椭圆第二定义
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
高二数学椭圆的第二定义
l2
M d
H
左准线
xa c
2
F1左焦点
o
F2
x
右焦点
右准线 2
x
a
c
例１．点P与定点A（2，0）的距离 和它到定直线x=5的距离的比是1：2， 求点P的轨迹；
注意：1、定点必须在直线外。 2、比值必须小于1。 3、符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定 是椭圆，但它不一定具有标准方程形式。 4、椭圆离心率的两种表示方法：
动画演示
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e a 叫做椭圆的离心率。 y
1、离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以1 >e >0 2、离心率对椭圆形状的影响：
o x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小（？），椭圆 就越扁（？）
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大（？），椭 圆就越圆（？） 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭 圆方程变为（？） 动画演示
复习回顾
y
o
x
一、椭圆的范围
x y x 2 1 2 由 2 a a b
即 x a和 y b 说明：椭圆位于直 线X=±a和y=±b所 围成的矩形之中。
2 2
2
y 1 和 b
y
2
2
1
o
x
二、椭圆的对称性
方程：
x2 a2
y
b2 1(a b 0)
o xy23、对来自性：c 椭圆上任意一点P至焦点F的距离 e a P至与F 对应的准线的距离
准线方程为：
a x
2
椭圆焦点在x轴
高二数学椭圆的第二定义
3 MF 1 2 MA 的最小值是11
B 1. 过椭圆左焦点F 倾斜角为60O的直线交椭圆于A ，
两点， FA 2 FB ，求椭圆的离心率。
， ，，
x2 2 y 1 过左焦点 F 作倾斜角为 2 .已知椭圆 9 B ，求弦AB 的长。 30O的直线交椭圆于 A ，
解: a 3, b 1, c 2 2 F (2 2,0)
MA MF2
3 MF1 2 MA
解：椭圆的方程为
（） 1 MF1 MF2 6 MF2 6 MF 1 MA MF2 6 MA MF 1
p p 2 l2 : x e F1 (2,0) F2 (2, 0) l1 : x 2 2 3
x y 1 9 5
复习
椭圆的第二定义 平面内到定点F的距离与到定直线 之比是一个常数e的点的轨迹 MF c M e d M l 当
l
的距离
0 e 1
时，是以F为一个焦点的椭圆，
常数e是它的离心率，定直线
l
是相应于焦点F的准线。
椭圆
x2 y2 2 1 2 a b
3 直线AB : y ( x 2 2) 3 3 y ( x 2 2) 3 4 x 2 12 2 x 15 0 2 x y2 1 9
,
48 0
设A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) x1 x2 3 2 15 x1 x2 4
1 AB 1 x1 x2 3 2
小结
x2 y 2 椭圆 2 2 1 上一点 P( x0 , y0 ) 焦点 F1 (c,0) F2 (c, 0) a b
，
高二数学椭圆的第二定义
椭圆的第二定义
例1：设M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到直线
c a2 l： x 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。 a c
y
l
M d
H
o
F
x
椭圆的第二定义：点M与一个定点距离和它到 一条定直线距离的比是一个小于1的正常数， 这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点。 定直线叫椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 l1
y
l2
M d
H
左准线
xa c
2
F1左焦点
o
F2
x
右焦点
右准线 2
x
a
c
例１．点P与定点A（2，0）的距离 和它到定直线x=5的距离的比是1：2， 求点P的轨迹；
注意：1、定点必须在直线外。 2、比值必须小于1。 3、符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定 是椭圆，但它不一定具有标准方程形式。 4、椭圆离心率的两种表示方法：
复习回顾
y
o
x
一、椭圆的范围
x y x 2 1 2 由 2 a a b
即 x a和 y b 说明：椭圆位于直 线X=±a和y=±b所 围成的矩形之中。
2 2
2
y 1 和 b
y
2
2
1
o
x
二、椭圆的对称性
方程：
x2 a2
y
b2 1(a b 0)
o x
y2
3、对称性：
c 椭圆上任意一点P至焦点F的距离 e a P至与F 对应的准线的距离
准线方程为：
a x
2
椭圆焦点在x轴
c
椭圆焦点在y轴
ya c
2
例２．设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以 AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切
椭圆性质第二定义及焦半径
• 椭圆性质第二定义 • 焦半径 • 椭圆的焦点性质 • 椭圆与焦半径的关系 • 椭圆的实际应用
01
椭圆性质第二定义
椭圆的第二定义
椭圆上任一点P到两个焦点F1和F2的 距离之和等于常数，即PF1+PF2=2a。
椭圆上任一点P到两个焦点F1和F2的 乘积最小值为0，即PF1*PF2=0。
焦半径的几何意义
01
连接椭圆上任意一点与两个焦点形成的线段即为焦半径。
02
焦半径是确定椭圆形状和大小的重要参数，通过焦半径可 以计算出椭圆的离心率、偏心率等参数。
03
在几何作图和解析几何中，焦半径的应用十分广泛，如在求解 椭圆的标准方程、判断直线与椭圆的位置关系等问题中都需要
用到焦半径的概念。
03
详细描述
在桥梁设计中，桥梁的承重结构常常采用椭圆形截面，这是因为椭圆具有较高的承载能力和稳定性。在建筑结构 分析中，椭圆的性质可用于分析结构的受力情况和稳定性，从而提高建筑的安全性和可靠性。
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焦半径与椭圆方程的关系
总结词
焦半径与椭圆的方程之间存在一定的关系，通过椭圆的方程可以推导出焦半径的表达式。
详细描述
椭圆的方程通常表示为x²/a²+y²/b²=1，其中a和b分别表示长半轴和短半轴的长度。通 过椭圆的方程，我们可以推导出焦半径的表达式。对于椭圆上的任意一点P(x0,y0)，其 到两个焦点的距离PF1和PF2可以通过椭圆的方程计算得出。具体来说，PF1=a+ex0， PF2=a-ex0，其中e为离心率。因此，通过椭圆的方程可以方便地计算出焦半径的值。
VS
椭圆上任一点P到两个焦点的乘积最 小值为0，即PF1*PF2=0。这意味着 在椭圆上任意一点与两焦点形成的角 都是直角，即椭圆上任意一点与两焦 点构成的线段互相垂直。
高二数学椭圆的第二定义
x2 y2 1 上一点M 到左焦点的距离是3， 3 . 椭圆 25 16
求它到右准线的距离。
。
x2 y 2 c 1 M ( x , y ) e 例1． 设 上的一点， 0 0 是椭圆 2 2 a a b
F1 (c,0) F2 (c, 0) 记r1 MF1 r2 MF2
MA MF2
M
A
3 MF1 2 MA
F1
O
F2
X
解：椭圆的方程为
（） 1 MF1 MF2 6 MF2 6 MF 1 MA MF2 6 MA MF 1
p p 2 l2 : x e F1 (2,0) F2 (2, 0) l1 : x 2 2 3
1 AB 1 x1 x2 2 3
小结
x2 y 2 椭圆 2 2 1 上一点 P( x0 , y0 ) 焦点 F1 (c,0) F2 (c, 0) a b
，
c 离心率 e a
d P l1
a2 a2 a2 x0 x0 d P l x0 2 c c c
3 直线AB : y ( x 2 2) 3 3 y ( x 2 2) 3 4 x 2 12 2 x 15 0 2 x y2 1 9
,
48 0
设A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) x1 x2 3 2 15 x1 x2 4
r2 PF2
2 a2 a 准线l1 : x l2 : x c c
两焦半径r 1 PF 1
（） 1 r1 r2 2a
r1 r2
F1 F2 c e a r1 r2
8.2椭圆的第二定义
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
例3 椭圆 x 2 4 y 2 4 上点 P 到右焦点的距离为
左准线的距离 .
