解直角三角形(3)
鲁教版(五四制)九年级数学上册：2.4解直角三角形(3)
经典题型
知识点二 在钝角三角形中构造直角三角形解题
【示范题2】(2013·常德中考)如图,在△ABC中,AD是BC边上
1 的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sinB= 3 ,AD=1.
(1)求BC的长. (2)求tan∠DAE的值.
经典题型
【点拨】(1)在Rt△ADC中,由∠C=45°,AD=1,求CD;在 Rt△ADB中,由sinB= 1 ,AD=1先求AB的长,再用勾股定理求BD的
经典题型
【方法点拨】解直角三角形的方法口诀 有斜用弦,无斜用切; 宁乘勿除,取原避中. 解读:(1)有斜边求对边乘以正弦,有斜边求邻边乘以余弦. (2)无斜边求对边乘以正切. (3)能用乘法计算的,就不要用除法,能用原始数据计算的, 就不要用过程数据.
布置作业
课本P45：随堂练习，习题2.8
3
长,即可求出BC的长. (2)根据(1)求DE的长是关键.
经典题型
【自主解答】(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC， 在Rt△ABD中， ∵sin B= AD 1 , 又AD=1，∴AB=3，
AB 3
∴BD=
32 12 2 2.
在Rt△ADC中，
∵∠C=45°，∴CD=AD=1,∴BC=2 2 +1.
【思路点拨】过C作CD⊥AB,先求出CD,再求出△ABC的面积.
经典题型
【自主解答】如图，过C作CD⊥AB于D. 在Rt△ADC中，∵∠CDA=90°，
CD CD 3 CD. ∴tan A= ,∴AD= AD tan 60 3
在Rt△BDC中，∵∠B=45°， ∴∠BCD=45°， ∴CD=BD.
3 ∵AB=BD+AD=CD+ CD=8，∴CD=12- 4 3, 3 1 1 ∴S△ABC= AB·CD= ×8×(12-4 3 )=48-16 3 . 2 2
解直角三角形 (3)
解直角三角形一、选择题1.（2014•孝感，第8题3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是（）A．absinαB．a bsinαC．a bcosαD．abcosα考点：平行四边形的性质；解直角三角形．分析：过点C作CE⊥DO于点E，进而得出EC的长，再利用三角形面积公式求出即可．解答：解：过点C作CE⊥DO于点E，∵在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，AC=a，BD=b，∴s inα=，∴EC=COsinα=asinα，∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα，∴▱ABCD的面积是：absinα×2=absinα．应选；A．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，得出EC的长是解题关键．2. （2014•泰州，第6题，3分）假如三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．以下各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，考点：解直角三角形专题：新定义．分析：A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解答：解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，应选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，应选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，应选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，应选项准确．应选：D．点评：考查理解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．3. （2014•扬州，第8题，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）（第2题图）A．B．C．D．﹣2考点：全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理专题：计算题．分析：连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作ME⊥ON于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tan∠MCN．解答：解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°在Rt△ABC与Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（LH）∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=AC，∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2，在Rt△BMC中，CM===2．∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，则CE=2﹣x，∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，解得：x=，∴EC=2﹣=，∴ME==，∴tan∠MCN==应选A．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．4.（2014•滨州，第11题3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（）A．6B．7.5 C．8D．12.5考点：解直角三角形分析：根据三角函数的定义来解决，由sinA==，得到BC==．解答：解：∵∠C=90°AB=10，∴sinA=，∴BC=AB×=10×=6．应选A．点评：此题考查理解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．5.（2014•德州，第7题3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．解答：解：在Rt△ABC中，∵=i=，AC=12米，∴BC=6米，根据勾股定理得：AB==6米，应选B．点评：此题考查理解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．二.填空题1．（2014•新疆，第13题5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC=．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据正切的定义得到tanB=，然后把tan37°≈0.75和BC=32代入计算即可．解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，所以tanB=，即tan37°=，所以AC=32•tan37°=32×0.75=24．故答案为24．点评：此题考查理解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．2．（2014•舟山，第12题4分）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米（用含α的代数式表示）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．解答：解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，∴BC=AC•tanα=7tanα（米）．故答案为：7tanα．点评：此题考查理解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．3．（2014•浙江宁波，第17题4分）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多能够划出17 个这样的停车位．（≈1.4）考点：解直角三角形的应用．分析：如图，根据三角函数可求BC，CE，则BE=BC+CE可求，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．解答：解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米，CE=5×sin45°=5×≈3.5米，BE=BC+CE≈5.04，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.14米，（56﹣5.04）÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17（个）．故这个路段最多能够划出17个这样的停车位．故答案为：17．点评：考查理解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．4. （2014•株洲，第13题，3分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为182米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．（第1题图）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC 的长度．解答：解：在Rt△ABC中，AB=500米，∠BAC=20°，∵=tan20°，∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米）．故答案为：182．点评：此题考查理解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．