有限集合上的组合数学问题

2012有限集合上的组合数学问题

知识点：

1.偏序集合基本概念

一个集合A 是所谓偏序的，是指它上面定义了一个二元关系“ ”满足下列条件： 1．若y x 且x y 同时成立，则y x =（反对称律） 2．若,y x z y ，则z x （传递律） 3．对于A 的每一个x ，都有x x （反身律） 4. .,y x y x y x ≠⇔<

特别地，如果每一对元素之间存在关系 ，则称其为一个全序集合。

这里，符号"" 读作“小于等于”。

假定),( A 是一个有限的偏序集合。由A 中两两不可比较的元素所组成的子集合称为“不可比集合”（或象一些学者所讲的，“反链”）；包含元素最多的不可比集合称为“最大不可比集合”（或极大“反链”）。用

M 表示一个最大不可比集合中元素的个数。

2.偏序集合基本问题和定理。

定理1（Dilworth 定理）.在将偏序集合A 分解成不相交链（相交亦可）的并时，所需要的链的最少个数m 等于A 的最大不可比集中所含元素的个数。

注意：（1）这是组合数学理论中的又一个“最大=最小”的定理，用它可以轻易地推出例7-15中的结论。

与Menger 定理，“最大流-最小割定理”和二部图中的“K '

'o nig 定理”遥相呼应。其实，这些“最大=最小”型的结论之间存在者一定的蕴涵或等价关系。

（2）由于这个结果是如此重要，我们有必要再给出一个快捷的证明（注意：快捷而简单的证明不一定是“好”的证明！因为它的过于简单的过程会掩盖一些事务的本质。没有经验的研究人员往往忽视这一点。）下面这个证明来自于erberg 在1967年的篇文章。

证明2：设P 是一个有限偏序集合。P 中划分为不相交的链的最小个数m =P 中的一个反链所含元素的最大个数。

显然有M m ≥。对于||P 实行数学归纳。当||P =0时定理显然成立。令C 是一个极大链。如果C P -的每一个反链至多包含1-M 个元素，则定理成立。因此，设},...,,{21M a a a 为C P -的一个反链。我们定义：

}.,|{i a x i P x S

∃∈=-

类似第可以定义+

S 。因为C 的及大性，所以C 中的最大元素不再-

S 里面。故，按照归纳假定，-

S 是M

个不相交的链-

--M S S S ,...,,21的并，其中.-∈i i S a 假定,,,a x x a S x i i ≠∈- 因为存在,j 使得,j a x 从而

有,j i a a 与},...,,{21M a a a 的定义相背！这就证明了i a 是-i S 的极大元

),...,2,1(M i =。同理可以对

+

i S 进行证明，然后将链对接起来，就完成了定理的证明。

Mirsky 与1971年给出了Dilworth 定理的对偶定理：

定理2.设P 是一个偏序集合，如果P 不具有1+m 个元素的链，则P 是m 个反链的并。

证明：对于,1=m 定理显然成立。令2≥m 且假定定理对于1-m 成立。令P 是一个偏序集合没有长为

1+m 的链。令M 是P 的极大元素的集合，则M 为一个反链。假定m x x x <<<...21是M P -的一条链，

那么它也是P 的极大链（因为P 不具有1+m 个元素的链）。因此，,x M m ∈矛盾！因此，M P -中没有长为m 的链。按照归纳假设，M P -是1-m 个反链的并。定理得证。

应用(用Dilworth 定理证明Hall 定理)

设集合系统=M ),...,,(21m S S S 满足条件：对于任意的自然数},...,2,1{m k ∈和k 个集合

,,...,,21k i i i S S S

(211)

k S S S S

k j

i i i k

j i ≥⋃⋃⋃== （*）

则，=M ),...,,(21m S S S 一定有SDR.

证明：令 m

i i

S

T 1

==

为所有-S 集合中全体元素的并集合。我们可以定义一个偏序关系如下：对于i S ∀和

T t i ∈，i i i i S t t S ∈⇔<。易见：|T|.m ≥假定最大反链有有s 个元素，设其为.},,...,,,,...,,{2121s l k t t t S S S l k =+注意到

},...,,{...2121l k t t t T S S S -⊆⋃⋃⋃，

从（*）可知：||||T s l T k ≤⇒-≤。这个偏序集合是s 个不交的链的并，每一个最大反链中的元素位于

一个链上。如果设l k k k C C C C C ++...,,,...,,121，

是这些不交链，且 ),,...,2,1)(,(),,..,2,1)(,(l j t S C k i a S C j j k j k i i i ====++

则m s =（否则m l k S S S S ,...,,....,,21+是更大的反链）。这样，),...,,,...,(11l k t t a a 为一个SDR.

教练员点评：我们可以反过来，利用Hall 定理证明Dilworth 定理（读者不妨自己证明一下）。

3．Sperner 定理

在集合论中有一个基本问题已知为大家所关注，这就是所谓的相交集合问题：给定某个集合S 的一簇子集合m A A A ,...,,21，它们之间两两相交不空，m 的最大可能值是多少?这个问题就是所谓的极值集合理论中的最大相交子集问题。在这一方面，最为著名的结果就是下面的Sperner 定理。

定理3（Sperner 定理）。如果m A A A ,...,,21是},...,2,1{][n n =的一些子集合，满足条件：任意

的子集。不是j i A A j i ⇒≠那么[]

.2/n n

C m ≤。

教练员点评：所谓Sperner 定理，就是计算偏序集合|),2(][n 中最大反链的长度。

下面我们再来介绍一个典型的方法，在证明Sperner 定理时使用过：

定理4（Erdos-Ko-Rado 定理（1961））. 令=M },...,,{21m A A A 是集合][n 的m 个不同的-k 子集集合，

使得任何两个子集之间有非空的交，.2/n k ≤证明：1.1--≤k n C m

证明:将1到n 这n 个数由小到大排成一个圆圈。令)}(mod 1,...,1,{n k i i i F i -++=（即，每一个数用n 除后所得余数的全体）。记},...,,{21n F F F F =为圈上所有k 个相继元素集合的全体。由于如果某个i F 等于某个j A ，那么集合}1,...,1,{-++k l l l 和)}(1,...,1,{k l i l k l k l <<-+--中最多M 中（否

则，有两个子集的交为空），所以.||k F M ≤⋂对于,...,2,1{n 应用一个置换,π则由F 得到π

F ，那么

对于πF 上述结论仍然成立。因此有

!||n k F

M

n

S ⨯≤⋂=∑∑∈ππ

我们固定),m (个有M A j ∈和F F i ∈（有个n ），计算这个和，并且注意到使得j i A F =π

的置换有

)!(!k n k -个。因此

∑--≤⇒

-=1

1)!(!k n C m k n mnk

注意：在证明k F

M ≤⋂||π

的过程中，我们利用到了置换的这样一个性质：

设π是集合X 上的一个置换，