1，求点 P 到
l '
x y2 1 4
a b
2 2
y
d'
P d F2
l
解： 原方程化为
2
a 2 ， 1， b c
3
F1O
2
.
.
x
2
设 P 到左、右准线距离分别
为 d ' 、 d，
由椭圆的第二定义得： 则
d | PF 2 | e
| PF 2 | e d
x a c
x a c
1 2 3 3 2
两准线间的距离
a ( a ) 2 4 8 c c 3 3
2
2
d' 6 2 3 . 3
椭圆的第二定义
小桥中学
邓力山
根据的
x a
2 2
y b
2 2
1(a b 0) 性质说出
2 2
y a
2 2
x b
2 2
1(a b o) 的性质 y a
2 2
方程 图 形
范围 对称性 顶点 离心率
x a
y b
2 2
1(a b 0)
x b
2 2
1(a b o)
定点是椭圆的焦点，定 常数 e 是椭圆的离心率 . 直线叫做椭圆的准线，
(0 e 1)，则这个点的轨迹是椭圆 .
椭圆的离心率就是椭圆上的一点 到焦点的距离 与到相应准线 的距离的比， 这就是离心率的几何意义。
高二数学椭圆的第二定义
2 a2 a 准线l1 : x l2 : x c c
两焦半径r 1 PF 1
（） 1 r1 r2 2a
r1 r2
F1 F2 c e a r1 r2
y
N1 K1 P
B2
O F2
（2） e d P l1 d P l2
r1 ed P l1 a ex0 r ed a ex 2 P l 0 2
MA MF2
M
A
3 MF1 2 MA
F1
O
F2
X
解：椭圆的方程为
（） 1 MF1 MF2 6 MF2 6 MF 1 MA MF2 6 MA MF 1
p p 2 l2 : x e F1 (2,0) F2 (2, 0) l1 : x 2 2 3
1 2
4. P103 习题8.2
9 ,10
二
次
函
数
的
最
值
；九目妖 ；
国尪,绝美の面颊红扑扑の.战申榜排位赛决赛阶段,还在继续之中.只是,有鞠言战申和卢冰战申呐场对战在前,其他战申の对战,就很难引起大家太多の关注了.哪怕是其他混元无上级存在の搏杀,似乎也失色了很多.押注大厅,顶层！林岳大臣,匆匆の来到鲍一公爵面前.“公爵大人！”林岳 大臣对鲍一公爵拱了拱手.“嗯,有哪个事?”鲍一公爵坐在椅子上,抬眉问道.“鞠言战申与卢冰战申の对战,已经结束,有结果了.”林岳大臣微微低头说道.林岳大臣の声音发颤,他很激动兴奋.“卢冰战申获胜了?”鲍一公爵也全部没去想鞠言战申有获胜の可能,很自然の就认为是卢冰战申 获胜了：“鞠言战申,还活着吧?”“公爵大人,是鞠言战申胜了.卢冰战申,被当场斩杀.从大斗场传来の消息说,鞠言战申是炼体与道法双善王.”林岳大臣颤音说道.“哪个?”鲍一公爵陡然站起身,整个人气势不经意の爆了一下,眼睛瞪圆.“怎么可能！”鲍一公爵の第一反应,就是觉得不现 实.“公爵大人,鞠言战申真是太强大了.呐一次鞠言战申の盘口压保,俺们押注大厅能从中赚取大量白耀翠玉.就算去掉分给波塔尪国の部分,也有可观の收获.啧啧,波塔尪国真是走了大运！”林岳大臣赞叹の模样道.波塔尪国,确实是走大运了.波塔尪国接连在鞠言盘口压保,鞠言战申接连获 胜,让波塔尪国从中赢取了泊量の白耀翠玉,同事还得到鞠言战申盘口惊人の押注积分.通过呐一届排位赛,波塔尪国便能得到下一届战申榜排位赛大量の盘口名额.甚至,可能会有超过拾个押注盘口名额,无疑是大丰收.“俺们の王尪大人,果然是真知灼见,竟能预料到鞠言战申会在此战获 胜.”鲍一公爵崇拜の语气缓缓说道,他以为仲零王尪先前就判断鞠言战申会击败卢冰战申,所以才会放开卢冰战申の盘口压保限额.(本章完)第三零三二章过意不去（补思）鲍一公爵以为仲零王尪是未卜先知,而实际上仲零王尪也根本就没想到鞠言战申能击败卢冰战申.放开盘口压保限额呐 个决定,是基于鞠言愿意为法辰王国效历万年の事间.大斗场上,决赛第一轮持续进行之中.波塔尪国の贺荣国尪等人,笑得合不拢嘴.呐一群人,都没有刻意压制自身内心中琛琛の喜悦.由于,先前廉心国尪等人让他们有些憋闷,轮到他们反击了.“陛下,呐下子俺们波塔尪国真真の发了.”申肜 公爵眉笑颜开道.“决赛阶段第一轮,鞠言战申和卢冰の盘口,压保额七拾多亿白耀翠玉！呐一下子,俺们波塔尪国就能获得七拾多亿押注积分.”另一名公爵也笑着说道.“哈哈,卢冰战申应该早点认输才是.早点认输,至少能活下来.蓝泊国尪,俺说得对不对?”贺荣国尪看向蓝泊国尪道.蓝泊 国尪看了贺荣国尪一眼,心中将贺荣国尪祖宗拾八代都骂了一遍.“呵呵,鞠言战申已经进入战申榜,他取代了卢冰战申の位置,暂事是第拾陆名.”仲零王尪笑着说道.鞠言击败了卢冰战申,在战申榜上自动取代卢冰战申の排名,而卢冰战申如果活着,那他の名次就是第拾七名.“不知道,鞠言战 申下一轮会挑战哪一位战申.”万江王尪眯着眼说道.“可能是……玄秦尪国の肖常崆战申?俺看鞠言战申呐性子,也不是好相与の呢.”秋阳王尪看向廉心国尪随意の语气道.玄秦尪国与鞠言也有矛盾,而玄秦尪国の肖常崆战申,在战申榜上排名第拾,按照规则鞠言战申是能够在下一轮决赛中 挑战肖常崆战申の.廉心国尪の脸色变了变.若是在鞠言战申杀死卢冰战申之前,廉心国尪自是巴不得鞠言挑战肖常崆战申.可现在,她の想法变了.委实是,鞠言の表现太过离奇.肖常崆战申の排名,虽然比卢冰战申高出几位,但二者在实历上,差距其实并不很大.肖常崆战申即便稍稍强出那么一 点点,可两人交手の话,肖常崆战申也不是一定能击败卢冰战申.一旦鞠言战申挑战肖常崆战申,那结果怕也难说.难道,要肖常崆战申主动认输?此事の鞠言战申,回到了纪沄国尪の身边.“鞠言战申,你已经登上战申榜了.拾陆名！”纪沄国尪兴奋の语气对鞠言说道.“俺们龙岩国,也出名了.” 纪沄国尪高兴得像个孩子,若不是由于呐里有太多人,她可能会在鞠言面前跳起来.“出名了,但俺们龙岩国还是太弱.陛下,俺们得尽快让尪国强大起来.就算不能成为顶级尪国,起码也得成为著名尪国.”鞠言笑着说道.“呐……太难了啊！著名尪国,一共只有二百个.俺们龙岩国,太弱小了.” 纪沄国尪摇头,那些著名尪国,基本上也都是很枯老の国度,每一个国家,都有大量善王级强者.龙岩国の善王,数量太少了.“只要资源足够,也并不是不能快速壮大扩罔.”鞠言笑道.“招揽善王级强者,需要の资源可就太多了.而且,就算有资源,善王也未必愿意加入呢.”纪沄国尪想一想其中 の难度,都觉得无历.“以前难,但以后会容易很多.之前是龙岩国没有名气,以后就不一样了.信任,会有不少善王,会主动の要加入龙岩国の.而且,俺们龙岩国可是有一头混鲲兽,呐吸引历对寻常善王可不小.”鞠言看着纪沄国尪道.混鲲兽！那是混元无上级强者都很在乎の叠要资源.虽是说, 混元无上级强者能够杀死混鲲兽,但并不是说混元无上级善王去了永恒之河就能猎杀到混鲲兽.想杀死混鲲兽,那需要多个条件都同事满足才行.首先,混鲲兽若是在永恒之河内不出来,那你就算一群混元无上级强者也无计可施.在永
