高等数学§2-2函数的求导法则
高等数学精品课件2-2导数的计算法则
3(x sin2 x)2 (1 sin 2x)
12
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
例２ 求 y 1 x 的导数. 1 x
解
y
2
1 1 x
1 1
x x
'
2
1 1
x
1 x 1 1 x2
x
1
1
x 1
x2
1 x
1 x
13
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
如果 y f u 在点 u 处可导，u g x 在点 x 处可导，则复合函数
y f g x 在点 x 处可导，且有
dy dy du（即yx f u gx）
dx du dx
由 u 在g 点x 处连续x (可导⇒连续)知，
当 x 时，0
u g x x g x 0， 故 lim ，li因m 此，0
x0
u0
dy dx
lim y x0 x
lim
x0
f
u
u x
u x
f u gx
即
dy dx
dy du du dx
7
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
复合函数的求导法则也称为链式法则，它可推广到有限个函数复合的情形.
比如，若 y f u，u g v 和 v h x 可导，则 y f {g[h(x)]}
例如， y sin2 x 由 u sin x 和 y u2 复合而成，
y
ln
x2 x2
1 1
由
u
x2 x2
1 1
和 y ln u复合而成.
2
课前导读
高等数学课件上第2-2初等函数的导数
解: [(xsi2nx)3]
(12sinx
3(xsi2nx)2
cosx)
=3(x+sin2x)2(1+sin2x)
例9. 设
ylncoesx)(,求 d y . dx来自解:dy dx
1 cos( e
x
)
(sine(x))
ex
extanex()
例10. 设 y ln x2 1 , 求 d y . dx
例6. 设 y(x211),0求 y
解: 令 u = x2 + 1, 则 y = u 10， y (u10)u ux 10u9 (x2 1)x 10(x21)92x 20x(x2 1)9.
例7. 设 yesinx ,求y.
解: 令 u = sin x, 则 y = e u，
1
sin2
x
csc2
x.
证: (tanx)csionsxx
(sixn )coxssixn(cx o)s
cos2 x
cos2 xsin2x cos2 x
1 cos 2
x
sec2
x.
2.2.2、反函数的求导法则
定理2.2.2. 设 yf(x)为 xf1(y)的反,f函 1(y)在 数
推论:
1) 2)
(Cu)C u ( C为常数
(1) v
1v 1v v2
)
v v2
例1. y5x33lnx4ex ,求 y .
解:
y 53x2 3 1 x
4ex.
例2. yx(x 3 4 co x ss1 i)n ,求 y及 yx1.
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第二章 导数与微分【圣才出品】
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
高等数学2-2
解 tan( ) tan tan 1 tan tan
y lim arctan(x h) arctan x
h0
h
1
h
lim arctan
h0 h
1 ( x h)x
lim
h0
1 h
1
(
h x
h) x
1 1 x2
.
例7 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
x0可导, 且其导数为
dy dx
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证
由y f (u)在点u0可导 ,
lim y u u0
f (u0 )
o
CM
x0
T
xx
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
记x
x0
x, 则k
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ) .
2.1.2 导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内有定义, 如果极限
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
2.2导数基本公式与求导法则
§2. 2 导数的基本公式与求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数, 并且（1）和差法则[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;（2）积法则[u (x )⋅v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );特别地如果v =C (C 为常数), 则有(Cu )'=Cu '. （3）商法则)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2 (πf '.解: x x x x x f sin 43)2 (sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x .例5．y =sec x , 求y '.解: xx x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='x x2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x . 二、反函数的求导法则定理2 如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dx dy 1=. 上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例6．求函数y =arcsin x 的导数解：设x =sin y , ]2 ,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且(sin y )'=cos y >0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='='. 类似地有: 211)(arccos x x --='.例7．求函数y =arctan x 的导数解：设x =tan y , )2,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y 在区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且(tan y )'=sec 2 y ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有 22211t a n11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a n x y y y x +=+=='='. 类似地有: 211)cot arc (xx +-='.例8求y =log a x 的导数解：设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且(a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有ax a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy'⋅'=或dx du du dy dx dy ⋅=.例9 3x e y =, 求dxdy. 解：函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10 212sin x x y +=, 求dxdy.解 函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212x x u +=复合而成的, 因此2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos xx x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dxdy.解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x xx dx dyx x x cot cos sin 1=⋅=.例12．3221x y -=, 求dxdy . 解: )21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ), v =ψ(x ), 则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy . 解:])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．xe y 1sin =, 求dxdy . 解:)1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=xx e x e e dx dy xe x x 1cos 11sin 2⋅⋅-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.四、初等函数的导数常用与基本初等函数的导数公式: (1)(C )'=0, (2)(x μ)'=μ x μ-1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x , (7)(sec x )'=sec x ⋅tan x , (8)(csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) ax x a ln 1)(log =',(12) x x 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', (14) 211)(arccos x x --='. (15) 211)(arctan x x +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.例16．y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '. 解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .。
高等数学2-2
x a cost 例12 求椭圆 在t 处的切线方程和法线方 程.
