2017.9第二十章解直角三角形教材分析
数学人教版九年级下册《解直角三角形》教材分析
教材分析饶河二中薛怀杰本节内容是在学生学习了直角三角形三边的关系以及锐角三角函数的基础上进行的。
本节知识既是前面所学知识的运用，又是高中继续学习三角函数和解斜三角形的严重知识储备，在整个数学教学体系中起着承上启下的作用。
另外由于解直角三角形在实际生活中的应用比较广博，同时蕴含着建模、转化、化归的数学思想方法，所以学习本节知识对学生而言具有严重的意义。
直角三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，它对全面、深入地理解解直角三角形有着极其严重的作用。
由直角三角形的判定定理可知：对于直角三角形，如果已知除直角外的两个元素分别相等（其中至少有一个是边），那么这两个三角形全等。
从而一个直角三角形的大小由三边和两个锐角中的两个元素（其中至少有一个是边）唯一确定，因此从理论上说我们就可以利用一边和另一个元素求其余元素。
有了锐角三角函数知识，并结合直角三角形的两个锐角互余及勾股定理，就可以进一步地由这两个元素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角形。
可见解直角三角形与直角三角形全等的判定定理、勾股定理等已学知识有着密切的联系。
从联系的角度看待数学知识，加强数学知识之间的联系，对于养成优良的学习习惯，感悟数学学习、研究方法，培养分析和解决问题的能力，积累数学活动经验有着严重作用。
本节课要通过加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移。
教材中首先通过确定比萨斜塔倾斜程度问题引出解直角三角形的概念，接着通过一个“探究”栏目提出问题：在直角三角形中，除直角以外的五个元素之间有哪些关系？知道五个元素中的几个，就可以求其他元素了？将这个栏目中真正需要探究的第二个问题的思考过程完全留给学生，而直接给出结论：利用边、角之间的相互关系，知道三边和两个锐角中的两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的元素（俗称“知二求三”）；进而给出“知二求三”解直角三角形的例题示范；并安排相当数量的练习题，使学生对“知二求三”的可行性以及详尽求解方法有充分体验，获得较多的感性认识，让学生进一步感受到了数形结合的思想方法。
20章 解直角三角形教案
AB CACB怀柔区第四中学教案 （2017—2018学年第一学期） 赵春英 课题名称 20.1 锐角三角函数（） 授课类型 新授课 上课时间 2017、11、13--14 教学目标1.了解直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
2.理解三角函数正弦、余弦、定义式，在直角三角形中会求一个锐角的正弦值、 余弦值。
3、在直角三角形中分清角与边的对应关系，体会数形结合的思想重点难点 三角函数定义的理解。
直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。
教学方式 探究学习法技术准备 三角板，多媒体教学 过程一、课前复习：1、如果直角三角形ABC 中，∠C 为直角， 它的直角边是什么？斜边是什么？ 这个直角三角形可用什么记号来表示？2、直角三角形的三边关系---勾股定理_____________________直角三角形的三角的关系：_____________________3、根据图中的条件，标出其它的边长和角度：二、课上探究：（一）问题1:A ∠的对边斜边=_________=______问题2：这两个比值和三角板的大小有关系吗？得出结论： ________________________________________________ （二）新知在Rt △ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做 ∠A 的正弦，记作sinA ．把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．A ∠的邻边斜边CABDsinA = cosA=注：（1）正弦、余弦是指边的比值；（2）必须将角放在直角三角形中，才能反映到边上。
问题3：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦值的取值范围吗？得出结论: ___________________________（三）典型例题：例1：.求出如图所示的Rt △ABC 中，∠c=900 ,∠A 的正弦值、余弦值例2：已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高， CD=12，AD=9，BD=5求sinA ，cos ∠ACD, sin B, cos ∠BCD（四）试一试：请你参看课前预习的两图，计算一下，当∠A=30°,∠A=45°， ∠A=60°的正弦、余弦值 。
北京版九上《解直角三角形》教材分析2017.9
教学建议
• 3.重视数学思想的渗透——转化思想.
• （1）添加辅助线转化条件（向内与向外两种） • 将一般三角形（含特殊角）中的边角计算问
题通过作垂线 • 转化为解直角 • 三角形问题。 • 注意引导学生 • 做好对基本图 • 形的总结。
教学建议
• 3.重视数学思想的渗透——转化思想. • （2）设参转化未知数（知一求三）
• 《20.5测量与计算》中列举了很多日常生
产和生活中的应用问题。
教学建议
• 3.重视数学思想的渗透——模型思想.
•
充分利用教材例习题，让学生在解决实际 问题的过程中感悟模型思想，感受数学的应 用价值，发展运算能力、抽象能力、发现和 提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
教学建议
• 1.让学生经历知识的形成过程.
•
特殊角三角函数值的得出，让学生充分利用 手中的一副三角板，自己动手计算，建立起数与形 的联系，发展运算能力，空间想象能力。
教学建议
• 2.注意知识间的联系.
•
B
A c a b C
解直角三角形是对直 角三角形有关知识的复习 巩固和进一步深入的应用， 教学中要引导学生总结直 角三角形中除直角外其他 五个元素之间的关系式， 这是解直角三角形的理论 依据。
教学建议
• 解直角三角形的教学，重在让学生体会怎样从已知
到未知，由计算中的逻辑推理，进一步提升学生的 逻辑思维能力，而不宜急于总结类型，待学生经历 过之后，再引导学生梳理总结。
教学建议
• 3.重视数学思想的渗透——数形结合.
