北大光华资产定价讲义 Lect4CAPM

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北大光华资产定价讲义 Lect1Utility

It is common in ﬁnance to ﬁx the supply side of the economy. We do this by imaging an endowment economy where each consumer inherits certain goods for consumption each period. If the goods are perishable, meaning they must be consumed in the same time period they are inherited or they are lost, then individuals may be able to make themselves better oﬀ by trading portions of their endowments amongst one another. They make these trades by entering into ﬁnancial contracts, the result of which is two eﬀects. First, trading in ﬁnancial contracts allows individuals to smooth their consumption. Second, the trading of claims allows individuals to share risk in the future endowment. There are two types of contracts in general:
Doctoral Seminar in Asset Pricing (One)
Equilibrium and Arbitrage

资产定价理论CAPMPPT课件

02 CAPM模型的理论基础
资本资产定价模型的基本假设
市场有效性
市场上的所有信息都会被所有投资者所获取，且投资者会根据这
些信息做出理性的投资决策。
投资者风险厌恶
投资者对风险持厌恶态度，更倾向于投资风险较低的资产。
投资者同质预期
投资者对未来市场的预期是一致的。
资产无限可分
资产可以无限分割，即投资者可以购买任意数量的资产。
应用
CAPM模型广泛应用于投资组合管理、资本预算和风险管理等领域。
CAPM模型的未来研究方向
01
改进模型
扩展模型
02
03
实证研究
研究如何改进CAPM模型，使其更准确地预测资产价格和收益率。
探索如何将CAPM模型与其他金融理论结合，以更全面地解释金融市场现象。
进一步验证CAPM模型的有效性和适用性，通过大量实证数据来支持或质疑该模型。
基于多因素模型的CAPM改进
01 02 03
多因素模型的发展
传统的CAPM模型假设资产收益率只受市场风险的影响，但现实中影响资产收益率的因素有很多，因此多因素模型被引入到CAPM的改进中。多因素模型认为资产收益率受到多种因素的影响，如市场风险、利率风险、通货膨胀风险等。
扩展CAPM模型
基于多因素模型的CAPM改进主要是将传统的CAPM模型扩展为多因素模型。这些改进包括引入更多的风险因子、建立因子载荷矩阵等，以更全面地反映资产的风险和预期收益之间的关系。
03 CAPM模型的实证研究
CAPM模型在实证研究中的应用
评估资产风险和回报关系
01
通过实证研究，使用CAPM模型分析资产的风险和回报关系，
以检验资本资产定价的有效性。

投资学讲义4章（1）

投资学讲义4章（1）4.1 资本资产定价模型（CAPM）第4章资本资产定价模型资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model， CAPM） 1964年，夏普（W.Sharp）在马科维茨投资组合理论的基础上对证券价格的风险-收益关系进⾏了深⼊研究，并提出了资本资产定价模型（CAPM）。

此后，林特纳（ Lintner,1965 ）、莫森（Mossin,1966）⼜分别独⽴提出资本资产定价模型。

CAPM解决了所有的⼈按照组合理论投资下，资产的收益与风险的问题。

CAPM 理论包括两个部分：资本市场线（CML）和证券市场线（SML）。

天津⼤学管理与经济学部投资学 24.1.2资本市场线的导出4.1.2资本市场线的导出资本资产定价模型的基本假设1、投资者按照均值-⽅差准则对资产进⾏评价；2、投资者都是风险厌恶的；3、允许⽆风险借贷；4、完美资本市场，不存在信息不对称，⽆交易成本；5、资产⽆限可分；6、投资者对资产的分布特征具有相同的期望。

天津⼤学管理与经济学部投资学 3假设市场中的每个投资者都是资产组合理论的有效应⽤者，⼈⼈都是理性的！这些投资者对每个资产回报的均值、⽅差以及协⽅差具有相同的预期，但风险规避程度不同。

根据分离定理，这些投资者将选择具有相同的结构的风险基⾦（风险资产组合）。

投资者之间的差异仅仅体现在风险基⾦和⽆风险资产的投资⽐例上。

天津⼤学管理与经济学部投资学 4若市场处在均衡状态，即供给＝需求，且每⼀位投资者都购买相同的风险基⾦，则该风险基⾦应该是何种基⾦呢？（对这个问题的回答构成了CAPM的核⼼内容）风险基⾦＝市场组合（Market portfolio）：与整个市场上风险证券⽐例⼀致的资产组合。

