电磁场与电磁波第六章__均匀平面波的反射和透射
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电动力学 电磁场与电磁波课件第6章 均匀平面波的反射与透射
[
]
例题： 均匀平面波的电场强度为
ˆ E = ex 100 sin(107 π t − β z )
(V/m)
(1) 若波在空气中传播，运用麦克斯韦方程求出磁场强度H。 (2) 若波在z=0处遇到一理想导体平面，求出z<0区域的电 场E和磁场H。 (3) 求理想导体表面的电流密度。 解： (1)
ˆ E(z) =ex 100e
E1 = E2 ; H1 = H 2
得到
x
Ei Hi
Er Et
入
透
Eim + Erm = Etm
Ht
y
η1c
解之得
Eim
−
Erm
η1c
=
η2c
Etm
z
反
Hr
(σ1,ε1,µ1) 及
(σ2,ε2,µ2)
η2c − η1c Erm = Eim η2c + η1c
2η2c Etm = Eim η2c + η1c
y
电场强度的振幅
2 Eim cos( β1 z ) cos(ωt ) η1
E1 (t ) = 2 Eim sin( β1 z )
最大值2Eim，其位置
π λ1 β1 z = −(2n + 1) ⇒ z = −(2n + 1) , n = 0,1, 2 , ... 2 4
最小值0，其位置 (驻波波腹)
2. 斜入射的波场分析 设z<0和z>0空间分别为两个半无限理想介质。设入、反、 透射三波的传播方向的单位矢量分别为
ˆ ˆ ˆ ei = ex sin θi + ez cos θi ˆ ˆ ˆ er = ex sin θr − ez cos θr ˆ ˆ ˆ et = ex sin θ t + ez cos θt
第六章-3 均匀平面波的反射和透射
依次类推，自右向左逐一计算各条分界面处的等效波阻抗，直 至求得第一条边界处的等效波阻抗后，即可计算总反射系数。
1
(1)
2
(2)
3
(n-2) (n-1) n
(3) (n-3) (n-2) (n-1)
1
2
(1) (2)
3
(n-2)
(n-1)ef
(3) (n-3) (n-2)
1
(1)
1 H 2 ez E2
2
6.67 ey cos(3 109 t 20 z ) 60 e y 0.036 cos(3 109 t 20 z ) A/m
电子科技大学编写 高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
14
例 6.1.4 已知媒质1的εr1=4、μr1=1、σ1=0 ； 媒质2 的εr2=10、
2ef
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
(1) (2)
3
(n-2)ef
(3) (n-3)
电子科技大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
9
2、四分之一波长匹配层 设两种理想介质的波阻抗分别为η1 与η2 ，为了消除分界面 的反射，可在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长（该 波长是指平面波在夹层中的波长）的理想介质夹层，如图所示。 首先求出第一个分界面上的等效波
4
1、 多层介质中的场量关系与等效波阻抗
媒质①和②中存在两种平面波，其一是向正 z 方向传播的波，
另一是向负 z 方向传播的波，在媒质③中仅存在向正 z 方向传播
的波 。因此，各个媒质中的电场强度可以分别表示为
1
(1)
2
(2)
3
(n-2) (n-1) n
(3) (n-3) (n-2) (n-1)
1
2
(1) (2)
3
(n-2)
(n-1)ef
(3) (n-3) (n-2)
1
(1)
1 H 2 ez E2
2
6.67 ey cos(3 109 t 20 z ) 60 e y 0.036 cos(3 109 t 20 z ) A/m
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
14
例 6.1.4 已知媒质1的εr1=4、μr1=1、σ1=0 ； 媒质2 的εr2=10、
2ef
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
(1) (2)
3
(n-2)ef
(3) (n-3)
电子科技大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
9
2、四分之一波长匹配层 设两种理想介质的波阻抗分别为η1 与η2 ，为了消除分界面 的反射，可在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长（该 波长是指平面波在夹层中的波长）的理想介质夹层，如图所示。 首先求出第一个分界面上的等效波
4
1、 多层介质中的场量关系与等效波阻抗
媒质①和②中存在两种平面波，其一是向正 z 方向传播的波，
另一是向负 z 方向传播的波，在媒质③中仅存在向正 z 方向传播
的波 。因此，各个媒质中的电场强度可以分别表示为
第6章 均匀平面电磁波的反射与透射
反射波为：
与 之间的关系为： 1 jk1 z Er Ei0e ex
Ei0 jk1z Hr e ey
透射波为：
j 2 z Et Ei0e ex
Ei0 j2 z Ht e ey
1
2
第6章
反射系数
E r0 2 1 Ei 0 2 1 2 1 , 0 2 1 , 0
第6章
第六章 均匀平面电磁波的反射与透射
电磁波入射到介质界面上，会发生反射、折射现象。反射、折 射定律有两个方面的问题： （1）入射角、反射角和折射角之间的关系问题； （2）入射波、反射波和折射波振幅和相位的变化关系。 反射、折射既然发生在界面上，就属于边值问题。从电磁场 理论可以导出反射和折射定律，也从一个侧面证明麦氏方程的正 确性。 本节内容： 1、均匀平面波向平面分界面的垂直入射 2、均匀平面波向多层媒质分界面的垂直入射 3、均匀平面波向理想介质平面分界面的斜入射 4、均匀平面波对理想导体平面的斜入射
第6章
三、 平面电磁波向理想介质的垂直入射 设z = 0为分界面，设入射电场强度只具有x分量，沿z轴 正向垂直入射到理想介质分界面（如图示）。 设入射与反射电磁波分别为 1 1z Ei ex Ei 0e , H i ey Ei 0e 1z
1 区域2中的透射波电场和磁场为
在入射介质中电磁波表现为纯驻波，任意时
刻 1区的合成电、磁场都在距理想导体表面的某 些固定位置处存在零值（波节）和最大值（波腹）
第6章
1
E1 ( z , t ) 0 1 z n , z n H1 ( z , t ) max 2
E1 ( z , t ) max 1 z (2n 1) , z (2n 1) H1 ( z , t ) 0 2 4 ( n 0,1, 2...)
