《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考pdf05第五章 金属电子论基础

5.7 在低温下，金属钾的摩尔热容的实验结果可以写成
c = ( 2.08T + 257T 3 ) mJ ⋅ mol −1 ⋅ K −1
若一个摩尔的钾有 N = 6 × 10 23 个电子，试求钾的费米温度和德拜温度。 解： （可参考中南大学 4.9）
e 依题意电子气的摩尔比热容 cV = 2.08T mJ ⋅ mol −1 ⋅ K −1 a 晶格振动的摩尔比热容 cV = 257T 3 mJ ⋅ mol −1 ⋅ K −1
1/ 3
2
k F ,Cu = ( 3π 2 n )
= ⎡3 × ( 3.142 ) × 8.45 × 1022 ⎤ ⎣ ⎦
2
1/ 3
=
5.2 限制在边长为 L 的正方形的 N 个电子，单电子能量为
E ( kx , k y ) =
2
(k
2 x
2 + ky )
2m
（1）求能量 E 到 E+dE 之间的状态数； (2) 求绝对零度时的费米能量。 解： （参考中南大学 4.6，王矜奉 6.2.2，林鸿生 1.1.83，徐至中 5-2） （1）如《固体物理学》图 5-1 所示，每个状态点占据的面积为
1/ 3
1/ 3
⎛ 12π 4 N 0 k B ⎞ =⎜ ⎟ −3 ⎝ 257 ×10 × 5 ⎠
1/ 3
22
1 ⎛ 2m ⎞ n= ⎜ ⎟ 2π 2 ⎝ 2 ⎠
式中 ( E − μ ) / k T B
3/ 2
∫
∞
0
dE （1） e ( E − μ ) / k BT − 1
E1/ 2
1
e
−1
0 0 0 = f ( E ) ，由于 T = 0 K， μ = EF ，所以当 E > E F ，有 f ( E ) = 0 ，而当 E ≤ E F ，
（2）由《固体物理学》式 5-19，费米能量可以表示成
EF =
2 kF 2m
2
4
第五章 金属电子论基础
2 2 2/3 kF 得 EF = = 6π 2 ) / a 2 = ( 2 m 2m 2
5.5 Cu 的费米能量为 7.0eV，试求电子的费米速度。在 273K 时，Gu 的电阻率为 1.56 × 10 −8 Ω • m ，求 电子的平均自由时间τ和平均自由程 l。 解： （参考林鸿生 1.1.108,）由《固体物理学》式 5-18、式 5-19 和式 5-21
(
)
(
)
根据《固体物理学》式 5-44
6
第五章 金属电子论基础
e cV = N0 kB Z
π 2T
2TF
得 cV = N 0 k B Z
e
π 2T
2TF
= 2.08T ×10−3
得 TF = N 0 k B Z
π2
2 × 2.08 × 10−3
=
6 ×1023 × 1.38 ×10−23 × 1× 3.1422 2 × 2.08 × 10−3
nπ 2 mk BT
即得 e
μ / k BT
+1 = e
由上式解得
⎡ π nk ⎤ μ (T ) = k BT ln ⎢e mkBT − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
2
5.4 试求： （1）一个金属中的自由电子气体在温度T=0K时，被填充到 k F = 6π 的体积，计算每个原子的价电子数目； （2）导出自由电子气体在温度为 T=0K 时的费米能表达式。 解： （1）由《固体物理学》式 5-1 和式 5-18
0 F
2/3
=
2 2/3
=
2
2ma
2
( 6π )
2 2/3
(1.05 ×10 ) =
2ma
2
−34 2
( 6π )
0 EF =
2
2m
(3nπ 2 ) 3
2
2
=
(1.055 × 10 −34 ) 2 × (3 × 4.66 × 10 28 × 3.14 2 ) 3 2 × 9.11 × 10 −31
= 7.57 × 10 −19 J = 4.72 eV
dZ dZ dk …………………………（1） = ⋅ dE dk dE 考虑在 k 空间中，在半径为 k 和 k + dk 的圆环之间所含的状态数为： G(E) =
L2 L2 dZ = = 2π kdk = kdk Δk 4π 2 2π
（2） 又由于
dk
…………………………
k2 E= 2m
2 dE k = dk m
3V
2
=
8π 0 3/ 2 2mEF ) 3 ( 3h
得到
