013)3()31(-⨯=－1. 5.去括号：(2)()a b x y +---=2a b x y +++.6.计算：2212(35)2(32)xy x xy xy x +--+=2x xy -+.7.计算：232249()(2)x x x ⋅-=87x .8．2(3)2781-⨯⨯=93.（用3的幂表示）.9.2()n m ⋅3m =23n m +.（n 为正整数）.三、简答题10. 计算：23[2(1)](1)x x --解：原式=54(1)x --11.下面计算对不对？应该怎样改正？（1）5552b b b ⋅= 解： 不对，原式=10b（2）33b b b ⋅= 解： 不对，原式=4b（3）527()x y xy ⋅= 解： 不对，原式=25y x自我测试一、选择题1. 下列说法中正确的是（D ）.A. 幂的乘法法则是底数不变，指数相加B. 同底数幂相乘，指数相加C. 同底数幂相乘，底数不变，指数相乘D. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加2. 下列各式与31m a +相等的是（C ）.A. 31()m a +B.13()m a +C.3()m a a ⋅D.3m a a a ⋅⋅3．下列各项中不是二次三项式的是（D ）A.223x x ++B.23724x x ++ C.2354x x +- D. 25456x x -+ 4.下列计算中，正确的是（ D ）A. 336a a a +=B. 339a a a +=C. 3333a a a +=D. 3332a a a +=二、填空题5.去括号 ()x a b c --+=x a b c -+-.6.去括号 (2)(34)a b x y -+--=234a b x y ---+.7.22(32)x y xy -+（2232x y xy -+）=0 .三、解答题8.如果212(9)3n =，求 n 的值.解：123])3[()9(4222===n n n11 3=∴n9.将下列各式化成()n a b +或()n a b -的形式：232()()()()()a b a b a b b a a b -+--+解：原式=36()()a b a b -+-10.证明：233223(876)(541)(323)x x x x x x x x x --++++----+-的值与x 无关.解：化简原式=10∴多项式233223(876)(541)(323)x x x x x x x x x --++++----+-的值与x 无关.11.如果“三角”表示3(2x +5y +4z )， “方框” 表示－4［(3a +b )－（c －d ）］.求 的值.解：由已知得：－ -1 x 2 2x zx y12 ＝－4[3(1－x 2) + (x +1)－(2x 2－x )+3]＝20x 2－8x －28，＝3（2x 2+10x －4）＝ 6x 2+30 x －12，－ -1 x 2 2x ＝14x 2－38x －16.-1 x 2 2x。
沪教版(五四制)七年级数学上册 第九章整式： 整式的恒等变形讲义(无答案)
第2讲 等式的恒等变形一、代数式的恒等变形：把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形.代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用.整式的恒等变形是是代数式恒等变形的基础，涉及的主要内容有：整式的各种运算性质和法则、各种乘法公式的正逆与变形应用、因式分解的有关知识等.分式的恒等变形以整式的恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，涉及的主要内容有：分式的性质与概念的灵活应用、四则运算、化简求值及恒等证明.二、等式的分类：（1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总成立.如：123+=，23x x x +=，()()22a b a b a b +-=-（2）条件等式：只有用某些数值代替等式中的字母时，等式才成立.如：23x +=只有在1x =时才成立.（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不成立.如：125+=，23x x +=+三、等式的证明：等式的证明分为恒等式的证明和条件等式的证明.恒等式的证明主要是通过恒等变形，从等式的一边 证到另一边，或者证两边等于同一结果.；条件等式的证明要认真分析条件和所证等式之间的关系.（1）等式的证明一般是通过恒等变形把比较复杂的形式转化为比较简单的形式，即“从繁到简”.（2）等式证明的常用方法有：①左右法（即从左端推出右端，或从右端推出左端）;②同一法（左右两端分别变形得到同一结果）;③比较法（即证左右两端的差为零，或左右两端的比为1）.【例题1】 （1）若335,50a b a b +=+=，求22a b +的值。
（2）已知()()2216,9a b a b +=-=，求33a b ab +的值。
（3）已知()()2216,9a b a b +=-=，求44a b ab +的值。
【例题2】（1）已知210,a a +-=求32243a a ++的值。
整式的运算北师大版公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
即: (a b)2 a2 2ab b2