5. （2014•泰州，第16题，3分）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于1或2cm．（第2题图）考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE 与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PF A=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．解答：解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC=PN，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，∴tan30°=，即DE=cm，根据勾股定理得：AE==2cm，∵M为AE的中点，∴AM=AE=cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，∵PN∥DC，∴∠PF A=∠DEA=60°，∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，∴AP===2cm；由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．6.（2014•济宁，第12题3分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB 的长为3+．考点：解直角三角形．分析：过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．解答：解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+．故答案为：3+．点评：此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．三.解答题1. （2014•安徽省,第18题8分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用．分析：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解．解答：解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×=10km，在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，CF=BF•sin30°=×=km，DF=CD﹣CF=（30﹣）km，在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．故两高速公路间的距离为（25+5）km．点评：此题考查理解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．2. （2014•广东，第20题7分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC 中，利用三角函数即可求解．解答：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．点评：此题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．3. （2014•珠海，第17题7分）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）过点M作MD⊥AB于点D，根据∠AME的度数求出∠AMD=∠MAD=45°，再根据AM的值求出和特殊角的三角函数值即可求出答案；（2）在Rt△DMB中，根据∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根据MD的值求出MB 的值，最后根据路程÷速度=时间，即可得出答案．解答：解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°，∵AM=180海里，∴MD=AM•cos45°=90（海里），答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90海里；（2）在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°，∵MD=90海里，∴MB==60，∴60÷20=3=3×2.45=7.35≈7.4（小时），答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．点评：此题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．4. （2014•广西贺州，第24题8分）如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，则CD的长为海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；（2）在Rt△BCD中，根据55°角的余弦值即可求出海轮在B处时与灯塔C的距离．解答：解：（1）C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．点评：此题考查理解直角三角形的应用：方向角问题，具体就是在某点作出东南西北，即可转化角度，也得到垂直的直线．5．(2014年四川资阳，第19题8分)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：过A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，设AD=x，得出CD=AD=x，再解Rt△ABD，得出BD==x，再由BD+CD=4，得出方程x+x=4，解方程求出x的值，即为A到岸边BC的最短距离．解答：解：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD=，即tan60°=，所以BD==x，又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，解得x=6﹣2．答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里．点评：此题考查理解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．(2014年天津市，第22题10分)解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的局部可开启的桥梁．（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启局部的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为m；（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．分析：（1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得关于x的方程，解出即可．解答：解：（I）∵点C是AB的中点，∴A'C'=AB=23.5m．（II）设PQ=x，在Rt△PMQ中，tan∠PMQ==1.4，∴MQ=，在Rt△PNQ中，tan∠PNQ==3.3，∴NQ=，∵MN=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，解得：x≈97．答：解放桥的全长约为97m．点评：此题考查理解直角三角形的应用，解答此题的关键是熟练锐角三角函数的定义，难度一般．7．（2014年云南省，第21题6分）如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．此题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．解答：解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．答：旗杆AB的高度大约是10米．点评：主要考查解直角三角形的应用，此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．8．（2014•四川自贡，第18题8分）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：首先分析图形：根据题意构造两个直角三角形△DEB、△CEB，再利用其公共边BE 求得DE、CE，再根据CD=DE﹣CE计算即可求出答案．解答：解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米．点评：此题考查解直角三角形的知识．要先将实际问题抽象成数学模型．分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系． 9．（2014·云南昆明，第20题6分）如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD 的高度，在地面A 处放置高度为1.5米的测角仪AB ，测得旗杆顶端D 的仰角为32°，AC 为22米，求旗杆CD 的高度.（结果精确到0.1米.参考数据：sin 32°= 0.53，cos 32°= 0.85， tan 32°= 0.62）考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
2.5《解直角三角形的应用(3)》导学案
2.5解直角三角形的应用（3）
学习目标：
1．会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际问题。
2．了解一些常用的测量名词方位角、坡度、坡角的意义，能根据及测量术语绘出示意图。
学习重点、难点：理解坡度、坡角的概念，利用解直角三角形解决实际问题。
课前预习案
1、如图，建筑学中把斜坡起止点A，B的_______________与它们的______________的比叫做坡度（或坡比）
2、表示：通常用字母i表示，即i=____________，
表示坡度时，一般吧比的前项取作1.
