有限集合上的组合数学问题

2012有限集合上的组合数学问题知识点：1.偏序集合基本概念一个集合A 是所谓偏序的，是指它上面定义了一个二元关系“ ”满足下列条件： 1．若y x 且x y 同时成立，则y x =（反对称律） 2．若,y x z y ，则z x （传递律） 3．对于A 的每一个x ，都有x x （反身律） 4. .,y x y x y x ≠⇔<特别地，如果每一对元素之间存在关系 ，则称其为一个全序集合。

这里，符号"" 读作“小于等于”。

假定),( A 是一个有限的偏序集合。

由A 中两两不可比较的元素所组成的子集合称为“不可比集合”（或象一些学者所讲的，“反链”）；包含元素最多的不可比集合称为“最大不可比集合”（或极大“反链”）。

用M 表示一个最大不可比集合中元素的个数。

2.偏序集合基本问题和定理。

定理1（Dilworth 定理）.在将偏序集合A 分解成不相交链（相交亦可）的并时，所需要的链的最少个数m 等于A 的最大不可比集中所含元素的个数。

注意：（1）这是组合数学理论中的又一个“最大=最小”的定理，用它可以轻易地推出例7-15中的结论。

与Menger 定理，“最大流-最小割定理”和二部图中的“K ''o nig 定理”遥相呼应。

其实，这些“最大=最小”型的结论之间存在者一定的蕴涵或等价关系。

（2）由于这个结果是如此重要，我们有必要再给出一个快捷的证明（注意：快捷而简单的证明不一定是“好”的证明！因为它的过于简单的过程会掩盖一些事务的本质。

没有经验的研究人员往往忽视这一点。

）下面这个证明来自于erberg 在1967年的篇文章。

证明2：设P 是一个有限偏序集合。

P 中划分为不相交的链的最小个数m =P 中的一个反链所含元素的最大个数。

显然有M m ≥。

对于||P 实行数学归纳。

当||P =0时定理显然成立。

令C 是一个极大链。

如果C P -的每一个反链至多包含1-M 个元素，则定理成立。

因此，设},...,,{21M a a a 为C P -的一个反链。

我们定义：}.,|{i a x i P x S∃∈=-类似第可以定义+S 。

因为C 的及大性，所以C 中的最大元素不再-S 里面。

故，按照归纳假定，-S 是M个不相交的链---M S S S ,...,,21的并，其中.-∈i i S a 假定,,,a x x a S x i i ≠∈- 因为存在,j 使得,j a x 从而有,j i a a 与},...,,{21M a a a 的定义相背！这就证明了i a 是-i S 的极大元),...,2,1(M i =。

同理可以对+i S 进行证明，然后将链对接起来，就完成了定理的证明。

Mirsky 与1971年给出了Dilworth 定理的对偶定理：定理2.设P 是一个偏序集合，如果P 不具有1+m 个元素的链，则P 是m 个反链的并。

证明：对于,1=m 定理显然成立。

令2≥m 且假定定理对于1-m 成立。

令P 是一个偏序集合没有长为1+m 的链。

令M 是P 的极大元素的集合，则M 为一个反链。

假定m x x x <<<...21是M P -的一条链，那么它也是P 的极大链（因为P 不具有1+m 个元素的链）。

因此，,x M m ∈矛盾！因此，M P -中没有长为m 的链。

按照归纳假设，M P -是1-m 个反链的并。

定理得证。

应用(用Dilworth 定理证明Hall 定理)设集合系统=M ),...,,(21m S S S 满足条件：对于任意的自然数},...,2,1{m k ∈和k 个集合,,...,,21k i i i S S S (211)k S S S Sk ji i i kj i ≥⋃⋃⋃== （*）则，=M ),...,,(21m S S S 一定有SDR.证明：令 mi iST 1==为所有-S 集合中全体元素的并集合。

我们可以定义一个偏序关系如下：对于i S ∀和T t i ∈，i i i i S t t S ∈⇔<。

易见：|T|.m ≥假定最大反链有有s 个元素，设其为.},,...,,,,...,,{2121s l k t t t S S S l k =+注意到},...,,{...2121l k t t t T S S S -⊆⋃⋃⋃，从（*）可知：||||T s l T k ≤⇒-≤。

这个偏序集合是s 个不交的链的并，每一个最大反链中的元素位于一个链上。

如果设l k k k C C C C C ++...,,,...,,121，是这些不交链，且 ),,...,2,1)(,(),,..,2,1)(,(l j t S C k i a S C j j k j k i i i ====++则m s =（否则m l k S S S S ,...,,....,,21+是更大的反链）。

