原子物理与量子力学基础-
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先看对时间的偏导数： 并把动量和能量用算符代替写进关系式：
ˆL ˆ ( , ) L t
i ( p x Et )
就可以得到Schrödinger方程：
i
2 ˆ 2 U 称为Hamilton算符 其中， H 2m
U t 2m
内容概要
03. 04. 05. 06. 07.
Compton散射
波粒二象性和波函数
Schrödinger方程和定态 氢原子 算符代数基础和不确定性原理
00
经典物理的原子结构
原子的Tomson模型
1.阴极射线：19世纪70年代对气体放电现象的研究中发现了真空放电 现象管内产生阴极射线，对于这一现象，Tomson认为是 高速运动的电子流 他设计了如图的实验，测定了荷质比： e Vy m dL( D L / 2) B 2 为氢原子的千分之一，1899年，他用云雾室测定电子的 电荷量与氢离子数值上相等符号相反，由此提出电子的 存在 2.Tomson原子模型：Tomson认为电子均匀地分布在原子 中，原子核集中了大部分质量，位于原子中心，整个原子 对外呈电中性
光电效应和光量子
Einstein光量子假设： 光既是波又是粒子，具有波粒二象性 光量子具有能量E=hυ 具有动量P=nh/λ=ћk 处于束缚态的电子每次只能吸收一个光子的能量e=hυ，如果光子能量小于逸出功，能量 转化为内能。 思考：同等光强的紫光和绿光照射钾板，那个饱和光电流大？
03
Compton—吴有训散射
黑体就是单色吸收比为1的物体
Kirchoff定律：对任何物体来说，单色辐出度和单色吸收比是一个与物体性质无关的函数I （λ，T） Stefan-Boltzmann定律：M(T)=σT4
黑体辐射现象
Wein位移定律：λmaxT=b=2.897E-3mK Wein根据热力学原理推出： C1
5
e
2 T
2m E x 2
第 三 区
第 二 区
第 一 区
(0) 0
且 sin(
(a) 0
2m E a) 0 时才有意义从中可以解出合理的E值，利用归一化条件求An： 2
2 n sin( x) a a
n ( x)
两个一维定态
d2 2 一维方势垒穿透：在势垒外， 2 k ，其中k= dx eikx 所以两个解可取：
Compton—吴有训散射 Compton—吴有训散射 Compton散射
Compton散射
散射过程中能量守恒，故： 散射过程中动量守恒，故：
h mc 2 h ' Ee h ' m 2 c 4 p 2 c 2
h2 2 p 2 ( '2 2' cos ) c
m0 c 22 1 h2 c
2
m0 c 4 c k
2 2
2
由此又可得相速和群速： vp=ω/k=c2/v vg=dω/dk=v
实验验证
Davisson-Germer实验：加速电压V用于控制电子能量从而控制 电子的波长，探测不同波长电子束的散射角度
实验验证来自百度文库
入射电子束与晶面夹角为90-θ/2，晶面间距asinθ/2 布拉格衍射公式为： a sin sin( 90 ) k 2 2 asinθ=kλ 可以求出电子波长，将其与电子Compton波长对比
于是在x>a区域 在x<0的区域
2mE /
( x) eikx Reikx ( x) Seikx
d2 2 2 势垒内部方程为： dx ，
解为
2m(U 0 E ) /
Aea Be a ik
Aex Be x
ik
又由连续性条件： 1+R=A+B 最后解得 S
之后，在假定了E=nhυ之后，导出上述的Planck插值公式。
02
光电效应和光量子假设
光电效应和光量子
使用红光照射，没有发现光电流，使用绿光 照射钾板，产生了光电流。 使用紫光照射时比使用绿光时的光电子动能 大
光电子最大初动能
光电效应和光量子
Ek eU截止 Ek h W逸出
W h0
df i Ef dt 2 2 U ( x ) E 2m
iEt
那么就有：
这就是定态方程，下式也称本征方程或不含时的Schrödinger方程
进一步有： ( x, t ) ( x )e
概率流守恒定律
粒子出现在某店点的概率密度： 由Schrödinger方程：
Rutherford模型