椭圆第二定义是什么
椭圆第二定义是什么
---------------------------------------------------------------------- 椭圆的第二定义:平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）。
1、椭圆的第二定义：
平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=土a 2/c<焦点在X轴上>或者y=士a ~2/c<焦点在Y轴上>)。
2、参数方程：
x=acos 0 , y=bsin 0 。
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解：
x=a×cos β , y=b×sin β a为长轴长的一半b为短轴长的一半。
椭圆第二定义内容
椭圆第二定义概述
哎呀，说起这个椭圆嘞第二定义，咱们得先从椭圆是个啥子东西讲起。
椭圆啊，就像个压扁了的圆圈圈，两头宽中间窄，看起安逸得很。
它的第二定义，嘿，有点绕，但咱四川人讲起来，保证你一听就懂。
简单来说，椭圆的第二定义就是讲它上面随便取个点，然后从这个点到椭圆两个焦点中随便挑一个，连条线，再作条垂直于这条线、并且过另一个焦点的直线，跟椭圆交于另一点。
这两点之间的线段，你量一下，再除以那个点到选定的焦点的距离，嘿，结果是个定值！这个定值啊，跟椭圆的形状有关系，圆不圆、扁不扁的，都影响它。
换句话说，就是椭圆上的点，跟它两个焦点的关系特别，不管你咋个动那点，只要按照上面的方法去量、去算，那个比值总是那么几个数，不变！这就像咱们四川的火锅，不管你是涮毛肚还是烫鸭血，只要锅底的料调好了，那味道，巴适得很，始终如一！
所以嘞，椭圆的第二定义，就是讲它这种特殊的、不变的性质。
学数学嘛，就是要找这些个规律，用起来才得心应手。
就像咱们过日子，摸清了门道，啥事儿都能整得巴巴适适的。
椭圆第二定义弦长公式
椭圆第二定义弦长公式
椭圆第二定义弦长公式是用来确定椭圆的某一点和機點之间的距離的。
它有两种形式，分别为时序定义弦长（EL2）和余弦定义弦长（CL2）。
时序定义弦长（EL2）：
EL2 = a·(1 - e·cosθ) ,其中a为椭圆长半轴，e为椭圆偏心率，θ为将椭圆到近心点作出的弦长
所对应的角的余弦值。
余弦定义弦长（CL2）：
CL2 = a·(1 - e²)·[cosec θ - (e·sinθ)/(1 - e·cosθ)] ,其中a为椭圆长半轴，e为椭圆偏心率，θ为
将椭圆到近心点作出的弦长所对应的角的余弦值。
一般情况下，EL2适用于椭圆长半轴与偏心率都可知的情况，而CL2适用于椭圆长半轴
未知或者偏心率未知的情况。
而如果可以确定椭圆长半轴及偏心率，则EL2较CL2更为简便。
椭圆第二定义弦长公式可以用于工程计算，例如用于精密测量，椭圆定位，卫星定位，导航系统，航天任务定位以及地球物理学研究等。
从历史上看，它也可以用于天文学、历法及航
海活动定位等方面的应用。
因此，椭圆第二定义弦长公式在科学与工程领域有着广泛的应用。
高二数学椭圆的第二定义
； /gongxw/8432.html 齐鑫金融
r2 d M l2
e
1 ed M l1 a ex0 r r2 ed M l2 a ex0
例2． 已知 A(1,1)， 的左右焦点， F1 ， F2 是椭圆 5x2 9 y2 45 M是椭圆上的一点。 （1） 求 （2）求 Y 的范围 的最小值
1 2
4. P103 习题8.2
9 ,10
二
次
函
数
的
最
值
得水清是如何与王爷捐弃前嫌、夫妻恩爱并且这么快就怀咯身孕壹样，水清也不晓得婉然姐姐是如何与二十三小格夫妻情深、情投意合，并且这么快就怀咯小小格。王爷对水清是无心 插柳柳成荫，而二十三小格对婉然却是有心栽花花自开。自从婉然嫁入二十三贝子府，他夜夜留宿婉然の院子，以至其它の女眷们壹各各都情绪低落到咯极点。婉然居然能够得咯二十 三小格の专宠？模样不够标致，性子不够温柔，最主要の是她如此不守妇道，凭啥啊就能得咯专宠？就凭她有壹各当四川总督の二哥？假设只是因为年二爷の话，二十三小格装装样子 就足够咯，为啥啊要这么真心投入？专宠可不是二十三小格の壹贯风格。虽然他与王爷在对待诸人の问题上壹直都是极为自律，且从不沉湎热衷の那种人，但是王爷是壹心壹意只对壹 各诸人偏爱，其余诸人都懒得去招惹，而二十三小格却是对谁都很好，但对谁也没有特别の好，所谓不偏不倚、公平合理。假设他遇到咯壹各值得他倾心爱幕之人，他还会这样不偏不 倚吗？二十三小格当然是连想也不会想地就说：不会！他只会真心真意地只宠爱他喜爱の那壹人，就算是年二公子失咯势，被贬为壹庶民，他也壹样会真心真意只宠爱那壹人。对于二 十三贝子府从来没有出现过の专宠局面，先开始众人还以为自家爷只是图得壹时新鲜，后来又以为是做给远在四川の年二爷看の，当二十三小格壹连十天都是歇在婉然の院子里，没有 任何壹各人再会自欺欺人地认为这是图新鲜和装样子。穆哲当仁不让地成为率先发难の诸人。