对股票市场⽽⾔，就是构造⼀个包括所有上市公司股票，且结构相同的基⾦（如指数基⾦）。

因为只有当风险基⾦等价与市场组合时，才能保证：（1）全体投资者购买的风险证券等于市场风险证券的总和— —市场均衡；（2）每个⼈购买同⼀种风险基⾦——分离定理。

北京大学光华管理学院证券投资技术分析课件

波浪理论的基本内容
下降波浪阶段 1.下降波浪开始于上涨浪的末段，对于A浪，可能会被认为是暂时的回档。此时应注意的是在从A到B的时期成交量是否同时变化，否则就应该认定为行情的反转，及时抛盘。 2.第B浪是投资者较好的解套时机，不宜再次吸纳，避免陷入多头陷阱，被高价位套牢。 3.受到B浪的打击，多方力量迅速削弱，行情带量下挫，振幅通常较大，跌势强烈，持续时间比较长，多出现探底行情。但经过一段时间后会出现新一轮的上涨行情。

波浪理论的基本内容
3.第3浪之后是对其进行调整的第4浪。此时的行情可能是多方的暂时回调，积蓄力量。决定是否会形成新一轮的上涨行情，关键在于调整的回幅，一般最低点也要高于第1浪的最高点。 4.第5浪是多头市场的终结阶段，原则上涨幅应小于第3浪。此时市场人气旺盛，交投活跃，股价屡创新高。但这时市场上风险因素在积聚，不宜继续追捧，投资者应适时减持筹码。

波浪理论
师法自然的技术分析方法
Action is followed by reaction. --Ralph Nelson Elliott
波浪理论的形成
波浪理论的全称为艾略特波浪理论（Elliott Wave Theory），该理论是美国著名股市分析师 Ralph Nelson Elliott 提出的。他认为，股市的价格运动是可以通过对波浪循环往复模式的研究来预测。而且他同时认为，不仅仅是股市，几乎所有的人的行为都可以受到一系列典型波浪形态的影响。波浪理论的基础是道氏理论和自然现象，

波浪理论的运用与发展
1939年，在C.J.Collins的帮助下Elliott 的学说受到华尔街的重视，一系列的文章在《金融世界（Financial World）》杂志刊登出来，波浪理论雏形基本形成。 1950s-1960s期间，在Elliott 去世之后，波浪理论为Hamilton Bolton进一步发展完善，1960年 Bolton写了《 Elliott Wave Principle—A Critical Appraisal 》这是继Elliott 去世后波浪理论第一次最重要的工作。1合作出版了《 Elliott Wave Principle》，使波浪理论日趋完备。

《资产定价》课件

《资产定价》PPT课件
欢迎来到《资产定价》PPT课件！本课程将深入探讨资产定价的定义、模型和方法，以及风险和回报关系、资产的估值以及实证研究的结果。让我们开始吧！
资产定价的定义
资产定价是指确定资产在金融市场上的价值的过程，涉及了对各种资产定价模型和方法的研究和应用。
资产定价模型
常用的资产定价模型
结论和展望
总结了资产定价的主要观点和研究成果，并展望了未来的研究方向和发展趋势。
探讨了不同的资产定价模型，包括帕森斯定价模型和危险资产价格模型。
基本概念和假设
介绍了资产定价模型中的基本概念和所做的假设，以便更好地理解其应用和局限性。
资产定价模型的应用
展示了资产定价模型在投资组合管理、风险控制和金融工程等领域的应用。
资产定价的方法
直接定价方法
介绍了直接定价方法，通过分析市场数据和资产特征来确定资产的价值。
隐含定价方法
探讨了隐含定价方法，通过推断出市场对未来收益的预期来确定资产的价值。
基本定价方法
讲解了基本定价方法，通过对资产现金流量和风险的分析来确定资产的价值。
市场定价方法
介绍了市场定价方法，通过市场供求关系和基本定价方法来确定资产的价值。
风险和回报关系
深入研究了资产定价中的风险和回报关系，以及如何理解和应对不同风险水平下的回报。
资产的估值
讨论了资产估值的重要性，并介绍了估值方法，包括基本定价方法和市场定价方法。
实证研究
1 文献回顾
2 实证结果
3 分析和讨论
回顾了相关文献中的资产定价实证研究，包括已知模型的应用和拓展。
介绍了实证研究的结果，以及对市场行为和资产定价理论的影响。

