142有理数的除法922讲解
有理数除法知识点总结归纳
有理数除法知识点总结归纳有理数除法是数学中的一项基本运算，它涉及到有理数的除法规则、性质以及解决实际问题的方法。
本文将对有理数除法的知识点进行总结归纳，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 有理数除法的定义有理数除法是指对两个有理数进行相除的运算。
当除数不为零时，有理数除法的结果仍然是有理数；当除数为零时，有理数除法没有定义。
2. 有理数除法的规则（1）如果除数和被除数都是整数，那么直接进行整数除法即可。
例如，当除数为3，被除数为6时，6 ÷ 3 = 2。
（2）如果除数和被除数中有一个为小数，可以将小数换算为分数，然后根据分数的除法规则进行计算。
例如，当除数为2.5，被除数为0.8时，可以换算为 8 ÷ 25，然后进行分数除法计算。
（3）如果除数和被除数中有一个为分数，可以先求出它们的倒数，然后将问题转化为分数乘法。
例如，当除数为1/4，被除数为1/2时，可以先求出除数的倒数为4/1，然后将问题转化为 1/2 × 4/1 = 2/1。
3. 有理数除法的性质（1）除法交换律：对于任意非零有理数a、b，都有a ÷ b = b ÷ a。
（2）除法分配律：对于任意非零有理数a、b、c，都有a ÷ (b + c)= (a ÷ b) + (a ÷ c)。
（3）除法的相反数：对于任意非零有理数a，都有(-a) ÷ a = -1。
4. 有理数除法的应用（1）有理数除法可以用于解决分配问题。
例如，一袋苹果有32个，要平分给4个人，每个人能得到多少个苹果？答案是 32 ÷ 4 = 8，所以每个人能得到8个苹果。
（2）有理数除法可以用于计算简单的比例问题。
例如，某件商品原价100元，现在打折，打八折后的价格是多少？答案是 100 × 0.8 =80元。
（3）有理数除法可以用于计算速度、密度等涉及单位换算的问题。
七年级数学上册142时有理数除法法则新版新人教版
1.认识有理数的除法，经历除法的运算过程. 2.理解除法法则，体验除法与乘法的转化关系. 3.掌握有理数的除法及乘入
倒数的定义你还记得吗？
你能很快地说出下列各数的倒数吗?
原数 -5 9 7
8
倒数 1 5
二、有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有 理数乘法的运算律简化运算
三、乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确 定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按算
（1）（－45 ）÷（－2）； （2）－0.5÷78 ×（－54 ）；
（3）（－7）÷（－32 ）÷（－75 ）
答案：(1) 2 ；(2) 5 ；(3) 10
573 牛牛文档分 享2.填空：（1）若
a, b互为相反数，且a
a
b，则 b
____1____，
例1 计算（1）（-36） 9；
（2） ( 12 ) ( 3) .
25Байду номын сангаас
5
解：（1） （-36） 9= - (36 9)= - 4；
（2） ( 12 ) ( 3) ( 12 ) ( 5) 4 . 25 5 25 3 5 牛牛文档分 享练一练计算：
=_-_2_
8 × (-1/4)=_-_2_
=== -36÷ 6=_-_6_
–36 ×(1/6)=_-_6_
=== -12/25 ÷ (-3/5)=_4_/5_
(-12/25) ×(-5/3)=_4_/5_
=== -72 ÷9=_-_8_
25 1 2除法化为有理数乘法以后，可以 利用有理数乘法的运算律简化运算 （2）乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然 后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运 算按从左到右的顺序进行计算） 牛牛文档分 享 牛牛文档分 享
有理数除法法则
有理数除法法则
有理数除法法则:法则一、除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。
（注意：0没有倒数）。
法则二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任意一个不等于零的数，都得零。
（0除以任何一个非0的数，都得0）。
有理数除法法则运算注意：零不能做除数和分母。
有理数的除法与乘法是互逆运算。
在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。
若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。
若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。
有理数除法运算公式:a÷b=a×1/b（b≠0).
