有限集合上的组合数学问题
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2012有限集合上的组合数学问题
知识点:
1.偏序集合基本概念
一个集合A 是所谓偏序的,是指它上面定义了一个二元关系“ ”满足下列条件: 1.若y x 且x y 同时成立,则y x =(反对称律) 2.若,y x z y ,则z x (传递律) 3.对于A 的每一个x ,都有x x (反身律) 4. .,y x y x y x ≠⇔<
特别地,如果每一对元素之间存在关系 ,则称其为一个全序集合。
这里,符号"" 读作“小于等于”。
假定),( A 是一个有限的偏序集合。由A 中两两不可比较的元素所组成的子集合称为“不可比集合”(或象一些学者所讲的,“反链”);包含元素最多的不可比集合称为“最大不可比集合”(或极大“反链”)。用
M 表示一个最大不可比集合中元素的个数。
2.偏序集合基本问题和定理。
定理1(Dilworth 定理).在将偏序集合A 分解成不相交链(相交亦可)的并时,所需要的链的最少个数m 等于A 的最大不可比集中所含元素的个数。
注意:(1)这是组合数学理论中的又一个“最大=最小”的定理,用它可以轻易地推出例7-15中的结论。
与Menger 定理,“最大流-最小割定理”和二部图中的“K '
'o nig 定理”遥相呼应。其实,这些“最大=最小”型的结论之间存在者一定的蕴涵或等价关系。
(2)由于这个结果是如此重要,我们有必要再给出一个快捷的证明(注意:快捷而简单的证明不一定是“好”的证明!因为它的过于简单的过程会掩盖一些事务的本质。没有经验的研究人员往往忽视这一点。)下面这个证明来自于erberg 在1967年的篇文章。
证明2:设P 是一个有限偏序集合。P 中划分为不相交的链的最小个数m =P 中的一个反链所含元素的最大个数。
显然有M m ≥。对于||P 实行数学归纳。当||P =0时定理显然成立。令C 是一个极大链。如果C P -的每一个反链至多包含1-M 个元素,则定理成立。因此,设},...,,{21M a a a 为C P -的一个反链。我们定义:
}.,|{i a x i P x S
∃∈=-
类似第可以定义+
S 。因为C 的及大性,所以C 中的最大元素不再-
S 里面。故,按照归纳假定,-
S 是M
个不相交的链-
--M S S S ,...,,21的并,其中.-∈i i S a 假定,,,a x x a S x i i ≠∈- 因为存在,j 使得,j a x 从而
有,j i a a 与},...,,{21M a a a 的定义相背!这就证明了i a 是-i S 的极大元
),...,2,1(M i =。同理可以对
+
i S 进行证明,然后将链对接起来,就完成了定理的证明。
Mirsky 与1971年给出了Dilworth 定理的对偶定理:
定理2.设P 是一个偏序集合,如果P 不具有1+m 个元素的链,则P 是m 个反链的并。
证明:对于,1=m 定理显然成立。令2≥m 且假定定理对于1-m 成立。令P 是一个偏序集合没有长为
1+m 的链。令M 是P 的极大元素的集合,则M 为一个反链。假定m x x x <<<...21是M P -的一条链,
那么它也是P 的极大链(因为P 不具有1+m 个元素的链)。因此,,x M m ∈矛盾!因此,M P -中没有长为m 的链。按照归纳假设,M P -是1-m 个反链的并。定理得证。
应用(用Dilworth 定理证明Hall 定理)
设集合系统=M ),...,,(21m S S S 满足条件:对于任意的自然数},...,2,1{m k ∈和k 个集合
,,...,,21k i i i S S S
(211)
k S S S S
k j
i i i k
j i ≥⋃⋃⋃== (*)
则,=M ),...,,(21m S S S 一定有SDR.
证明:令 m
i i
S
T 1
==
为所有-S 集合中全体元素的并集合。我们可以定义一个偏序关系如下:对于i S ∀和
T t i ∈,i i i i S t t S ∈⇔<。易见:|T|.m ≥假定最大反链有有s 个元素,设其为.},,...,,,,...,,{2121s l k t t t S S S l k =+注意到
},...,,{...2121l k t t t T S S S -⊆⋃⋃⋃,
从(*)可知:||||T s l T k ≤⇒-≤。这个偏序集合是s 个不交的链的并,每一个最大反链中的元素位于
一个链上。如果设l k k k C C C C C ++...,,,...,,121,
是这些不交链,且 ),,...,2,1)(,(),,..,2,1)(,(l j t S C k i a S C j j k j k i i i ====++
则m s =(否则m l k S S S S ,...,,....,,21+是更大的反链)。这样,),...,,,...,(11l k t t a a 为一个SDR.
教练员点评:我们可以反过来,利用Hall 定理证明Dilworth 定理(读者不妨自己证明一下)。
3.Sperner 定理
在集合论中有一个基本问题已知为大家所关注,这就是所谓的相交集合问题:给定某个集合S 的一簇子集合m A A A ,...,,21,它们之间两两相交不空,m 的最大可能值是多少?这个问题就是所谓的极值集合理论中的最大相交子集问题。在这一方面,最为著名的结果就是下面的Sperner 定理。
定理3(Sperner 定理)。如果m A A A ,...,,21是},...,2,1{][n n =的一些子集合,满足条件:任意
的子集。不是j i A A j i ⇒≠那么[]
.2/n n
C m ≤。
教练员点评:所谓Sperner 定理,就是计算偏序集合|),2(][n 中最大反链的长度。
下面我们再来介绍一个典型的方法,在证明Sperner 定理时使用过:
定理4(Erdos-Ko-Rado 定理(1961)). 令=M },...,,{21m A A A 是集合][n 的m 个不同的-k 子集集合,
使得任何两个子集之间有非空的交,.2/n k ≤证明:1.1--≤k n C m
证明:将1到n 这n 个数由小到大排成一个圆圈。令)}(mod 1,...,1,{n k i i i F i -++=(即,每一个数用n 除后所得余数的全体)。记},...,,{21n F F F F =为圈上所有k 个相继元素集合的全体。由于如果某个i F 等于某个j A ,那么集合}1,...,1,{-++k l l l 和)}(1,...,1,{k l i l k l k l <<-+--中最多M 中(否
则,有两个子集的交为空),所以.||k F M ≤⋂对于,...,2,1{n 应用一个置换,π则由F 得到π
F ,那么
对于πF 上述结论仍然成立。因此有
!||n k F
M
n
S ⨯≤⋂=∑∑∈ππ
我们固定),m (个有M A j ∈和F F i ∈(有个n ),计算这个和,并且注意到使得j i A F =π
的置换有
)!(!k n k -个。因此
∑--≤⇒
-=1
1)!(!k n C m k n mnk
注意:在证明k F
M ≤⋂||π
的过程中,我们利用到了置换的这样一个性质:
设π是集合X 上的一个置换,