3、如上图，斜坡AB与水平线AC的夹角记作α，那
么i=_______ =_______，这就是说，坡度等于锐角α的
___________________。
课中探究案
方法指导：解决此类问题往往会遇到梯形，一般会过上底的两个顶点作出梯形的两条高，将梯形问题转化为直角三角形和矩形的问题
探究2：如图，要测量铁塔的高AB,在地面上选取一点C，在A、C两点间选取一点D，测得CD=14米,在C、D两点处分别用测角仪测得铁塔顶端B的仰角为α=30°和β=45°.测角仪支架的高为1.2米,求铁塔的高（精确到0.1米）.
巩固练习。
朱立霞解直角三角形3
§28.2.1 解直角三角形
河口实验学校 朱立霞
探究一
小亮：你看我的风筝 时比看你的时头要抬 得高些，所以我的风 筝放飞的比你的高!
小丽：我放出的风 筝线长为120米， 而你的只有100米， 所以我的风筝放飞 的比你的高!
（注：小亮的风筝的仰角为37°，而小丽的风筝的仰 角为30°）
解直角三角形有哪些依据和方法呢？
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； A (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º （互余关系） ； (3)边角之间的关系（ : 锐角三角函数）
A 的对边 a sin A 斜边 c A 的邻边 b cos A 斜边 c A 的对边 a tan A A 的邻边 b sin B B 的对边 b 斜边 c B 的邻边 a cos B 斜边 c B 的对边 b tan B B 的邻边 a
b
c
C
a
B
（4）特殊角的边角关系（ 30°，45°，60°）
探究二
A
调研方法
在直角三角形中，至少知道五个元素中的几个， 就可以求其余的元素？
A
已 知 两 边
b
C A
B
a
c a
已 知 一 边 一 角
B
α
a
C A
c B A
α
C
B
A
C
已知两角 B C 结论：如果知道五个元素中的两个 (至少有一 C
B 个是边),那么就能求出其他三个元素 .