一般步骤：两个有理数相除时，首先确定商的符号，其次确定商的绝对值。
有理数除法运算的步骤：（1）“÷”改为“×”，除数变倒数；（2）乘法运算。
《有理数的除法》有理数PPT课件
有理数乘法的运算律简化运算.
定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按
从左到右的顺序进行计算）.
导入新知
数字入诗
明代南海才子伦文叙为苏东坡《百
鸟归巢图》题的数学诗：
天生一只又一只，三四五六七八只。
凤凰何少鸟何多，啄尽人间千石谷！
诗中数字:一只又一只,
三四五六七八只。
请问何来百鸟呢?
导入新知
诗中数字:一只又一只,
答：这个公司去年全年盈利3.7万元.
巩固练习
3.一架直升飞机从高度为450m的位置开始，先以20m/s的
速度上升60s，后以12m/s的速度下降120s，这时直升机所
在的高度是多少？
解：450+20×60–12×120
=450+1200–1440
=210（m）
答：这时直升机所在的高度是210m.
探究新知
25
5
25
3 5
巩固练习
1.计算：
(1)24 ( 6);
1
( 2)( 4) ;
2
3
(3)0 ;
4
7
4
( 4)( ) ( ).
8
7
答案（1）–4
（2）–8
（3）0
49
（4）32
探究新知
素养考点 2 有理数的化简
例2 化简下列各式：
(1)
除法还有哪些形式呢？
12
45
; (2)
(– 25
)×(–
1
–72×9
–2
)=___
–6
=___
5
3
)=___
–8
=___
问题：上面各组数计算结果有什么关系？由此你能得到
有理数的除法
有理数的除法有理数是指可以表示为两个整数的比例的数，包括正整数、负整数、零以及分数等形式。
在数学中，除法是一种基本的运算方法，它用于计算两个数的商。
下面将详细介绍有理数的除法。
1. 有理数的除法概念除法是将一个数分成若干等分的操作，其中一个数称为被除数，另一个数称为除数。
有理数的除法可以分为以下两种情况：情况一：当除数不等于零时，有理数的除法可通过乘以除数的倒数来完成。
即，a ÷ b = a × (1/b)。
情况二：当除数等于零时，除法是未定义的，因为不能将一个数等分为零份。
2. 有理数的除法步骤有理数的除法步骤如下：步骤一：判断除数是否等于零。
如果除数为零，则除法运算无法进行。
步骤二：将被除数和除数的绝对值相除，然后将符号置为正负取决于被除数和除数的符号。
步骤三：将得到的商作为结果。
举例来说，计算-6 ÷ 3的运算步骤如下：步骤一：除数不等于零，继续计算。
步骤二：将被除数6和除数3的绝对值相除，得到2。
步骤三：根据被除数和除数的符号，将结果置为负数，即-2。
因此，-6 ÷ 3 = -2。
3. 有理数除法的性质有理数除法具有以下性质：性质一：除法的交换律不成立。
即，a ÷ b ≠ b ÷ a，除非a=b。
性质二：0除以任何非零有理数等于0。
即，0 ÷ a = 0，其中a ≠ 0。
性质三：如果被除数和除数具有相同的符号，则商为正；如果被除数和除数符号不同，则商为负。
4. 有理数除法的应用有理数的除法在实际生活中有许多应用。
例如：应用一：分数运算。
分数可以看作是有理数的一种特殊形式，所以分数的除法可以通过将除数的倒数乘以被除数来完成。
应用二：商业计算。
在商业计算中，除法用于计算利润率、成本比率以及各种经济指标。
应用三：比例和比率。
比例和比率是将两个量或数进行除法运算得到的结果。
总结：有理数的除法是数学中重要的一部分，通过将被除数乘以除数的倒数，我们可以得到商。
142有理数的除法
知 识
乘积为1的两个数互为倒数
a与1/a互为倒数
（a‡0）
m/n与n/m互为倒数 (m‡0,n‡0)
回
顾
你能很快地说出下列各数的倒数吗?
原数 - 5 9
8
7
倒数 1 8 1
5 97
0 1 12
3 -1 3
5
小明从家里到学校,每分钟走50米,共走了
温
20分钟,问小明家离学校有多远?
