漆安慎力学习题解答[完整版]
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第三章基本知识小结
⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点,牛顿第二定律是核心。
矢量式:22dt
r d m dt v d m a m F
=== 分量式:
(弧坐标)(直角坐标)
ρ
τττ2
,,,v
m ma F dt dv m
ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x =======
⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。
导数形式:dt p
d F =
微分形式:p d dt F
=
积分形式:p dt F I
∆==⎰)(
(注意分量式的运用)
⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。
若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零,则质点或质点系的动量保持不变。即
∑==恒矢量。
则,若外p F
0 (注意分量式的运用)
⒋在非惯性系中,考虑相应的惯性力,也可应用以上规律解题。
在直线加速参考系中:0*a m f -=
在转动参考系中:ωω
⨯=='2,
*2*
mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑===
i i c i
i c i i c a m a m v m v m r m r m
⑵∑=c a m F
(注意分量式的运用)
3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为
j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= (单位:米,秒), 求证质点受恒力
而运动,并求力的方向大小。
解:∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j i
a m F ˆ12ˆ24+== 为一与时间无关的恒矢量,∴质点受恒力而运动。
F=(242
+122)1/2
=125N ,力与x 轴之间夹角为:
'34265.0/︒===arctg F arctgF x y α
3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动,质点的运动学方
程为:j t b i
t a r ˆsin ˆcos ωω+= ,a,b,ω为正常数,证明作用于质点的合力总指向原点。
证明:∵r j t b i
t a dt r d a
2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F
2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。
3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛,一方面由筛孔漏出谷粒,一方面逐出秸杆,筛面微微倾斜,是为了从较低的一边将秸杆逐出,因角度很小,可近似看作水平,筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出,若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4,问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动?
解:以地为参考系,设谷物的质量为m ,所受到的最大静摩擦力为 mg f o
μ
=,谷物能获得的最大加速度为
2/92.38.94.0/s m g m f a o =⨯===μ ∴筛面水平方向的加速
度至少等于3.92米/秒2
,才能使谷物与筛面发生相对运动。
3.4.3 题图 3.4.4题图
3.4.4 桌面上叠放着两块木板,质量各为m 1 ,m 2,如图所示,m 2
和桌面间的摩擦系数为μ2
,m 1和m 2间的摩擦系数为μ1,问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。
解:以地为参考系,隔离m 1、m 2,其受力与运动情况如图所示,
其中,N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2,选图示坐标系o-xy ,对m 1,m 2
分别应用牛顿二定律,有
02122
22211111
111=--=--=-=g m N N a m N N F g m N a m N μμμ 解方程
组,得 ()2221211211/m g m g m g m F a g
a μμμμ---==
要把木板从下面抽出来,必须满足12a a >,即
g
m g m g m g m F 12221211μμμμ>---
m 1g
f 1
N 1 a 1 a 2 x y
()()g m m F 2121++>∴μμ
3.4.5 质量为m 2的斜面可在光滑的水平面上滑动,斜面倾角为α,质量为m 1的运动员与斜面之
间亦无摩擦,求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。
解:
以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系(非惯性系,设斜面相对地的加速度为a 2),取m 1为研究对象,其受力及运动情况
如左图所示,其中N 1为斜面对人的支撑力,f *
为惯性力,a'即人对斜面的加速度,方向显然沿斜面向下,选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程:
⎩⎨
⎧=+=+-)2('cos sin )1(0sin cos 12112111
a m a m g m a m g m N αααα
再以地为参考系,取m 2为研究对象,其受力及运动情况如右图
所示,选图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律建立方程:
⎩⎨
⎧=--=)
4(0cos )3(sin 1222
21 ααN g m N a m N (1)、(2)、(3)、(4)联立,即可求得:g m m m m a g
m m m m N α
α
α
α
21221212211sin sin )('sin cos ++=
+=
3.4.6在图示的装置中两物体的质量
各为m 1,m 2,物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ,求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力,不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦,绳不可伸长。
解:以地为参考系,隔离m 1,m 2,受力及运动情况如图示,其中:f 1=μN 1=μm 1g ,f 2=μN 2=μ
(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律:
②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ
①+②可求得:g m m g
m F a μμ-+-=
2
112
将a 代入①中,可求得:2
111)
2(m m g m F m T +-=
μ
3.4.7在图示的装置中,物体
A,B,C 的质量各为m 1,m 2,m 3,且两两不相等. 若物体A,B 与桌面间的摩擦系数为μ,求三个物体的加速度及绳内的
张力,不计绳和滑轮质量,不计轴承摩
擦,绳不可伸长。
解:以地为参考系,隔离A,B,C ,受力及运动情况如图示,其中:f 1=μN 1=μm 1g ,f 2=μN 2=μ
m 2g ,T'=2T ,由于A 的位移加B 的位移除2等于C 的位移,所以(a 1+a 2)/2=a 3.
对A,B,C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律:
f 1 N 1 m 1
g T a
F N 2
m 2g T
a N 1 f 1
f 2
T f 1 N 1 m 1g
a 1 T f 2
N 2
m 2g
a 2
T' m 3g a 3 a 2
1 2f*=m 1a 2