2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科(带答案)

时等号成立）．
所以，△ABC 周长的最大值为
．
18. 解：（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事
件 M，
则
，
所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为 ．
（2）随机变量 X 的所有可能取值有 0，1，2，3．
因为
，
，
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，
，
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
．
19. 证明：（1）连结 AC，交 BD 于点 N，
∴N 为 AC 的中点，∴MN∥EC． ∵MN⊄平面 EFC，EC⊂平面 EFC， ∴MN∥平面 EFC． ∵BF，DE 都垂直底面 ABCD，∴BF∥DE． ∵BF=DE，∴BDEF 为平行四边形，∴BD∥EF． ∵BD⊄平面 EFC，EF⊂平面 EFC， ∴BD∥平面 EFC． 又∵MN∩BD=N，∴平面 BDM∥平面 EFC． 解：（2）由已知，DE⊥平面 ABCD，ABCD 是正方形． ∴DA，DC，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 D-xyz． 设 AB=2，则 DE=4，从而 B（2，2，0），M（1，0，2），A（2，0，0），E（0，0，4），
C. 400 千元
D. 440 千元
12. 已知函数 f（x）=2|x|-x2，g（x）= （其中 e 为自然对数的底数），若函数 h（x）
=f[g（x）]-k 有 4 个零点，则 k 的取值范围为（ ）
A. （-1，0）
B. （0，1）
C. （ - ，1） D. （0， - ）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
A. 2
B.
C.
D.
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6. 已知某公司生产的一种产品的质量 X（单位：克）服从正态分布 N（100，4）．现 从该产品的生产线上随机抽取 10000 件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有 （）
（附：若 X 服从 N（μ，σ2），则 P（μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜X＜μ ＋2σ）＝0.9544）
_____________．
16. 在四面体 ABCD 中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=90°，二面角 A-BD-C 的大小为
150°，则四面体 ABCD 外接球的半径为______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，（a-2b）cosC+ccosA=0．
2018 年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知 i 为虚数单位，则
=（ ）
A. 5
B. 5i
C.
D.
2. 已知等差数列{an}，若 a2＝10，a5＝1，则{an}的前 7 项和等于()
A. 112
B. 51
C. 28
∵
．
由 h'（1）=0 解得 a=1．
当 a=1 时，
，
∴当
时，h'（x）＞0；当 x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0．
∴当 a=1 时，h（x）在
上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而 h（x）≤h（1）
=0，符合题意． 所以，a=1．
22. （1）由曲线 C2：ρ-2cosθ=0，
得：ρ2-2ρcosθ=0． 因为 ρ2=x2+y2，ρcosθ=x， 所以 x2+y2-2x=0， 即：曲线 C2 的普通方程为（x-1）2+y2=1． （2）由（1）可知，圆 C2 的圆心为 C2（1，0），半径为 1． 设曲线 C1 上的动点 M（3cosθ，2sinθ）， 由动点 N 在圆 C2 上可得：|MN|min=|MC2|min-1．
∴f（x）在
和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）
上单调递减．
综上，当 a≤2 时，f（x）在
上单调递增；
当 a＞2 时，f（x）在
和
上单调递增，
在
上单调递减．
（Ⅱ）f（x）≤ax 恒成立等价于
，f（x）-ax≤0 恒成立．
令
，
则 f（x）≤ax 恒成立等价于
，h（x）≤0=h（1）（*）．
要满足（*）式，即 h（x）在 x=1 时取得最大值．
由
消去 y 得，
（1+2k2）x2+8k2x+8k2-2=0．
由 ＞0 得
，
从而
，
∴
．
∵点 F2（1，0）到直线 l 的距离为
，
∴△F2MN 的面积为
．
令 1+2k2=t，则 t∈[1，2），
∴
=
，
当即
时，S 有最大值，
，此时
．
所以，当直线 l 的斜率为 时，可使△F2MN 的面积最大，其最大值 ．
,则
()
A.
B.
C.
D.
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几
何体的表面积为（）
A.
B.
C.
D.
10. 已知直线 2x-y+1=0 与曲线 y=aex+x 相切（其中 e 为自然数的底数），则实数 a 的值
是（ ）
A.