教师寄语：
孔子曰：“学而不思则罔”。
学而思之，才能将所学的知识融会 贯通、举一反三。学习才会达到事半功 倍的效果。
谢谢您们的指导！ 祝同学们学业有成！
25
5
解： (1).(36) 9 (36 9) 4
(2).( 12 ) ( 3) ( 12 ) ( 5) 25 5 25 3
4 5
说一说
在进行有理数除法运算时，你认为何 时用法则一，何时用法则二会比较方便？
例 计算 (1).(36) 9
(2).( 12 ) ( 3)
25
5
解： (1).(36) 9 (36 9) 4
以 致
（2）原式
(30)
(45)
2 3
用
（3）原式 0 (75) 0
例2 计算
（1）
125
5 7
5
(2) 2.5 5 ( 1)
84
学 解： (125 5)( 1) 75
以
125 5 1
致
75 (125 5) 1
用
75 125 1 5 1
5 75
2.5 8 ( 1) 54
故 知
5020 1000
新
放学后,小明仍然以每分钟50米的速度回家,
七年级数学上册142有理数除法时有理数加减乘除混合运算新版新人教版
1 3 1 2
6
6
6 11
23 1
6
这个解法 是错误的
1 6
（
6）这个解法
1位的解法正确吗？若不正确，你 能发现下面解法问题出在哪里吗？
(2) 3 6( 1) 6
(2) 3 6 ( 1 ) 6
3 (1)
(2) 3 6 ( 1 ) 6
人教 数学 七年级 上册
1.4.2 有理数的除法 第2课时 有理数的加减乘除混合运算 牛牛文档分 享有理数的除法法则
有理数除法法则一：两数相除，同号得 _正__，异号得＿负＿，并把绝对值相＿除＿。 0除以任何一个不等于0的数，都得＿0 .
有理数除法法则二：除以一个不等于0的 数，等于乘以这个数＿的＿倒＿数.
解：记盈利额为正数，亏损额为负数，公司去年 全年总的盈亏（单位：万元）为
（-1.5） ×3+2 ×3+1.7 ×4+（-2.3） ×2
=-4.5+6+6.8-4.6
=3.7 答：这个 小红与小莉利用温差测量山峰的 高度, 小红在山顶测得温度是－1℃, 小 莉此时在山脚测得温度是5℃. 已知该地 区高度每增加100米,气温大约降低0.8℃, 这个山峰的高度的解法正确吗？若不正确， 你能发现下面解法问题出在哪里吗？
(1) 1 (1 1 ) 6 32
解： (1) 1 （1 63因为除法不适合交1 2
）解 换不律正： (与确1)结．16合律（,所13以
1） 2
1111 6362
1 （ 1 ）
解: 依题意得
5 (1) 0.8 100
=6÷0.8×100 =750(米)
)有理数的乘除加减混合，注意运算顺序。 (2)会根据实际需要进行简便计算。 (3)根据实际问题列出算式并计算解答 。 牛牛文档分 享 牛牛文档分 享
有理数除法法则有什么口诀
有理数除法法则有什么口诀
有理数乘法法则即两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何一个数与0相乘，积仍为0。
乘积是1的两个数互为倒数。
有理数的除法法则是什么
法则一：除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。
(注意:0没有倒数)公式:a÷b=a×1/b。
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
(0除以任何一个非0的数，都得0)公式:a÷b=a×1/b(b≠0)。
有理数的除法法则口诀
从左往右以此计算，有括号的先算括号内。
同号的正，异号的负，并把绝对值相乘或相除。
有理数的加法法则
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0。
一个数同0相加，仍得这个数。
两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法交换律:a+b=b+a。
有理数相除的法则
有理数相除的法则有理数包括整数和分数。
整数是不带小数部分的正整数或负整数，而分数是整数部分加上分数部分的组合。
有理数的一般形式为a/b，其中a是整数，b是非零整数。
有理数的除法可以用以下步骤进行：1.确定被除数和除数的符号。
