原子物理与量子力学基础-

2 1 2 2

2
又黑体辐射谱密度分布：
d nd
由经典统计力学，
kT
就可以求出谱密度公式
黑体辐射现象
能量子假设
Planck插值公式： h称为Planck常数，6.626E-34Js。 Planck由此公式提出了能量子假设，空腔中的分子原子振动是带电谐振子，可以辐射和吸 收能量，且谐振子的能量只能取E=hυ。
于是在x>a区域 在x<0的区域
2mE /
( x) eikx Reikx ( x) Seikx
d2 2 2 势垒内部方程为： dx ，
解为
2m(U 0 E ) /
Aea Be a ik
Aex Be x
ik
又由连续性条件： 1+R=A+B 最后解得 S
01
黑体辐射和能量子假设
黑体辐射现象
任何物体都在向外辐射电磁波 单色辐出度： M (T ) = dM 表示给定物体单位面积在单位时间内发射波长在λ附近的单 d 位波长辐射能，单位W/m3 辐出度：单色辐出度对波长在正数范围积分 吸收比和发射比：被物体吸收（反射）的电磁波的能量与入射能量的比值 ( , T )和 ( , T ) 对于不透明物体（无透射） ( , T ) ( , T ) 1
2m E x 2
第 三 区
第 二 区
第 一 区
(0) 0
且 sin(
(a) 0
2m E a) 0 时才有意义从中可以解出合理的E值，利用归一化条件求An： 2
2 n sin( x) a a
n ( x)
两个一维定态
d2 2 一维方势垒穿透：在势垒外， 2 k ，其中k= dx eikx 所以两个解可取：
04
波粒二象性和物质波
波粒二象性
1923年，L.de Broglie根据前人的理论，提出一切物质均具有粒子性和波动性 对于质量为m0的实物粒子，相应的具有波动量频率υ和波长λ满足： υ=E/h λ=h/p 即为de Broglie关系 而，又有 E 2 p2c2 m0 2c4 所以还可以的出粒子频率与波长之间的关系：
光电效应和光量子
光电效应现象首先由Hertz在证明电磁波的实验中首先发现紫外光产生光电效应。 后来又陆续经过多人的实验，在1902年，实验有了一下规律： （1）对应于每种金属材料，有一个临界频率υ0，当光的频率小于这个值时，不会有电子 逸出 （2）从金属表面逸出的电子最大动能与光的频率呈线性关系 （3）光电流大小与光强呈正比 （4）响应时间约10-9（注意，要从理论上分析的话，需要动用量子电动力学理论） 在Ek-υ曲线上，纵截距是逸出功负值！斜率是Plank常数！
两个一维定态
一维无限深方势阱：
2 d 2 U ( x ) 2m dx2 ( x) E ( x) 2
在方势阱内部，方程为：
根据微分方程理论可解得： ( x ) A sin 根据波函数边界条件，阱外值为0，故：
d 2m E 0 2 2 dx

(1 R) A B
2ik /
2
Aea Be a Seika

Seika
k k (1 ) sha 2i cha
2
4k 2 2 还可得透射系数： T S 2 (k 2 ) 2 sh 2 a 4k 2 2 (k 2 2 ) 2 sh 2 a 还可得反射系数： F R (k 2 2 ) 2 sh 2 a 4k 2 2
黑体就是单色吸收比为1的物体
Kirchoff定律：对任何物体来说，单色辐出度和单色吸收比是一个与物体性质无关的函数I （λ，T） Stefan-Boltzmann定律：M(T)=σT4
黑体辐射现象
Wein位移定律：λmaxT=b=2.897E-3mK Wein根据热力学原理推出： C1

5
e
2 T
i 2 1 U t 2m i i 2 1 * * U * t 2m i
*
密度函数对时间求偏导后，代入以上两式化简出：
其中： i J ( * *) 2m U=U* 可得到守恒定律
1 J (U U *) t i
内容概要
03. 04. 05. 06. 07.
Compton散射
波粒二象性和波函数
Schrödinger方程和定态 氢原子 算符代数基础和不确定性原理
00
经典物理的原子结构
原子的Tomson模型
1.阴极射线：19世纪70年代对气体放电现象的研究中发现了真空放电 现象管内产生阴极射线，对于这一现象，Tomson认为是 高速运动的电子流 他设计了如图的实验，测定了荷质比： e Vy m dL( D L / 2) B 2 为氢原子的千分之一，1899年，他用云雾室测定电子的 电荷量与氢离子数值上相等符号相反，由此提出电子的 存在 2.Tomson原子模型：Tomson认为电子均匀地分布在原子 中，原子核集中了大部分质量，位于原子中心，整个原子 对外呈电中性
df i Ef dt 2 2 U ( x ) E 2m
iEt