6均匀平面波的反射与透射
E1 Ei0 1 2 cos 2k1 z
2 1/ 2
行驻波演示
讨论：
2 1 2 1
2 1 在分界面处总电场达到极大值。 2 1 在分界面处总电场达到极小值。
P.14
《电磁场与电磁波》
第6章 平面波的反射与透射
入射波能量、反射波能量和透射波能量间的关系
P.12
《电磁场与电磁波》
则：
Ei0 Er0 Et 0
Ei0 Er0
第6章 平面波的反射与透射 解得：
1
2
Et0
令： Er0 2 1 Ei0 2 1
2 1 Er0 Ei0 2 1 22 Et 0 Ei0 2 1
反射系数 ：分界面上反射波电 场强度与入射波电场强度之比。
透射波表示为：
Ei
Hi
1 , 1
v1
O Er
x
2 , 2
Et
Ht
v2
zLeabharlann jk2 z Et Et 0 e ex
Et 0 jk2 z Ht e ey
v1
Hr
2
根据边界条件： 在 z 0 处有
E1t E2t
H1t H 2t
第6章 平面波的反射与透射
E j2 Ei0 sin kzex 2 Ei0 H cos kzey
E 2i0 1 Sav Re 4 j sin kz cos kz ez 0 2
在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。
瞬时形式为：
E 2 Ei0 sin(kz )sin t ex
2 1/ 2
行驻波演示
讨论：
2 1 2 1
2 1 在分界面处总电场达到极大值。 2 1 在分界面处总电场达到极小值。
P.14
《电磁场与电磁波》
第6章 平面波的反射与透射
入射波能量、反射波能量和透射波能量间的关系
P.12
《电磁场与电磁波》
则：
Ei0 Er0 Et 0
Ei0 Er0
第6章 平面波的反射与透射 解得：
1
2
Et0
令： Er0 2 1 Ei0 2 1
2 1 Er0 Ei0 2 1 22 Et 0 Ei0 2 1
反射系数 ：分界面上反射波电 场强度与入射波电场强度之比。
透射波表示为：
Ei
Hi
1 , 1
v1
O Er
x
2 , 2
Et
Ht
v2
zLeabharlann jk2 z Et Et 0 e ex
Et 0 jk2 z Ht e ey
v1
Hr
2
根据边界条件： 在 z 0 处有
E1t E2t
H1t H 2t
第6章 平面波的反射与透射
E j2 Ei0 sin kzex 2 Ei0 H cos kzey
E 2i0 1 Sav Re 4 j sin kz cos kz ez 0 2
在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。
瞬时形式为：
E 2 Ei0 sin(kz )sin t ex
_均匀平面波的反射和透射
17:02
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
对理想介质空间中合成波的讨论
入射波 Z向行波
合成波
24
驻波
24
反射波
电场强度 磁场强度
(2n 1)1 4
-Z向行波
波腹点位置（驻波电场最大值驻定点的位置）： 距离导体平板的距离为 zmax
(n = 0,1,2,3,…)
1 (3) H i k E i
E0 1 2 0
j z e z ( e x je y ) e
17:02
E0 1 2 0
j z ( e y je x ) e
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
合成波的平均能流密度
1 S av R e [ E 合 H 合 ] 2 1 4 R e [ e z j E m s in k z c o s k z ] 0 2
结论：当平面波垂直入射到理想导体表面时，在介质空间的合成 波(驻波)不传播电磁能量，只存在能量转化。
17:02
电子科技大学电磁Βιβλιοθήκη 与电磁波课程组电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
6.1.1 对理想导体的分界面的垂直入射
建立图示坐标系
z < 0中，媒质1 为理想介质， 1、1
1 0
H
+
E
+
x
入
z > 0中，媒质 2 为理想导体 2
入射波沿x方向线极化
反
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
对理想介质空间中合成波的讨论
入射波 Z向行波
合成波
24
驻波
24
反射波
电场强度 磁场强度
(2n 1)1 4
-Z向行波
波腹点位置（驻波电场最大值驻定点的位置）： 距离导体平板的距离为 zmax
(n = 0,1,2,3,…)
1 (3) H i k E i
E0 1 2 0
j z e z ( e x je y ) e
17:02
E0 1 2 0
j z ( e y je x ) e
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
合成波的平均能流密度
1 S av R e [ E 合 H 合 ] 2 1 4 R e [ e z j E m s in k z c o s k z ] 0 2
结论：当平面波垂直入射到理想导体表面时，在介质空间的合成 波(驻波)不传播电磁能量，只存在能量转化。
17:02
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第6章 均匀平面波的反射和透射