如果被除数和除数均为正数或均为负数，则商为正数；如果被除数和除数一个为正数，一个为负数，则商为负数。
2.将被除数和除数转化为分数形式。
如果被除数是整数，可以在整数后面加上分数部分0/1，转化为分数形式。
如果除数是整数，可以在整数后面加上分数部分1/1，转化为分数形式。
3.将除法转化为乘法。
有理数的除法可以转化为乘法，即被除数乘以除数的倒数。
4.简化分数形式。
在乘法运算中，可以简化分数形式。
如果被除数和除数均为分数，可以先约分，将两个分数化简为最简形式。
约分时，可以找到两个分数的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，得到最简形式的分数。
5.确定商的精确性。
商可以是一个小数或无限循环小数。
当商为无限循环小数时，可以将循环小数化为分数。
使用长除法或换位相乘法将循环小数转化为分数形式。
例子1：计算1/2÷2/3首先确定被除数和除数的符号，由于1/2和2/3均为正数，所以商为正数。
将被除数1/2和除数2/3转化为分数形式，不需要转化。
将除法转化为乘法，即1/2×3/2将分数形式化简，分子分母都没有公约数，所以无需约分。
进行乘法运算，得到3/4所以1/2÷2/3=3/4例子2：计算-3/4÷1/2首先确定被除数和除数的符号，由于-3/4为负数，1/2为正数，所以商为负数。
将被除数-3/4和除数1/2转化为分数形式，不需要转化。
将除法转化为乘法，即-3/4×2/1将分数形式化简，分子分母都没有公约数，所以无需约分。
进行乘法运算，得到-6/4所以-3/4÷1/2=-6/4，可以进一步化简为-3/2。
有理数除法的法则
有理数除法的法则
1.有理数的除法运算规律：有理数的除法运算遵循乘法逆元的概念，即两个有理数相除可以转化为两个有理数相乘。
假设有理数a和b，其中b不等于0，则a除以b等于a乘以b的倒数：a÷b=a×(1/b)。
2.除法的连带变化：当两个有理数相除时，可以将除数和被除数同乘（或同除）以相同的非零数，不改变它们的商的结果，即一个除法式子，除数和被除数同除（或同乘）以相同的非零数时，商的结果不变。
这条法则可以简化有理数的除法运算。
3.有理数的除法的分数形式：有理数相除的结果可以表示为一个分数形式，其中分母不为0。
分子是除数和被除数的乘积的绝对值，而分母是除数和被除数的绝对值的积：a÷b=(a/b)，其中a和b都是有理数。
4.除法的约分：在有理数相除的结果中，如果分子和分母有一个公约数，可以约分，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
这样可以将结果写成最简分数的形式。
5.有理数的相反数的除法：任何一个非零有理数除以它的相反数的结果都是-1、即a÷(-a)=-1，其中a是一个非零有理数。
6.有理数的倒数的除法：任何一个非零有理数除以它的倒数的结果都是1、即a÷(1/a)=1，其中a是一个非零有理数。
7.零的除法：零与任何非零有理数相除的结果都是0。
即0÷a=0（其中a≠0）。
需要注意的是，零除以零是没有意义的，因为零没有乘法逆元，即不存在一个有理数使得0乘以这个有理数得到1。
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做一做， 你一定行！ 1、抢答：
（1÷1）（（-9-）18；）÷6；（ 14-）3 （0÷2）（（-8-）63.）÷（-7）；
（9 3） 0
9a
2、a、b为有理数，若 b=0，则（ D）
A、b=0且a≠0； B、b=0； C、a=0且b=0； D、a=0且b≠0
3、若a、b互为相反数且a≠b，则
8÷4 =2 8 1 =2 4
(-8)÷4 =-2 (8) 1 =-2 4
0÷4 =0 0 1 =0 4
因为 所以
(-2)×48=-84, 8 1
4
(-8)÷(4=8)-24.
(8)
1 4
04 0 1 4
2/20/2020
除以一个正数等于乘以这个正数的倒数。
正数除以负数 负数除以负数 零除以负数
思考：1.小学是怎样进行除法运算的？ 2.讨论两数相除的例子有哪些情形？
正数除以正数
负数除以正数 零除以正数 正数除以负数 负数除以负数 零除以负数
8÷4 (-8)÷4
0÷4 8÷(-4) (-8)÷(-4) 0÷(-4)
2/20/2020
思考: 0能否做除数?
