线性变换的运算解读

五. 线性变换的多项式
定义 5 设 f ( x) a0 a1x
an xn P[ x] ，A L(V) ，规定
f (A ) = a0 A 0＋a1A ＋· · ·＋anA n 称为线性变换 A 的多项式. 由于线性变换引入了数乘，乘法，加法运算，故如上关于的多项
式显然是有确定意义的. 命题 5 17. f (A ) L(V) ，且具有如下性质：
x
而
G D ( f ( x)) f / (t )dt f ( x) f (0) E ( f ( x)) , 即 G D ≠E. 0
2). 由于线性变换的乘法满足结合律 → A 1A 2· · ·A n 与运算顺序无
关，有确定的意义 → 可在 L(V) 中引入乘方运算，即 A n＝AA · · · A （n 个相乘，n N ） ; 又规定 A
和定义
和定义
二. L(V)上的乘法运算
定义2 对任意的A, , B ∈L(V), α∈V, 规定 A, B (α) = A, (B (α)) 称A, B是A, 与B 的积，记为A, B . A, 与B 的乘法即映射的合成. 命题2 对任意的A, , B , C ∈L(V) A, B ∈L(V), 且具有如下性质： 5. (A, B) C ＝A, (B C ) ； 6. A, (B ＋ C ) ＝A, B ＋A, C ； 7. (B ＋ C )A, ＝B A, ＋ C A, ； 8. EA, ＝A, E ＝ A, （为V上的恒等变换）.
4) 据三角形法则, R x ( ) 2 ( ) E( ) → (R x 2 )( ) E( )
( R 3 )→ R x E － 2 . 因 E ， L(R 3 ) ， 故 R x E － 2 L(R3 ) .
(kA )(α) = kA (α)
称kA 为k与A 的数量乘法.

设K 是L(V)中的数乘变换（见前例6，P274例4）
→ 即K (α) = kα，则(kA )(α) = kA (α) = K A (α) → 即 kA = K A . 所以也可将数乘看成是一种特殊的乘法运算. 本教材即用此定义数乘运算，两种定义方法是一致的. 如上 定义2是一种定性描述，而教材定义方式可利用乘法的性 质直接推出数乘的性质，使用起来方便.
命题3 对任意的k,l∈P, A ∈L(V) kA ∈L(V), 且具有如下性质：
11. ( k l )A = k (lA ) ； 12. k(A +B ) = kA + kB ； 13. ( k+ l )A = kA + lA ；
14. (kA )B = k(A B ) ；
15. 1A = A . 证明： 仅证11. 其它性质类似可证.（ kA ∈L(V)证明略） 据kA = K A 可知， ( k l )A = (K L )A = K (L A ) = k (lA ) . (其中用到乘法的结合律成立). □
7.2 线性变换的运算
一. 线性变换的加法 二. 线性变换的乘法 三. 线性变换数量乘法 四. 可逆的线性变换 五. 线性变换的多项式
L(V) = {A │ A : V→V的线性变换}
A : V→V是线
性空间V上的 一种运动，变 化。本节将研 究这样的运动、 变化之间的运 算，联系及进 一步的特征性 质。
据L(V)的加法和数乘及其性质(命题1,3)可知,L(V)
关于线性变换的加法和数乘构成数域P上的线性空间.
四. L(V)上的可逆变换 定义4 变换A : V→V 称为可逆变换，如果存 在B : V→V, 使得 A B = BA = E . 这时称B 为A 的逆变换，记为A － 1 = B . B : V→V 即为A : V→V 的逆映射. 命题4 A ∈L(V)，且可逆 A －1∈L(V), 规定: 16. A －n =(A －1)n .
2). Пα R 3 ；
3). 设Пx 是把 变到以α为法向量的平面 x 上的内射影变换，则 Пx= E －Пα . 4). R x 是把 变到以α为法向量的平面 x 上的反射，则 R x L(R3 ) ，且 R x = E －2Пα . 5). , R3 ，则 0 .
分析: 性质1), 2)即7.1节例2.这里仅需证明3),4),5)
Пα(ζ) α Пx(ζ)
ζLeabharlann Baidu
x
R x(x)
证明： 3)
据平行四边形法则， x ( )
x ( ) (E － )( ) ( R 3 ) → x = E － .
L(V)
V
一. L(V) 上的加法运算
定义1 对任意的A, , B ∈L(V), α∈V, 规定 (A +B )(α) = A, (α) + B (α)
称为A,与B的和，记为A +B . 命题1 对任意的A, , B , C ∈L(V) A +B ∈L(V) , 且具有如下性质： 1. (A +B ) + C = A +(B + C )； 2. A +B = B + A ； 3. 存在O ∈L(V), O +A =A ； 4. 对任意的A ∈L(V)，存在－A ∈L(V), A +(－A ) = O . 据4，可定义 A －B =A ＋(－B)，故L(V)中有 加法的逆运算：减法运算.
0
＝ E(单位变换)
→ A 的非负整数次幂有意义，且幂运算如下性质成立： 9. 3). A mA n ＝A m+n ； 10. (A m)n ＝A
mn
.
(m, n 为非负整数)
由于线性变换的乘法不满足交换律，故一般讲 (AB )n≠A nB n .
三. L(V)上的数乘运算
定义3 设 k∈P, A ∈L(V), 对任意的α∈V，规定
(A ＋B )( a b )
和定义
A ( a b )＋B ( a b )
线性变换

aA ( ) + bA ( ) + aB ( ) + bB ( ) = a(A ( ) + B ( )) + b(A ( ) +
性质5 B ( )) a(A ＋B )( ) + b(A ＋B )( ) A ＋B L(V) .
2. (A ＋B )( ) A ( )＋B ( )
和定义
和定义
向量加法交换律

