江苏省黄桥中学2020届高考数学模拟试卷 含答案

江苏省黄桥中学2020届高考模拟卷1一、填空题（请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A={1，4}，B={a-5，7}．若{}4A B =I ，则实数a 的值是________． 2．已知i 是虚数单位．若()3,i a bi a b R =+∈，则a+b 的值为________． 3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________． 4．函数26y xx =--的定义域是________．5．已知一个算法的流程图如图，则输出的结果S 的值是________．6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．7．已知双曲线()222102x y a a -=>的离心率为3a ，则该双曲线的渐近线为________．8．如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F-ADE 的体积为V 1，三棱柱111A B C ABC -的体积为V 2，则12V :V =________．9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若284a a +=，227332a a -=，则10S =________． 10．将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后，恰好得到函数的y=-sin2x的图象，则ϕ的最小值为________．11．已知函数()22,211,22x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的不等式()()1f x f x -<-的解集为________．12．如图，在△ABC 中，12AD AB =u u u r u u u r ，13AE AC =u u u r u u u r，CD 与BE 交于点P ，AB=2，AC=4，2AP BC ⋅=u u u r u u u r ，则AB AC ⋅u u u r u u u r的值为________．13．圆22640x y x y ++-=与曲线243x y x +=+相交于A ，B ，C ，D 点四点，O 为坐标原点，则OA OB OC OD +++=u u u r u u u r u u u r u u u r________．14．在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC ，则sin 2A+sin 2B 的最大值为________． 二、解答题（请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知向量3sin ,4a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b x =-r．（1）当a b r r P 时，求tan 2x 的值；（2）设函数()()2f x a b b =+⋅r r r ，且0,2πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()f x 的最大值以及对应的x 的值．16．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，1AA BC =，D ，E 分别是AC ，A 1B 的中点． （1）求证：DE P 平面BCC 1B 1；（2）若AB DE ⊥，求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ．17．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设OAB θ∠=，五个正方形的面积和为S ．（1）求面积S 关于θ的函数表达式，并求定义域； （2）求面积S 最小值及此时tan θ的值．18．已知圆O ：()2220x y r r +=>与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于点M （0，1），N（0，-1），且椭圆的离心率为22． （1）求r 值和椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点．①若23MB MA =u u u r u u u r，求直线l的方程；②设直线NA 的斜率为k 1，直线NB 的斜率为k 2，问：21k k 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．19．在等比数列{}n a 中，已知11a =，418a =．设数列{}n b 的前n 项和n S ，且11b =-，()*112,2n n n a b S n n -+=-∈N ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意*n ∈N ，都有n n n S c a ≤≤？若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由． 20．已知函数()()()1ln f x x x ax a R =++∈（1）若()y f x =在点（1，f （1））处的切线方程为x+y+b=0，求实数a ，b 的值；（2）证明：当a<-2时，()y f x =在()0,+∞上有两个极值点； （3）设()()1xg x f x xe =，若()g x 在[1，e]上是单调减函数（e 为自然对数的底数），求实数a 的取值范围．江苏省黄桥中学2020届高考模拟卷1（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10102N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，且()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ． B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cossin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0πα<≤），圆C 的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），若直线l 与圆C 恰好相切，求α的正切值．【必做题】第22题、第23题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求： （1）目标被击中的概率；（2）X 的概率分布；（3）均值方差V(X)． 23．在平面直角坐标系xOy 中，C （1，2）在抛物线y 2=2px 上． （1）求p 的值；（1）设动直线l 交抛物线于A ，B 两点（异于点C ），且满足CA ⊥CB ，试求点C 到直 线l 距离的最大值．高考模拟1参考答案1．9 2．-1 3．0.08 4．(][),23,-∞-+∞U 5．11 6．567．y =8．124 9．30 10．3π 11．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 12．2 13． 14．8515．解：（1）因为a b r rP ， 所以3sin cos 04x x --=，因为cos 0x ≠（否则与3sin cos 04x x --=矛盾），所以3tan 4x =-，所以22322tan 244tan 21tan 7314x x x ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）()()2f x a b b =+⋅r r r212sin cos 2cos 2x x x =++ 33sin 2cos 22sin 2242πx x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 因为02πx <<，所以52444πππx <+<， 所以当242ππx +=，即8πx =时，函数()f x 的最大值为322+．16．