1909年Rutherford指导学生做α粒子和铝箔的散射 实验中发现： 1.绝大多数α粒子经过铝箔散射后，只有小角度偏 转 2.约1/8000的α粒子散射角大于90度 与Tomson模型产生了矛盾，由此提出新的原子结 构模型： 原子由原子核和核外电子组成，核外电子绕核运动 那么显然电子轨迹是连续的！
两个一维定态
一维无限深方势阱：
2 d 2 U ( x ) 2m dx2 ( x) E ( x) 2
在方势阱内部，方程为：
根据微分方程理论可解得： ( x ) A sin 根据波函数边界条件，阱外值为0，故：
d 2m E 0 2 2 dx
2
06
氢原子
氢原子光谱
原子光谱，是由原子收到激励 时所发射或吸收的一系列 波长的光所组成的光谱。 原子的发射谱和吸收谱是互补 的。 对于氢原子，1885年，Balmer 发现了一列谱线：
波函数与归一化条件
由de Broglie关系可知，对粒子，有相对固定的波长和频率，因此是平面单色波，波函数 为： 波函数是用来描述粒子在某点的概率情况
( x, t ) Ae
dN 2 d
i ( p xt )
是粒子出现情况的概率密度函数，描述粒子在空间中某区域出现的概率
归一化条件：
2
d 1
全
可以确定常数A=
1 N
05
Schrödinger方程和定态
Schrödinger方程的建立
套用分析力学中研究问题的方法，波函数只与坐标和时间有关，那么：
ˆ( x, t ) 0 L
式子中的算符称为线性算符，满足线性性质，且可能：
E E ( x , t ) i Ae i t 2 i ( p x Et ) i ( p x Et ) 2 2 Ae 22 再看动量的作用关系： p p Ae i 利用能量质量关系：E=p2/2m+U E i
光电效应和光量子
光电效应现象首先由Hertz在证明电磁波的实验中首先发现紫外光产生光电效应。 后来又陆续经过多人的实验，在1902年，实验有了一下规律： （1）对应于每种金属材料，有一个临界频率υ0，当光的频率小于这个值时，不会有电子 逸出 （2）从金属表面逸出的电子最大动能与光的频率呈线性关系 （3）光电流大小与光强呈正比 （4）响应时间约10-9（注意，要从理论上分析的话，需要动用量子电动力学理论） 在Ek-υ曲线上，纵截距是逸出功负值！斜率是Plank常数！
(1 R) A B
2ik /
2
Aea Be a Seika
Seika
k k (1 ) sha 2i cha
2
4k 2 2 还可得透射系数： T S 2 (k 2 ) 2 sh 2 a 4k 2 2 (k 2 2 ) 2 sh 2 a 还可得反射系数： F R (k 2 2 ) 2 sh 2 a 4k 2 2
p 2 i 2
t
定态
在我们经常碰到的问题中，U一般不随时间变化，此时，方程写为：
2 2 i U ( x ) t 2m
两侧算符不同，可以用分离变量法求解： 代入后有：
( x, t ) ( x ) f (t )
i d 1 2 2 f (t ) ( ( x ) U ( x ) ( x )) f (t ) dt ( x ) 2m
2 1 2 2
2
又黑体辐射谱密度分布：
d nd
由经典统计力学，
kT
就可以求出谱密度公式
黑体辐射现象
能量子假设
Planck插值公式： h称为Planck常数，6.626E-34Js。 Planck由此公式提出了能量子假设，空腔中的分子原子振动是带电谐振子，可以辐射和吸 收能量，且谐振子的能量只能取E=hυ。
2
能量守恒式平方，整理和动量守恒相减：
h2' (1 cos ) mc2h( ' )
结果：
'
1
h (1 cos ) m c2
即：
h (1 cos ) 2 mc
即电子Compton波长
其中，令
h c mc 2
逆Compton散射
逆Compton散射是指高能电子与低能光子相碰撞而使低能光 子获得能量的一种散射过程。逆康普顿效应导致光子获得能 量引起波长变短，这一波长变化的幅度被称为康普顿位移。 逆康普顿散射在天体物理学上有重要意义。在X射线天文学 中，黑洞周围的吸积盘被认为会产生热辐射。此辐射所产生 的低能光子会与黑洞的晕中的相对论性电子发生逆康普顿散 射，从而获得能量。此现象被视为是吸积黑洞的X射线光谱 （0.2-10千电子伏）中幂次项的成因。
