数学读书报告范文

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转眼间，数学分析又接近尾声，我不禁问自己到底学到了什么，对数学有没有更高一层的认识，希望通过这次的总结能对以后学习数学乃至将来运用数学提供帮助。

我对数学分析的内容总结如下：

一、引子

大体上讲，数学分析就是研究实数范围内微分和积分的数学分支。它是在极限理论基础上，以定义在实数范围内的函数为讨论对象的一门数学专业基础课。追溯历史，早在17世纪，Newton和Lebniz 就各自独立地发明了微积分，当时是出于解决具体问题的需要。不过，那时的理论很不完善，诸如“无穷小”之类的概念根本没有严格的定义，由此引发出许多问题和矛盾。

后来，Cauchy和Weierstrass等人引入严格的分析语言，为分析学奠定了牢固的根基。他们的工作已经成为经典，成为数学系本科生的入门知识。

二、对书中部分章节的宏观理解

1.实数集与函数

书中以无限小数来引出实数的概念，便于初学者理解。值得注意的是，我们将有限小数也表示成无限小数的形式，由此，实数与无限小数之间构成一种对应。换句话说，任何一个实数都可用一个确定的无限小数来表示。

第二节中重点介绍了三角形不等式。需要强调的是，这一不等式贯穿整个数学分析课程，是一个极其重要的工具。在高年级课程中，我们会学习《泛函分析》。正如三角形不等式在数学分析中的重要作用，Minkowski不等式是泛函分析中一系列讨论的出发点。

此版本的《数学分析》中的极限理论是建立在确界原理之上的。

所谓确界原理是说：任一非空有界数集若有上界，则必有上确界。对于下确界有类似的结论。

注：它是实数连续性的体现。

2.数列极限

定理2.8是判定数列发散的有力工具。

Cauchy收敛准则给出了数列极限存在的充要条件，它的优点在于：无需借助数列以外的数，只要根据数列自身的特性就可以鉴别其敛散性。注：它也是实数连续性的体现。

3.关于第三章中的“等价无穷小”

在计算函数极限时，采用“等价无穷小”替换往往可以简化计算过程，但不可滥用。可归纳为“乘除可用，加减慎用”。

4.关于函数的连续性与一致连续性

后者是比前者更强的性质，主要体现在一致连续性中的N只与那个任给的小正数有关，与自变量x的位置无关。

两者之间的联系由所谓的一致连续性定理给出，不再赘述。

5.关于微分中值定理

我们可以从几何图形上对中值定理予以直观的认识。其实Rolle 定理是Lagrange中值定理的特殊情形，本质上是一样的。将后者的图像旋转一定的角度，就能成为前者。

Tayor定理的本质是：对于具有n阶连续导数，且具有n+1阶导数的函数而言，

可以用一个系数与函数f的各阶导数有关的多项式函数去逼近它。而多项式函数的性质是我们熟知的，便于研究。

顺便提一下，对于多元函数，也有类似的Tayor定理。笔者曾讨论过这一问题。一元函数的Tayor定理中的多项式的系数依赖于“二项式定理”,而多元函数的情形依赖于所谓的“多项式系数”。

6.关于平面点集与二元函数

与一元函数类似，我们有如下的关于二元函数的最大值与最小值定理：若函数f(x,y)在有界闭域上连续，则存在最大值与最小值。

事实上，这一结论对有界闭集也是成立的（后者往往更好用），不过其证明用到拓扑学的知识。

顺便提一下，关于二元函数的极大、极小值定理可直接推广至多元函数的情形，只需将相应的Hesse矩阵作形式上的改写，本质并无差别。

7.关于累次极限和累次积分

二重极限和累次极限的存在性无必然联系，我们应能正对具体问题熟练地举出反例。

在含参量正常积分与含参量反常积分中有类似的关于积分次序交换的问题。前者的条件是连续，而后者还需要加上一致收敛的条件。

三、数学分析中各部分内容之间的联系

数学分析中的内容十分丰富，且各部分内容间有着深刻的联系，这些联系是有趣而重要的，它们体现了分析学内在的统一性。

下面我就举几个例子谈谈自己的看法和体会。

1、在第一章中，我们学习了确界原理，在数列极限一章中学习了单调有界定理和Cauchy准则。在第七章中，我们又接触了区间套定理、Weierstrass聚点定理、致密性定理、Heine—Borel有限覆盖定理。现在我们知道它们之间是等价的，是统一的，都是实数连续性的体现。

2、在函数的连续性一章中，出现了介值性定理，其实数学分析中的“介值性”是普遍存在的，它揭示了某些函数或对象的中间状态，微分中值定理，积分中值定理都是“介值性”的体现，它们有着共同的本质。

3数项级数与反常积分、函数项级数与含参量反常积分之间有着紧密的联系，因而它们的研究方法是类似的，也有着平行的定理，定理19.8就体现了这种联系。利用此定理我们可以把含参量反常积分的问题自然地转化为函数项级数的对应问题。Dini定理的证明就是一个很好的例子。

4、微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的深刻联系，应用广泛。

5、从某种意义上讲，第一型曲线积分是定积分直接而自然的推广。

6、Newton—Leibneiz公式不仅为连续函数（事实上条件可以再弱一些）的定积分提供了一种有效的计算方法，更重要的是，它将不定积分和定积分这两部分内容联系了起来。

7、Green公式、Gauss公式、Stokes公式也有着类似的特点和作用。

8、再1中提及的Heine—Borel有限覆盖定理可以将函数在局部上的性质过渡到整体上的性质，比如从局部有界到函数在整个闭区间上有界，从点点收敛到一致收敛等等。

四、结束语：

数学分析内容丰富，思想深刻，我们在学习的过程中应当积极思考、用心体会。

学习数学分析的方法：

1、利用数学方法论进行启发式教学。数学作为一门科学，数学有自己的发展规律、数学思想方法，数学中的发现、发明和创新法则，如归纳法、类比法、抽象分析法、模型法、公理化方法等,我们经常将数学方法论应用于数学分析课程的教学实践。

2、采用启发式教学，由浅入深，调动学生的积极性，重点，难点内容要反复强调，讲深、讲透，让同学们理解和接受。