证明：（1）连接AB 1，B 1G ，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，且AA 1=BB 1， 所以四边形ABB 1A 1是平行四边形．因为E 是A 1B 的中点，所以E 也是AB 1的中点， 又因为D 是AC 的中点，所以DE//B 1C ．又DE ⊄平面BCC 1B 1，1B C ⊂平面BCC 1B 1，所以DE//平面BCC 1B 1．（2）由(1)知DE//B 1C ，因为AB ⊥DE ，所以AB ⊥B 1C ．在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1=BB 1，四边形BCC 1B 1是平行四边形， 因为AA 1=BC ，所以BB 1=BC ，所以平行四边形BCC 1B 1是菱形，所以BC 1⊥B 1C ． 又因为AB ⊥B 1C ，AB ∩BC 1=B ，AB ，1BC ⊂平面ABC 1， 所以B 1G ⊥平面ABC 1．又因为1B C ⊂平面BCC 1B 1，所以平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1． 17．【解析】(1)过点O 分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E ，F ， 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合， 所以点E ，F 分别为小正方形和大正方形边的中点，所以小正方形的边长为1sin 2sin 2θθ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，大正方形的边长为1cos sin 2cos 2sin 2θθθθ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭，所以五个正方形的面积和为()224sin cos 2sin S θθθ=+-， 228sin cos 4sin cos θθθθ=+-，因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以sin cos 2sin θθθ<-，1tan 3θ<，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以θ的取值范围为()00,θ，01tan 3θ=，答：面积S 关于θ的函数表达式为228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-，θ的取值范围为()00,θ，01tan 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）法一：228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-，1cos21cos282sin 22θθθ-+=+-，972sin 2cos 222θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()96522θϕ=+，其中7tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以min 965S -=，此时()sin 21θϕ+=，因为()00,θθ∈，所以 0302222ππθϕθ<+<+<，所以22πθϕ+=，所以14tan 2tan 2tan 7πθϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则22tan 4tan 21tan 7θθθ==-，化简得：22tan 7tan 20θθ+-=， 由此解得：765tan θ-±=， 因为10tan 3θ<<，所以765tan θ-+=答：面积S 965-， 法二：228sin cos 4sin cos S θθθθ=+-，2222228sin cos 4sin cos 8tan 4tan 1sin cos tan 1θθθθθθθθθ+--+==++， 令tan t θ=，则228411t t S t -+=+， 设()228411t t f t t -+=+，10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()()()222227201t t f t t+-'==+，得：13t =<，所以t =答：面积S ． 18．解：（1）因为圆O ：222x y r +=与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于点M （0，1），所以1b r ==．又离心率为c e a ==，222a b c =+，所以a = 所以椭圆C ：2212x y +=．（2）①因为过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，所以设直线l 的方程为()10y kx k =+≠，由22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222140k x kx ++=， 所以222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 同理2211y kx x y =+⎧⎨+=⎩得到()22120k x kx ++=， 所以22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭因为23MB MA =u u u r u u u r ，则224223211k k k k --⨯=⨯++，又0k ≠，所以k =，即直线l的方程为1y =+． ②根据①222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 2212111121A N NAA N k y y k k k k x x k k -++-+====---+， 22222111214221B N NBB N k y y k k k k x x k k -++-+====---+，所以2112k k =为定值． 19．【答案】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为11a =，418a =，所以318q =，解得12q =，所以数列{}n a 的通项公式为：112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）由（1）得，当2n ≥，*n ∈N 时，111122n n n b S --⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ①所以，11122nn n b S +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ②②-①得，11122nn n b b +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，1111122n nnn b b +--=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即111n n n nb ba a ++-=，2n ≥， *n ∈N . 