能量子假设
C1 1 3 d C 2 / T 3 c e 1 与Rayleigh-Jeans公式比较：平均能量不应该取kT，而是kTPC2υ/T
Planck的唯象理论：d
P( x)
而应该是离散的。
x e x 1 ,x趋向于0时，就是能量可以连续的时候，P(x)=1，故能量不应该是连续的，
04
波粒二象性和物质波
波粒二象性
1923年，L.de Broglie根据前人的理论，提出一切物质均具有粒子性和波动性 对于质量为m0的实物粒子，相应的具有波动量频率υ和波长λ满足： υ=E/h λ=h/p 即为de Broglie关系 而，又有 E 2 p2c2 m0 2c4 所以还可以的出粒子频率与波长之间的关系：
C
（Wein公式）
Rayleigh-Jeans公式（电动力学和统计力学原理）： 黑体辐射能量密度等于热平衡时单位体积运动自由度乘以每个自由度平均能量，运动自由 度就是驻波模式。在间距为L的空间里：
2L L n1 n n 2 n 3 c 2 ，又有对称性得： 4V 2 d 其一组整数解表示一个驻波模式：N= c 3 8 2 故空腔中驻波模式数为： nd 3 d c
i 2 1 U t 2m i i 2 1 * * U * t 2m i
*
密度函数对时间求偏导后，代入以上两式化简出：
其中： i J ( * *) 2m U=U* 可得到守恒定律
1 J (U U *) t i
01
黑体辐射和能量子假设
黑体辐射现象
任何物体都在向外辐射电磁波 单色辐出度： M (T ) = dM 表示给定物体单位面积在单位时间内发射波长在λ附近的单 d 位波长辐射能，单位W/m3 辐出度：单色辐出度对波长在正数范围积分 吸收比和发射比：被物体吸收（反射）的电磁波的能量与入射能量的比值 ( , T )和 ( , T ) 对于不透明物体（无透射） ( , T ) ( , T ) 1
原子物理量子力学基础
安徽大学互联网学院 许良晨
理论物理概述
理论物理=数学+物理方法+最小作用量原理
J ( ) 0
分析力学：拉格朗日方程 经典电动力学：拉普拉斯方程 量子电动力学：费曼路径积分原理 经典量子力学
00. 01.
经典物理的原子结构 黑体辐射和能量子假设
02.
光电效应和光量子假设
ˆL ˆ ( , ) L t
i ( p x Et )
就可以得到Schrödinger方程：
i
2 ˆ 2 U 称为Hamilton算符 其中， H 2m
U t 2m
内容概要
03. 04. 05. 06. 07.
Compton散射
波粒二象性和波函数
Schrödinger方程和定态 氢原子 算符代数基础和不确定性原理
00
经典物理的原子结构
原子的Tomson模型
1.阴极射线：19世纪70年代对气体放电现象的研究中发现了真空放电 现象管内产生阴极射线，对于这一现象，Tomson认为是 高速运动的电子流 他设计了如图的实验，测定了荷质比： e Vy m dL( D L / 2) B 2 为氢原子的千分之一，1899年，他用云雾室测定电子的 电荷量与氢离子数值上相等符号相反，由此提出电子的 存在 2.Tomson原子模型：Tomson认为电子均匀地分布在原子 中，原子核集中了大部分质量，位于原子中心，整个原子 对外呈电中性
光电效应和光量子
Einstein光量子假设： 光既是波又是粒子，具有波粒二象性 光量子具有能量E=hυ 具有动量P=nh/λ=ћk 处于束缚态的电子每次只能吸收一个光子的能量e=hυ，如果光子能量小于逸出功，能量 转化为内能。 思考：同等光强的紫光和绿光照射钾板，那个饱和光电流大？
03
Compton—吴有训散射
黑体就是单色吸收比为1的物体
Kirchoff定律：对任何物体来说，单色辐出度和单色吸收比是一个与物体性质无关的函数I （λ，T） Stefan-Boltzmann定律：M(T)=σT4
黑体辐射现象
Wein位移定律：λmaxT=b=2.897E-3mK Wein根据热力学原理推出： C1
5
e
2 T
2m E x 2
第 三 区
第 二 区
第 一 区
(0) 0
且 sin(
(a) 0
2m E a) 0 时才有意义从中可以解出合理的E值，利用归一化条件求An： 2
2 n sin( x) a a
n ( x)
两个一维定态