6.1.1 对理想导体的分界面的垂直入射
建立图示坐标系
z < 0中，媒质1 为理想介质， 1、1
1 0
H
+
E
+
x
入
z > 0中，媒质 2 为理想导体 2
入射波沿x方向线极化
反
“电磁场与电磁波”第6章 均匀平面波的反射与透射
由此可见，在均匀的导电媒质中，虽然传导电流密度 J ≠ 0 ，但 不存在自由电荷体密度，即 ρ = 0 教材第38页 电流连续性方程
∂ρ )dV = 0 或者 教材第106页式(3.2.1) ∫V (∇ ⋅ J + ∂t
即 ∇⋅ J = 0
∫ J ⋅ dS = 0
S
∇ ⋅ J = ∇ ⋅ (σE ) = σ∇ ⋅ E = 0
∇⋅E = 0
均匀导电媒质中没有体分布电荷
WangChengyou © Shandong University, Weihai
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
11
定义分界面上的反射系数Γ为反射波电场振幅与入射波电场振幅 之比；透射系数τ为透射波电场振幅与入射波电场振幅之比，则 η2c −η1c Erm η 2c − η1c Γ = Erm = Eim = Eim + Erm = Etm ⎧ ⎧ Eim η2c + η1c η2c +η1c ⎧ ⎨ ⎨ E ⎨ 1 (E − E ) = 1 E 2η2c 2η 2c tm ⎩ η1c im rm η2c tm ⎩ Etm = ⎩τ = = Eim η2c +η1c Eim η 2c + η1c 讨论： 1+ Γ = τ 一般情况下，Γ 和τ 均为复数，这表明在分界面上，反射波 和透射波的振幅和相位与入射波都不同。 若媒质2为理想导体，即σ2 = ∞，则η 2c = 0 ，故有Γ = −1、τ = 0 若两种媒质均为理想介质，即σ1= σ2= 0，则得到 η −η 2η 2 Γ = 2 1, τ= η 2 + η1 η 2 + η1
z=0 E im − jβ1 z H i ( z) = ey e η1
∂ρ )dV = 0 或者 教材第106页式(3.2.1) ∫V (∇ ⋅ J + ∂t
即 ∇⋅ J = 0
∫ J ⋅ dS = 0
S
∇ ⋅ J = ∇ ⋅ (σE ) = σ∇ ⋅ E = 0
∇⋅E = 0
均匀导电媒质中没有体分布电荷
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
11
定义分界面上的反射系数Γ为反射波电场振幅与入射波电场振幅 之比；透射系数τ为透射波电场振幅与入射波电场振幅之比，则 η2c −η1c Erm η 2c − η1c Γ = Erm = Eim = Eim + Erm = Etm ⎧ ⎧ Eim η2c + η1c η2c +η1c ⎧ ⎨ ⎨ E ⎨ 1 (E − E ) = 1 E 2η2c 2η 2c tm ⎩ η1c im rm η2c tm ⎩ Etm = ⎩τ = = Eim η2c +η1c Eim η 2c + η1c 讨论： 1+ Γ = τ 一般情况下，Γ 和τ 均为复数，这表明在分界面上，反射波 和透射波的振幅和相位与入射波都不同。 若媒质2为理想导体，即σ2 = ∞，则η 2c = 0 ，故有Γ = −1、τ = 0 若两种媒质均为理想介质，即σ1= σ2= 0，则得到 η −η 2η 2 Γ = 2 1, τ= η 2 + η1 η 2 + η1
z=0 E im − jβ1 z H i ( z) = ey e η1
第6章 均匀平面电磁波的反射与透射
媒质1中的合成波为： 媒质1中的合成波为：
E = Ei + Er = e x Eim (e− j β1z + Γe + j β1z ) = e x Eim [(1+Γ)e
H = Hi + Hr = e y = ey 1 1
− j β1 z
+ j 2Γ sin β1 z ]
1
η1
η1c
Eime−γ1z − ey
6.2
对平面分界面的斜入射
本节讨论均匀平面波以任意角度入射到无限大平面分界面时出现的反射与折射 情况。 情况。 + 入射面——入射波传播方向 en 与分界法线 所构成的平面。 与分界法线n 所构成的平面。 入射面 入射波传播方向 垂直极化波——入射波电场 E + 入射波电场 与入射面垂直。 垂直极化波 与入射面垂直。 平行极化波——入射波电场 E +与入射面平行。 入射波电场 与入射面平行。 平行极化波 入射波电场 透射波电场
反
y
z
由边界条件 Et = Ex 得
区电场为零） = 0（2区电场为零）
z =0
Hr
( Erme+ jβ z ) im
=0
媒质1 媒质1 σ = 0
1
媒质2 媒质2 (σ 2 = ∞)
⇒ Erm = −Eim
1区的合成电磁场
E = Ei + Er = ex Eime− jβ z + ex Erme+ jβ z
Hi =
1
η1 c
ez × Ei = e y
1
η1 c
Eim e − γ 1 z
γ1 = jω µ1ε1c = jω µ1ε1 1 − j
电磁场与电磁波-第六章-均匀平面波的反射和透射
(
z)
z 0
Er (z) (ex jey )Eme
jz
0
所以反射波是沿－z方向传播的左旋圆极化波
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
16
（2）在z<0区域的总电场强度
E1(z,
Re
Re