0 = EF
h 2 ⎛ 3n ⎞ ⎜ ⎟ 2m ⎝ 8π ⎠
2/3
=
( 3nπ ) 2m ( 3nπ ) 2m
2 2/3
2
2 2/3
（利用《固体物理学》式 5-18 和式 5-19 同样能得到上式）
h 2 ⎛ 3n ⎞ E = ⎜ ⎟ 2m ⎝ 8π ⎠
因此在 E < EF 时， dN = CE 1/ 2 dE ，所以电子总数为
N=
得
∫
dN =
∫
0 EF
0
2 0 3/ 2 CE1/ 2 dE = C ( EF ) 3
3/ 2
0 N 2C ( EF ) n= = V 3V
=ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 × 4π V ( 2m )
3/ 2
0 / h 3 × ( EF )
3/ 2
n=
2 2 = 3 3 a ( 0.35 ×10−9 )
按自由电子气模型，晶体能量在 E → E + dE 之间的电子数为
dN = CE1/ 2 f ( E ) dE
其中， C = 4π V ( 2m )
3/ 2
/ h3 。在 T=0K 时，
5
第五章 金属电子论基础
f ( E ) = 1, E < EF f ( E ) = 0, E > EF
=
m∗ ρ ne2
l = vFτ =
vF m∗ ρ ne2 m∗ ρ ne2
在 273K 时
τ=
σ m∗
ne2
=
5.6 Li 是体心立方晶格，晶格常数为 a=0.428nm。试计算绝对零度时 LI 电子气的费米能量（以电子伏 特表示） 解： （参考林鸿生 1.1.107，中南大学 4.8） 传导电子浓度为
第五章 金属电子论基础
第五章 金属电子论基础
5.1 已知下列金属的电子数密度 n / cm −3 ： Li 4.7×10 22 Ni 2.65×10 22 Cu 8.45×10 试计算这些金属的费米能和费米球半径。 解： （参考中南大学 4.6）根据《固体物理学》式（5-32） 解法一：金属的电子浓度
d k = 2π kdk
而k =
2mE
， dk = d ⎜
⎛ 2mE ⎜ ⎝ L2
⎞ 1 m dE ⎟ ⎟= 2E ⎠ L2
dZ =
L2
( 2π )
2
dk =
( 2π )
× 2π kdk = 2
( 2π )
× 2π × 2
2mE
×
1
m L2 m dE = dE 2E 2π 2
（2）考虑到每个波矢状态能容纳两个电子，则电子的能级密度为
1
+1
= f (E) ，
x=
则
E−μ k BT
n=
m
π
2
∫
∫
∞
E1/ 2 e
( E − μ ) / k BT
0
∞
mk BT dE = π 2 +1
∫
dx ………………………（7） − μ / k BT e + 1
x
∞
∞
=
mk BT
π
2
mk T e − x dx = − B2 ln ( e − x + 1) −x +1 π − μ / k BT e − μ / k BT
1/ 3
2
k F , Li = ( 3π 2 n )
= ⎡3 × ( 3.142 ) × 4.7 × 1022 ⎤ ⎣ ⎦
2
1/ 3
=
2
EF , Ni
⎛ 6.34 ×10−34 ⎞ ⎜ ⎟ 2 2/3 2/3 2 × 3.142 ⎠ 2 = ( 3π 2 n ) = ⎡3 × ( 3.142 ) × 2.65 ×1022 ⎤ × ⎝ ⎦ 2m ⎣ 2 × 9.1×10−31
0
−1
dE =
L2 m
π
2
∫
0 EF
0
dE =
L2 m
π
2
0 EF
0 EF =
Nπ 2 mL2
2
5.3 证明：单位面积有 n 个电子的二维费米电子气的化学势为
⎡ π nk ⎤ μ (T ) = k BT ln ⎢ e mkBT − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
证明： （参考中南大学 4.6，王矜奉 6.2.2；5.2.9） （1）该二维金属晶体的电子能级密度为：
0
−1
dE
式中 ( E − μ ) / k T B
e
−1
0 0 0 = f ( E ) ，由于 T = 0 K， μ = EF ，所以当 E > E F ，有 f ( E ) = 0 ，而当 E ≤ E F ，
有 f ( E ) = 1 ，故上式可简化为：
N=
得
L2 m
π
2
∫
∞
1 e
( E − μ ) / k BT
2
(
)
1/ 3