正数除以正数 负数除以正数 零除以正数
（2）(
12
)
÷( 3
)
25
5
解：（1）（-36）÷9 = -（36÷9）= -4
（2）（
12）÷（ 25
53）=（
12）×（ 25
5 3
）=
4 5
温馨提示：
在进行有理数除法运算时，能整除的情况下，往往采用 法则的后一种形式，在确定符号后，直接除.在不能整除的情 况下，则往往将除数换成倒数，转化为乘法.
2/20/2020
有理数的除法法则
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
●
●
●
●●
除数变为倒数作因数
也可以表示成： a÷b = a·
1 b(b≠0)
除号变乘号
有理数除法法则的另一种说法：
两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对 值相 除 .0除以任何一个不等于0的数，都得 0 .
2/20/2020
2/20/2ห้องสมุดไป่ตู้20
化简:
(1) 72 ; (2) 30 (3) 0 ;
9
45
75
2/20/2020
计算(-4) ÷2,4 ÷(-2),(-4) ÷(-2).
联系这类具体的数的除法,你认为a,b是有理数
,b≠0,下列式子是否成立?从它们可以总结什么
规律?
(1) a a a
a
=
，-1
a＋b= 0.
b
2/20/2020
练习:
（1）
0.25
11 2
统一为分数
（2） 7 3 4 注意运算顺序 4
（3） (2 2) (17) 化为假分数
3
9
2/20/2020
例6 化简下列分数，你能从中发现什么？
12
(1)
;
3
(2) 45 . 12
归纳： 化简分数时，可以把分数线理解为除法 运算，然后再进行除法运算．
b
b
b
(2) a a b b
(1) ,(2)中的式子都成立.从它们可以总结出:分子, 分母以及分数这三者的符号,改变其中的两个,分数 的值不变.
2/20/2020
1、掌握有理数的除法法则并会进行计算; 2、会利用除法法则化简分数.
2/20/2020
8÷(-4) =-2 (-8)÷(-4) =2
8 ( 1 )=-2
(8)
4
(
1
)
=2
0÷(-4) =0
0
(
1
4
) =0
4
因因因为为为 所所所以 以以
8 (4) 8 ( 1 )
(0-2×2×)(×-(-4(4-)=)4=0)-=88
4 (8) (4) (8) ( 1)
哦，用除法还是 可以补救一下！ ×（－9） = －18
怎么办啊？ 我把题目给弄 花了！
2/20/2020
1.4.2 有理数的除法
复习提问：
1.有理数的乘法法则？
2.什么是倒数？
3. 求下列有理数的倒数。
1, -2, 1 , 1.5 , 41 , -1,
7
32
2/20/2020
-0.25 , 2 1 5
8(0-÷÷8)((÷--44()-)==40)-=22
4
0 (4) 0 ( 1)
4
2/20/2020
除以一个负数等于乘以这个负数的倒数。
有理数除法法则:
除以一个不等于0的数,等于乘这个的 数的倒数.
a÷b=a
1
·
(b≠0).
b
2/20/2020
正数除以正数 8÷4 =2
负数除以正数 (-8)÷4 =-2
对比记忆
有理数的减法法则
减去一个数，等于 加这个数的相反数.
减数变为相反数作加数
a - b = a + (-b)
减号变加号
有理数的除法法则
除以一个不等于0的 数，等于乘这个数的倒数.
除数变为倒数作因数
1
a ÷ b = a · (b≠0)
b
除号变乘号
2/20/2020
例题教学 示范解题
例5 计算： （1）（-36）÷9
零除以正数
0÷4 =0
正数除以负数 负数除以负数
8÷(-4) =-2 (-8)÷(-4) =2
零除以负数
0÷(-4) =0
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不为0的数得0.
2/20/2020
有理数除法法则2:
两数相除，同号得正，异号得负，并 把绝对值相除； 0除以任何一个不为0的数得0.