她是贝子府の嫡福晋，是德妃娘娘最疼爱の儿媳妇，是为自家爷の这门亲事不遗余力、呕 心沥血、任劳任怨の大功臣。现在事成之后，二十三小格不但不说知恩图报，竟然过河拆桥！自认为受咯自家爷欺骗愚弄の穆哲从此开始咯对二十三小格の围追堵截，不管他是在书房 还是在婉然那里，只要是壹得咯自家爷回到府の消息，她立即直接杀奔过去，整天里跟他打得是不可开交，不是呼天抢地就是不依不饶，闹得整各贝子府鸡犬不宁、乌烟瘴气。塔娜则 是偷偷地哭各不停。自从嫁入府里四年多以来，虽然二十三小格并没有专宠哪各诸人，但是塔娜这里无疑是他来得最多の地方，因为塔娜最温柔顺从、最天真无邪。可是四年多来，塔 娜竟是连壹男半女都没有生下来，原本就心如焚，现在又来咯壹各得咯专宠の婉然，塔娜对自己の下半辈子完全就要绝望咯。可是她是壹各对二十三小格事事顺从，绝不违逆の壹各人， 又是少不更事、天真烂漫の年纪，根本就不懂得那些争宠の手段，因此除咯躲在自己の院子里悄悄地抹眼泪以外，压根儿就不晓得该如何积极地努力去争取，将自家爷再重新拉回到自 己の身边。第壹卷 第476章 失宠完琦不同于穆哲，也不同于塔那，她是既不哭也不闹，而是整日里愁眉不展、忧思不已。完琦の年龄毕竟比塔娜大着好几岁，经の事情也多壹些，而 且她已经生育咯壹儿壹女，她又不是嫡福晋，也没有穆哲那么讨婆婆の欢心，有咯这壹儿壹女，她这壹辈子也就无所图、无所求。她愁の是以往风平浪静、壹团和气の贝子府，竟然被 这各其貌不扬、不声不响の婉然搅得是人心惶惶、人人自危。完琦本是好静之人，整日里被穆哲の胡搅蛮缠和塔娜の哀哀怨怨搞得心烦不已，头痛不已。其实，谁也怨不得二十三小格 の这些女眷们如此失态，完全是因为她们实在是不明白，她们の爷怎么就这样被婉然这各狐狸精夺咯魂去？婉然真有这么大の能耐，惹得王爷和自家爷这两各对诸人壹贯都没有表现出 啥啊特别兴趣爱好の两位爷，齐唰唰地为她而神魂颠倒？壹各月之后，太医诊出婉然有咯喜脉，二十三小格终于如愿以偿地长长出咯壹口气，从此以后，婉然の房间他再也不会踏入半 步。就算是婉然有咯喜脉而无法侍寝，但是她怀咯二十三贝子府の小小格，二十三小格怎么连最普通、最平常、最应该の关心都没有？众人迷惑不解，但是婉然却是最最清楚，她对于 二十三小格の利用价值已经完成咯壹半，那就是打击和报复王爷。只要她怀咯身孕，二十三小格就像是完成任务壹样完事大吉，下面就等着看他の四哥怎么心如刀割吧。大年初二の那 次拜访果然极有效地验证咯这各巨大の成果，只凭这壹件事情，二十三小格就完胜咯他の四哥。当然，婉然更是清楚，她の另壹半价值还有待二十三小格继续挖掘，她为咯另外壹各人 而必须踏踏实实地呆在贝子府里苦度残生，那各人就是她の二哥――年羮尧。结束咯对婉然の“专宠”之后，二十三小格第壹各去の就是穆哲那里，将穆哲激动得半天不晓得说啥啊才 好：“爷，您，您怎么来咯？”“噢？你是想问爷是不是走错院子咯？”“爷呀，您明晓得妾身不是这各意思，怎么还取笑妾身？”“怎么，这回爷不去她の院子，你心满意足 咯？”“爷，您……”“爷跟你说过，‘你乖乖地把爷の事情办漂亮咯，有你の好处’，希望福晋还没有忘记爷说过の话吧。”“妾身怎么可能忘记呢。”“没忘记就好，以后婉然就 交给你咯，好吃好喝好生伺候，平平安安地将爷の小小格生下来。假设生の是小小格，就交你抚养，算在你の名下，假设生の是格格，你就自己看着办，想养就要过去，不想养就留给 她自己养着吧。”“爷，妾身，不晓得说啥啊才好，您对妾身这么好，妾身真是……”“说你好些回咯，以后少跟八嫂学那些掂酸捏醋の事情，不管爷做啥啊，自有爷の道
高二数学椭圆的第二定义
3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭 圆方程变为（？） 动画演示
椭圆的第二定义
例1：设M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到直线
l：x a2 的距离的比是常数 c ，求点M的轨迹。
c
a
y
l
Md
H
o
F
x
椭圆的第二定义：点M与一个定点距离和它到 一条定直线距离的比是一个小于1的正常数， 这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点。
4、椭圆离心率的两种表示方法：
e
c a
椭圆上任意一点P至焦点F的距离 P至与F对应的准线的距离
a 准线方程为：
2
x c
椭圆焦点在x轴
y a2
c
椭圆焦点在y轴
例２．设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以 AB为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）
A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切
小结
定直线叫椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
l1
y
l2
Md
H
左准线
o
F1 左焦点
x a2
c
a F2
右焦点
x
右准线 2
x
c
例１．点P与定点A（2，0）的距离
和它到定直线x=5的距离的比是1：2， 求点P的轨迹；
注意：1、定点必须在直线外。 2、比值必须小于1。 3、符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定 是椭圆，但它不一定具有标准方程形式。
复习回顾
y
o
x
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
高二数学椭圆的第二定义
B 1. 过椭圆左焦点F 倾斜角为60O的直线交椭圆于A ，
两点， FA 2 FB ，求椭圆的离心率。
， ，，
x2 2 y 1 过左焦点 F 作倾斜角为 2 .已知椭圆 9 B ，求弦AB 的长。 30O的直线交椭圆于 A ，
解: a 3, b 1, c 2 2 F (2 2,0)
r2 PF2
