一维无限势阱

一维无限深势阱

定义编辑

粒子在一种简单外力场中做一维运动，其势能函数为U(X)=0 （-a

实际模型编辑

自由电子在一块金属中的运动相当于在势阱中的运动。在阱内，由于势能为零，粒子受到的总的力为零，其运动是自由的。在边界上x=0或x=a处，由于势能突然增加到无限大，粒子受到无限大指向阱内的力。因此，粒子的位置不可能到达0

一维无限深势阱中粒子运动的波函数编辑

一维无限深势阱中粒子运动的波函数为Ψ(x)=√(2/a)·sin(nπx/a) (0

三、一维势阱

3.1 一维无限深势阱

要使电子脱离金属，需要对它做功，这相当于电子在金属表面处势能突然增大，自由电子在金属内部的运动，可近似比作在无限深势阱的运动。由于金属是各向同性的，便可简化为电子在一维无限深势阱中的运动。

势能曲线如右图，势能表达式为

电子在一维无限深势阱中运动，用经典力学描述和量子力学描述得到了完全不同的结果。

按照经典概念，当外界向它提供能量时，电子可获得此能量而自身能量发生连续变化。电子在阱内任何位置出现的概率也是相等的。然而，按照量子力学观点，它的行为却不是这样的。

(1) 定态薛定谔方程的解

电子所受的保守力，在边界处电子所受的力无限大，指向阱内，意味着电子不可能越出阱外，由波函数物理意义可知势阱外波函数。电子在势阱内势能为零，受力为零。势阱内定态薛定谔方程为

令

方程变为

其解为

根据波函数应满足的标准化条件，波函数应在边界x=0和x=a上连续

得

应用归一化条件

求得

于是定态波函数为

(2) 能量量子化

因，合并(23.3.3)式，即得到一维无限深势阱中的电子能量

上式表明：电子的能量不能连续地取任意值，只能取分立值，即能量是量子化的，可形象地称为处于相应的能级(如右图所示)。(23.3.5)式中n称为能量量子数，E n为本征能量。在这里，能量量子化不像早期量子论那样是作为假设提出来的，而是求解薛定谔方程的必然结果。

如果n =0，则E=0，动量p=0，即动量不确定度为0，而坐标的不确定度为a,这就违反了不确定关系。所以n =0的状态不存在，n最小必须为1，此时

电子的能量称为基态能量，它又被称为零点能。

相邻能级间的间隔

对于很小的n值即低能级状态，电子的能量间隔甚至可能大于能级E n本身，这时量子化特征非常显著，经典力学完全不适用。随着n值增大，电子能量间隔的绝对值虽然也增大，但比起能量本身则要小些，即相对变化量(23.3.7)式逐渐变小。当时，能量量子化现象几乎消失，能级分布可视为连续变化，这时经典力学与量子力学的结论一致。

(3) 电子的波函数和位置概率分布

电子的定态波函数((23.3.4)式中的第二式)是与能量本征值E n对应的能量本征函数。能量量子数n从1至 ，它们组成完备的集合。可以证明：任何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开。所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、确定的本征值、独立完整的存在于其中。实验上物理量的测量值，是叠加态中可能的本征态的本征值按其本征态出现的几率来计算的平均值。

令，电子在势阱中的含时波函数可写为

这样，波函数就可以看成是两列沿x轴相反方向传播的单色平面波的叠加。由得

为德布罗意波长。上式即为在长度为a的一维弦线上形成驻波的条件，因此电子在势阱内的波函数在两势阱壁间形成驻波。

电子在阱内不同位置出现的概率是不相等的，各处的概率密度为

势阱中德布罗意驻波波腹处出现的概率最大，波节处，电子出现的概率为零。