全国卷Ⅱ2017高考数学压轴卷理

2017全国卷Ⅱ高考压轴卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.设集合{}{}2220,2,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈，则A B =U （） A ．[]0,2 B ．[]1,2- C ．(,2]-∞ D ．[0,)+∞ 2．复数()20173z i i i =-+（为虚数单位），则复数的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i +3.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为5的概率为( )A.57.B.67C 38D.584．已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)的夹角为π，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(5，－8)D ．(－8,5)5.已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈10,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4 D.7π46.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)． 已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513) A ．600立方寸 B ．610立方寸 C ．620立方寸 D ．633立方寸7．已知MOD 函数是一个求余函数，记MOD()m n ，表示m 除以n 的余数，例如MOD(83)2=，．右图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为48时，则输出的值为 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 118．已知由不等式0,0,2,40x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7，则的值（）A ．-1或3B ．1-C ．3-D ．39.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数y x =的图象交于点P ，若函数y x =的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是A. 51+B. 52+ C. 31+ D. 3210.设B A ,在圆122=+y x 上运动，且3=AB ，点P 在直线01243=-+y x 上运动，则PBPA +的最小值为A ．B ．517 C ．519D ． 11已知球O 表面上有三个点A 、B 、C 满足3AB BC CA ===，球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的一半，则球O 的表面积为(A)4π (B)8π (C)12π (D)16π12．关于函数2()ln f x x x =+，下列说法错误的是（）（A ）2x =是()f x 的极小值点( B ) 函数()y f x x =-有且只有1个零点 (C)存在正实数，使得()f x kx >恒成立(D)对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

若在试卷上作答，答案无效。

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~ 第23题为选考题，考生根据要求做答。

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为14若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和2，则该展开式中的常数项为________．15.已知f(x)为奇函数，函数g(x ）与f(x)的图象关于直线y=x+l 对称，若g(1)=4，则f(一3）=____．16．设函数f (x )＝(x －2)2(x ＋b )e x，若x ＝2是f (x )的一个极大值点，则实数b 的取值范围___．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，11a =，其前项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-2()n ≥.（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<.18. （本小题满分12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：浮动因素浮动比率1A 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% 2A 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20% 3A 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30% 4A上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%5A上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%6A上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%某机构为了某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 1A2A3A4A5A6A数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a =，记X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元： ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．19．（本小题满分12分）如图，ABCD 是平行四边形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD //,42B ===EA PD D ，3=AD ，5=AB . F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（1）求证：GH DB ⊥；（2）求平面FGH 与平面EBC 所成锐二面角的余弦值。