B
100米 37°
B′
120米
30°
A
小亮
C
A′
28解直角三角形-3
图 19.4.4
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角
视线
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例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电 线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测 得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
A C
65° P
34°
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40
C
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
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D
E
B
C
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(课本89页)
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角 为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
A
B
D
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2、《同步练习》P58-60（五）（六）
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α＝22° 1.20 22.7
28.1 解直角三角形 同步教学课件(3) (新人教版九年级下)
点拨精讲：应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，
若小于或等于10则有危险。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。5分钟
解:如图,过点B作BE AD于E 过C作CF AD于F , 在RT ABE和RT CDF中 BE 1 CF 1 , AE 3 FD 2.5 AE 3BE 3 23 69 m FD 2.5CF 2.5 23 57.5 m AD AE DF FD 69 6 57.5 132.5 m 斜坡的坡度i 1 0.3333 3
【预习导学】
一、自学指导
自学：阅读教材P89-91，自学例5、归纳和坡度问题，掌握利用解直角三角形的知识解
决实际问题的方法，弄懂坡度与坡角的实际意义，理解铅垂高度与水平宽度的实际意义，完 成填空。7分钟
总结归纳：①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： a、将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解直角三角形 的问题； b、根据条件的特点，适当地选用 锐角三角函数 去解直角三角形； c、得到数学问题的答案；d、最后得到 实际 问题的答案。 ②拦水大坝的横断面为梯形，其中坡度i是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度 的比，这个值与坡角的 正切 值相等。坡度i一般写成1:m的形式，坡度i的 值越大，表明坡角越 大 ，即坡越陡。
难点：能运用解直角三角形解决航行、斜坡问题。
【学习目标】 1、能运用解直角三角形解决航行问题； 2、能运用解直角三角形解决斜坡问题；
3、理解坡度
i 坡面的铅直高度 tan 坡角 坡面的水平宽度
。
【学习重、难点】 坡面的铅直高度 tan 坡角 。 重点：理解坡度 i
1.3 九下浙教版解直角三角形(3)
400
C
B
O
东
海防哨所0发现,在它的北偏 西 400,距离哨所500m 东 的A处有一艘船向正东方向,经过3分时间后到达哨所北偏
东55°方向的B处.问船从A处到B处的航速是多少km/h(精
确到1km/h)?
北
C
A
C
B
O
东
为知道甲,乙两楼间的距离,测得两楼之 间的距离为32.6m,从甲楼顶点A观测到乙楼顶D 的俯角为35 ° 12 ′,观测到乙楼底C的俯角为
知 如图，在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的 识 小 夹角叫做仰角； 贴 从上往下看，视线与水平线的 士
夹角叫做俯角.
测角仪
例1 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆
22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆 顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到 0.1米）
43 ° 24 ′.求这两楼的高度(精确到0.1m)
练一练
小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m,
两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角
为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
AA
20m
D
30° 30
南
FF
15m
E北 E
15m
B
C
通过实践了解仰角和俯角在解直角三角形中
的作用。
解直角三角形的应用是数学中的应用问题，反
映现实领域特征的问题情景，它包含着一定的数
学概念、方法和结果。
通过对实际问题的抽象提炼，分辨出解直角三
角形的基本模式，用常规的代数方法解决问题。
解：
AB＝BE＋AE
＝ AC×tana＋CD＝ Nhomakorabea.17＋1.20≈10.4（米）
课件 解直角三角形(三)
兴趣
（3）CD=1.5 ,DF=a a （4） AB= + 1.5
ctgą- ctgβ
C ą D F
β
Ｅ Ｂ
校数学兴趣小组同学打算去测量始丰溪岸一铁塔的 高度，他们带了以下工具皮尺一根教学三角板一副高度 为1.5米的测角仪（能测仰角和俯角的仪器）一架。 若测量的铁塔位于始丰溪的对岸，假如人又无法直接到达 对岸，该如何设计测量方案？
Hale Waihona Puke αβAC
1.课本第116页习题19.4的第3题
2.如图，从山顶A望地面的B、D 两点，俯角分别时450、600，测得BD=100 米，求山高。 3.如图，山顶上有一座电视塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角β==600， 在塔底C处测得A的仰角α=450，已知塔高为60米，求山高. 4.湖 面上有一塔,其高为h，在塔上测得空中一气球的仰角α ，又测得气 球在湖中的俯角为β，试求气球距湖面的高度h.（自己作图） 5. 外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域，如图， 设A、B是我们的观察站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B 的一条直线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得 ∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
A
B
α
B
D
E
C
A
C
例
2
某人在A处测得围墙顶端B的仰角为300 ,沿AC方 向行20米至D处,测得顶端B的仰角为450,求此围墙的 高度BC.