解
4 y b sin t dy b cos t b dy dt cot t , dx dx a sin t a dt
可得
k切
b b dy cot , dx t a 4 a
1 , 求y . 例3 设y sin 1 x
解
y
1 cos 1 x
1 1 1 cos . 2 1 x (1 x) 1 x
2
例4 设y sin e x , 求y . 解
y ( sin e )
1 2 sin e 1
x2
1 x x2 1 1 x x2 1
2
x
x 2 x2 1
2x 1 2 2 x 1
1 x 1
2
x2 1 例6 求函数 y ln 3 ( x 2) 的导数. x2
例1 求函数 y ln sin x 的导数.
解
y ln u, u sin x .
dy dy du 1 cos x cot x cos x dx du dx u sin x
例2 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解
dy 10( x 2 1) 9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 .
例13 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
医学高等数学课件 第二章第2节-求导法则(2)
函数f (x)的n阶导数,记作
f ( (n) x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。
2.高阶导数求法举例
例21 设y eax , 求 y(n).
解:
y aeax,
y a2 eax ,
y a3 ea x ,
y(n) aneax
dy dy dx d t
d x (t) . dt (t)
可导,
例19.求曲线
x y
t(1 sin t cos t
t
)
所确定的函数的导数
dy dx
解： dy dy dx cos t t sin t dx dt dt (1 sin t) t cos t
例20.求椭圆
x
y
a cos t b sin t
特别地 (ex )(n) e x
注: 求n阶导数时,求出1~3或4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例23.设 y sin x, 求y (n).
解: y cos x sin( x ) 2
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 )
求导方法：
①两边取对数 ln y v ln u （隐函数）
②两边对x求导 1 y v ln u uv
y
u
③解方程 y uv ( vln u uv ) u
例16. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐函数
两边对 x 求导
1 y ln xx 1
y
x
y y(ln x 1) xx (ln x 1)
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
应用高等数学-2.2 导数的运算(2)
练习册第二章 练习三
1
3
(1 x2 )2
.
6. 设 y = sin(xln x)， 求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
§2-2 导数的运算(二）
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
3、 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
4、 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2
1
2xΒιβλιοθήκη 3(1 x2)
x x2 1
1 3( x
2)
5.
设 y x ,求 y .
1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
ex 2y y' y x y'， 解方程得
y' e x y . x 2y
例2 设 y y(x)由 sin y xe y 0 确定 ，求 y' . 解 对方程 sin y xe y 0两边同时关于x求导，得
(sin y) (xey ) 0
即 cos y y ey xey y 0
2-2 函数的求导法则
2020年1月3日星期五
蚌埠学院 高等数学
14
例6. 求下列导数:
解: (1) (x ) (e ln x )
x1
( ln x)
x
(2) (xx ) (ex ln x )
(xln x) xx (ln x 1)
(3) (sh x) ex ex ex ex ch x
的反函数
2020年1月3日星期五
蚌埠学院 高等数学
17
四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (P94)
(C) 0
(x ) x1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
u v
uv u v2
v
(v 0)
说明: 最基本的公式
(C) 0
dy dy d u f (u) (x)
dx d u dx
(sin x) cos x
(ln x) 1
x
4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 ,其它公式
且导数仍为初等函数
用求导法则推出.