20. （本小题满分12分）设,,M N T 是椭圆2211612x y +=上三个点，,M N 在直线8x =上的射影分别为11,M N ． （1）若直线MN 过原点O ，直线,MT NT 斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值； （2）若,M N 不是椭圆长轴的端点，点L 坐标为(3,0)，11M N L ∆与MNL ∆面积之比为5，求MN 中点K 的轨迹方程．21．(本小题满分12分)定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x e x f x -'=⋅+-，21()()(1)24x g x f x a x a =-+-+.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）如果、、满足||||s r t r --≤，那么称比更靠近.当2a ≥且1x ≥时，试比较ex和1x e a -+哪个更靠近ln x ，并说明理由.请考生在第22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （为参数）.（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；（2）已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ∆面积的最大值.23．（本小题满分10分）已知0,0a b >>，且242a b a b +=+（1）证明24a b +≥； （2）若(1)(1)0a b -->，求2231log log a b+的最小值． 2017全国卷Ⅱ高考压轴卷理科数学题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BACADDBBACDC以下为部分试题解析1.解得集合A 为[]0,2 集合B 为y 的值域1-1,0]A B =U []1,2-,选B3解析 三次摸球一共有8种不同的情况，列举如下：(红、红、红)，(红、红、黑)，(红、黑、红)，(红、黑、黑)，(黑、红、红)，(黑、红、黑)，(黑、黑、红)，(黑、黑、黑)，记“3次摸球所得总分为5”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为：(红、红、黑)，(红、黑、红)，(黑、红、红)，共3种情况，故所求的概率P (A )＝38.4. 1解析] 设B (x ，y )，则AB →＝(x －3，y ＋4)，由已知得(x －3)2＋(y ＋4)2＝(25)2，cosπ＝AB →·a|AB →|·|a |＝x －3－2y ＋425·5＝－1，即x －2y －1＝0，联立两方程解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴B (1,0)．5.解析 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈10,2π)，∴θ＝7π4.6. 1解析] 连接OA 、OB ，OD ，设⊙Ο的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513. ∴∠AOD ＝22.5°，即∠AOB ＝45°.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB ＝45π×132360－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB ×100≈633立方寸．选D.7.【解析】作出不等式组0,0,40x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域，如图所示，可知其围成的区域是等腰直角三角形且面积为．由于直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为，由于67<，由此可得0k <．由2,40y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，解得1k =-或3k =（舍去），故选B ．9.【试题解析】A 设),(00x x P ，∴切线的斜率为2x ，又∵在点P 处的切线过双曲线左焦点)0,1(-F0=，解得01x =， ∴(1,1)P ，因此152,22-==a c ，故双曲线的离心率是215+，故选A ；10.试题分析：设AB 的中点为D ，由平行四边形法则可知PD PB PA 2=+所以当且仅当P D O ,,三点共线时，||PB PA +取得最小值，此时⊥OP 直线01243=-+y x ，AB OP ⊥因为圆心到直线的距离为51216912=+，21431=-=OD所以||+取得最小值为519215122=-）（12【答案】C 【解析】22212'()x f x x x x-=-+=，'(2)0f =，且当02x <<时，'()0f x <，函数递减，当2x >时，'()0f x >，函数递增，因此2x =是()f x 的极小值点，A 正确；()()g x f x x =-，221'()1g x x x =-+-2217()24x x-+=-，所以当0x >时，'()0g x <恒成立，即()g x 单调递减，又11()210g e e e=+->，2222()20g e e e =+-<，所以()g x 有零点且只有一个零点，B 正确；设2()2ln ()f x x h x x x x ==+，易知当2x >时，222ln 21112()x h x x x x x x x x=+<+<+=，对任意的正实数，显然当2x k >时，2k x <，即()f x k x<，()f x kx <，所以()f x kx >不成立，C 错误；作为选择题这时可得结论，选C ，下面对D 研究，画出函数草图可看出（0，2）的时候递减的更快，所以124x x +>13∵222a b c bc =+-，∴1cos 2A =，∴3A π=，又4bc =，∴ABC ∆的面积为1sin 2bc A =14.