2018届高三数学每天一练半小时(77)独立重复试验与二项分布

训练目标

(1)对独立重复试验及二项分布正确判断，并能求出相关概率；(2)能解决简单的正态分布问题．

训练题型 (1)利用二项分布求概率；(2)利用正态曲线的性质求概率． 解题策略

(1)熟悉独立重复试验及二项分布的特征，理解并熟记二项分布的概率计算公式；(2)掌握正态曲线的性质，利用3σ原则解决正态分布下的概率问题.

1．(2017·天津调研)抛一枚均匀硬币，正反两面出现的概率都是1

2

，重复这样的投掷，数列{a n }的定义如下：

a n ＝1，第n 次投掷出现正面；a n ＝－1，第n 次投掷出现反面．若S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则事件“S 8

＝2”发生的概率是( ) A.1256

B.13128

C.12

D.732

2．(2016·重庆二诊)已知随机变量ξ～B (n ，p )，且其均值和方差分别为2.4和1.44，则参数n ，p 的值分别为( ) A ．n ＝4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3

D ．n ＝24，p ＝0.1

3．(2017·大连月考)甲、乙两人进行象棋比赛，比赛采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为2

3，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )

A.827

B.6481

C.49

D.89

4．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( ) A.73 B.53 C ．5

D ．3

5.(2016·广东中山一中等七校联考)已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi

·22

()2e

i i x μσ--(x ∈R ，i ＝

1,2,3)的图象如图所示，则( )

A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3

B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3

C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3

D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3

6．甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为2

3，且甲、乙两人能否通过面

试相互独立，则面试结束后通过人数ξ的均值E (ξ)的值为( ) A.43 B.119 C ．1

D.89

7．(2017·西安调研)下列随机变量X 服从二项分布的是( ) ①重复抛掷一枚骰子n 次，出现点数是3的倍数的次数X ；

②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数X ；

③一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回的抽取方法，X 表示n 次抽取中出现次品的件数(M

D ．①③

8．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫6，13，则P (X ＝2)等于( )

A.316

B.4243

C.13243

D.80243

二、填空题

9．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是65

81，则事件A 在每次

试验中出现的概率是________．

10．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：

①他第三次击中目标的概率为0.9； ②他恰好击中目标3次的概率为0.93

×0.1； ③他至少击中目标1次的概率为1－0.14. 其中正确结论的序号为________．

11．某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任

一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．

12．已知X～N(μ，σ2)，P(μ－σ

答案精析

1．D [事件S 8＝2表示反复抛掷8次硬币，其中出现正面的次数是5，其概率

P ＝C 58⎝ ⎛⎭⎪⎫

125·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12

3

＝732

.] 2．B [∵ξ～B (n ，p )，故⎩⎪⎨

⎪⎧

np ＝2.4，

np (1－p )＝1.44.

解得p ＝0.4，n ＝6.]

3．A [甲以3∶1的比分获胜，即前三局甲胜二局，第四局甲胜，所求的概率为

P ＝C 23⎝ ⎛⎭

⎪⎫

23

2

×13×23＝827

.故选A.] 4．A [因为ξ服从正态分布N (3,4)，

且P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，所以2a －3＋a ＋22＝3，解得a ＝7

3

.]

5．D [当σ一定时，曲线的位置由μ确定；当μ一定时，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”，结合图象知，故选D.]

6．A [由题意可知，ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，23，所以E (ξ)＝2×23＝43.]

7．D [①由于每抛掷一枚骰子出现点数是3的倍数的概率都是相等的，且相互独立，故X 服从二项分布；②对于某射手从开始射击到击中目标所需的射击次数X ，每次试验与前面各次试验的结果有关，故X 不服从二项分布；③由于采用有放回的抽取方法，所以每次抽取出现次品的概率都是相等的，且相互独立，故X 服从二项分布；④由于采用不放回的抽取方法，所以每次抽取出现次品的概率不相等，故X 不服从二项分布．故选D.]

8．D [已知X ～B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫6，13，P (X ＝k )＝C k n p k ·(1－p )n －k

，当X ＝2，n ＝6，p ＝13时，

有P (X ＝2)＝C 2

6×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－136－2＝C 26×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243

.]

9.1

3

解析 设事件A 在每次试验中出现的概率为p ，依题意1－(1－p )4

＝6581，

∴p ＝13.

10．①③

解析 在n 次独立重复试验中，每次事件发生的概率都相等，①正确；②中恰好击中3次需要看哪3次击中，所以正确的概率应为C 3

40.93

×0.1，②错误；利用对立事件，③正确． 11.827