t()ex RejeyE)ie(zj)zE(r(ezx)
(ex
je
y
)
j2 sin
1= 2= 0
则
1 j1 j 11
2 j2 j 22
1c 1
1 1
, 2c
2
2 2
2 1 , 22
2 1
2 1
讨论
x
介质1：
1, 1
Ei
ki
Hi
kr
Er Hr
介质2：
2, 2
Et
kt
Ht
y
z
z=0
当η2>η1时，Γ> 0，反射波电场与入射波电场同相
当η2<η1时，Γ< 0，反射波电场与入射波电场反相
ex
Eim
(e
j1z
e
) j1z
H1(z) Hi (z) Hr (z) ey
媒质2中的透射波：
E2
(z)
Et
(z)
ex
Eime
j2 z
Eim
1
(e j1z
e j1z )
H2(z)
Ht
(z)
ey
Eim 2
e
j2 z
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
20
合成波的特点
E1(z) ex Eim (e j1z e ) j1z ex Eim (1 )e j1z (e j1z e j1z ) ex Eim (1 )e j1z j2 sin 1z
电磁场课件电磁场与电磁波第六章__均匀平面波的反射和透射
Em Em
反射波电场和磁场为：
E ex Eme jkz
H
1
0
ey Eme jkz
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
理想媒质空间(z<0)中的合成波 理想媒质中的合成波场量表达式： 合成场的复数形式：
E合＝E E－＝ex Em (e jkz e jkz ) jex 2Em sin kz
H合＝H
H －＝ey
Em
(e jkz
e jkz )
ey
2
Em
cos kz
合成场的实数（瞬时）形式：
E合 Re[ jex 2Em sin kze jt ] ex 2Em sin kz sin t
H合
Re[ey
2
Em
cos kze jt ]
ey
2
Em
cos kz
cost
入射波
合成电、磁场的关系：
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
现 象： 电磁波入射到不同媒质分界面上
时，一部分波被分界面反射，一部分 波透过分界面。
介质分界面
x
Ei
入射波
ki Hi
反射波 H r kr
o
Er
媒质 1
Et 透射波 Hkt t z
y
媒质 2
入射方式： 垂直入射、斜入射；
媒质类型： 理想导体、理想介质、导电媒质
x
分界面
q
E t//
t
y
Et
边界条件 E t^
z
kt 透射波
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
一般性应用问题：斜入射+一般性媒质
应用中的典型问题
反射波电场和磁场为：
E ex Eme jkz
H
1
0
ey Eme jkz
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
理想媒质空间(z<0)中的合成波 理想媒质中的合成波场量表达式： 合成场的复数形式：
E合＝E E－＝ex Em (e jkz e jkz ) jex 2Em sin kz
H合＝H
H －＝ey
Em
(e jkz
e jkz )
ey
2
Em
cos kz
合成场的实数（瞬时）形式：
E合 Re[ jex 2Em sin kze jt ] ex 2Em sin kz sin t
H合
Re[ey
2
Em
cos kze jt ]
ey
2
Em
cos kz
cost
入射波
合成电、磁场的关系：
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
现 象： 电磁波入射到不同媒质分界面上
时，一部分波被分界面反射，一部分 波透过分界面。
介质分界面
x
Ei
入射波
ki Hi
反射波 H r kr
o
Er
媒质 1
Et 透射波 Hkt t z
y
媒质 2
入射方式： 垂直入射、斜入射；
媒质类型： 理想导体、理想介质、导电媒质
x
分界面
q
E t//
t
y
Et
边界条件 E t^
z
kt 透射波
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
一般性应用问题：斜入射+一般性媒质
应用中的典型问题
电磁场与电磁波 第6章 平面电磁波的反射与折射
一垂直极化平面电磁波
E e E e jk1(xsin1zcos1)
I
y0
自空气斜
入射至理想介质(r = 4,r =1 )表面( z = 0)，入射角1 60 。
(1)写出反射电磁波表达式；
(2)求通过单位面积进入理想介质的平均功率；
(3)若入射波电场为 EI (ex cos1 ezsin1)E0e jk1(xsin1zcos1) ，则反射波和折 射波表达式如何？
第六章 平面电磁波的反射与折射
设界面为 z = 0 平面，入射面为 y = 0 平面。对于垂直极化 波，其电场仅有 y 分量；而平行极化波，其磁场仅有 y 分量。 在介质 1 和介质 2 中，入射波、反射波和折射波分别满足麦克 斯韦方程组。由式(5-2-20)和(5-2-21)，可以写出
( 2 x2
R
ER0 EI01Βιβλιοθήκη R//ER0 EI0
1
T
ET0 EI0
0
T//
ET0 EI0
0
若将理想导体的波阻抗
j