试题分析：由题意得()()512121a a +-=⇒=，因此该展开式中的常数项为223232552(1)2(1)40C C -+-=15.-216．答案 b ＜－2解析 由条件得，f (x )＝ 1x 3＋(b －4)x 2＋(4－4b )x ＋4b ]e x，则f ′(x )＝1x 3＋(b －1)x 2＋(－4－2b )x ＋4]e x ，易知f ′(2)＝0恒成立，满足题意．记g (x )＝x 3＋(b －1)x2＋(－4－2b )x ＋4，则g ′(x )＝3x 2＋2(b －1)x ＋(－4－2b )，又x ＝2是f (x )的一个极大值点，∴g ′(2)＜0，∴2b ＋4＜0，解得b ＜－2.17.解：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列. (6分)（2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=- ∴当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=----- 从而123111111111313...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-L .18.（1）由题意可知：X 的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a 由统计数据可知：1(0.9)6P X a ==，1(0.8)12P X a ==，1(0.7)12P X a ==，1()3P X a ==， 1( 1.1)4P X a ==，1( 1.3)12P X a ==所以X 的分布列为：所以11111111.9113050.90.80.7 1.1 1.39426121234121212a EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为3123112(1)()333P C =-+2027=②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为-5000,10000 所以Y 的分布列为：Y -5000 10000P1323所以500010000500033EY =-⨯+⨯=所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为10050EY ⨯=万元19．解：(1)证明：如图19-1ABCD EA 平面⊥ΘBD EA ⊥∴………1分5,4,3===AB BD AD ΘBD AD ⊥∴………2分而A AE AD 点=IADPE BD 面⊥∴PE BD ⊥∴………………3分 的中点分别为中在E P F G PEB ,,∆ΘGF PE //∴ GF BD ⊥∴GF BD ⊥同理F FH GF 点而=I GFH BD 面⊥∴………5分GH BD ⊥∴………6分(2)法1：如图19-2，设PD 的中点为Q ，连结BQ ，EQ ，CQ . 易知BC Q E BC Q E =且//所以C B Q E ,,,四点共面 ΘF ,H 分别为PB ，EB ，PC 的中点 AD FH //∴PEAD FH 面//∴………7分同理PEAD FG 面//又F FH FG 点=I ΘPEAD FGH 面面//∴…8分 二面角B EQ D --即为平面FGH 与平面EBC 所成的锐二面角 ……9分 BD AD ⊥Θ,PD AD ⊥,EQ AD //PDB EQ 平面⊥∴……10分 QD EQ ⊥∴且BQ EQ ⊥DQB ∠∴就是平面FGH 与平面EBC 所成锐二面角的一个平面角 …11分551642cos =+==∠∴BQ DQDQB ………12分 法2：如图19-3，设PD 的中点为Q ，连结BQ ，EQ ，CQ .作BQ DM ⊥于点M 易知BC Q E BC Q E =且//所以C B Q E ,,,四点共面 ………7分ABCD PD 平面⊥ΘBC PD ⊥∴又BD PD BD BC I Θ且⊥PBD BC 平面⊥∴………8分 BC DM ⊥∴EBC DM 平面⊥∴………9分 又由(1)知GFH BD 面⊥FGH EBC 和平面分别为平面,∴的法向量…10分 5224===∆，BQ ，DQ ，BD BDQ 中在554=⋅=∆BQ BD DQ ，DM BDQ 中在………11分设平面FGH 与平面EBC 所成锐二面角的大小为，则==∠=BDDMMDB cos cos θ55 ………12分 法3：如图19-4，PD ABCD ，BC EA //平面⊥ΘAD ，PD ⊥∴DB PD ⊥ ………1分又5,4,3===AB BD AD ΘBD AD ⊥∴………2分建立如右图所示坐标系,则)2,3,0((4,0,0),,(0,0,0)-E B D )1,23,2(-G )4,0,0(P ,)0,3,4(C ,)2,0,2(F ,)2,23,2(H)0,0,4(=)1,3,0(=)0,23,0(=)0,3,0(=,)2,3,4(--= ………4分(1) 0103004=⨯+⨯+⨯=⋅Θ ………5分GH BD ⊥∴………6分(2) 设EBC 平面的一个法向量为)1,,(y x =,则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00得⎩⎨⎧=+--=023403y x y ………7分 解得⎪⎩⎪⎨⎧==210x y )1,0,21(=∴ ………8分又00023004=⨯+⨯+⨯=⋅FH DB ΘFH BD ⊥∴而GH BD ⊥，FH H GH =I BD ∴⊥平面FGH ，BD u u u r为平面FGH 的一个法向量 ………10分5cos ,5544BD n BD n BD n⋅∴===⨯u u u r ru u u r r u u u r r ………11分 平面FGH 与平面EBC 所成锐二面角的余弦值为55………12分 20.