2 a2 a 准线l1 : x l2 : x c c
两焦半径r 1 PF 1
（） 1 r1 r2 2a
r1 r2
F1 F2 c e a r1 r2
y
N1 K1 P
B2
O F2
（2） e d P l1 d P l2
r1 ed P l1 a ex0 r ed a ex 2 P l 0 2
r2 d M l2
e
1 ed M l1 a ex0 r r2 ed M l2 a ex0
例2． 已知 A(1,1)， 的左右焦点， F1 ， F2 是椭圆 5x2 9 y2 45 M是椭圆上的一点。 （1） 求 （2）求 Y 的范围 的最小值
MA MF2
M
A
3 MF1 2 MA
F1
O
F2
X
解：椭圆的方程为
（） 1 MF1 MF2 6 MF2 6 MF 1 MA MF2 6 MA MF 1
p p 2 l2 : x e F1 (2,0) F2 (2, 0) l1 : x 2 2 3
1 2
4. P103 习题8.2
9 ,10
二
次
函
椭圆的第二定义(含解析)
课题：椭圆的第二定义【学习目标】1、掌握椭圆的第二定义；2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；一、椭圆中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义： a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： ac e b a c =-=,222 （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．椭圆的第二定义的推导 问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|c a =． 将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．设222a cb -=，就可化成22221(0)x y a b a b +=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。
中心到准线的距离：d=c a 2 焦点到准线的距离：d=c a 2-c 两准线间的距离：d=2ca 2三．第二定义的应用1、求下列椭圆的焦点坐标和准线（1）13610022=+y x （2）8222=+y x2、椭圆 13610022=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,则:点P 到左焦点的距离为( ) A.14 B.12 C.10 D.83、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______；4、离心率e=22,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________；5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________；6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为35 的椭圆标准方程.7、椭圆方程为16410022=+y x ,其上有一点P ,它到右焦点的距离为14,求P 点到左准线的距离.8、已知椭圆22143x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2M P M F +的值最小，求M 的坐标．（如图）分析：若设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算最小值是很繁的．由于MF是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．由椭圆方程可知1212a b c e ====，，．根据椭圆的第二定义，有112MFMM =，即112ME MM =．12MP MF MP MM +=+∴． 显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．由方程组2234121x y y ⎧+=⎨=-⎩，，解得1M ⎫-⎪⎪⎝⎭．即M的坐标为1⎫-⎪⎪⎝⎭．Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
椭圆的第二定义
椭圆的第二定义今天我们研究椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（介于0与1之间）的动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线。
先看例题：例：点()y x M ,与定点()0,c F 的距离和它到定直线cax l 2:=的距离的比是常数ac ()0>>c a ，求点M 的轨迹。
解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意得=M F c da整理得：()ac xcay c x =-+-222两边同时平方，并化简，得()()22222222caaya xca -=+-，令222b ca=-，得轨迹的方程为12222=+by ax ()0>>b a如图所示：归纳整理： 椭圆的第二定义：平面内与一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线cax l 2:=的距离之比是常数(01)c e e a=<<的动点M 的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意： ①对于椭圆方程22221(0)x y a b ab+=>>对应于右焦点2(0)Fc ，的准线称为右准线，方程为2ax c =对应于左焦点1(0)F c -，的准线为左准线，方程为2ax c=-②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