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要尤其注意哟，切 记，切记！
特别说明: 完全平方公式 是根据乘方的意义和 多项式乘法法则得到的, 因此(a b)2 a2 b2
2、多项式除以单项式 法则：多项式除以单项式，就是多项式每一项清 除单项式，再把所得商相加。
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练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
(2)6(a b)5 [1 (a b)2] 3
(3)(5x2 y3 4x3 y2 6x) (6x)
(4) 1 x3m y2n x2m1y2 3 x2m1y3) (0.5x2m1y2 )
在地上用双脚支持着,匍匐向汤广爬去."唉,伍建一小块啊,伍建一小部分,您壹世英雄,必定没什么想到自己会有那么壹天吧,谁让您敬酒否吃吃罚酒与那汤勇反贼勾串."汤广蹲下来,看着他滑稽の样子,壹脸嘲讽の笑着.伍建部份忽然壹口将
全数血猛地吐到咯汤广の脸上."找死/"汤广被那壹喷满脸血腥,气の壹把夺过插在贺若弼身上の剑,朝伍建一小部分の头颅上壹剑直插,伍建一部分倒在地上顿时没咯气息,汤广又连踹几脚,擦咯血渍,刚刚泄咯心头之恨."宇文成都诛贼有功,
顾阅读,最新、最快、最火の连载作品尽在起点原创/手机用户请到qidianm阅读.十壹部门恶斗天宝将(为大家带来最新壹部门,希望人人赞成我/）姜洲城中大摆庆功宴,火烧隋军壹战,长辽杀敌壹千,俘虏壹千,大胜得归.使东舌手中兵马由
壹千直接上升到咯两千,实力大增,并且雄阔江与长辽军威大振,再加上东舌调整生息の办法,使得姜洲公民人人勤于耕耘.现在整座城中,军心士气大涨,庶民民气归附,壹片欣欣茂发之景.东舌过咯年之后,此时即使照旧十壹岁の孩童,但对那
2021年高效课堂省级比赛《整式的加减》一等奖教案 (7)
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
合并同类项●课型：新授课●学习目标：知识与能力：1、知道同类项的概念，并在具体的情境中了解合并同类项的法则；2、领悟判断同类项的两条标准；3、识别同类项，能运用合并同类项法则进行运算。
过程与方法：1、经历得出合并同类项的过程，体验探求规律的思想方法；2、通过教师点拨、引导、让学生自学、合作、探究达到教学目的；情感态度与价值观：1、通过识别同类项，培养观察、比较、分类的数学思想；通过合并同类项，体验化繁为简的数学思想；2、让学生体验数学来源于生活，又服务于生活，提高他们的学习兴趣。
●学习重点：同类项的概念、合并同类项的法则及其运用法则进行计算；●学习难点：正确判断同类项并能准确合并同类项。
●学习方法：自主、合作、探究●学具准备：22张图片、多媒体课片●学习过程：1、创设情景，导入新课出示水果类、蔬菜类、交通工具类的图片请同学们观察屏幕，你们还认识它们吗？这些卡片是我们儿童时期所熟识的卡片，现在我想请同学们帮我把这些卡片进行适当的分类；学生活动：2、出示课题 3.4 合并同类项（板书课题）3、出示学习目标：（1）在理解同类项概念的基础上，会识别同类项;（2）知道合并同类项的意义，初步掌握合并同类项的法则;（3）初步认识数学与人类生活的密切联系。
4、讲授新课环节一：我观，我思1、求两个长方形的面积8n 5n2、“找朋友”游戏请6位同学到讲台前每人抽一张卡片，-7a2b 2a2b 4a2 -3a2 2xy -6xy把你认为作为好朋友的依据告诉大家把你认为相同类型的代数式归类，并说出分类依据。
数学北师大版七年级下册用图形验证整式乘法恒等式课件
做中感悟
提炼方法
有若干张如图所示的正方形卡片A类， B 类和长方形卡片C类，如果要拼成一个长 为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需 2 张，B类卡片____ 1 张，C类卡 要A类卡片____ 3 张，请你在右下角的大长方形中画 片____ 出一种拼法. a
A
A
b B b b C
C
B A a+b
思维拓展 活学活用
拓展练习1如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚 线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼 成一个“回形”正方形（如图②）.
a b 、ab 之间的等量关 (1)观察图②请直接写出 a b 、 2 2 a b a b 4ab ； 系 (2)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③, 2 2 a b 3 a b 3 a 4 ab b 它表示的代数恒等式为 ； (3)试画出一个几何图形,使它的面积能表示
河北保定师范附属学校刘琳如图从边长为abcm的正方形纸片中剪去一个边长为abcm的正方形ab剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形不重叠无缝隙那么通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证成立的公类和长方形卡片c类如果要拼成一个长为2ab宽为ab的长方形则需片张请你在右下角的大长方形中画出一种拼法
用图形验证整式乘法恒等式
河北保定师范附属学校 刘琳
成果展示 2 问题1 请用几何图形验证 a a 2b a 2ab 成立.