（1）设(,)M p q ，(,)N p q --，00(,)T x y ，则22012220y q k k x p-=-又2222001161211612p q x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22220001612x p y q --+=， 即22022034y q x p -=-- 1234k k =- （2）设直线MN 与轴相交于点(,0)R r ，1|3|||2MNL M N S r y y ∆=-- 111115||2M N L M N S y y ∆=-g 由于115M N L MNL S S ∆∆=且11||||M N M N y y y y -=-，得11115||5|3|||22M N M N y y r y y -=--g g ，4r =（舍去）或2r = 即直线MN 经过点(2,0)F ，设1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)K x y①当直线MN 垂直于轴时，弦MN 中点为(2,0)F②当直线MN 与轴不垂直时，设MN 的方程为(2)y k x =-，则2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩2222(34)1616480k x k x k ⇒+-+-= 21221634k x x k +=+，2122164834k x x k -=+， 202834k x k =+，02634k y k-=+， 消去，整理得：220004(1)1(0)3y x y -+=≠ 综上所述，点K 的轨迹方程为224(1)1(0)3y x x -+=>.21．解 (1)f ′(x )＝f ′(1)e2x －2＋2x －2f (0)，∴f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，即f (0)＝1.又f (0)＝f ′12·e －2， ∴f ′(1)＝2e 2，∴f (x )＝e 2x ＋x 2－2x . (2)∵f (x )＝e 2x ＋x 2－2x ，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2＋(1－a )x ＋a ＝e x ＋14x 2－x －14x 2＋(1－a )x ＋a ＝e x －a (x －1)，∴g ′(x )＝e x －a .①当a ≤0时，g ′(x )＞0，函数g (x )在R 上单调递增；②当a ＞0时，由g ′(x )＝e x －a ＝0得x ＝ln a ，∴x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．综上，当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a ＞0时，函数g (x )的单调递增区间为(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln a )．(3)设p (x )＝e x－ln x (x ≥1)，q (x )＝e x －1＋a －ln x (x ≥1)， ∵p ′(x )＝－e x 2－1x＜0，∴p (x )在11，＋∞)上为减函数，又p (e)＝0， ∴当1≤x ≤e 时，p (x )≥0，当x ＞e 时，p (x )＜0.∵q ′(x )＝e x －1－1x ，(q ′(x ))′＝e x －1＋1x 2＞0， ∴q ′(x )在11，＋∞)上为增函数，又q ′(1)＝0，∴x ∈11，＋∞)时，q ′(x )≥0，∴q (x )在11，＋∞)上为增函数，∴q (x )≥q (1)＝a ＋1＞0.①当1≤x ≤e 时，|p (x )|－|q (x )|＝p (x )－q (x )＝e x－e x －1－a ， 设m (x )＝e x －e x －1－a ，则m ′(x )＝－e x 2－e x －1＜0， ∴m (x )在11，＋∞)上为减函数，∴m (x )≤m (1)＝e －1－a ，∵a ≥2，∴m (x )＜0，∴|p (x )|＜|q (x )|，∴e x比e x －1＋a 更靠近ln x . ②当x ＞e 时，|p (x )|－|q (x )|＝－p (x )－q (x )＝－e x＋2ln x －e x －1－a ＜2ln x －e x －1－a ， 设n (x )＝2ln x －e x －1－a ，则n ′(x )＝2x －e x －1，(n ′(x ))′＝－2x 2－e x －1＜0， ∴n ′(x )在x ＞e 时为减函数，∴n ′(x )＜n ′(e)＝2e－e e －1＜0， ∴n (x )在x ＞e 时为减函数，∴n (x )＜n (e)＝2－a －e e －1＜0，∴|p (x )|＜|q (x )|，∴e x比e x －1＋a 更靠近ln x . 综上：当a ≥2且x ≥1时，e x比e x －1＋a 更靠近ln x . 22.【试题解析】解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （为参数） 所以普通方程为4)4()3(22=++-y x . 2分 ∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ. 5分（2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为2|9sin 2cos 2|+-=θθd 7分ABM ∆的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S所以ABM ∆面积的最大值为229+ 10分23.【解析】（1）证明：由422a b a b +=+(0,0)a b >>得，242a b a b a b++=⋅，即2ab =，………… 2分24a b ∴+≥==，当且仅当22a b ==时取等号. ………… 5分（2）2222log ()log 21log log ab a b +===Q ，………… 6分2222222222log log 33311()()4log log log log log log log log b a a b a b a b a b∴+=+⋅+=++，………… 8分 (1)(1)0a b -->Q ,0101a b ∴<<<<或1,1a b >>，则2222log log 30,0log log b a a b >>2222log log 344log log b a a b ∴++≥+2231log log a b +的最小值为4+分。