0 代入菲涅尔公式，也
可以得到上述的反射系数和折射系数 表达式。故可将理想导体
表面的反射系数和折射系数表达式看作是菲涅尔公式在 0
时的特例。
第六章 平面电磁波的反射与折射
【例6.1.1】
示为
E e E e j (kIxxkIz z)
I
y I0
（6-1-9）
则
HI
1
1
(ex
s in 1
ez
cos1) e y EI0e j (kI xxkI z z)
(ex
c os1
ez
s in 1 )
EI0
1
电磁场与电磁波(第4版)教学指导书 第6章 反射与透射
第6章 反射与透射6.1基本内容概述本章讨论均匀平面波在不同媒质分界面上的反射与透射，主要内容为：均匀平面波对两种不同媒质（包括：理想介质、一般导电媒质、理想导体）分界平面的垂直入射，均匀平面波对理想介质分界面的斜入射和均匀平面波对理想导体表面的斜入射。
6.1.1 电磁波对分界面的垂直入射1．对导电媒质分界面的垂直入射 反射系数021021r c ci c cE E ηηΓηη-==+ (6.1) 透射系数020212t ci c cE E ητηη==+ (6.2) 且1Γτ+= (6.3)在一般情况下，12c c ηη、为复数，故Γ和τ一般也为复数，这表明在分界面上的反射和透射将引入附加的相位移。
2．对理想导体平面的垂直入射媒质1为理想介质，媒质2为理想导体，则20c η=，1Γ=-、0τ=，即产生全反射，媒质1中的合成波为驻波。
101(z)(z)(z)2sin i r x i j E z β=+=-E E E e （6.4）10112(z)(z)(z)cos i r y i E z βη=+=H H H e （6.5）合成波的特点：1(0,1,2,)2n z n λ=-=处为合成波电场的波节点和合成波磁场的波腹点；()121(0,1,2,)4n z n λ+=-=处为合成波电场的波腹点和合成波磁场的波节点；11E H 和的驻波在时间上有2π的相移，在空间分布上错开4λ。
3．对理想介质分界面的垂直入射反射系数Γ和透射系数τ为实数，媒质1中的合成波的电场为 ()()11012sin j z x i z E e j z βτΓβ-=+E e （6.6）合成波的电场最大值1max ()(1)im z E Γ=+E （6.7）出现位置1max 12,0(21)4,0n z n λλ-Γ>⎧=⎨-+Γ<⎩ （n=0,1,2,3,…） (6.8)合成波的电场最小值1min ()(1)im z E Γ=-E （6.9）出现位置1min1(21)4,02,0n z n λλ-+Γ>⎧=⎨-Γ<⎩ （n=0,1,2,3,…） (6.10)驻波系数(驻波比)max min11E S E ΓΓ+==- (6.11)6.1.2 对三层介质分界平面的垂直入射分界面1处的等效波阻抗3222232tan()tan()ef j d j d ηηβηηηηβ+=+ (6.12)分界面1处的反射系数111ef ef ηηΓηη-=+ (6.13)四分之一波长匹配层：在两种不同介质之间插入一层厚度24d λ=的介质，当2η=时，有10Γ=。
电磁波第六章均匀平面波的反射与透射
(3) 媒质1为空气，媒质2为良导体：将产生趋肤效应
良导体→ 2c (1 j)
f (1 j) 1
j (1 j) f
，2c , ， ；
反射大、透射小 ：电磁波很难进入良导体内部
(4) 两理想介质的分界面，即1= 2= 0，则得到实数值的
2 1 , 22
2 1
2 1
1c 1c
Em1
Em 2
Em1
22c 2c 1c
Em1
反射系数 透射系数
Em1 2c 1c Em1 2c 1c
Em 2 Em1
22c 2c 1c
7
电磁场与电磁波 第六章__均匀平面波的反射与透射
反射系数Γ：反射波电场的振幅与入射波电场振幅之比
透射系数τ：透射波电场的振幅与入射波电场振幅之比 ~ 的关系：1
入射面 Ei
Ei //
Er // 反射波
入射波 Ei^
ki i
Er
r
kr Er^
x
分界面
Et //
t
y
Et
Et^ z
透射波 kt
均匀平面波对理想介质分界面的斜入射
θ : 入射角, θ′ : 反射角, θ′′: 折射角
i ， r ， t
入射面：入射波矢量与分 界面法线所在的平面 26
H最大，E 最小
E
E
E1
E2
E1 E2
5 1 4
1
3 1 4
1 2
1 4
o
Γ > 0 时合成波电场振幅
z
5 1 4
1
3 1 4
1 2
1 4
o
z
Γ <0 时合成波电场振幅
6 电磁场与电磁波--均匀平面波的反射与透射
• 电磁场与电磁波 •
第六章 均匀平面波的反射与透射
6.1.3 对理想介质平面的垂直入射
如下图所示，媒质1和媒质2均为理想介质(1=2=0)，则两 种媒质的传播常数和本征阻抗分别为
• 电磁场与电磁波 •
第六章 均匀平面波的反射与透射
1 1 j 11 1 j j 11 j1 1 1 1 1 2 1 1 j 1 1c 实数 1 1 1
• 电磁场与电磁波 •
第六章 均匀平面波的反射与透射
场量振幅为零的点称为场量的波节点，场量振幅为最大值 的点称为场量的波腹点。磁场驻波的波腹点恰是电场驻波的波 节点，而磁场驻波的波节点恰是电场驻波的波腹点。如下图所 示。
场量的波节与波腹
电场驻波和磁场驻波在空间位置上错开1/4，在时间上也有 /2的位移。
2 c 1c Erm Eim 2c 1c E 2 2 c E tm im 2 c 1c
• 电磁场与电磁波 •
第六章 均匀平面波的反射与透射
