1.1 函数的概念及其基本性质

第一章 函数

1.1 函数的概念及其基本性质（4课时）

教学要求：理解集合、区间、邻域及映射的概念，理解函数的概念，掌握函数的表示方法，了解函数的基本性质，理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图形，会建立简单应用问题中的函数关系式。

教学重点难点：重点是理解集合、映射及函数的概念；难点是理解反函数及隐函数的概念。

教学过程：

一、集合及其运算

1、集合概念

(1) 什么是集合? 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素.

(2) 集合的表示法

a 列举法：就是把集合的元素一一列举出来表示.由元素n a a a ,,21组成的集合A,可表示成 A={n a a a ,,21}

b 描述法：若集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成,就可表示成

}|{P x x M 具有性质=

(3) 集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性.

(4) 元素与集合,集合与集合之间的关系：属于、包含、子集、真子集、空集. ２、集合的运算

(1) 并集 {| }A B x x A x B ⋃=∈∈或；(2) 交集 {| }

A B x x A x B ⋂=∈∈且 (3) 差集 \{|

}A B x x A x B =∈∉但 (4) 全集与补集(或余集) 全集用I 表示，称A I \为A 的补集记作C A . 即 \{| }C A I A x x I x A ==∈∉但

集合的并、交、补满足下列法则：

(1) 交换律：A B B A ⋃=⋃，A B B A ⋂=⋂

(2) 结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂

(3) 分配律：)()()(C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃，

)()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂

(4) 对偶律：C C C B A B A ⋂=⋃)(，C C C B A B A ⋃=⋂)(

（5）幂等律：A A A ⋃=A A A ⋂=；（6）吸收律：A A ⋃Φ=A A ⋂Φ= 两个集合的直积或笛卡儿乘积 {(,)| }A B x y x A y B ⨯=∈∈　且

二、区间与邻域

1、映射与领域

区间：开区间 ),(b a 、闭区间 ],[b a 、半开半闭区间],(b a ，),[b a 、有限,无限区间. 邻域：)(a U 或}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U a ：邻域的中心,δ：邻域的半径 去心邻域： }||0|{),(δδ<-<=a x x a U

左δ邻域),(a a δ-、右δ邻域),(δ-a a .

2、映射概念

定义 设,A B 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对A 中的每一个元素x .按法则f ,在B 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作 f B →：A 或,f y x A →∈：x|

其中，并y 称为元素x 的像，记作)(x f ，即 )(x f y =,而x 称为元素y 的一个原像。 映射f 的定义域：f D A =，映射f 的值域：(){()|}f R f A f x x A ==∈

注意：1）构成映射的三个要素：集合A ；集合B ；对应法则f ；

2）每个x 有唯一的像；每个y 的原像不唯一；

几个特殊映射：

１) 满射：设f 是从集合A 到集合B 的映射，若f R B =，则称f 为A 到B 上的映射为满射；

２) 单射：若对A 中任意两个元素21x x ≠，它们的像)()(21x f x f ≠，则称f 为A 到B 的映射为单射；

３) 双射：若映射f 既是单射，又是满射，则称f 为一 一映射或双射；

４) 算子、泛函、变换、函数。

3、逆映射与复合映射

设f 是从集合A 到集合B 的单射，则对每个f R y ∈，有唯一的x A ∈，适合y x f =)(.于是，我们可定义一个从f R 到A 的新映射g ，即 f g R A →：

对每个f R y ∈，规定x y g =)(,这x 满足y x f =)(,这个映射g 称为映射f 的逆映射,记作1-f ，其定义域f f R D =-1，值域1f R A -=。

设的两个映射 1Y X g →：， Z Y f →2：

其中21Y Y ⊂，则由映射g 和f 可以定出一个从Ｘ到Ｚ的对应法则，它将每个X x ∈映成Z x g f ∈)]([，这个对应法则确定了一个从Ｘ到Ｚ的映射，这个映射称为映射g 和f 够成的复合映射，记作g f ，即 g f ：Z X →， )]([))((x g f x g f = ，X x ∈。

映射g 和f 够成的复合映射的条件是：f g D R ⊂，由此可知，g f 有意义并不表示f g 也有意义，即使g f 和f g 都有意义，也未必相同。

三、函数的概念

１、函数的概念：

定义：设数集R D ⊂，则称映射R D f →：为定义在D 上的函数，记为

D x x f y ∈=　)(

相关概念：自变量、因变量、定义域、函数值、函数关系、值域、记号f 与()f x 。 函数关系的两个要素：定义域、对应法则。

函数定义域：自然定义域，实际问题定义域。单值函数、多值函数、单值分支。 例1 求函数.设)(x f ＝2x 2－3 , 求)0(f ；)2(f ；)1(-f ；)(0x f ；⎪⎭

⎫

⎝⎛a f 1 例2设)3(+x f =

2

1++x x , 求)(x f ． 例3

求函数y =的定义域. 例4 1) 常数函数 ｙ＝２； 2) 绝对值函数 ｙ＝|x |

3) 符号函数 10sgn 0

010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩

4) 取整函数 []x y = （阶梯曲线） 5) 分段函数

0111x y x x ⎧≤≤⎪=⎨

+>⎪⎩ 四、复合函数和反函数

定义：设函数)(D f D f →：是单射，则有逆映射D D f f →-)(1：，称此映射1-f 为