3)
( loga
x
)
ln ln
x a
1 x ln
a
2020年1月3日星期五
蚌埠学院 高等数学
5
例1. y x ( x3 4cos x sin1) ,
解: y ( x ) ( x3 4cos x sin1)
x ( x3 4cos x sin1)arcsinx
2-2求导法则复合函数求导89731
a ( t) v ( t) [ f ( t) ] . 定义 如果函 f(x数 )的导f数 (x)在点 x处可,即 导
(f(x))limf(xx)f(x)
x0
x
存在 ,则称 (f(x))为函f数 (x)在点 x处的二阶. 导
记作 f(x),y,d d22 yx或 d2 df(2x x). 二阶导数的导数称为三阶导数,
定义:由方程所确 y定 y(x)的 称函 为数 隐 . 函
y f(x)形式称为显.函数 F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例11 求由方x程 yex ey 0所确定的隐函
y的导dd数 xy, ddxyx0.
线通过原 . 点
解 方程两边 x求对导 , 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y
y
33 (,) 22
yx2 y2 x
(3,3) 1. 22
所求切线方程为 y3(x3) 即 xy30.
2
2
法线方 y3 程 x为 3即yx, 显然通过原点. 22
多个函数相乘和 数u幂 (x)指 v(x)的 函情.形
例15 设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
同理可得 (arcx)cos 1 .
1x2
(arcxt)an11x2; (arccoxt)11x2.
五、对数求导法
观察函数
(x1)3x1 y(x4)2ex ,
《高等数学》2-2复合函数的微商与反函数的微商
非一次函数的微商计算示例
让我们通过一个非一次函数的微商计算示例，加深对微商计算的理解。
多元函数的复合函数与反函数 的微商
复合函数和反函数的微商不仅适用于一元函数，还可应用于多元函数。我们 将探讨多元函数中的微商求解。
总结：复合函数和反函数的微 商的重要性和丰富性
复合函数和反函数的微商是数学领域中重要且丰富的研究内容。它们的应用 和意义远远超出我们的想象。
反函数的应用：求曲线的弧长
反函数可以帮助我们计算曲线的弧长。这个应用在研究曲线的形状和长度时非常重要。
反函数的应用：求曲线的曲率
反函数可以帮助我们计算曲线的曲率。这个应用在研究曲线的弯曲程度和形 状时非常关键。
反函数与复合函数的综合应用
通过将反函数与复合函数结合应用，我们可
通过迭代求导，我们可以求得反函数的二阶导数和高阶导数。这些导数对于 解决更复杂的问题至关重要。
反函数与指数函数的微商比较
反函数和指数函数的微商有着不同的求解方法和结果。我们将比较两者之间的微商特点。
反函数与对数函数的微商比较
反函数和对数函数的微商也有着独特的求解方法和特征。我们将比较两者之间的微商表达式。
复合函数与反函数的导数关系
复合函数和反函数之间的导数关系是微商中的重要性质。我们将深入研究二 者导数的关联。
复合函数与反函数的微商公式 比较
复合函数和反函数的微商公式都有其独特的特点和求解方式。我们将比较两 者之间的微商特征。
反函数的应用：求曲线的斜率
反函数可以帮助我们求解曲线在特定点的斜率。这个应用在解决曲线问题时非常实用。
反函数的微商公式
反函数 f-1(x) 的微商公式为 (f-1(x))' = 1 / f'(f-1(x))。这个公式可以帮助我们求反 函数的导数。
大学高等数学 2-2导数的四则运算
例3 求 y = tan x 的导数 . 解
y ′ = (tan x )′ = ( sin x )′ cos x
(sin x )′ cos x − sin x (cos x )′ = cos 2 x 1 cos 2 x + sin 2 x = = sec 2 x = cos 2 x cos 2 x
当x = 0时, 时
f −′ ( 0) = lim(1 + 0) = 1, h
ln[1 + (0 + h)] − ln(1 + 0) = 1, f +′ (0) = lim+ h→ 0 h
∴ f ′( 0 ) = 1 .
1, ′( x ) = 1 ∴f 1 + x , x≤0 x>0 .