Erm 2c 1c E im 2c 1c Etm 22 c Eim 2 c 1c
根据边界条件，电场强度的切向分量在任何边界上均是连 续的，同时考虑到所讨论的有限电导率边界上不可能存在表面 电流，因而磁场强度的切向分量也是连续的。于是在z=0的边 界上满足下列关系：
E1x E2 x
H1y H 2 y
根据媒质1和2中的电场表达式可得
Eim Erm Etm Eim Erm Etm 1c 2c 1c
• 电磁场与电磁波 •
第六章 均匀平面波的反射与透射
在媒质1中，电磁场为入射波与反射波的叠加；而在媒质2
第六章 均匀平面波的反射与透射
6.1.3 对理想介质平面的垂直入射
如下图所示，媒质1和媒质2均为理想介质(1=2=0)，则两 种媒质的传播常数和本征阻抗分别为
• 电磁场与电磁波 •
第六章 均匀平面波的反射与透射
1 1 j 11 1 j j 11 j1 1 1 1 1 2 1 1 j 1 1c 实数 1 1 1
• 电磁场与电磁波 •
第六章 均匀平面波的反射与透射
场量振幅为零的点称为场量的波节点，场量振幅为最大值 的点称为场量的波腹点。磁场驻波的波腹点恰是电场驻波的波 节点，而磁场驻波的波节点恰是电场驻波的波腹点。如下图所 示。
场量的波节与波腹
电场驻波和磁场驻波在空间位置上错开1/4，在时间上也有 /2的位移。
2 c 1c Erm Eim 2c 1c E 2 2 c E tm im 2 c 1c
• 电磁场与电磁波 •
第六章 均匀平面波的反射与透射
Erm 2c 1c E im 2c 1c Etm 22 c Eim 2 c 1c
根据边界条件，电场强度的切向分量在任何边界上均是连 续的，同时考虑到所讨论的有限电导率边界上不可能存在表面 电流，因而磁场强度的切向分量也是连续的。于是在z=0的边 界上满足下列关系：
E1x E2 x
H1y H 2 y
根据媒质1和2中的电场表达式可得
Eim Erm Etm Eim Erm Etm 1c 2c 1c
• 电磁场与电磁波 •
第六章 均匀平面波的反射与透射
在媒质1中，电磁场为入射波与反射波的叠加；而在媒质2
《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第6章 均匀平面波的反射与透射
· 1 ·.图 6.1.1 均匀平面波垂直入射到两种不同媒质的分界平面第6章 均匀平面波的反射与透射我们已经讨论了均匀平面波在无界均匀媒质中的传播特性。
实际上，电磁波的传播过程中经常会遇到不同的媒质的分界面，这时部分电磁能量被分界面反射，形成反射波；而另一部分电磁能量将透过分界面继续传播，形成透射波。
这一章中，我们将讨论均匀平面波对介质分界面的垂直入射和斜入射以及对理想导体表面的垂直入射和斜入射。
6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射6.1.1 对导电媒质分界面的垂直入射如图6.1.1所示，0z <的半空间充满参数为1ε、1μ和1σ的导电媒质1，0z >的半空间充满参数为2ε、2μ和2σ的导电媒质2，均匀平面波从媒质1垂直入射到0z =的分界平面上。
为简化讨论但又不失一般性，假定入射波是沿x 方向的线极化波。
这时，媒质1中的入射波电场和磁场分别为1()z i x im z E e γ-=E e(6.1.1)11111()()z i z i y im c cz z E e γηη-=⨯=H e E e (6.1.2)其中1j j γ==· 2 ·.11211)c j σηωε-==-媒质1中的反射波电场和磁场分别为1()z r x rm z E e γ=E e (6.1.3)11111()()z r z r y rm c cz z E e γηη=-⨯=-H e E e (6.1.4)于是，媒质1中的合成波电场和磁场分别为111()()()[]z z i r x im rm z z z E e E e γγ-=+=+E E E e (6.1.5)11111()()()[]z z i r y im rm cz z z E e E e γγη-=+=-H H H e (6.1.6)媒质2中只有透射波，其电场和磁场分别为22()()z t x tm z z E e γ-==E E e (6.1.7)222211()()()z t z t y tm c cz z z E e γηη-==⨯=H H e E e (6.1.8)其中2j j γ==12222)c j σηωε-==-根据边界条件，在0z =的分界平面上，应有12x x E E =、12y y H H =。
第6章 均匀平面波的反射和透射
1
2
由于界面上是驻波电场的最小点，故 1
而反射系数 2 1 2 1
式中 1 0 , 2
2 2
r r
0
2
2
1 3
0
又因为2区的波长 2
0 0 r r 6
r r 36
r 1 r 9
z
求得
H JS
x
ey
ex
2
Eim
1
2 Eim c
0
cos
os
i cos(k1z
e jk1x sin i
i
cos
i
)e
jk1
x
sin
i
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
66
能流密度的平均值
Sav
1 2
Re(E
H*)
1 2
Re[Ey
z)
电磁场理论
第6章 均匀平面波的反射与透射
57
例 6.3.1 一圆极化波以入射角θi＝π/ 3 从媒质1（参数为μ= μ0、ε＝4ε0 ）斜入射至空气。试求临界角，并指出此时反射波