这样，),...,,,...,(11l k t t a a 为一个SDR.教练员点评：我们可以反过来，利用Hall 定理证明Dilworth 定理（读者不妨自己证明一下）。

3．Sperner 定理在集合论中有一个基本问题已知为大家所关注，这就是所谓的相交集合问题：给定某个集合S 的一簇子集合m A A A ,...,,21，它们之间两两相交不空，m 的最大可能值是多少?这个问题就是所谓的极值集合理论中的最大相交子集问题。

在这一方面，最为著名的结果就是下面的Sperner 定理。

定理3（Sperner 定理）。

如果m A A A ,...,,21是},...,2,1{][n n =的一些子集合，满足条件：任意的子集。

不是j i A A j i ⇒≠那么[].2/n nC m ≤。

教练员点评：所谓Sperner 定理，就是计算偏序集合|),2(][n 中最大反链的长度。

下面我们再来介绍一个典型的方法，在证明Sperner 定理时使用过：定理4（Erdos-Ko-Rado 定理（1961））. 令=M },...,,{21m A A A 是集合][n 的m 个不同的-k 子集集合，使得任何两个子集之间有非空的交，.2/n k ≤证明：1.1--≤k n C m证明:将1到n 这n 个数由小到大排成一个圆圈。

令)}(mod 1,...,1,{n k i i i F i -++=（即，每一个数用n 除后所得余数的全体）。

记},...,,{21n F F F F =为圈上所有k 个相继元素集合的全体。

由于如果某个i F 等于某个j A ，那么集合}1,...,1,{-++k l l l 和)}(1,...,1,{k l i l k l k l <<-+--中最多M 中（否则，有两个子集的交为空），所以.||k F M ≤⋂对于,...,2,1{n 应用一个置换,π则由F 得到πF ，那么对于πF 上述结论仍然成立。

因此有!||n k FMnS ⨯≤⋂=∑∑∈ππ我们固定),m (个有M A j ∈和F F i ∈（有个n ），计算这个和，并且注意到使得j i A F =π的置换有)!(!k n k -个。

因此∑--≤⇒-=11)!(!k n C m k n mnk注意：在证明k FM ≤⋂||π的过程中，我们利用到了置换的这样一个性质：设π是集合X 上的一个置换，结论1.如果1||+≥⋂k F M ，则F 中有两集合j i F F ,不相交，从而)(),(j i F F ππ也不交。

结论2.如果1||+≥⋂k F M π，则F 中有两集合j i F F ,不相交，从而)(),(j i F F ππ也不交。

练习题目1.在1+ab 只老鼠中，或者有一列老鼠有1+a 只，每一只都是前面一只的后代；或者有1+b 只，其中没有一只是另外一只的后代。

2.设1212,...,,+na a a 是整数1,...,2,12+n 的一个置换。

证明：这个序列中一定有长度为1+n 的单调子序列。

3.设n p p p N ...21=是自然数N 的质因数分解。

则N 的两两无整除关系的因数的最大个数是⎣⎦2/n n C 。

4.设有自然数n n n 532=α。

计算α的所有这样正因数的集合的最大规模:这些正因数之间两两之间无整除关系。

5.ne n e e p p p N (2)121=是N 的质因数分解。

问N 的一组两两无整除关系的因数的最大规模是多少？ 6.设].,...,2,1{][n n =如果我们定义][n 上的一个二元关系“ ”为“B A B A n B A n ⊆⇔=∈∀ 的幂集，][2,][”容易知道，|),2(][n 形成一个偏序集合，而][2n 中一个关系链m A A A (21)形成一个（关系）链，每一个i A 都在这个链中。

如果上述链中所有元素都不相同，且没有更大的链包含它，则称其为一个极大链。

设.||],[k A n A =⊆试计算][2n 中包含A 的极大链的数目。

7.令令=M },...,,{21m A A A 是集合][n 的m 个不同的子集的集合，使得对于,2/||,,n k A A A A A j i i j i j i ≤≤≠⋂⊄⇒≠φ则11--≤m n C m 。

8.设n x x x ,...,,21是n 个大于1的正数。

对于][n A ⊂，记∑∈=Ai iA xx 。

则对于任何一个给定长度为1的区间I ，总共有n 2个和式A x 中属于I 的至多有⎣⎦2/n n C 个。