《资本资产定价》PPT课件

可整理ppt
13
1．β系数（续）
β系数：
– 均衡状态下，单个证券的收益率与其风险应匹配，风险较大的证券对期望收益率的贡献
也较大，其比例应该是 iM /M 2
– 该比例表示某一证券的收益率对市场收益率的敏感性和反映程度，用于测量某一证券风险相对于市场风险的比率，即
i iM/M 2
可整理ppt
证券市场线(SML)：
– 在以β系数为横轴、期望收益率为纵轴的坐标中CAPM方
程表示的线性关系
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15
3． β系数与证券选择
攻击型股票（aggressive stock）
– β系数大于1的股票 – 市场上升时其升幅较大。
防御型股票（defensive stock）
– β系数小于1的股票 – 市场下降时其跌幅较小。
中立型股票（neutral stock）
– β系数等于1的股票 – 与市场波动一致，适于指数型基金。
可整理ppt
16
四、CML与SML之间的区别
1．描述对象不同
– CML描述有效组合的收益与风险之间的关系
– SML描述的是单个证券或某个证券组合的收益与风险之间的关系，既包括有效组合有包括非有效组合
rp rF rM MrF •p
– 表示有效组合的期望收益率与风险之间的关系。有效组合的期望收益率由两部分构成：一部分是无风险收益率，它是由时间创造的，是对投资者放弃即期消费的补偿；另一部分是风险溢价，它与承担风险大小成正比，是对投资者承担风险的补偿。
风险的价格：
– 单位风险的价格，资本可市整理场pp线t 方程式中第二项的系数1。1
可整理ppt
3
一、假设条件
1．假设条件 2．关于假设条件的说明

收益和风险资本资产定价模型CAPM课件

阿尔法系数（α）
阿尔法系数代表资产收益率与市场组合收益率之间的差异。正值阿尔法表示资产收益率高于市场组合，而负值阿尔法则表示资产收益率低于市场组合。
04
CAPM模型应用实例分析
股票市场CAPM应用案例
估计股票预期收益率
01
利用CAPM模型计算个股或股票组合的预期收益率，并与实际
收益率进行比较。
风险管理
详细解释CAPM模型在风险管理中的应用，包括计算资产的系统性风险、评估投资组合的风险水平等。
学习目标与要求
掌握CAPM模型的基本原理和计算方法
通过学习CAPM模型的基本概念、假设条件和计算过程，掌握运用CAPM模型进行资产定价的基本方法。
理解CAPM模型的应用场景和局限性
了解CAPM模型在不同市场环境和资产类型下的应用效果，认识CAPM模型的局限性和适用范围。
息做出最佳决策，追求效用最大化。
市场是有效的
02 CAPM模型假设市场是有效的，即所有信息都是公开
可用的，并且价格反映了所有可用信息。
投资者可以无限制地借贷
03
CAPM模型假设投资者可以无限制地以无风险利率借
贷，这意味着他们可以通过杠杆操作来增加预期收益
。
CAPM模型中关键参数解释
贝塔系数（β）
贝塔系数衡量了资产收益率与市场组合收益率之间的相关性。贝塔系数大于1 的资产比市场组合更具风险，而贝塔系数小于1的资产则相对较为安全。
假设条件过于理想化
如市场完全有效、投资者理性等，现实中难以满足。
单一风险因子不足
CAPM仅考虑市场风险，忽略其他可能影响资产收益的风险因子。
估计误差与模型检验问题
实际数据可能存在误差，影响模型参数估计和检验结果。

北大光华资产定价讲义 lect4capm.