B. 1
C. 2
D. e
11. 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2 千元/件、1 千元/件．甲、乙两种
（θ 为参数），在以 O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ-2cosθ=0． （1）求曲线 C2 的普通方程； （2）若曲线 C1 上有一动点 M，曲线 C2 上有一动点 N，求|MN|的最小值．
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23 已知函数 f（x）=|2x-1|． （1）解关于 x 的不等式 f（x）-f（x+1）≤1； （2）若关于 x 的不等式 f（x）＜m-f（x+1）的解集不是空集，求 m 的取值范围．
当且仅当（1-2x）（2x+1）≥0，即当
时等号成立，故 m＞2，
所以，m 的取值范围是（2，+∞）． 【解析】
1. 【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】
解：
=
．
故选：A．
2. 【分析】
本题考查等差数列的前 7 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是基础题．利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项 和公差，由此能求出{an}的前 7 项的和． 【解答】 解：∵等差数列{an}，a2=10，a5=1，
顶点，F1，F2 分别为左、右焦点的椭圆 E 恰好经过点
．
（1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设经过点(-2，0)的直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，求△F2MN 面积的最大值．
21. 已知
．
（1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）≤ax 恒成立，求 a 的值．
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线
13. 若平面向量 满足
，则 =______．
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14. 已知 m 是常数，
，
且
，则 m=______．
15. 抛物线 E：
的焦点为 F,准线 l 与 x 轴交于点 A,过抛物线 E 上一点 在第一
象限内 作 l 的垂线 PQ,垂足为 ，若四边形 AFPQ 的周长为 16,则点 P 的坐标为
①当 a＜0 时， ，且
．
如图，任意 成立， ∴f（x）在
，g（x）＞0 恒成立，即任意 上单调递增．
时，f'（x）＞0 恒
②当 a＞2 时， ，且
．
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如图，记 g（x）=0 的两根为
∴当
时，g（x）＞0；
当
时，g（x）＜0．
∴当
时，f'（x）＞0，
当 x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0．
A. 3413 件
B. 4772 件
C. 6826 件
D. 8185 件
7. 将函数 y=cosx-sinx 的图象先向右平移 φ（φ＞0）个单位，再将所得的图象上每个点
的横坐标变为原来的 a 倍，得到 y=cos2x+sin2x 的图象，则 φ，a 的可能取值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 已知数列 的前 n 项和为 ,若
即 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosC， ∴sin（A+C）=2sinBcosC， ∵A+C=π-B，∴sin（A+C）=sin（π-B）=sinB＞0，
∴sinB=2sinBcosC，从而
．
∵C∈（0，π），∴ ．
（2）由（1）和余弦定理得
，即 a2+b2-12=ab，
∴
，
即（a+b）2≤48（当且仅当
21. 解：（1）f（x）的定义域为
，
∵2x-1＞0，x2＞0． 令 g（x）=2x2-2ax+a，则
（1）若△≤0，即当 0≤a≤2 时，对任意
． ，g（x）≥0 恒成立，
即当
时，f'（x）≥0 恒成立（仅在孤立点处等号成立）．
∴f（x）在
上单调递增．
（2）若△＞0，即当 a＞2 或 a＜0 时，g（x）的对称轴为 ．
∴
，
设平面 BDM 的一个法向量为
，
由
得
．
令 x=2，则 y=-2，z=-1，从而
．
∵
，设 AE 与平面 BDM 所成的角为 θ，
则
，
所以，直线 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值为 ．
20. 解：（1）由已知可得，椭圆 E 的焦点在 x 轴上．
设椭圆 E 的标准方程为
，焦距为 2c，则 b=c，
19. 如图，在多面体 ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF⊥平面
ABCD，DE⊥平面 ABCD，BF=DE，点 M 为棱 AE 的中点． （1）求证：平面 BMD∥平面 EFC； （2）若 DE=2AB，求直线 AE 与平面 BDM 所成的角的正 弦值．
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20. 在平面直角坐标系中，圆 O 交 x 轴于点 F1，F2，交 y 轴于点 B1，B2．以 B1，B2 为
∵
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当
时，
，
∴
．
23. 解：（1）f（x）-f（x+1）≤1⇔|2x-1|-|2x+1|≤1
或
或
或
，
所以，原不等式的解集为
．
（2）由条件知，不等式|2x-1|+|2x+1|＜m 有解， 则 m＞（|2x-1|+|2x+1|）min 即可． 由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|≥|1-2x+2x+1|=2，
产品都需要在 A、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A 设备 2 小时，B 设备
Hale Waihona Puke 6 小时；生产一件乙产品需用 A 设备 3 小时，B 设备 1 小时．A、B 两种设备每月可
使用时间数分别为 480 小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每
月利润的最大值为（）
A. 320 千元
B. 360 千元
D. 18
3. 已知集合 M是函数
的定义域，集合 N 是函数 y=x2-4 的值域，则 M∩N=（ ）
A.
B.
C.
且 y≥-4}
D. ∅
4. 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y=-2x，则此双曲线的离心
率为（ ）
A. 5
B.
C.
D.
5. 执行如图程序框图，若输入的 等于 10，则输出的结果是（ ）
（1）求角 C；
（2）若
，求△ABC 的周长的最大值．
18. 2014 年 9 月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》．某地作为
高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科．每 个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、 地理六个科目中任选三个科目参加高考．物理、化学、生物为自然科 学科目，政 治、历史、地理为社会科学科目．假设某位考生选考这六个科目的可能性相等． （1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率； （2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于 自然科学科目．若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获 A 等的概率都是 0.8， 所选的自然科学科目考试的成绩获 A 等的概率都是 0.75，且所选考的各个科目考试 的成绩相互独立．用随机变量 X 表示他所选考的三个科目中考试成绩获 A 等的科目 数，求 X 的分布列和数学期望．
∴a2=b2+c2=2b2，∴椭圆 E 的标准方程为
．
又椭圆 E 过点
，∴
，解得 b2=1．
∴椭圆 E 的标准方程为
．
（2）由于点（-2，0）在椭圆 E 外，所以直线 l 的斜率存在．
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设直线 l 的斜率为 k，则直线 l：y=k（x+2）， 设 M（x1，y1），N（x2，y2）,
2018 年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）
答案和解析
【答案】
1. A
2. C
3. B
4. B
5. C
6. D
7. D
8. A
9. C
10. B 11. B 12. D
13. -1
14. 3
15. （4，4）
16.
17. 解：（1）根据正弦定理，由已知得：（sinA-2sinB）cosC+sinCcosA=0，