是什么极化？
解：临界角为
c arcsin
2 1
arcsin
0 4 0
波的电场和磁场；（5）导体表面上的感应电流密度和电荷密度。
解：（1）由题意可知， kix kiz 2π ，所以
ki exkix ezkiz (ex ez ) 2π, k ki 2π
第六章-4 均匀平面波的反射和透射
透射波
Et et
Ht
qr
qt
ei
故 E 2 ( r ) Et ( r ) e y ^ Eim e jk2 ( x sin qt z cosqt )
1 H 2 (r ) H t (r ) et Et (r )
介质1
Ei
qi
z
1
电子科技大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
7
媒质1中的合成波： E1 (r ) Ei (r ) Er (r ) e y Eim [e jk1 ( x sinqi z cosqi ) ^ e jk1 ( x sin qi z cosqi ) )] e y Eim (e jk1z cosqi ^ e jk1z cosqi )e jk1x sinqi H1 ( r ) H i ( r ) H r ( r )
1
Eim ez sin qi [e jk1z cosqi ^ e jk1z cosqi ]e jk1x sin qi
1
Eim ex cos qi [e jk1z cosqi ^ e jk1z cosqi ]e jk1x sin qi
1
电子科技大学编写
入射波
Hi
1 1
1 (e x sin qi e z cos qi ) e y ^ Eim e jk1 ( x sin qi z cosqi )
^ Eim jk1 ( x sin qi z cosqi ) (e z sin qi e x cos qi ) e
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-Z向行波
波腹点位置（驻波电场最大值驻定点的位置）： (2n 1)1 距离导体平板的距离为 zmax (n = 0,1,2,3,…) 4 波节点位置（驻波电场最小值驻定点的位置）： 距离导体平板的距离为 zmin
22:15
n1 (n = 0,1,2,3,…) 2
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
2
面临的问题：进一步求解反射波的幅度 解决的方法：写出表达式，然后利用边界条件
22:15
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
反射波的求解
媒质1空间中(z<0)将同时存在入射波和反射波。 设:入射波电场为 E e E e jkz x m 反射波电场为 则入射波磁场为
Ei ex Eime jk1z Eim jk1z H i ey e 1 Er ex Erme jk1z
H r e y Erm
Et ex Etme jk2 z
H t ey Etm
2
e jk2 z
则媒质1中总的电场、磁场为：
1
e jk1z
E合 Ei Er ex (Eime jk1z Erme jk1z ) 1 H 合 H i H r ey ( Eime jk1z Erme jk1z ) 1
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
6.1.1 对理想导体的分界面的垂直入射
建立图示坐标系
z < 0中，媒质1 为理想介质， 1、1
E+
H
+
x
入
1 0
z > 0中，媒质 2 为理想导体 2
入射波沿x方向线极化
反
E
H
y
z
1 0
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
E0 E0 j z j z ( e je ) e ( e ) ( e je ) e H r k Er y x z x y 120 120
1
H合＝Hi
H
1 e y je x E 0 2 cos z r 120
在理想导体表面的感应面电流为：
J S n H合 z 0 ez ey
合成波的平均能流密度
Em cos t ex
2Em
cos t
S av
1 Re[ E合 H 合 ] 2 1 4 Re[ez j Em sin kz cos kz ] 0 2
E1 (r) Ei (r ) E r (r ) Eime jki r E rme jk r
r
E2 (r) Et (r ) Etme jkt
r
入射面 Ei 入射波 E i^
E i// ki qi Er qr qt
E r //
反射波 kr
x
E r^ E t// Et
分界面
y
Ei ki Hi Er Hr
kr
媒质 1
Et
透射波
电磁波入射到不同媒质分界面上 时，一部分波被分界面反射，一部分
o
y
kt Ht
z
反射波
波透过分界面。
入射方式： 垂直入射、斜入射； 媒质类型： 理想导体、理想介质、导电媒质
媒质 2
均匀平面波垂直入射到两种不同媒 质的分界平面
入射面
Ei
Ei // ki
Er // Er
感应电流为：J s
nH
z= 0
E0 (ex jey ) (ez ) H 合 60
（4）合成波电场强度为：
E Ei Er (ex jey )E0e j z (ex jey )E0e j z