B
A
30
45
D
C
B
300
450
解直角三角形应用(三)
变式一
北
东 A
25 55 10海里
B
C
如图，海中有一个小岛A， 该岛四周10海里有暗礁， 今有货轮自西向东航行， 开始在A岛南偏西55度的 B处，往东行驶20海里后， 到达该岛的南偏西25度 的C处。之后，货轮继续 向东航行。
D
分析：根据题意，该岛四周 10海里有暗礁，货轮继续向东 航行的方向如果到A的最短距 离大于10海里，则无触礁的危 险。如果小于10海里，则有触 礁的危险。
A
N1
N
45˚
60˚
D
C
D
B
变式四
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘 货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚， 航行24海里到C，见岛A在北偏西15˚，货轮继续 向西航行，有无触礁的危险？
N1
E
A 15˚
N
60˚ D
C B
D
如图:一艘轮船由海平面上A地出发向南 偏西400的方向行驶40海里到达B地,再由 B地向北偏西200的方向行驶40海里到达C 地,则A,C两地的距离为 ____
h l
l
即i＝ =tan a，显然，坡度越大，坡角a就越 大，坡面就越陡.
坡度通常写成 1∶m的形式， 如i=1∶6.
学习过程
（一）自主学习
1、课本P24---想一想，学生独立思考后小组交流 2、课本P25---做一做学生自己作图，独立思考后，小组交流 我的疑惑 -------请将学习中未能解决的问题、有疑惑的问题、发现的新问题写下来，准备与 小组同学或老师交流解决 （二）合作探究 1、坝高问题中，AD的坡角指的是什么？如何求AD的坡角？采用哪个三角函数关 系式？ 如何求AB的长？直接求可以吗？ 斜坡AD的长呢？采用哪个三角函数关 系式？ 2、在触礁问题中，（1）怎样作图才是最近距离。 （2）如何求AD？RTΔABD中能解吗？RTΔACD能解吗？ （3）当两个直角三角形都不能直接解时，怎样去解决这个问题？ 我的疑惑 （三）训练巩固 必做1、课本P25---随课训练1 2、课本P25---随课训练2 注意（65°改成75°，20°改成30°） 选做 （四）总结梳理
九数：解直角三角形(3)
• 如图，某海域直径为３０海里的暗礁 区中心，有一哨所Ａ，值班人员发现 有一轮船从哨所正西方向４５海里的 Ｂ处向哨所驶来，哨所及时向轮船发 出了危险信号，但轮船没有收到信号， 又继续前进了１５海里到达Ｃ处，此 时哨所第二次发出紧急信号． （１）若轮船收到第一次信号后，为避 免触礁，航向改变角度至少为东偏北α 度，求sin α的值．
28.2
解直角三角形（３）
保康县实验中学九年级数学备课组
• 海中有一个小岛，该岛四周１０海里内有 暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在Ａ 岛南偏西５５０的Ｂ处，往东行驶２０海里 后到达该岛的南偏西２５０的Ｃ处，之后， 货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行 的途中会有触礁危险吗？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
例5、一艘海轮位于灯塔P的北偏东650方向, 距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行 一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东340 方向上的B处.这时,海轮所在的B处距离灯 塔P有多远(精确到0.01海里)?