d2 2 一维方势垒穿透：在势垒外， 2 k ，其中k= dx eikx 所以两个解可取：
Compton—吴有训散射 Compton—吴有训散射 Compton散射
Compton散射
散射过程中能量守恒，故： 散射过程中动量守恒，故：
h mc 2 h ' Ee h ' m 2 c 4 p 2 c 2
h2 2 p 2 ( '2 2' cos ) c
m0 c 22 1 h2 c
2
m0 c 4 c k
2 2
2
由此又可得相速和群速： vp=ω/k=c2/v vg=dω/dk=v
实验验证
Davisson-Germer实验：加速电压V用于控制电子能量从而控制 电子的波长，探测不同波长电子束的散射角度
实验验证来自百度文库
入射电子束与晶面夹角为90-θ/2，晶面间距asinθ/2 布拉格衍射公式为： a sin sin( 90 ) k 2 2 asinθ=kλ 可以求出电子波长，将其与电子Compton波长对比
于是在x>a区域 在x<0的区域
2mE /
( x) eikx Reikx ( x) Seikx
d2 2 2 势垒内部方程为： dx ，
解为
2m(U 0 E ) /
Aea Be a ik
Aex Be x
ik
又由连续性条件： 1+R=A+B 最后解得 S
之后，在假定了E=nhυ之后，导出上述的Planck插值公式。
02
光电效应和光量子假设
光电效应和光量子
使用红光照射，没有发现光电流，使用绿光 照射钾板，产生了光电流。 使用紫光照射时比使用绿光时的光电子动能 大
光电子最大初动能
光电效应和光量子
Ek eU截止 Ek h W逸出
W h0
df i Ef dt 2 2 U ( x ) E 2m
iEt
那么就有：
这就是定态方程，下式也称本征方程或不含时的Schrödinger方程
进一步有： ( x, t ) ( x )e
概率流守恒定律
粒子出现在某店点的概率密度： 由Schrödinger方程：
Rutherford模型
1909年Rutherford指导学生做α粒子和铝箔的散射 实验中发现： 1.绝大多数α粒子经过铝箔散射后，只有小角度偏 转 2.约1/8000的α粒子散射角大于90度 与Tomson模型产生了矛盾，由此提出新的原子结 构模型： 原子由原子核和核外电子组成，核外电子绕核运动 那么显然电子轨迹是连续的！
两个一维定态
一维无限深方势阱：
2 d 2 U ( x ) 2m dx2 ( x) E ( x) 2
在方势阱内部，方程为：
根据微分方程理论可解得： ( x ) A sin 根据波函数边界条件，阱外值为0，故：
d 2m E 0 2 2 dx
2
06
氢原子
氢原子光谱
原子光谱，是由原子收到激励 时所发射或吸收的一系列 波长的光所组成的光谱。 原子的发射谱和吸收谱是互补 的。 对于氢原子，1885年，Balmer 发现了一列谱线：
波函数与归一化条件
由de Broglie关系可知，对粒子，有相对固定的波长和频率，因此是平面单色波，波函数 为： 波函数是用来描述粒子在某点的概率情况
( x, t ) Ae
dN 2 d
i ( p xt )
是粒子出现情况的概率密度函数，描述粒子在空间中某区域出现的概率
归一化条件：
2
d 1
全
可以确定常数A=
1 N
05
Schrödinger方程和定态
Schrödinger方程的建立
套用分析力学中研究问题的方法，波函数只与坐标和时间有关，那么：
ˆ( x, t ) 0 L
式子中的算符称为线性算符，满足线性性质，且可能：
E E ( x , t ) i Ae i t 2 i ( p x Et ) i ( p x Et ) 2 2 Ae 22 再看动量的作用关系： p p Ae i 利用能量质量关系：E=p2/2m+U E i
光电效应和光量子
光电效应现象首先由Hertz在证明电磁波的实验中首先发现紫外光产生光电效应。 后来又陆续经过多人的实验，在1902年，实验有了一下规律： （1）对应于每种金属材料，有一个临界频率υ0，当光的频率小于这个值时，不会有电子 逸出 （2）从金属表面逸出的电子最大动能与光的频率呈线性关系 （3）光电流大小与光强呈正比 （4）响应时间约10-9（注意，要从理论上分析的话，需要动用量子电动力学理论） 在Ek-υ曲线上，纵截距是逸出功负值！斜率是Plank常数！