(ex jey ) E0e j z (ex je y ) E0e j z ex E0 (e j z e j z ) jey E0 (e j z e j z ) 2 jex E0 sin z 2ey E0 sin z 2 E0 sin z ( jex ey )
z > 0中，媒质2 介质参数为 2 , 2
反 设入射波为x方向线极化波 1
Ei Hi Er Hr
x
Et Ht
入 y
透
z
2
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
反射波的求解
媒质一
入射波电场为(已知)
媒质二
设透射波电场为(待求)
设反射波电场为(待求)
(2)当电磁波入射到理想导体分界面时，反射系数为－ 1，故
Er (ex jey )E0e j z
E0 ez (ex jey )e j z (3) H i k Ei 120 E0 (ey jex )e j z 120
22:15
1
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讨论内容
√ 6.1 均匀平面波对分界面的垂直入射
6.2 均匀平面波对多层介质分界平面的垂直入射 √ 6.3 均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射 √ 6.4 均匀平面波对理想导体表面的斜入射
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
介质分界面
x
现
象：
入射波
瞬时形式为：E(t ) Re[Ee jt ] 2E0 sin z (ex sin t ey cos t )
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
6.1.2 对两种理想介质分界面的垂直入射
建立图示坐标系
z < 0中，媒质1 介质参数为 1 , 1
2 1 E Eim rm 2 1 2 2 Etm Eim 1 2
1 式中： ， 分别为媒质1、2的本征阻抗。 2
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
反射波的求解（续）
Erm 2 1 定义：反射系数 Eim 2 1
反射波
kr
入射波
Ei^
qi qr qt
z
Er^
分界面
y
Et //
Et
x
Et^
kt
透射波
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
基本问题：
分别求解入射波和透射波空间的电磁场 入射波空间： 透射波空间： 问题核心： 已知 E im , k i 求解 E rm , Etm ; k r , k t 利用关系：边界条件
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
jk1z jk1z E E E e ( E e E e ) i r x im rm 反射波的求解（续） 合 1 H 合 H i H r ey ( Eime jk1z Erme jk1z ) 由两种理想介质边界条件可知： 1 jk2 z E E ( E E ) E 1 t 2 t ix rx tx E e E e z 0 z 0 t x tm Etm jk2 z H1t H 2t ( Hiy H ry ) Hty H t ey e z 0 z 0 2 Eim Erm Etm 1 (E E ) 1 E im rm tm 1 2
H
22:15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( ez ) ex E e
jkz e y Em e
m
jkz
反射波电场和磁场为：
1
E ex E e
m
jkz
H
1
0
jkz ey Em e
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
理想媒质空间(z<0)中的合成波 理想媒质中的合成波场量表达式： 合成场的复数形式：
E合 Re[ jex 2Em sin kze jt ] ex 2Em sin kz sin t 2 2 j t H 合 Re[ey Em cos kze ] ey Em cos kz cos t
合成电、磁场的关系： • 时间相位差π/2 • 空间距离相错λ/ 4
电场强度
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磁场强度
• 为纯驻波
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
ex 2 Em sin kz sin t
导体表面的场和电流
E合
z 0
z 0
0
H 合 z 0 ey
2
E cos kz cos t
m z 0
ey
2
2
Em cos t
边界条件
z
E t^
kt
透射波
22:15
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电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射和透射
一般性应用问题：斜入射+一般性媒质
应用中的典型问题
垂直入射 一般性媒质 , , 理想导体 理想介质
斜入射
理想导体
理想介质
0
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