如图，某海域直径为３０海里的暗 礁区中心，有一哨所Ａ，值班人员 发现有一轮船从哨所正西方向４５ 海里的Ｂ处向哨所驶来，哨所及时 向轮船发出了危险信号，但轮船没 有收到信号，又继续前进了１５海 里到达Ｃ处，此时哨所第二次发出 紧急信号．
（２） 若轮船收到第二次信号时，为避 免触礁，航向改变角度至少应为多少 度？（精确到０．０１０）
• 海中有一个小岛，该岛四周１０海里内有 暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在Ａ 岛南偏西５５０的Ｂ处，往东行驶２０海里 后到达该岛的南偏西２５０的Ｃ处，之后， 货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行 的途中会有触礁危险吗？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｂ港在Ａ观测站的正北１０
3
解直角三角形(三)
解直角三角形（三）基础训练1.在下列情况下，可解的直角三角形是( )A.已知b=3，∠C=90°B.已知∠C=90°,∠B=46°C.已知a=3,b=6,∠C=90°D.已知∠B=15°,∠A=65°2.如图28-2-3-1，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A的仰角α＝45°，仪器高CD＝1.2 m，测倾仪底部中心位置D到旗杆根部B的距离DB=9.8 m，这时旗杆AB的高为_________ m.图28-2-3-12m,则坡角为3.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m，下底为10 m，高为3_______.强化训练5米，则1.有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是3原树高是_______________ m.2.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是_________________.2,求AB及3.如图28-2-3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,CD=3，BD=3∠B.图28-2-3-24.如图28-2-3-3，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m，求乙楼CD的高.图28-2-3-3巩固训练1.菱形ABCD 的对角线AC 长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD 为( ) A.3310 B.33 C.3315 D.3 2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________.3.如图28-2-3-4所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A ，在河南岸选相距200米的B 、C 两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米）图28-2-3-44.如图28-2-3-5，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得，从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H ，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器.（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：a.测量数据尽可能少.b.在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上.（如果测A 、D 间距离，用m 表示，若测D 、C 间的距离，用n 表示，若测角用α、β、γ表示）图28-2-3-5（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG .（用字母表示，测倾器高度忽略不计）5.如图28-2-3-6，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m，上底宽为16 m，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.图28-2-3-66.(江苏苏州模拟，23)为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（图28-2-3-7）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m）图28-2-3-77.(2010成都模拟，26)如图28-2-3-8，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）。
九年级数学鲁教版解直角三角形3导学提纲
“2.4 解直角三角形 （3）”导学提纲学习目标：1.能够应用解直角三角形的知识解决有关的问题；2.经历把非直角三角形问题转化为解直角三角形问题的过程，发展分析和解决问题的能力. 学习过程： 一. 自主探究：1.如图1， Rt △ADC 中，∠ADC =90°，∠A =60°, AC =12,求AD 和CD 的长.①2.如图2， Rt △ADB 中，∠BDC =90°，∠B =45°, CD =36,求BD 的长. ①3.如图3，△ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12,CD ⊥AB 于D ，你能迅速说出AB 的长吗？①4. 如图4，△ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12, 如何求AB 的长？试写出解题步骤.②二. 合作交流，成果展示：1. 交流上面各题，说说是怎样把锐角△ABC 的问题转化为解直角三角形的？图1B 图2B图3B图42. 一中4题，作△ABC 的高AH （如图5），试一试根据原题条件求AB 如何？3.交流:含有特殊角的三角形，怎样添加辅助线把它转化为直角三角形来解决？三.应用规律，巩固新知：1. △ABC 中，∠A =105°，∠B =45°，AC =12,求AB 的长？2.P45 随堂练习 1、2、33. △ABC 中，∠A =120°，∠B =15°，AC =2, 求AB 的长？③四.自我测评，检测反馈：1.本节课你有哪些收获？你还有那些疑惑？2.当堂检测： ①P45 习题2.8 1②如图，△ABC 中，∠ABC =120°，tan C =21，BC =11, 求AB 的长？④B图5CC3.课外自评：P45 习题2.8 联系拓广五.教（学）后反思“4 解直角三角形（3）”导学提纲设计意图与教学建议①承接上一课时，将学生自然引入到本课时内容.②对①的三问题的概括集结，学生在该探究过程中，很自然体会辅助线分割在解决问题过程中的重要性.③引进方程思想，解题中三角函数关系式确定不同线段间的数量关系，布列简单的方程，解方程求得未知数的值，进而解决问题.④通过本题，让学生认识到特殊角的特殊在于其三角函数值是确定的，添加辅助线是为了形成含确定三角函数值的锐角的直角三角形.。