(1 R) A B
2ik /
2
Aea Be a Seika
Seika
k k (1 ) sha 2i cha
2
4k 2 2 还可得透射系数： T S 2 (k 2 ) 2 sh 2 a 4k 2 2 (k 2 2 ) 2 sh 2 a 还可得反射系数： F R (k 2 2 ) 2 sh 2 a 4k 2 2
p 2 i 2
t
定态
在我们经常碰到的问题中，U一般不随时间变化，此时，方程写为：
2 2 i U ( x ) t 2m
两侧算符不同，可以用分离变量法求解： 代入后有：
( x, t ) ( x ) f (t )
i d 1 2 2 f (t ) ( ( x ) U ( x ) ( x )) f (t ) dt ( x ) 2m
2 1 2 2
2
又黑体辐射谱密度分布：
d nd
由经典统计力学，
kT
就可以求出谱密度公式
黑体辐射现象
能量子假设
Planck插值公式： h称为Planck常数，6.626E-34Js。 Planck由此公式提出了能量子假设，空腔中的分子原子振动是带电谐振子，可以辐射和吸 收能量，且谐振子的能量只能取E=hυ。
2
能量守恒式平方，整理和动量守恒相减：
h2' (1 cos ) mc2h( ' )
结果：
'
1
h (1 cos ) m c2
即：
h (1 cos ) 2 mc
即电子Compton波长
其中，令
h c mc 2
逆Compton散射
逆Compton散射是指高能电子与低能光子相碰撞而使低能光 子获得能量的一种散射过程。逆康普顿效应导致光子获得能 量引起波长变短，这一波长变化的幅度被称为康普顿位移。 逆康普顿散射在天体物理学上有重要意义。在X射线天文学 中，黑洞周围的吸积盘被认为会产生热辐射。此辐射所产生 的低能光子会与黑洞的晕中的相对论性电子发生逆康普顿散 射，从而获得能量。此现象被视为是吸积黑洞的X射线光谱 （0.2-10千电子伏）中幂次项的成因。
能量子假设
C1 1 3 d C 2 / T 3 c e 1 与Rayleigh-Jeans公式比较：平均能量不应该取kT，而是kTPC2υ/T
Planck的唯象理论：d
P( x)
而应该是离散的。
x e x 1 ,x趋向于0时，就是能量可以连续的时候，P(x)=1，故能量不应该是连续的，
04
波粒二象性和物质波
波粒二象性
1923年，L.de Broglie根据前人的理论，提出一切物质均具有粒子性和波动性 对于质量为m0的实物粒子，相应的具有波动量频率υ和波长λ满足： υ=E/h λ=h/p 即为de Broglie关系 而，又有 E 2 p2c2 m0 2c4 所以还可以的出粒子频率与波长之间的关系：
C
（Wein公式）
Rayleigh-Jeans公式（电动力学和统计力学原理）： 黑体辐射能量密度等于热平衡时单位体积运动自由度乘以每个自由度平均能量，运动自由 度就是驻波模式。在间距为L的空间里：
2L L n1 n n 2 n 3 c 2 ，又有对称性得： 4V 2 d 其一组整数解表示一个驻波模式：N= c 3 8 2 故空腔中驻波模式数为： nd 3 d c
i 2 1 U t 2m i i 2 1 * * U * t 2m i
*
密度函数对时间求偏导后，代入以上两式化简出：
其中： i J ( * *) 2m U=U* 可得到守恒定律
1 J (U U *) t i
01
黑体辐射和能量子假设
黑体辐射现象
任何物体都在向外辐射电磁波 单色辐出度： M (T ) = dM 表示给定物体单位面积在单位时间内发射波长在λ附近的单 d 位波长辐射能，单位W/m3 辐出度：单色辐出度对波长在正数范围积分 吸收比和发射比：被物体吸收（反射）的电磁波的能量与入射能量的比值 ( , T )和 ( , T ) 对于不透明物体（无透射） ( , T ) ( , T ) 1
原子物理量子力学基础
安徽大学互联网学院 许良晨
理论物理概述
理论物理=数学+物理方法+最小作用量原理
J ( ) 0
分析力学：拉格朗日方程 经典电动力学：拉普拉斯方程 量子电动力学：费曼路径积分原理 经典量子力学
00. 01.
经典物理的原子结构 黑体辐射和能量子假设
02.
光电效应和光量子假设