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数u( x), v( x)在点x处可导 则它 , 们的和、 ) 们的和、差、积、商(分母不为零 在点x处也 , 可导 并且
(1) [u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x); (2) [u( x) ⋅ v( x)]′ = u′( x)v( x) + u( x)v′( x); u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) (3) [ ]′ = (v( x) ≠ 0). 2 v( x) v ( x)
推论
(1) [∑ fi ( x)]′ = ∑ fi′( x);
i =1 i =1
n
n
(2) [Cf ( x)]′ = Cf ′( x);
′ (3) [∏ fi ( x)]′ = f1 ( x) f2( x)⋯ fn( x)
n i =1
′ +⋯+ f1( x) f2( x)⋯ fn( x) = ∑ ∏ fi′( x) fk ( x);
高等数学求导法则
高等数学求导法则高等数学中，求导是十分重要的一个概念。
通过求导，我们可以研究函数的性质以及解决各种数学问题。
求导法则是求导的基本规则和方法的总称，它们是我们进行求导计算的依据。
下面，我将向你介绍一些常见的求导法则。
1.常数法则：如果f(x)=C（其中C为常数），那么f'(x)=0。
这是因为常数的斜率为零。
例如，如果f(x)=3，那么f'(x)=0。
2.幂函数法则：对于 f(x) = x^n，其中 n 为常数，f'(x) = nx^(n-1)。
例如，如果f(x)=x^3，那么f'(x)=3x^23.加法法则：对于f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=u'(x)+v'(x)。
例如，如果f(x)=x^2+2x，那么f'(x)=2x+24.减法法则：对于f(x)=u(x)-v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=u'(x)-v'(x)。
例如，如果f(x)=x^2-2x，那么f'(x)=2x-25.乘法法则：对于f(x)=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。
例如，如果 f(x) = x^2 * sin(x)，那么 f'(x) = 2x * sin(x) + x^2 * cos(x)。
6.除法法则：对于f(x)=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)可以是任意函数，f'(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/v^2(x)。
例如，如果 f(x) = x^2 / sin(x)，那么 f'(x) = (2x * sin(x) - x^2 * cos(x)) / sin^2(x)。
7.复合函数法则：对于f(x)=g(h(x))，其中g(x)和h(x)是任意函数，f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
高等数学2_2隐函数求导
称v
dy dt
为径向切入速度.
求当工件以等速v0进给时的
径向切入速度.
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解: 首先建立x与y之间的关系式. 由图中的直角三角形 容易得到 y2 x2 c2 .
将上式两边对t求导, 根据链式法则,
2 y dy 2x dx .
dt
dt
由于x是t的严格减函数, 并且给进速度是常数v0, 故
注意:
1 y vln u uv
y
u
y uv ( vln u uv ) u
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ lnb ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
1 y
y
cos
x
ln
x
sin x
x
y xsin x(cos x ln x sin x )
x
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说明:
1) 对幂指函数 y uv , 其中u u( x), v v( x), 可用对数
求导法求导 :
ln y v ln u
d t d 1 1 140
( rad/ min )
d t 2 500
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
高等数学：2-2 导数的基本公式与运算法则
例10、y ln x ,
求 y'
解：
ln x y ln x ln( x)
x0 x0
x 0时(ln x )' (ln x)' 1 x
x 0时(ln x )' (ln（ x）)' 1 ( x)' 1
x
x
即 ：(ln x )' 1 x
例11 f ( x)可导，y ln f ( x) , 求y
dy dy du dv . dx du dv dx
9
例7：y
ln sin 1
ex
, 求y
'.
y e u , u ln v, v sin w, w 1
x
解：y'
ln sin 1 e x
ln sin 1
ex
ln
sin
1 x
ln sin
e
1 x
1 sin
1
s in
1 x
证 由于y f (u)在点u处可导，故 lim y f '(u) u0 u
y f '(u) (u)
u
极限与无穷小的关系
y f '(u)u (u)u
（*）
(*)式两端分别除以x
得：y f '(u) u (u) u
x
x
x
7
y f '(u) u (u) u
x
x
x
函数u ( x)在x处可导，两边取极限:
2
tan x sec2 x, cot x csc2 x.
例4： y
1 tan x tan x
2 loga
x
x
x,
求 ：dy dx
§2-2函数的求导法则(一)
( 0 h ) ln( 1 0 )
1,
h ln[ 1 ( 0 h )] ln( 1 0 ) h
1,
f ( 0 ) lim
h 0
f ( 0 ) 1 .