解直角三角形及其应用(3)湘教版
解直角三角形及其应用(3)
——方位角问题
方位角
西北 北 东北 东
西
西南
南
东南
方位角
点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
点C在点O的正南方
北 A
30°
东
西
O 45°
C
B 南
例2：一艘海轮位于灯塔P的西南方向，距离 灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段 时间，到达位于灯塔P南偏东60°方向上的B 处，求海轮行驶的路程AB（结果保留根号）。
北
西
P
南
东
A
例2：一艘海轮位于灯塔P的西南方向，距离 灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段 时间，到达位于灯塔P南偏东60°方向上的B 处，求海轮行驶的路程AB（结果保留根号）。
北
西
P
南
东
40海里
45°60°
A
？
B
例2：一艘海轮位于灯塔P的西南方向，距离 灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段 时间，到达位于灯塔P南偏东60°方向上的B 处，求海轮行驶的路程AB（结果保留根号）。
B
12
D
F
1、一轮船以30海里/时的速度由南向北航行，在A处 看见灯塔S在船的北偏东30°方向上，半小时后航行到B 处，看见灯塔S在船的东北方向，求灯塔S与B的距离。
西北 西 西南
北 东北 东
南
东南
2、某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进 到B处望见灯塔C在北偏西30°方向，又航行了半小时到达D 处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为20海里/时，求A、B 两点间的距离。（结果保留根号）
西北 北 东北 东
1.3 解直角三角形(3)(课时3)课件(浙教版九年级下册)
补充1. 一艘轮船在Ａ处观测到东北方向有一小 岛Ｃ,已知小岛Ｃ周围４.8海里范围内是水产养殖 场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处, 在B处测得小岛C在北偏东60°方向,这时渔船改 变航线向正东(即BD)方向航行,这艘渔船是否有进 入养殖场的危险?
补充2. （2006辽宁） 如图,某人在山坡坡脚A处测得 电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再 测得点C的仰角为45°,已知OA=100米,山坡坡比 1 1 为 ，（即tan∠PAB= ），且O、A、B在同一 2 2 条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P 的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留 根号形式） C
山坡
60°
O
45°P
A
E
B
水平地面
AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交 叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北 偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km， ∠DAC＝15°． （1）求B，D之间的距 60 60 60 60 60 60 45
D
45o
A
A
B
30o
60o
D
C
例2
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘 货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚方 向，航行24海里到C处，见岛A在北偏西30˚方向， 货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ 解 过点A作AD⊥BC于D,设AD=x
B D C B C D
2、注意可解直角三角形与非可解直角三角形 的基本解题思路;
3、
现实对象
数学抽象
数学模型 逻辑推理
有无解？ 实际问题的解
数学问题的解
翻译回去
小提示
1. 应注意锐角三角函数的概念理解及运用。 2. 在解直角三角形时应注意原始数据的使用， 不是直角三角形时，可添辅助线(添加垂线）。 3. 注意数形结合的运用.善于利用方程思想求解 。 4 .使用计算器时,题中没有特别说明，保留4位小 数。
28.2.3解直角三角形(3)
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
解:
250 2 t 20 (小时） 25
答：受台风影响的时间 为20小时。
2r t= v
r表示台风形成区域圆 的半径 V表示风速
去年“卡努” 台风中心从我市的正东方向 300km处向北偏西60度方向移动，其他数据不变，请 问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响 的时间又多长？
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
28.2 .3解直角三角形(3)
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以 内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B 之 间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条直 线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同时 在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发 出警告，令其退出我国海域.
P
A
B
A
30°
60°
B
12
D
F
25.3 解直角三角形 课件(华师大版九年级上册) (3)
AE 5 3
在RtADE中，AD 14，
ED AD 2 AE 2 14 2 (5 3 ) 2 11
14
5 B
E
6 D 12
c b 20 34.9. sin B sin 35
议一议
• 在直角三角形中， （1）已知a,b，怎样求∠A的度数？ (2) 已知a,c，怎样求∠A的度数？ （3）已知b,c，怎样求∠A的度数？
A c
b
你能总结一下已知两边解直角三角形的 方法吗？与同伴交流。
（1）利用勾股定理求第三边。
m (D) 米 tan
A
m
C
B
3. (2011∙ 滨州中考 ) 边长为 6cm 的等边三角形中，其一
边上高的长度为________cm.