x = λV −1e + γV −11
(4)
Thus, we see that portfolios on the eﬃcient frontier are linear combinations of just two portfolios (V −1e and V −11).
Let’s solve for the Lagrange multipliers λ and γ so that we have an exact expression for the frontier portfolio x. For ease of exposition, we introduce the following notations.
Doctoral Seminar in Asset Pricing (Four) Mean-Variance Analysis and the Capital Asset Pricing Model
1. Mean-variance Analysis
Suppose that you, as a risk averse investor, want a simple rule for choosing between various investment alternatives. One rule that you might consider is to select the investment that delivers the highest expected return for a given level of variance. That is, you might decide that you want to maximize expected return and minimize variance. Even if you had only a passing familiarity with economic theory, you would probably agree that this approach sounds quite sensible. Later on, we will see that the mean-variance rule of portfolio selection is fully consistent with expected utility maximization only under special circumstances. For the moment, however, we want to consider how an investor might behave under circumstances where the mean-variance approach is optimal.

《金融资产定价》第4讲-CAPM模型及其应用

西南财经大学金融学院
朱波
zhubo@
Asset Pricing
CAPM β方面的问题 CAPM β方面的问题
E(R ) − R = β (E(R ) − R )
i f m f
σ im Cov( R i , R m ) β= 2 = σm Var ( R m )
1 2 3
β系数的动态性。(ICAPM) β系数无法吸收新信息。
Asset Pricing
《资产定价》《资产定价》
Asset Pricing
朱波
西南财经大学金融学院 2009年
西南财经大学金融学院朱波 zhubo@
Asset Pricing
第四讲第四讲
线性因子模型及应用线性因子模型及应用 I CAPM及应用 I C PM及应用
β
i
Ri
个股所包含的系统风险
β =1
市场投资组合的系统风险组合内的证券数量
Rm
收益率市场上唯一的风险源是市场的系统风市场上唯一的风险源是市场的系统风险，不同风险资产所包含的系统风险不一险，不同风险资产所包含的系统风险不一样，从而相应beta不一样。根据beta的大小样，从而相应beta不一样。根据beta的大小来确定资产的收益，这就是绝对定价的基来确定资产的收益，这就是绝对定价的基本思想，也是CAPM的精髓所在。本思想，也是CAPM的精髓所在。西南财经大学金融学院朱波问题：既然市场投资组合能有效地问题：既然市场投资组合能有效地降低异质型风险，充分地分散风险，降低异质型风险，充分地分散风险，一个自然的问题是，市场投资组合是一个自然的问题是，市场投资组合是有效投资组合吗？是最优投资组合有效投资组合吗？是最优投资组合吗？吗？ zhubo@

资本资产定价CAPM理论PPT课件

第24页/共82页
• 在均衡时，借、贷量相等，所有个体的初始财富的和等于所有风险证券的市场总价值。从而每种证券在市场证券组合中的权等于在切点证券组合中的权。
第25页/共82页
• 均衡的定义
• 定义：一个风险资产回报率向量
和无风险利率
（相应地，风险资产价格向量
p和无风p险1债,券价, pN T
第27页/共82页
•当证券市场达到均衡时，切点证券组合T就是市场证券组合。
第28页/共82页
• 市场证券组合和切点证券组合 • 所有投资者的风险证券组合为切点证券组合，所以市场证券组合也为切点证券组合。因此，在实际中通常称切点证券组合为市场证券组合并且以M表示。所有投资者都以借或者贷，然后投资到M上。
第21页/共82页
• 例子： • 证券C的现时价格是62元，期末的期望价格是76.145元，我们算出其期望回报率为22.8%。现在假使C的现时价格是72元而不是 62元，其期望回报率变为5.8%。此时，因为与A、B比较起来，C 的期望回报率相对太小，而风险相对太大，所以，所有的投资者都会购买A、B两种证券而不会选择C。在这种情况下，切点证券组合T由A、B两种证券按0.90:0.10的比例构成，而有效集由T和无风险证券线性生成。
• 第一个投资者：0.06:0.095:0.345 • 第二个投资者：0.18:0.285:1.035 • 三种证券的相对比例相同，为0.12:0.19:0.69。
第18页/共82页
2.2 市场证券组合
• 市场证券组合是由所有上市证券组成的证券组合。在这个证券组合中，投资在每种证券上的比例等于它的相对市场价值。每一种证券的相对市场价值等于这种证券的总市场价值除以所有证券的总市场价值。