1, f ( x ) 1 , 1 x x 0 x 0 .
且 (sin y ) cos y 0 ,
在 I x ( 1 ,1 )内有
基本 初等 函数 求导 公式 P.94
(arcsin x )
1 1 x
1 1 x
2
2
.
同理
( arc cot x ) 1 1 x
2
(arctan x )
12
四、复合函数的求导法则
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4
推论
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结束
5
二、例题分析
例1
解 例2 解 y 2 sin x cos x ln x
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x ) ln x 1 2 sin x cos x x 问： (sin 2 x ) cos 2 x ? 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
( 7 ) f ( x ) 可导，求 y f ( x ) f ( e
)的导数。
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
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19
练习2
对吗?
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20
练习3. 设
在求
其中 时, 下列做法是否正确?
在
处连续,
因
故Байду номын сангаас
湖南师范大学高等数学22函数的求导法则
例1设 f(x)x3cox sln 3,求 f (x) 与 f ( ).
2
解 f(x)3x2sinx
f ()32 1. 24
例2 设 yx2coxs，求 y .
解 y (x 2cx o ) s (x 2 )cx o x s 2 (cx )os
y
11
lim lim
x0x y0 x j(y)
y
即
f (x) 1 .
j(y)
例6 求yarc x,x s i( n 1 ,1 )的导数。
解xsiyn在 Iy( 2, 2)内单调,、可
且 (sy )i n cy o 0 ,s 在 Ix (1,1)内有
(arcsx)in 1 1 (siny) cos y
u(x)v(x) . f(x)在x处可. 导 且有
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ).
证（2）略。
证（3）设f(x)u(x),(v(x)0), v(x)
f(x)lim f(xh )f(x)
h 0
h
u(xh) u(x)
limv(xh) v(x)
h0
h
liu m (xh )v(x)u (x)v(xh ) h 0 v(xh )v(x)h
6.8.
f(x)在x处可. 导 且（3）成立。
和、差、积的求导法则可推广到任意有限个函数 的情形：
例如，设 u(x)v,(x),w(x)在点x处可导，则有 [ u ( x ) v ( x ) w ( x ) ] u ( x ) v ( x ) w ( x );
(u)v u w v w u v w u w .c
高等数学2_2导数的计算
f ( x x) f ( x) y lim lim x0 y f ( x) x 0 x x
二阶导数与高阶导数
d y d dy f ( x x) f ( x) y y 2 ( ) lim lim dx d x d x x 0 x x 0 x
1 12ln x x 13arcsin x
x ln a 1
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例2.13 幂指函数的导数
河南理工大学
设f ( x) u ( x)v ( x ) , 其中u u ( x)与v v( x)都是 可导函数, 并且u ( x) 0, 求f ( x).
第二节 求导的基本法则
给定一个函数,如何求导? 当函数比较复杂时,用定义计算导数就相 当困难.本节给出一些基本的求导法则: 有理运算法则,复合函数和反函数求导法则, 并在此基础上,给出隐函数和参数方程求导法 则,从而使导数的计算系统化、简单化．
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2.1 函数和、差、积、商的求导法则
(sec x) sec x tan x
(csc x) csc x cot x
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2.2 复合函数的求导法则
河南理工大学
Th2.2 (链式法则) 设函数u g ( x)在x处可导，
则复合函数 函数y f (u)在与x相对应的u处可导， y f [ g ( x)]， x处可导,且 在 dy dy dy du x f (u ) g ( x), y yu u 或 x dx du dx dx 证明 y f (u)在u处可导, 所以 y f (u ) (u ) 其中 lim (u ) 0 . u 0 u 即:当u 0时
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1x2 3ex5sixn
f(0 ) (1x 3 2 e x 5 sx i)n x 0 1
Hale Waihona Puke 例3 求ytaxn的导. 数
解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx
例7ytan2 x,求y 2
解 y 2 ： ta x (n tx ) a 2 n ta x sn 2 e x (x c ) ta x sn 2 e xc 2 2 2 22 2 2
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例8 求函 yx数 a2x2a2arc x的 sin 导 . 数
2
2 a(a0)
解 y(x a2x2)(a2arcx)sin
x
lim [ u( x x )v( x ) u( x )v( x x )]
x 0
v( x x )v( x )x
lim [u ( x x ) u ( x )]v ( x ) u ( x )[ v ( x x ) v ( x )]
x 0
v( x x )v( x )x
u(x x) u(x)
例6 求函y 数 lncoxs的导 . 数
解
y 1 (coxs) coxs
1 (sinx) cosx
tax n
练习 y ln s ： i2 x n ,求 y
解 y d ： y 1(s 2 x ) i n 1c2 o x ( 2 s x ) 2 c2 x tg ds x2 i xn s2 i xn
v(x x) v(x)
v(x) u(x)
u( x ) lim
x
x
]
x 0
v( x x )v( x )
u( x )v( x ) u( x )v( x )
v2(x)
推论
n
n
(1) [fi(x)]fi(x);
i1
i1
( 2 )[ C (x ) ] f C f(x );
(3)
n
[
fi(x)]f1(x)f2(x)fn(x)
x可导 , 且其导数为
dydyduf(u)(x).
