第5章点的合成运动习题解答080814讲课稿

第 5 章点的合成

运动

习题解答0 8 08 1 4

第五章点的合成运动

本章要点

一、绝对运动、相对运动和牵连运动

一个动点，

两个参照系：定系，动系；

三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动，

包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度；

三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度；

牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。

二、速度合成定理

动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即

V a V e V r

解题要领

1定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上.

2牵连速度是牵连点的速度•

3速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的.

4作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置.

5用解三角形的方法解速度合成图.

三、加速度合成定理

1牵连运动为平移时的加速度合成定理

当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即

a a a e a r ，

当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成

a；a a a e n t n

a e a r a r

其中a；dv；，n a

a

2

V a t

dV e n

，a e ，a e

2

V

e a t

，a r dV r

，a n

2

v

■ ?

a, e, r依次

dt a dt e dt r

为绝对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。

解题要领

1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要.

2牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切

向和法向加速度。但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。剩下的三个切向加速度的大小方向共有六个因素，能且只能有2个未知量时方可求解。

3因加速度合成定理涉及的矢量较多，一般不用几何作图的方法求解，而是列投影式计算，千万不能写成“平衡方程”的形式。

4在加速度分析中，因动点和动系的选择不当而出现了一种似是而非的分析过程。

教材中例5.3.5的一个典型错误解法如下：

例：半径为r的半圆凸轮移动时，推动靠在凸轮上的杆0A绕0轴转动，凸轮底面直径DE的延长线通过0点，如图所示。若在30的图示瞬时位置，已知凸轮

向左的移动速度为u，加速度为a且与u反向，求此瞬时0A杆的角速度与角加速度。

(a) (b)

“解”取0A 杆上与凸轮相接触的B 点为动点，动系固结在凸轮上。设 0A 杆的角 速度和角加速度分别为

和。

1）速度分析:

根据速度合成定理，可画出速度平行四边形如图所

a 示。由几何关系可得

1

v a v e sin30

— u, v r v e cos30 2

方向如图所示。由此可求得0A 杆在图示瞬时的角速度为

转向如图所示。

2）加速度分析:

根据牵连运动为平移时的加速度合成定理,

加速度矢量关系图如图b 所示。在这个矢量关系式中，各加速度分量的大小、方 向共有十个要素，已知八个要素，可以求解。将图示的加速度矢量关系向 CB 方向

投影，得

t

・ “

a a a e Si n30

n a r

2 V r

a sin30

BC

a 2 厂

2

V3u/2 c 2

a 3u

2 4r ，

r

a a 为负值说明a a 的真实指向应与图设的指向相反。 由此，可求得

OA 杆在图示瞬

时

的角加速度的大小为

aa| t a

a

a/2 3u 2/4r

43 a u 2

a

OB BC ctg 30 后r

2r 3 2r ，

转向如图所示（由a ；的真实指向决定）

上述解法是“避免”了取OA 杆为动系时出现的科氏加速度，错在何处？这不难 从杆0A 的转动方程

R

sin —，

.3 u

2 V a 1 u 0B r ctg30

.3u 6r ，

t

a a

n

a a

a e

t

a r

n

a r

大小：OB a ? OB

2

Be

方向： 0A 指向0点 BC 指向C 点

x

对时间求导求得0A杆的角速度和角加速度值得到验证，式中x 0A。可以看到, 速度分析的结果是正确的，而加速度分析结果是错误的。原因是“取0A杆上与凸轮相接触的B点为动点”，此动点只在此瞬时与凸轮相接触，随后就分道扬镳了，其相对轨迹不是凸轮轮廓线，相对轨迹不清楚，因此，上面分析中a；1用凸轮轮廓线的半径作为相对轨迹的曲率半径的计算是错误的。

2牵连运动为转动时的加速度合成定理

牵连运动为转动时点的加速度合成定理：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度，等于该瞬时动点的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和

a a a e a r a c ，

其中科氏加速度为a c 2 g V r，当相对速度矢量与牵连角速度矢量垂直时，相对速度顺着牵连角速度转90的方向就是科氏加速度的方向，大小为a c 2g V r.当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成

tn t n t n

a a a a a e a e a r a r a c・

解题要领：

1在加速度分析中要特别注意动系是否有角速度，如果有，就要考虑科氏加速度。

2牵连运动为转动时的加速度合成定理涉及的矢量较多，最多有7个矢量，分析和列投影式时不要遗漏了。

3法向加速度和科氏加速度只与速度和角速度有关，因此，在加速度分析时应作为是已知的。

4牵连运动为转动时的加速度合成定理只可以解2个未知量。