第四章资本资产定价(CAPM)

(4.3)
即投资在第j种证券的总财富等于第j种证券的市场价值。
由（4.3），我们得到
N
N
p j N j
p
jN
D j
(r , rf
)
j1
j1
N
I
[pj
N
D ij
(r
,
rf
)]
j1
i1
NI
p
j
N
D ij
(r
,
rf
)
j1 i1
(4.4)
2020/4/21
从而
N
IN
pjNj
ij (r, rf )W0i Wm0
照物，得到
2020/4/21
E ( r % q ) E ( r % z c ( M ) ) q M ( E ( r % M ) E ( r % z c ( M ) ) )
Line，简称CML)
2020/4/21
•
M
资本市场线 p
定理4.1 分离定理
我们不需要知道投资者对风险和回报的偏好，就能够确定其风险资产的最优组合。或
在没有确定某个投资者的无差异曲线之前，我们就可以知道他的风险资产的最优组合。
2020/4/21
如果M点所代表有风险资产组合的预期收益率和标准
j1
i1 j1
(4.5)
即当市场达到均衡时，所有个体的初始财富之和等于
所有风险证券的市场总价值。此时有风险的市场组合
的权为
m j
pjN j
N
pjN j
p
jN
D j
(r,
rf
)
Wm0
j 1
I
I
p j

资本资产定价模型CAPM和公式

【量化课堂】CAPM 模型和公式JoinQuant量化课堂发布于 2016-08-18218081457导语：αα和ββ你肯定都听说过吧。

那么γγ呢？δδ？εε？ζζ，ηη，θθ，ιι，... ωω？？？那好！我们今天就来告诉你...... ββ是什么。

作者：肖睿编辑：宏观经济算命师本文由JoinQuant量化课堂推出，难度为进阶上，深度为 level-2。

阅读本文需要掌握MPT 模型（level-1）和微积分（level-0）的知识。

本文是一系列文章中的第三篇。

本系列从基础概念入手，推导出 CAPM 模型。

系列中共有四篇：1.效用模型2.风险模型3.MPT 模型4.CAPM 模型5.概述CAPM，全称 Capital Asset Pricing Model，译为资本资产定价模型，是由 Treynor, Sha rpe, Lintner, Mossin 几人分别提出。

搭建于 Markowitz 的现代资产配置理论（MPT）之上，该模型用简单的数学公式表述了资产的收益率与风险系数ββ以及系统性风险之间的关系。

尽管 CAPM 的假设偏于牵强，结论也常与实验证据相悖，但它一直是金融经济学中重要的理论，为更多先进的模型打好了基础。

模型假设CAPM 是一个理论性很强的模型，它所假设的金融市场有一个非常简单的框架，这样不仅简化了分析的难度，也用非常简练的数学公式表达出结论。

CAPM 假设，市场上所有的投资者对于风险和收益的评估仅限于对于收益变量的预期值和标准差的分析，而且所有投资者都是完全理智的。

并且，市场是完全公开的，所有投资者的信息和机会完全平等，任何人都可以以唯一的无风险利率无限制地贷款或借出。

因此，所有投资者必定在进行资产分配时计算同样的优化问题，并且得到同样的有效前沿和资本市场线（见MPT 模型）。

为了最大化预期收益并最小化标准差，所有投资者必定选择资本市场线上的一点作为资产配置。

也就是说，所有投资者都按一定比例持有现金和市场组合M M。

资本资产定价(CAPM)理论PPT84页

资本资产定价(CAPM)理论
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯

66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德谟克利特 67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。 ——歌德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

CAMP资产定价模型

Capital Asset Pricing Model经济模型CAPM(Capital Asset Pricing Model)的理论意义及作用1.CAPM的前提假设任何经济模型都是对复杂经济问题的有意简化，CAPM也不例外，它的核心假设是将证券市场中所有投资人视为看出初始偏好外都相同的个人，并且资本资产定价模型是在Markowitz均值——方差模型的基础上发展而来，它还继承了证券组合理论的假设。