B ( )＋A ( )
(B ＋A )( ) →
A ＋B = B ＋A .
3. (O ＋A )( ) O( )＋A ( ) = 0＋A ( ) = A ( ) → O ＋A =A . 4. (A ＋(－A ))( ) A ( )＋(－A ( )) = 0 = O( ) → A ＋(－A ) = O . □
和定义
1.
((A ＋B )＋C)( ) (A ＋B )( )＋C( ) (A ( )＋B ( ))
向量加法结合律
和定义
和定义
＋C ( )
和定义

A ( )＋(B ( )＋C ( )) A ( )＋(B ＋C )( )
和定义
(A ＋(B ＋C))( ) → (A ＋B )＋C ＝A ＋(B ＋C) .
这里体现出多项式 f ( x) 是关于文字 x 的形式表达式，可以带入距
阵，带入线性变换 A 等. 实例： f ( x) x2 1, g ( x) x 1
f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) ( x2 1)( x 1) x3 x2 x 1，则可以验证
( , ( )) ( , ) ( , ( , ) ) ( , ) ( , )
5)
R , ( )( ) ( ))
3


( , ) ( , ) . 故当 时 ( , ) cos , 0 → ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 ，即 0 ； ( , ) ( , )
6. (A, (B ＋ C ))(α) =A, ((B ＋ C )(α))
= A, (B (α) + C (α)) = A, (B (α)) + A, (C (α)) = A, B (α) + A, C (α) = (A, B ＋A, 7.
C )(α) → 6.成立.
□
同上可证明7.成立. 8. 显然成立.
注: 该命题有以下注意问题
1). 由于映射的合成一般不满足交换律， 故线性变换的乘法一般不满足 交换律. 例如： 线性空间 R[x]中，取线性变换 D ( f ( x)) f ( x) ，G ( f ( x)) f (t )dt →
/
a x
D G ( f ( x))
d x f (t )dt f ( x) E ( f ( x)) , 即 D G ＝E, dx 0
证明： 首先要证明A +B ∈L(V)，即证明A +B 是V上
的变换；且对向量加法和数乘保持不变.
, V, (A ＋B )( ) = A ( )＋B ( ) = A ( )＋
B ( ) = (A ＋B )( ) → A ＋B 是 V 上的变换.
f ( x), g ( x) P[ x], 且 h( x) f ( x) g ( x), p( x) f ( x) g ( x)
h(A ) = f (A )＋g(A ), p(A ) = f (A )g(A ) .
特别有：
f (A )g(A ) = g(A ) f (A ) .
注: 该性质的证明略，注意问题如下:
f (A )g(A ) = g(A ) f (A ) = (A 2＋E)(A －E) =A 2 (A －E)＋E(A －E) = A 2A －A 2E ＋ E A － EE = A 3－A 2＋A －E.
例1 α(≠0)∈R3, Пα是把向量ζ射到α上的 内射影变换，则
( , ) 1). Пα ( ) ； ( , )
16. 是一种规定，也可看成是性质. 即将A n中
的幂指数扩充到整数范围（n∈Z）. 可以证明幂 运算的性质9.10.依然成立.
证明： 证A －1∈L(V), 即证A －1是V上的变换， 且保持向量的加法和数乘运算不变.
A A
－1显然是V上的变换，关键证其为线性变换. －1(α+β)
= A －1 (A A －1 (α) + A A －1 (β)) = A －1 (A (A －1 (α))+ A (A －1 (β))) = A －1 (A (A －1 (α) + A －1 (β))) = (A －1A )(A －1 (α) + A －1 (β)) = A －1 (α) + A －1 (β). A －1( kα) =A －1(k(A A －1 )(α)) =A －1(k(A (A －1(α)))) = A －1(A (kA －1(α)))= (A －1A )(kA －1(α)) = kA －1(α). 故 A －1∈L(V), □
证明：首先证明A, B ∈L(V), 即A, B 是上的变换，且保持
向量加法，数乘运算不变. 据映射合成即知确为V上的变换.对任意的α,β ∈V, k ∈P, A, B (α+β ) = A, (B (α+β )) = A, (B (α) +B (β )) = A, (B (α)) +A, (B (β )) = A, B (α) +A, B (β )； A, B (kα) = A, (B (kα)) = A, (kB (α)) = kA, (B (α)) = k A, B (α) . 故 A, B 是V上的线性变换，即A, B ∈L(V). 5. 因一般映射的合成满足结合律，故5.成立.