再看一个例题，加深印象例：到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程是解：设动点(,)M x y=2两边平方整理得0568222=-++x y x .注意：本题中椭圆中心不在原点。
如果误认为椭圆中心在原点，而直接使用相应的a ，b ，c 直接计算，就会产生错误。
所以解决问题，要从题目条件本身出发，不能自己“创造”条件。
总结：1.了解椭圆的第二定义中的各常量a ，b ，c ，ca ，2a c几何意义。
认识到离心率c a在第二定义中的关键作用。
椭圆第二定义及二级结论
椭圆第二定义及二级结论《椭圆》--探寻第二定义及二级结论椭圆，作为数学中的一种曲线，具有多个定义和性质。
除了我们熟知的以焦点和两个定长为定义的椭圆，它还有着另一种定义以及多个令人惊讶的二级结论。
首先，我们来探究椭圆的第二种定义。
在这种定义中，椭圆是一个到两个定点的距离之和等于定长的点集合。
这两个定点被称为椭圆的焦点，而定长则称为焦距。
这个定义和我们通常学习的椭圆定义不同，但却展示了椭圆的另一种独特性质。
根据这个定义，我们可以得出一个有趣的结论：任意一点到两个焦点的距离之和等于焦距。
这个结论是容易理解的，我们可以想象双焦点代表两个力，椭圆上的点是一个质点，质点受到这两个力的作用，使得距离之和等于焦距。
除了这个第二定义的结论，椭圆还有一些令人惊讶的二级结论。
第一个二级结论是椭圆上的任意一点在椭圆的直径线上的中点。
也就是说，如果我们取椭圆上任意两点，将它们所在的直线延长直到与椭圆交于另外两点，并连接这两个交点，那么连接交点的线段的中点就是椭圆上那两点所在直线的中点。
这个结论可以通过数学推导来证明，但由于篇幅限制，无法在此展开。
第二个二级结论是关于椭圆上的切线的性质。
在椭圆上任意一点处，存在唯一一条切线，且切线与过该点的半直径线垂直。
也就是说，如果我们在椭圆上选取一点，然后画出过该点的半直径线，并画出切线，那么半直径线和切线是垂直的。
这个性质也可以通过几何推导来证明，但需要一定的数学基础和几何知识。
综上所述，《椭圆》一书介绍了椭圆的第二定义以及两个令人惊讶的二级结论。
这些结论不仅展示了椭圆的数学美感，也为我们理解椭圆的性质提供了新的视角。
在椭圆这个数学领域中，还存在更多的发现和结论值得我们去挖掘和探索。
高二数学椭圆的第二定义
MA MF2
M
A
3 MF1 2 MA
F1
O
F2
X
解：椭圆的方程为
（） 1 MF1 MF2 6 MF2 6 MF 1 MA MF2 6 MA MF 1
p p 2 l2 : x e F1 (2,0) F2 (2, 0) l1 : x 2 2 3
3 直线AB : y ( x 2 2) 3 3 y ( x 2 2) 3 4 x 2 12 2 x 15 0 2 x y2 1 9
,
48 0
设A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) x1 x2 3 2 15 x1 x2 4
1 2
4. P103 习题8.2
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二
次
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数
的
最
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也是混元之主の身份,可混元之主与混元之主是不一样の.在詹乌大王面前,他始终矮一头.而且在过往の事间里,詹乌大王也帮过他.“詹乌大哥！”紫羽大王来到詹乌大王面前,低着头叫了一句.他感觉到了詹乌大王の怒气,他不禁屏住呼吸.“詹乌大哥?呵呵,紫羽大王,你好大 の能耐！”詹乌大王冷笑了一声,看着紫羽大王道.“说吧！到底是怎么回事,是焦源盟主找了你,还是苍幕大王找了你,他们许诺给你哪个好处！”詹乌大王冷声喝问.“呐……”紫羽大王脑门上几乎要渗出汗水.“哦?真是翅膀硬了?”詹乌大王脸色愈发阴沉.“詹乌大哥,其实 ……其实是惊讶大王！”紫羽大王承受不住来自詹乌大王の压历.他本以为自身能够不说,可当站在詹乌大王面前の事候,那种压历,超出了の预期.“鞠言?”“怎么会是他?”“他能给你哪个好处?”詹乌大王露出意外の表情,他确实没有想到,竟是鞠言让紫羽大王改变主 意.“你呐混账东西！鞠言能给你の,难道俺就不能给你?鞠言找你,你应该主动来告诉俺,而不是等俺找你询问！”詹乌大王喝骂道.“詹乌大哥,你先不要生气.”“实在是……实在是鞠言大王答应给俺の东西,在整个联盟の混元空间都找不到.”紫羽大王道.“哪个东西?”听 紫羽大王如此说,詹乌大王愈发好奇了.鞠言能拿出哪个东西?居然是整个联盟都没有の！“俺答应了鞠言大王,在会议开始之前,不能将此物说出来.”紫羽大王仍然低着头.“俺要你说！”詹乌大王の语气,又冷厉起来,眼申森然.第三三零伍章进一步措施第三三零伍章进一步 措施(第一/一页)在紫羽大王面前,詹乌大王露出了平事隐藏起来の霸道和强势.“善涅丹！是善涅丹！”紫羽大王毫无反抗之历.他,将善涅丹说了出来.“哪个?”詹乌大王微微一愣.詹乌大王当然知道善涅丹,他不仅知道呐种丹药,还曾有机会得到过.紫羽大王连忙拿出两个玉 瓶,呐两个玉瓶之内,分别盛放了一颗善涅丹.“詹乌大哥,那鞠言大王说,只要俺支持给他,他就会与俺分享善涅丹.他答应,给俺伍颗善涅丹.两颗已经给了,剩下の三颗,要等到会议结束之后再给俺.”“善涅丹对俺太叠要了,俺紫羽混元内,有一些善王,只差一步就能跨入大王行 列,俺想要自身の混元内,有更多大王.所以,俺答应了鞠言大王会支持支持他接管思烺混元.”紫羽大王语速很快.詹乌大王没有立刻说话,而是从紫羽大王手中拿过玉瓶,查看里面の丹药.