【解析】一边上的高=6×sin60°= 3 3 【答案】 3 3
4.（2010·重庆中考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C
＝ 90°， AC ＝ 3 ．点 D 为 BC 边上一点，且 BD ＝ 2AD ， ∠ADC＝60°求△ABC的周长（结果保留根号）
3．解：如图设BC=x， 在Rt△ADF中，AD=180，∠DAF=30°， ∴DF=90，AF=90 3 ． ∵∠BAC=∠ABC=45°， ∴AC=BC=x． ∴BE=BC-EC=x-90． 在Rt△BDE中，∠BDE=60°， 3 3 ∴DE= BE= （ 3 3 x-90）． FC=AC-AF=x-90 3 ． ∵DE=FC， 3 ∴ （ x-90）=x-90 ．
（3）根∠A=60°,∠B=30°,
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i=1︰2
B
C
Hale Waihona Puke 例3、如图，水库的横截面是梯形，坝高23m， BC=6m，斜坡AB的坡度
i 1: 3 ，斜坡CD的
坡度i'=1:1,求斜坡AB的长及坡角a和坝底宽AD （精确到0.1m）
B C
i 1: 3
A α D
E
F
如图,一段路基的横断面是梯形，高为4.2米， 上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角 分别是32°和28°，求路基下底的宽． （精确到0.1米）
A
F
以A为圆心，250km长为半径画圆交 连结AF，AE， 直线BC于E、F， 400 则DF=DE=200km， ∴ t 16 （小时） 25 答：影响时间为16小时。
600
则∠ADB=90 ，AB=300km，∠ABD=30 ， ∴AD=150km， ∵150<250，∴会受到台风影响
B
l
h
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法 分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”， 把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为 直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想， 它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解 这方面的内容．
概念：
1、坡度与坡角 (1)坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫做坡度 h i ,一般写成i=1:m,如i=1:5 坡度一般用i来表示，即 l (2)坡面与水平面的夹角α叫坡角
2、坡度与坡角α的关系
h
i
α L
h i tan l
h l水库
基础训练:
植树节，某班同学决定去坡度为1︰2的山 坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离） 是6m，斜坡上相邻两树间的坡面距离 为 。 3 5
65° P A C 34°
B
海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内 有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测 得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达 D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如 果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁 的危险？
A
60°
B 12 D 30° F
例2、2004 年“云娜”台风中心从我市（看成一个点A） 的正东方向300km的B岛以每时25km的速度正面袭击我市， 距台风中心250km的范围内均受台风的影响.我市遭到了 严重的影响，那么影响时间有多长？
D
4.2米 32° 28° E F 12.51米
C
A
B
如图所示：赶在汛期到来之前，水利部门沿 水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2m，坡度由原来 的1:2改成1:2.5，已知坡高6m，求加宽部分的横 截面AFEB的面积。
F
A
D
E
B
C
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际 情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝 的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出 h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就 不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长 度l
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮 所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
化整为零:把一个整体分成许多零散部分。 积零为整:把许多零散部分组成一个整体。
l h α h
l α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而 山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段， 划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可 以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这 段山坡的高度h1=l1sina1.
65° P A C 34°
B
方位角
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. • 如图：点A在O的北偏东30° • 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北 30° 东 A
西
O 45° B 南
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮 所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
台风经过我市的路程-------刚好是一个半径为250km的圆的直径
解: t 250 2 20(小时）
25
答：受台风影响的时间为20小时。
2r t= v
r表示台风形成区域 圆的半径 V表示风速
去年“卡努” 台风中心从我市的正东方 向300km处向北偏西60度方向移动，其他数据 不变，请问此时，我市会受到台风影响吗？若 受影响，则影响的时间又多长？
去年“卡努” 台风中心从我市的正东方向 300km处向北偏西60度方向移动，其他数据不变， 请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响， 则影响的时间又多长？ 如图，若AD≤250km，则受台风影响； 若AD＞250km，则不会受台风影响。 D， 解：会受到影响。 作AD⊥BC于 0 0
C
E
N
D
250