dx dudx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
例5 求函y 数 (12x)30的导 . 数
解 dy 3(1 0 2 x ) 3(1 1 2 x )
dx
－ 6（ 0 1＋ 2x） 31
i1
f1(x)f2(x)fn(x)
例1 求ysinxx35的导. 数
解 y （ six nx35）
（ six)n (x3)(5)
coxs3x20
coxs3x2
例2 设 f(x ) 3 x 4 e x 5 cx o 1 的 s ,求 导 f(x ) 及 f数 ( 0 ).
解 f(x) (3 x4 ex 5 co x 1 s)
6.(loagx)
1 xlna
8.(sxi)ncoxs
3.(x)1 5.(ex)ex
7.(lnx) 1 x
16 .(arcxt)a n 1 1x2
17 .(arcco)t11x2
9.(cxo )ssixn
1.0(tax)nse2cx
1.1(cxo) t cs2cx
1.2 (s x )e s ce xtcaxn1.3 (c x )s ccs xc co xt
同理可得
即(tax)nse2xc. (co x)tcs2cx.
例4 求ysexc的导. 数
解
y(sex)c( 1 ) coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (cxs ) ccsxc co x. t
二、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x可导 , 而yf(u) 在点 u(x)可导 , 则复合函 y数 f[(x)]在点
( 2 ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x );
(3 )[C(xu )]C u (x);
(4 )[u v( (x x ) )]u (x)v(x v )2 (x u )(x)v (x) (v(x) 0 ).
证(1)
[u(x)v(x)]
x 0
x
li [ u ( m x x ) u ( x ) v ( x x ) u ( x ) v ( x x ) v ( x ) ]
x 0 x
x
li u ( x m x ) u ( x ) lv i ( x m x ) u ( x ) li v ( x m x ) v ( x ) ]
2
2a
1a 2 x 2 1 x 2 a 2
2
2a 2 x 2 2a 2 x 2
a2x2.
1
例8 求函y数 esinx的导.数
解
y
s
e
in1x(sin1) x
sin1
e x
co1s(1) xx
1 x2
sin1
ex
co1s. x
四、基本求导法则和求导公式
1.(C)0
2.(x)x1
4.(ax)axlna
高等数学§2-2函 数的求导法则
§2 函数的求导法则
1.导数的四则运算 2.复合函数的求导法则 3.基本求导法则与求导公式
一、导数的四则运算
定理 如果函数 u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和、差、积、商 (分母不为零 )在点 x处也 可导, 并且
(1 )[u (x ) v (x )] u (x ) v (x );
x 0 x x 0
x 0 x
u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
于是法则(2)获得证明. 法则(2)可简单地表示为
(u)vu vu v
证(4)
u(x x) u(x)
[ u ( x ) ] lim v ( x x ) v ( x )
v( x ) x0
14.(arcxs)in 1 1x2
[u(xx)v(xx)][u(x)v(x)]
lim
x0
x
u(xx)u(x)
v(xx)v(x)
lim
lim
x0
x
x0
x
于是法则(1)获得证明. 法则(1)可简单地表示为
(uv)uv
证(2)
[ u ( x ) v ( x ) ] li[ u m (x x ) v (x x ) ] u (x ) v (x )