理论力学 刚体平面运动加速度分析

2 & & & & & y B = l cosψψ − l sinψψ
ψ
O A
u x
& &A = 0 x
4u 2 && = − α =ψ 3 3l 2
8u 2 &B = − aB = & y 3 3l
解析法: 1、写出机构任意位置坐标函数或约束方程。 ２、角度一般是有向角，由定线到任意位置。 ３、注意求导时的正负 4、经常利用做垂线、余弦定理、正弦定理建立约束 方程。注意约束方程中的常量和变量。 5、注意坐标原点建立在固定位置。
a
n BA
n a BA
αω A
aA
= BA ⋅ ω
2
t a BA = BA ⋅ α
例 6-7 图示曲柄连杆机构中，已知曲柄 OA 长 0.2 m ，连杆 AB 长 1m，OA以匀角速度ω =10 rad/s绕O轴转动。求图示位置滑块B的 速度、加速度和AB杆的角加速度。 P 解：AB作平面运动，瞬心在P点，则
•瞬时加速度为0的点称为加速度瞬心 •加速度瞬心存在 vA vD
D A
t aC
a tA
vB
ω
B
a
n C
D
n aA
A
t aB
P
Q
α a
n B
B
速度分布
加速度分布
加速度瞬心
• 加速度瞬心不好找，一般不用加速度瞬心解题 • 只有刚体定轴转动速度瞬心和加速度瞬心重 合。 • 一般瞬时平动的物体，加速度瞬心好找 • 圆轮匀速滚动，圆心为加速度瞬心。
α1
45º
D
BC投影得
a = −aB cos 45° − a
t C
n CB
aB = ω ⋅ AB = 100mm/s
2
2
n aCB = BC ⋅ ωBC 2 = 25 2 mm/s 2
a = −106 mm/s
t C
2
t aC α1 = = - 0.375rad/s 2 CD
解析法在刚体平面运动中的应用
n 2 aBA = AB ⋅ ω AB = 4 m s2
aA
O
45º
A
αAB
t n a BA a BA
加速度矢量式投影到η轴上得
y
aB cos 45 = a
o
n BA
aB aA
B
aB = 5.66 m s 2
加速度矢量式投影到y轴上得
n t 0 = − a A cos 45° + aBA cos 45° + aBA sin 45°
几个问题的讨论
１、有速度投影定理，有没有加速度投影定理？
v v v n vt a B = a A + a BA + a BA
αω A
t a BA
B
aA
n a BA
aA
只有角速度为零，即瞬时平动，有
v v [a A ]AB = [aB ]AB
几个问题的讨论
２、有没有加速度瞬心？加速度瞬心和速度瞬心重合吗？
vA
ωAB
v A = OA ⋅ ω = 2 m s
O
ω
45º
A
ω AB
vA = = 2rad/s AP
45º
vB = BP ⋅ ω AB = 2.828m/s
vB
B
AB作平面运动，以A点为基点，则B点的加速度为
v v v n vt a B = a A + a BA + a BA
n A 2
η
2
其中
a A = a = OA ⋅ ω = 20 m s
P2
vC = CP2 ⋅ ω BC
3 = rω 3
vC
例 6-7 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径 为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。 解：速度瞬心A1
ω
A4
A3
v A1 = 0 vo = rω = v
v A 2 = v A 4 = 2rω = 2v
v A3
A2
v A4
O
速度瞬心具有加速度
6-3 刚体平面运动的加速度分析
刚体平面运动的加速度分析解题步骤
1、速度分析：首选速度瞬心法（不选择速度投影 法），求平面运动刚体的角速度。 2、加速度分析：基点法。弄清点的运动是直线还是 曲线.画加速度分析图。未知加速度方向可以假设。 法向加速度方向可确定。 3、利用投影式求未知加速度。 a 加速度矢量式能求解两个未知数 b 投影时应按公式的原始形式进行投影,与坐标轴的 指向一致为正,相反为负。 4 速度瞬心的加速度≠0, 因而速度瞬心法不能用于求加速度。
ω
A
vB
ω1
45º
D
vC ω1 = = 0.25rad/s CD
6-3 刚体平面运动的加速度分析