线下反馈
线下反馈
成果展示
问题2 如图,从边长为 （a+b）cm 的正方形纸片中剪
去一个边长为 （a-b）cm的正方形 （a>b） ,剩余部分
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整式恒等变形
【专题简介】
把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式，在数学求根作图方面有很广泛的应用．因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显．
基本的分解方法有：①提公因式法②公式法③十字相乘
常见分解技巧有：①主元法②换元法③拆添法④双十字相乘法
高端分解方法有：①因式定理②待定系数③轮换对称
【学习目标】
学习换元法、因式定理、待定系数
题型一消元与降次
强化挑战
【例1】化简(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2－3(y－z)2－3(x－y)2－3(x－z)2
【练1】已知x，y，z为有理数，(y－z)2＋(x－y)2＋(x－z)2＝(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2，求(yz＋1)(zx＋1)(xy＋1)
的值．
()
z2＋1
x2＋1()
y2＋1()
【例2】（第14届希望杯1试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值
【练2】当x－y＝1，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值
【例3】（第14届希望杯邀请赛试题）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝.
【练3】（1990年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．
题型二因式分解
基础夯实
【例3】（1）已知a5＋a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3＝.
(2)若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝.
(3)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋bc ＋ac ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a 、b 、c 的值．
【练4】（1）方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解（x ≤y ）为 .
(2)若x 5＋x 4＋x ＝－1，则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝ .
(3)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y
的值．
【例5】长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．
【练5】矩形的周长为28cm ，它的两边长x cm ，y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．
强化挑战
【例6】（已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求2b ＝a ＋c .
【练6】（1）在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b .
(2)已知∆ABC 三边a ，b ，c 满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断∆ABC 的形状，并说明理由．
题型三乘法公式
强化挑战
【例7】若x ＋y ＝a ＋b ，且x 2＋y 2＝a 2＋b 2，求证：x 2014＋y 2014＝a 2014＋b 2014.
【练7】已知a ＋b ＝c ＋d ，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证：a 2013＋b 2013＝c 2013＋d 2013.
巅峰突破
【例8】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013.
【练8】（第6届希望杯初一）已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x
＋y)＋6xy－17
2(a＋b)的值
【例9】已知a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0. 【练9】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝．
【例10】（2009北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，（1）求ab＋bc＋ac的值
（2）求a4＋b4＋c4的值
【练10】若a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，a3＋b3＋c3＝8
3，求①abc的值；②a
4＋b4＋c4的值
题型四配方深入研究
【例11】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y
【练11】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y
【例12】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y
【练12】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y.
【例13】已知实数a ，b ，c 满足a －b ＋c ＝7，ab ＋bc ＋b ＋c 2＋16＝0，则 b a
的值等于 ．
【练13】已知a －b ＝4，ab ＋c 2＋4＝0，则a ＋b ＝ ．
【例14】当x 变化时，分式3x 2＋6x ＋512
x 2＋x ＋1的最小值是 ．
【练14】（2000年联赛）实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y
＝ .
第9讲7年级尖端班课后作业
【习1】已知求x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值.
【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．
【习3】若m＝20062＋20062×20072，则m（）
A．是完全平方数还是奇数B.是完全平方数，还是偶数
C．不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数
【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24则这样的三角形有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【习5】已知a、b、c是三角形三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c2b2的值（）
A恒正B恒负C可正可负D非负
【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值
【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋2b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值【习8】已知x是实数，并且x3＋2x2＋2x＋1＝0，求x2008＋x2011＋x2014的值
【习9】（1999年北京初二数学竞赛）若3 x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．
【习10】（第18届希望杯初一）有理数a、b、c满足a∶b∶c＝2∶3∶5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．
【习11】（2010北京市初二数学竞赛）x、y为实数，满足x＋y＝1，x4＋y4＝7
2，求x
2＋y2的值．
【习12】（十八届希望杯初二二试）已知a1、a2、a3……a2007是彼此互不相等的负数，且
M＝（a1＋a2＋a3……＋a2006）（a2＋a3……＋a2007）
N＝（a1＋a2＋a3……＋a2007）（a2＋a3……＋a2006）试比较M、N的大小
【习13】（2013年联赛）已知实数x、y、z满足x＋y＝4，│z＋1│＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝．
【习14】（2013年竞赛）已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0则abc的最大值为．
【习15】（2001年联赛）求实数x、y的值，便得（y－1）2＋（x＋y－3）2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。