那么就有：
这就是定态方程，下式也称本征方程或不含时的Schrödinger方程
进一步有： ( x, t ) ( x )e
概率流守恒定律
粒子出现在某店点的概率密度： 由Schrödinger方程：
2
06
氢原子
氢原子光谱
原子光谱，是由原子收到激励 时所发射或吸收的一系列 波长的光所组成的光谱。 原子的发射谱和吸收谱是互补 的。 对于氢原子，1885年，Balmer 发现了一列谱线：
先看对时间的偏导数： 并把动量和能量用算符代替写进关系式：
ˆL ˆ ( , ) L t
i ( p x Et )

就可以得到Schrödinger方程：
i
2 ˆ 2 U 称为Hamilton算符 其中， H 2m
U t 2m
2
d 1
全
可以确定常数A=
1 N
05
Schrödinger方程和定态
Schrödinger方程的建立
套用分析力学中研究问题的方法，波函数只与坐标和时间有关，那么：
ˆ( x, t ) 0 L
式子中的算符称为线性算符，满足线性性质，且可能：
E E ( x , t ) i Ae i t 2 i ( p x Et ) i ( p x Et ) 2 2 Ae 22 再看动量的作用关系： p p Ae i 利用能量质量关系：E=p2/2m+U E i
Rutherford模型
1909年Rutherford指导学生做α粒子和铝箔的散射 实验中发现： 1.绝大多数α粒子经过铝箔散射后，只有小角度偏 转 2.约1/8000的α粒子散射角大于90度 与Tomson模型产生了矛盾，由此提出新的原子结 构模型： 原子由原子核和核外电子组成，核外电子绕核运动 那么显然电子轨迹是连续的！
能量子假设
C1 1 3 d C 2 / T 3 c e 1 与Rayleigh-Jeans公式比较：平均能量不应该取kT，而是kTPC2υ/T
Planck的唯象理论：d
P( x)
而应该是离散的。
x e x 1 ,x趋向于0时，就是能量可以连续的时候，P(x)=1，故能量不应该是连续的，
p 2 i 2
t
定态
在我们经常碰到的问题中，U一般不随时间变化，此时，方程写为：
2 2 i U ( x ) t 2m
两侧算符不同，可以用分离变量法求解： 代入后有：
( x, t ) ( x ) f (t )
i d 1 2 2 f (t ) ( ( x ) U ( x ) ( x )) f (t ) dt ( x ) 2m
m0 c 22 1 h2 c
2
m0 c 4 c k
2 2
2
由此又可得相速和群速： vp=ω/k=c2/v vg=dω/dk=v
实验验证
Davisson-Germer实验：加速电压V用于控制电子能量从而控制 电子的波长，探测不同波长电子束的散射角度
实验验证
入射电子束与晶面夹角为90-θ/2，晶面间距asinθ/2 布拉格衍射公式为： a sin sin( 90 ) k 2 2 asinθ=kλ 可以求出电子波长，将其与电子Compton波长对比
波函数与归一化条件
由de Broglie关系可知，对粒子，有相对固定的波长和频率，因此是平面单色波，波函数 为： 波函数是用来描述粒子在某点的概率情况
( x, t ) Ae

dN 2 d
i ( p xt )
是粒子出现情况的概率密度函数，描述粒子在空间中某区域出现的概率
归一化条件：
原子物理量子力学基础
安徽大学互联网学院 许良晨
理论物理概述
理论物理=数学+物理方法+最小作用量原理
J ( ) 0
分析力学：拉格朗日方程 经典电动力学：拉普拉斯方程 量子电动力学：费曼路径积分原理 经典量子力学
00. 01.
经典物理的原子结构 黑体辐射和能量子假设
02.
光电效应和光量子假设
光电效应和光量子
Einstein光量子假设： 光既是波又是粒子，具有波粒二象性 光量子具有能量E=hυ 具有动量P=nh/λ=ћk 处于束缚态的电子每次只能吸收一个光子的能量e=hυ，如果光子能量小于逸出功，能量 转化为内能。 思考：同等光强的紫光和绿光照射钾板，那个饱和光电流大？