加速度分析：B为基点
a a
t CB
C
t aC n aC
vn vt v vn vt aC + aC = a B + aCB + aCB
作用线： √ 大小：
n CB
aB
√
√ ？
√ √
√ √
√ B ？ aB
A
1 dvO aO &= α =ω = r dt r
C
6-3 刚体平面运动的加速度分析
O点为基点
v v vn vt aC = aO + aCO + aCO
a = r ⋅α = aO
t CO
y
αω
O
t aCO
aO
n aCO
vO x aO
v a = r ⋅ω = r
n CO 2
2 O
C
2 v n aC = aCO = O r
ω AB
vA rω 2 3rω = = = AP AB cos 30° 3l 1
ω
O
vB = BP 1 ⋅ ω AB = AB sin 30° ⋅ ω AB 3 = rω 3
连杆BC作平面运动，瞬心在P2点，则
vA
A 30º
D 30º
P1
ωAB
B
vB
C
ω BC
v 3rω = B = BP2 3l
ωBC
vO
v A2
A1
v A3 = 2rω = 2v
小结
速度分析
1、基点法
v v v v B = v A + v BA
v B = ω ⋅ BP
v BA = AB ⋅ ω
2、速度投影法
[vB ]AB = [v A ]AB
3、速度瞬心法
基点法：即可求速度，也能求角速度，但计算烦琐。 速度投影法：求速度方便，但不能求角速度。 速度瞬心法：求速度和角速度方便，应为首选。
AP 1 r
vB = BP 1 ⋅ ω AB = rω
O
P1
vA
ω α
A
ωAB
B
vB
β
O1
C
ω BC
vB rω ω = = = BP2 3r 3
3 = rω 3
vC
vC = CP2 ⋅ ω BC
ωBC
P2
例6-6曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度ω转动，AB = BC =
BD = l，当曲柄与水平线成30º角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂 线也成30º角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。 解：连杆AB作平面运动，瞬心在P1点，则
a
t BA
= 16 m s
2
α AB
a = = 16 rad s 2 AB
t BA
例6-8车轮在地面上作纯滚动，已知轮心O在图示瞬时的速度为 vO，加速度为aO，车轮半径为r，如图。试求轮的角速度和角加 速度轮缘与地面接触点C的加速度。 y 解： C点为速度瞬心
vO ω= r
对时间取导
αω
O
aO
vO x
作业：6-6；6-7；6-8；6-13
例 6-5 图示机构，已知曲柄 OA 的角速度为 ω ， OA ＝ AB ＝ BO1 ＝ O1C＝r，角α = β = 60º，求滑块C的速度。 解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为P1和P2点，则
v A = OA ⋅ ω = rω vA rω ω AB = = =ω
&A = u x
& & B = l cosψψ y
ω = ψ& = −
u l sin ψ
3 & B = −u cot ψ = − vB = y u 3
y
B
& & A = −l sinψψ x
上式对时间取导数
& & B = l cosψψ y
&& − l cosψψ &2 & &A = −l sinψψ x
例6-10 图中杆AB长 l，滑
倒时B 端靠着铅垂墙壁。已 知A点以等速度u沿水平轴线
B
运动，试求60º时杆端B点的 速度和加速度及杆的角加速 度。
ψ
O A
u
y
B
解：建立坐标系Oxy
x A = l cosψ y B = l sinψ
上式对时间取导数
ψ
O A
u x
& & A = −l sinψψ x
6-3 刚体平面运动的加速度分析
思考：1、刚体平面运动加速度分析是不 是也有三种方法？ 2、速度瞬心的加速度是否为零？ 加速度瞬心是否存在？
6-3 刚体平面运动的加速度分析
基点法
运动分解：B点的加速度= 随基点A的平动加速度 ＋ 绕基点A的转动的加速度