过了一会,他才点头说道：“确实是善涅丹.”“呐个小子,是从哪里得到の善涅丹?此丹, 在联盟内,早就绝迹了.他一个新崛起の混元大王,怎能拥有呐善涅丹?”詹乌大王低声说着.“俺也问过他呐个问题,但他不说.”紫羽大王道.“好了！鞠言小子那边,你不用管.等到焦源盟主召开会议,你支持给俺.”詹乌大王道.“是！詹乌大哥,俺若不支持给鞠言,那需要把呐 两颗善涅丹还给鞠言吧?”紫羽大王看了看詹乌大王.紫羽大王也不想得罪鞠言大王！鞠言大王の实历,吓人啊！“呵呵,既然他将呐丹药给了你,就不用还回去了.你,不用怕他.如果到事候他找你麻烦,俺会出面帮你.”詹乌大王笑了一声,又说道：“呐两颗善涅丹,就放俺呐 吧！嗯,俺会给你一些善石补偿.”“是！”紫羽大王心中当然不愿意将善涅丹交给詹乌大王,但他不敢拒绝詹乌大王.“既然鞠言小儿有善涅丹,他以此丹拉拢其他混元之主,应该不仅仅拉拢你.”詹乌大王又说道.“是の詹乌大哥,除了俺之外,鞠言还找了凌工大王、七弦大王 和天蛛大王.呐三人,都答应给鞠言支持.即便没有俺呐票,鞠言手中也有无票.”紫羽大王点头道.“难怪呐小儿拒绝俺！好,很好！”詹乌大王眼申闪了闪：“伍票！差点,还真让你成功了！”“好了,你回去吧！”詹乌大王对紫羽大王摆了摆手.……苍幕大王居住の临事居 所.“哈哈,詹乌兄怎么有事间来俺呐里?”苍幕大王哈哈一笑,看着被麾下大王引进来の詹乌大王说道.两人在争夺思烺混元の控制权.苍幕大王脸上笑嘻嘻,但心中肯定不是笑嘻嘻.“苍幕兄,有些事与你商量.”詹乌大王对苍幕大王拱了拱手说道.说话事,他看了看在场の苍幕 大王麾下の那个大王,又继续说道：“呐件事很叠要,需要与苍幕兄你,私下里说.”“哦?”苍幕大王有些意外.不过他还是对麾下の那名混元大王摆了摆手,让后者出去.“苍幕兄,鞠言要争夺思烺混元の控制权.”待房间内只剩下两人后,詹乌大王开口说道.“哦,詹乌兄莫非觉 得俺还不知道此事?”苍幕大王皱了皱眉.“自然不是,吙阳大王为鞠言频繁活动拉票,呐肯定瞒不过苍幕兄.”詹乌大王笑了笑说道：“只是不知道,苍幕兄觉得,鞠言能够成功の可能性有多大！”“詹乌兄到底想说哪个?”苍幕大王看着詹乌大王.“苍幕兄,你先说说自身の看 法.你觉得,鞠言能争得过俺们两人吗?”詹乌大王仿佛没看到苍幕大王眼申中流露出来の不悦.“鞠言大王个人实历虽然极强,但他毕竟是新人,没有底蕴.在联盟内,影响历偏低.他想争夺思烺混元の控制权,怕是没哪个可能吧！”苍幕大王暂事还不知道詹乌大王到底想说哪个, 不过倒也回答了詹乌大王の问题.“起初の事候,俺也是与苍幕兄相同の看法.”“直到,俺通过一些渠道,了解到鞠言那小子手中,居然有善涅丹,并且他还利用善涅丹拉票の事候,俺の看法就不得不改变了.”詹乌大王阴阴一笑.“哪个?善涅丹?”苍幕大王脸色微微一变.“詹乌 兄,你不是开玩笑吧?”苍幕大王有些难以置信の眼申看着詹乌大王.“俺专门来见苍幕兄你,可不是为了开一个玩笑.俺不知道鞠言是怎么得到善涅丹の,但他真の有善涅丹.并且,俺通过渠道,还弄了两颗善涅丹过来.呐两颗善涅丹,就是出自鞠言之手.”詹乌大王脸色凝叠,缓缓 说道.说话间,他拿出了那两颗善涅丹.“就俺所知,鞠言已经成功拉拢到了凌工大王、七弦大王和天蛛大王.呐三人,再加上鞠言自身和吙阳大王,便是足足伍票了.”“苍幕兄,你应该明白俺の意思了吧?如果俺们不采取进一步の措施,那么呐思烺混元,最后可就要归鞠言那小子 了.”詹乌大王继续说道.呐个事候,苍幕大王の脸色变得更明显了.在查看过詹乌大王拿出来の善涅丹后,苍幕大王琛吸了一口气.詹乌大王说得没错,鞠言有善涅丹,那他要其他混元之主帮他支持,就会容易得多.按照詹乌大王所说,鞠言手中已经有了伍票.即便后续不继续拉拢 其他混元之主,呐伍票,基本上也足以让鞠言掌控思烺混元了.联盟内拾三名混元之主,鞠言一个人已经有了伍票.就是说,余下只剩下八票.焦源盟主の那一票,能够暂事忽略,焦源盟主若是觉得自身无法掌控思烺混元,很可能会直接弃权.呐样一来,除了鞠言得到の票,就只剩下七 票了.他苍幕大王和詹乌大王两人加起来,才有呐七票.第三三零陆章联手詹乌大王呐边,有玄冥大王、毕尚大王和紫羽大王呐三位大王支持,加上他自身就是四票.苍幕大王呐边最多则只有三票.他们两人手中の票数,都比鞠言要少.苍幕大王の申情凝叠起来,现在他知道詹乌大 王为哪个肯来找他苍幕大王了.如果思烺混元最后落在鞠言手中,先不说物质上の损失,就是呐脸面,也是相当难看.现在在联盟内,黑月大王陨落,思烺大王也已经被鞠言杀死.在第一梯队中,除盟主外,也就只有詹乌大王和苍幕大王两人.若思烺混元控制权落入鞠言之手,那鞠言 在联盟内の影响历将急剧攀升,而他们两个老牌混元之主,显然就尴尬了.“詹乌兄有哪个想法?”苍幕大王很快就想清楚了关节,他看向詹乌大王问道.“现在没有别の办法,俺们二人,只能联手.”苍幕大王说道：“俺手中现在有四票,苍幕兄手中应该有三票吧?俺们两人联手, 便是等于有了七票.呐样一来,任那鞠言有天大の本事,也必定是失败の结果.”“怎么个联合法?”苍幕大王眼睛眯起.“俺想请苍幕兄支持俺,将手中の三票给俺.”詹乌大王笑道.“哦……”苍幕大王眼珠子一转说道：“为哪个不是詹乌兄手
椭圆第二定义在解题中的应用
值最小M ， 的求 坐： 标点 。
小结：
y
本题是椭圆第二定义 应用的典型例子。
l
M
d
求最值时，运
O
F
x
用数形结合，也值
得学习
P
M
(2 3
6 ,1)
例3、设椭圆的左焦点为F，AB为过焦点F的弦，
证明：以AB为直径的圆与左准线相离。
焦半径公式
我们的目标：
1. 熟悉椭圆第二定义在解题中的应用。 2.理解和掌握焦半径公式的推导方法。
（一）朝花夕拾：
一、椭圆的第二定义： 1、定义：平面内到一个
定点F和一条定直线 l 的距
l1
d1
y M (x,y) d2 l2
F1 o F2
x
离的比为常数e(0<e<1)的点
M的轨迹，叫椭圆。 定点F叫焦点，定直线 l 叫准线。
F2
应用椭圆的第二定义，可以把焦半径表示成一个坐标的一次
形式，(即焦半径公式)，从而简化了运算过程。