因为11b =-，由①得，20b =， 所以()2121011b b a a -=--=， 所以111n n n nb ba a ++-=，*n ∈N ，所以数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-1为首项，1为公差的等差数列；（3）由（2）得2n n b n a =-，所以122n n n b --=， ()1111122222n n n n n n n n S a b ++--⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭，假设存在等差数列{}n c ，其通项n c dn c =+， 使得对任意*n ∈N ，都有n n n S c a ≤≤，即对任意*n ∈N ，都有11122n n n dn c ---+≤≤，③ 首先证明满足③的0d =，若不然，0d ≠，则0d >，若0d <，（i ）若0d >，则当1cn d->，*n ∈N 时，1112n n n c dn c a -=+>=≥，这与n n c a ≤矛盾；（ii ）若0d <，则当1cn d+>-，*n ∈N 时，1n c dn c =+<-， 而11110222n n n n n n n n S S +-+--=-+=≥，123S S S =<<……， 所以11n S S =-≥，故1n n c dn c S =+<-≤，这与n n S c ≤矛盾， 所以0d =，再次证明0c =，在证明0c =之前，先证明下面一个结论： 当7x ≥时，()()1ln 22ln 0f x x x =-->， 因为()11ln 2ln 207f x x '=->->， 所以()f x 在[)7,+∞上单调递增，所以，当7x ≥时，()()7f x f ≥646ln 22ln7ln049=-=>， 所以当7n ≥，*n ∈N 时，122n n ->，（i ）若0c <时，则当7n ≥，1n c >-，*n ∈N ，112n n n S c n-=->->，这与③矛盾，（ii ）若0c >时，同（i ）可得矛盾，所以0c =， 当0n c =时，因为1102n n n S --=≤，1102n n a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以对任意*n ∈N ，都有n n n S c a ≤≤，所以0n c =，*n ∈N ， 综上，存在唯一的等差数列{}n c ，其通项公式为0n c =，*n ∈N 满足题设． 20．【解析】（1）()1ln x f x x a x+'=++． 因为切线的斜率为-1，所以()121f a '=+=-，解得3a =-． 因为()1f =()11ln113a a ++⨯==-，所以切点为()1,3-，代入0x y b ++=解得2b =． （2）令()()1ln x f x x a F x x+'=++=， 则()22111x F x x x x-'=-=， 所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因为2a <-，所以()()min 120F x F a ==+<．所以()F x 在()1,+∞上有一个零点1x ，令()()1e 22x G a a a -=-+<-， 则()2e 0x G a -'=-<，所以()G a 在(),2-∞-单调递减，()()22e 30G a G >-=->， 所以()e 1e 20x x F a -=++>，()F x 在()0,1上有一个零点2x ．列表如下：即()y f x =在()0,+∞上有两个极值点．（3）()()111|1ln |1ln e e x xg x x x ax x a x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭． 令()11ln h x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()22ln 1x x h x x x +'=-+=2ln 1x x x -+． 令()ln 1x x x ϕ=-+，则()110x xϕ'=-≥， ()x ϕ在[]1,e 上单调递增，()()10x ϕϕ>≥，所以()0h x '>，()h x 在[]1,e 上单调递增，()e 1,e h x a a +⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦． ①若0a ≥，()0h x ≥，()11ln e xx a x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=， ()22111ln 1ln ex x x x a x x x g x +⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭'=令()()221ln 1u x x x x ax x =-++-++，则()()()112ln 21u x x x a x x'=-+--+0<， 即()u x 在[]1,e 上单调递减，所以()()min 1202u x u a a ==-+⇒≤≥．②若e 1e a +-≤，()0h x ≤由①知()()2221ln 10e x x x x ax x g x x +++--'=≤， 当e 1ea +-≤，[]1,e x ∈时， 22211111e ax x x x x x ⎛⎫-+++++>++ ⎪⎝⎭≥()21ln x x x ++≥， 所以()221ln 10x x x ax x +++--<即()0g x '<，满足题设．③若e 10ea +-<<，()y h x =存在唯一确定的()01,e x ∈，使()00g x =，当()10,e x x ∈时，()10g x >，即存在0x ，[]11,e x ∈，01x x <．当()()01g x g x <，这与()g x 在[]1,e 上单调递减矛盾，不合题意． 综上所述，[)e 1,2,e a +⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U ． 21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]【答案】解：由()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，得40102MN ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 因为10102N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，所以11002N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 所以4010401020102M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：由题意知，圆C的普通方程为(222x y ++=， 当直线l 的斜率不存在，即2πα=时，易知直线l的方程为x =， 显然不符合题意，故直线l 的斜率存在．依题意知直线l 的斜率tan k α=，其方程为(y k x =，即)10kx y k --=，则圆心()C 到直线l 的距离d == 解得0k =或43k =，故tan 0α=或4tan 3α=． 【必做题】第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（1）由题意可得：目标没有被击中的概率为：311464⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以目标被击中的概率为：16316464-=． （2）X 可能取的值为：1，2，3．所以()314P X ==， ()13324416P X ==⨯=， ()87256V x = ()11134416P X ==⨯=， 所以X 的分布列为：（3）由（2）可得：均值 ()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=． 23．【答案】解：（1）将（1，2）代入y 2=2px 得，p=2．（2）由（1）得，y 2=4x ，设()2,2A a a ，()2,2B b b ， 所以()21,22CA a a =--u u u r ，()21,22CB b b =--u u u r ， 因为CA ⊥CB ，所以0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，即()()()()22114110a b a b --+--=，由题意得a ≠l ，b ≠l ，所以51a b a +=-+， 直线l 的方程为()222y a x a b a -=-+，将51a b a +=-+代入， 得()()22215210a x a y a a +--=+，所以()()222110105210a x a a y a +--=-+-， 即()()()()221552a x a y +-=-+，所以动直线l 恒过点M （5，-2），易知当l ⊥MC 时，点C 到直线l 的距离最大，最大值为MC。