费米能量 EF =
2 2 2/3 kF = ( 3π 2 n ) 2m 2m
2
分别代入电子数密度
EF , Li
⎛ 6.34 ×10−34 ⎞ ⎜ ⎟ 2 2/3 2/3 2 × 3.142 ⎠ 2 ⎝ 2 22 ⎤ ⎡ = ( 3π n ) = 3 × ( 3.142 ) × 4.7 ×10 × ⎦ 2m ⎣ 2 × 9.1×10−31
1/ 3
k F , Ni = ( 3π 2 n )
= ⎡3 × ( 3.142 ) × 2.65 × 1022 ⎤ ⎣ ⎦
2
1/ 3
=
1
第五章 金属电子论基础
EF ,Cu
⎛ 6.34 ×10−34 ⎞ ⎜ ⎟ 2 2/3 2/3 2 × 3.142 ⎠ 2 = ( 3π 2 n ) = ⎡3 × ( 3.142 ) × 8.45 × 1022 ⎤ × ⎝ ⎦ 2m ⎣ 2 × 9.1×10−31
根据《固体物理学》式 5-46
e cV 5Z Θ 3 1 D = e 2 cV 24π TF T 2
⎛ c e 24π 2TF T 2 ⎞ ΘD = ⎜ V ⎟ e 5Z ⎝ cV ⎠
1/ 3
⎛ 2.08 × 10−3 T 24π 2T 2 N 0 k B Z π 2 ⎞ =⎜ ⎟ −3 3 5Z 2 × 2.08 × 10−3 ⎠ ⎝ 257 × 10 T
G(E) = 2
dZ L2 m = dE π 2
根据《固体物理学》式（5-32）自由电子数 N 可由下式求出
2
第五章 金属电子论基础
N = ∫ G ( E ) f ( E ) dE = ∫
0
∞
∞
L2 m
1 e
( E − μ ) / k BT
0
π
2
−1
dE
=
L2 m
π
1
2
∫
∞
1 e
( E − μ ) / k BT
(
2 1/ 3
)
/ a ，这里a3是每个原子占据
n = NA
Z ρm A
3 kF = 3π 2 n
得原子的价电子数目
Z=
3 6π 2 2A 1 nA A kF A = = = 2 2 3 ρ m N A ρ m N A 3π 3π ρ m N A a ρm N A a3
=
2A 1 = ρm N A a3
3 kF = 3π 2 n
EF =
vF =
得 vF =
2 kF 2m
2
kF m
2mEF m
2 3
=
3/ 2
2 EF 2 × 7.0 ×1.6 ×10−19 = = m 63.54 ×1.66 ×10−26
n=
1 3π
( 2mEF )
由《固体物理学》式 5-78
ne2τ σ= ∗ m
τ=
σ m∗
ne2
2
所以
…………………………（3）
将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳 2 个自旋相反的电子，得二维金属晶体 中自由电子的状态数为：
G′( E ) = 2
dZ dk L2 m L2 m k• 2 = 2 ⋅ =2 dk dE 2π k π
…………………………（4）
得二维金属晶体中自由电子的状态密度为：
有 f ( E ) = 1 ，故（1）式可简化为：
1 ⎛ 2m ⎞ n= 2⎜ 2 ⎟ 2π ⎝ ⎠
得
0 EF = ( 3π 2 n )
3/ 2
∫
2
0 EF
0
2 1 ⎛ 2m ⎞ E dE = ⎜ ⎟ 3 2π 2 ⎝ 2 ⎠
1/ 2
3/ 2
(E )
0 3/ 2 F
（2）
2/3
2m
解法：根据《固体物理学》式（5-19）和式（5-18） 得费米半径 k F = 3π n
2π 2π ( 2π ) i = Lx Ly L2
2
所以每个单位 k 空间面积中应含的状态数为
L2
( 2π )
2
，
d k 面积元中应含有的状态数为
dZ = L2
( 2π )
2
2
dk
E+dE
而单电子能量为
E ( kx , k y ) =
(k
2 x
+k
2 y
2m
)=
E
k2 2m
2
可见在 k 空间中等能曲线为一圆，如图所示，在 E——E+dE 两个等能圆之间的 圆环面积为
g (E) =
G′( E ) 1 L2 m m = 2 = 2 ………………………（5） 2 S L π π
（2）根据《固体物理学》式 金属的电子浓度
3
第五章 金属电子论基础
n=
∫
e
f ( E )g ( E ) dE =
m
π
2
∫
∞
0
dE （6） e( E − μ ) / kBT + 1
E1/ 2
式中 ( E − μ ) / k T B 作变量变换