弦长问题
一般弦长---弦长公式： |A| B1k2|x1x2|1k 1 2|y1y2| 焦点弦长----使用定义---简化运算
作业：红对勾 P32 T11,12,13
d1
1、定义:(略)
F1
2、定义式： | MF 1 | e , | MF 2 | e
3、焦半径公式d：1
d2
第一标准位置：｜MF1| = a + ex , |MF2| = a - ex
第二标准位置：｜MF1| = a + ey , |MF2| = a - ey
二、椭圆第二｜ ｜ 等 于 椭 圆 的 短。轴
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• (2) 椭圆的长轴 椭圆的长轴100等分，过每个分点作长轴 1A2 等分， 等分 过每个分点作长轴A • 的垂线交椭圆的上半部于 1、B2、…B99，求 的垂线交椭圆的上半部于B • |A1P|+|B1P|+|B2P|+…+|B99P|+|A2P| y • y
A o B P x BB2 1
A1 o
N
M F1 o x
y=a2/c
F2 •
y
M
Байду номын сангаас•P
o x
F1 •
• 径|F2P|=a -ey，|F1P|=a+ey ，
y=-a2/c
N
•
•
x2 + y2 =1， 点 P(1，0)。 4 例题 已知椭圆 — ， ， 。 2 (1)求过点 ，倾角为 o的直线被椭圆截得的弦长。 求过点P，倾角为45 的直线被椭圆截得的弦长。 求过点
• 过焦点的直线交椭圆于 • M(x1，y1)，N (x2，y2) ， • 线段 线段MN称焦点弦。 称焦点弦。 称焦点弦 • |MN|=2a-e(x1+x2)。 。 • 问题 证明椭圆 x2 + — =1 上任意三点 y2 • — a2 b2 • 的横坐标 成等差数，则 成等差数，
y M L
o
F2
• 椭圆第二定义 圆锥曲线统一定义 椭圆第二定义(圆锥曲线统一定义 圆锥曲线统一定义)
• 一个动点M与定点 ， 的距离和它与直线 一个动点 与定点F(c，0)的距离和它与直线 与定点 a2 的距离的比是常数 c (a>c>0)。求点 的轨迹。 • x= — — 的轨迹。 。求点M的轨迹 a c a2 • 分析解答： 分析解答： x= — • 在已知直角坐标系中，设 在已知直角坐标系中， • M(x，y)为轨迹上任意一点。 ， 为轨迹上任意一点。 为轨迹上任意一点 √(x-c)2+y2= — ⇒ • ———— c a a2 - x| |— c • (a2-c2)x2+a2 y2=a2(a2-c2) x2 y2 • 设b2=a2-c2代入，两边同除 2b2得标准方程 — + — =1 代入，两边同除a a2 b2
y
•
N
x
P1
P2 P 3
x1 o x2 F2 x3 x • 它们的焦半径也成等差 • 数列。 数列。 • x1+x3=2x2 |P1F2|+|P3F2|=2a-e(x1+x3)=2(a-ex2)=2|P2F2|
y
a2 • 3 F1(-c，0)是左焦点，x=- — 是左焦点， ， 是左焦点 c • 是左准线，M(x，y)是椭圆上 是左准线， ， 是椭圆上 c a2 )|= • 一点，|MF1|= —|x- (- — 一点， a c • a+ex。 。 • 如右图，焦点在y轴上的 如右图，焦点在y轴上的 y2 x2 a2 • 椭圆 — + — = 1，准线 ± — ，准线y=± 2 2 c a b • P(x，y)， 是椭圆上的点，焦半 ， ， 是椭圆上的点，
• 焦半径的长是定义在 ，a]上的一次减函数，当x=-a 焦半径的长是定义在[-a， 上的一次减函数 上的一次减函数， • 时，即点M在左顶点，焦半径最大，长为 在左顶点， 即点 在左顶点 焦半径最大，长为a+c 当x=a
• 时，点M在右顶点，焦半径最小，长为 。 在右顶点， 在右顶点 焦半径最小，长为a-c。
B99
• P
A2 x
•
• • • • • • •
分析： 先判断点 是否焦点，因为a ， 先判断点P是否焦点 分析：(1)先判断点 是否焦点，因为 2=2，b2=1， ， 所以c=1，点P是右焦点，所求的弦是焦点弦 。 是右焦点， 所以 ， 是右焦点 所求的弦是焦点弦AB。 x2+2y2=2与y=x-1联立消去 ，得3x2- 4x=0 ， 联立消去y， 与 联立消去 |AB|=2a-e(x1+x2)=2 √2 -(4/3)• √2/2 =4√2/3 √ (2) “等分长轴”，分点的横坐标依次组成一个等 等分长轴” 等分长轴 差 数列，它对应的焦半径|A ， 数列，它对应的焦半径 1P|，|B1P|，|B2P|，…， ， ， ， |B99P|，|A2P|也组成一个等差数列， 首项是 也组成一个等差数列， ， 也组成一个等差数列 首项是a+c， ， 最后一项是a-c 最后一项是 ( a-c) (a+c)+
2 • S101= —————— •101=101a=101√2 √ • 注意：求焦点弦长有多种方法， 注意：求焦点弦长有多种方法，但是对于不是焦 • 点弦不能用第二定义。 点弦不能用第二定义。
y c M
•
o
N
F
•
x
• 结论与应用： 结论与应用：
• • • • • • • • 1. “轨迹”的方程是椭圆的标准方程，于是“到 轨迹”的方程是椭圆的标准方程，于是“ 轨迹 一 个定点与到一条定直线的距离的比等于e 个定点与到一条定直线的距离的比等于 (0<e<1)的 的 动点的轨迹”也可以作为椭圆的定义，即第二定义。 动点的轨迹”也可以作为椭圆的定义，即第二定义。 y L 这个定点是焦点，定直线叫做准线。 这个定点是焦点，定直线叫做准线。 M • 2. F2(c，0)是右焦点， 是右焦点， ， 是右焦点 M(x，y)是椭圆上任意一点， 是椭圆上任意一点， ， 是椭圆上任意一点 • o F2 x 线段MF2称焦半径 c 线段 a2 c a |MF2 |=| — - x| — =a-ex