具体来说包括以下几点：证券市场是有效的，即信息完全对称；无风险证券存在，投资者可以自由地按无风险利率借入或贷出资本；投资总风险可以用方差或标准差表示，系统风险可用β系数表示。

所有的投资者都是理性的，他们均依据马科威茨证券组合模型进行均值方差分析，作出投资决策；证券加以不征税，也没有交易成本，证券市场是无摩擦的，而现实中往往根据收入的来源（利息、股息和收入等）和金额按政府税率缴税。

证券交易要依据交易量的大小和客户的自信交纳手续费、佣金等费用；除了上述这些明确的假设之外。

还有如下隐含性假设：每种证券的收益率分布均服从正态分布；交易成本可以忽略不计；每项资产都是无限可分的，这意味着在投资组合中，投资者可持有某种证券的任何一部分。

(修改部分：CAPM的提出者是William. F. Sharpe 而不是Markowitz。

)2.CAPM理论的内容CAPM模型的形式E（Rp）=Rf+β（[（RM）-Rf]其中β=Cov（Ri，Rm）/Var（Rm）E（Rp）表示投资组合的期望收益率，Rf为无风险报酬率，E（RM）表示市场组合期望收益率，β为某一组合的系统风险系数，CAPM模型主要表示单个证券或投资组合同系统风险收益率之间的关系，也即是单个投资组合的收益率等于无风险收益率与风险溢价的和。

理论意义资本资产定价理论认为，一项投资所要求的必要报酬率取决于以下三个因素：（1）无风险报酬率，即将国债投资（或银行存款）视为无风险投资；（2）市场平均报酬率，即整个市场的平均报酬率，如果一项投资所承担的风险与市场平均风险程度相同，该项报酬率与整个市场平均报酬率相同；（3）投资组合的系统风险系数即β系数，是某一投资组合的风险程度与市场证券组合的风险程度之比。

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E[Rp] = λA + γB
(5)
Pre-multiply equation (4) by 1 to get
A = e V −1e
B = e V −11
C = 1 V −11
D = AC − B2
Pre-multiply equation (4) by e to get
e x = λe V −1e + γe V −11
Using equation (2) and our deﬁned scalars this reduces to
Doctoral Seminar in Asset Pricing (Four) Mean-Variance Analysis and the Capital Asset Pricing Model
1. Mean-variance Analysis
Suppose that you, as a risk averse investor, want a simple rule for choosing between various investment alternatives. One rule that you might consider is to select the investment that delivers the highest expected return for a given level of variance. That is, you might decide that you want to maximize expected return and minimize variance. Even if you had only a passing familiarity with economic theory, you would probably agree that this approach sounds quite sensible. Later on, we will see that the mean-variance rule of portfolio selection is fully consistent with expected utility maximization only under special circumstances. For the moment, however, we want to consider how an investor might behave under circumstances where the mean-variance approach is optimal.
2. Mathematics of the Portfolio Frontier
In this section we minimize the variance of a portfolio’s returns subject to a given level of expected return. Of course, this approach is equivalent to maximizing the expected return subject to a given variance, the pricing implications of which will be discussed in the next section. However, richer results concerning the characteristics of the portfolio frontier can be generated using the minimization approach. This section outlines the solution to the minimization problem and derives a number of interesting results concerning the portfolio frontier.
Let e be a vector of expected returns of assets and V be the co-variance matrix of the returns on these assets. Suppose investors choose portfolio weights x to minimize variance x V x subject to a given expected return on the portfolio, E[Rp] = x e and the constraint on the portfolio weights x 1 = 1. Our problem becomes
x = λV −1e + γV −11
(4)
Thus, we see that portfolios on the eﬃcient frontier are linear combinations of just two portfolios (V −1e and V −11).
Let’s solve for the Lagrange multipliers λ and γ so that we have an exact expression for the frontier portfolio x. For ease of exposition, we introduce the following notations.
min
x
1 2
x
V
x
+
λ(E
[Rp]
−
x
e)
+
γ
(1
−
x
1)
which has the following necessary and suﬃcient ﬁrst order conditions:

V x = λe + γ1
(1)
E[Rp] = x e
(2)
1=x1
(3)
1
Solving equation (1) for x yields