本章内容是初中数学中“数”与“形” 结合得较紧密的部分。从概念的引出到公式 的推导及直角三角形的解法和应用，无不体 现了数形结合的思想方法。 • 教学中要让学生多画图帮助分析，帮助学生 养成“结合图形思考”的思维习惯。
解直角三角形教材分析
让学生经历概念的形成过程
正弦函数的值在本质上是一个“比值”， 可结合图1做引导：
y
①正弦函数是一个比值；②这个比 是∠α的终边上任意一点的纵坐标与 这点到原点的距离的比值；③这个 比值随∠α的确定而确定，与点在 ∠α的终边上的位置无关
A2 A1
紧扣函数这一概念，让学生找出上述 “比值”中的自变量、函数以及它们的 对应规律（这时，自变量是∠α，函数 是“比”。之所以将这个“比”叫做 ∠α的函数，是因为对于∠α的每一个确 定的值，都有一个确定的比值与之相对 应。）
A的对边
斜边
a c
cos A
A的邻边
斜边
b c
tan A
A的对边 A的邻边
a b
sinB
B的对边
斜边
b c
cosB
B的邻边
斜边
a c
tanB
B的对边 B的邻边
b a
5、重视数学思想的教学
1）构造垂线的转化思想 （添设辅助线时,以不破坏特殊角的完整性为准则）
2）方程思想 P91/练习1
60°
B
3）数形结合思想
A
DF
30°
6、重视基本图形教学
A
A
A
300 450 ┌
300
B
C
DB
60┌0 C AD
450 60┌0 BC D
A
300
B
300
┌ 450
B
D
C
A 600
DC
B
600 ┐ D
450
C
五、典型例题
1、已知 sinA 12，则锐角A的度数是
（）
A、300 B、450 C、600 D、750
初中数学_解直角三角形应用复习教学设计学情分析教材分析课后反思
《解直角三角形应用复习课》教学设计【复习目标】1能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决实际问题；2.在分析解决问题的过程中发展数学应用意识和数学建模、用数学模型解决问题能力.【复习重、难点】重点：利用解直角三角形的知识解决实际问题.难点：如何把实际问题转化为数学问题来解决.教学过程1. 【知识梳理】三角函数的应用：出示课件，复习几个主要概念，学生口答1.仰角与俯角：请将仰角和俯角填入图1对应位置.2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），一般用i 表示.即ｉ＝ ＝ .3.方位角：位于点O 北偏东30°的是点 ；位于点O 南偏东60°的是点 ；位于点O 西北方向的是点 .CB A 60°45°东 30°北O图1 图2 图3【典例解析1】教师出示投影片，出示例一如图，小明想测山高和索道的长度，他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°,已知山高180米．求BC的长．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）分析：引导学生将实际问题转化为数学问题，构建两个直角三角形，利用三角函数求出BD和CD 利用 BC=BD-CD即可求出。
此题中两个直角三角形已知边和角可以直接求解。
【变式练习】教师出示投影片(2014年青岛中考) 如图，小明想测山高和索道的长度，他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m 至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）教师：将实际问题转化为数学问题，思考，此题中的两个直角三角形可以直接解吗？你有什么方法解决这个问题？先独立思考后小组交流。
初中数学_解直角三角形及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思
D AX60°45° BCX -103、特殊角的三角函数：30° 45° 60° αsinαcosαtan例题讲解例1 如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房,在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45 °，楼底D 的俯角为30 °，求楼CD 的高？(结果保留根号)例 2 又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”。
学生甲、乙位置如图所示，甲看塔顶仰角为60°，乙看塔顶仰角为30 ° ；两人身高都是1.5m ，两人相距20m ，求白塔的高度（结果精确到1米）．例1的设计立足教材，是对课本例4的复习，既让学生熟练掌握课本中基础的题型，又对解直角三角形的知识进行回顾，同时为例2搭建了一个台阶。
例2是例1的变式练习，是中考的热点和难点问题之一，也是这一章节学生的难点问题，这节课的重点就是要解决这类问题。
在例题的选取上，选用了这类问题最典型的一个题目，目的就是通过对这个问题的分析，帮助学生把这一类问题进行数学化，并构建数学模型解决这一类问题。
总结提高模型总结：通过对例题的分析，引导学生对例题进行模型化分析，通过对模型的变式分析，提高学生分析问题解决问题的能力，通过学生自己参与知识的总结过程，经历知识的“再发现”过程，提高学生学习数学的能力和兴趣。
X60°30°DB10 CA101045°30°B CADx xB45°C60° AX1010达标检测1：（2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长．（参考数据：3=1.73）2：海中有一个小岛A，它的周围20海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东45°方向上，航行10海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？达标检测在对例题模型化分析的基础上，进一步让学生利用所学知识将实际问题数学化，建立数学模型解决实际问题。
初中数学_解直角三角形教学设计学情分析教材分析课后反思
C BAc b aABCaα(第2题图)1.4解直角三角形一、学习目标（本节课我应该学会）1.运用直角三角形两锐角互余、勾股定理、三角函数关系解直角三角形.2.会选择适当三角函数来解直角三角形.3.总结出解直角三角形至少所需的条件；争取养成独立思考、积极合作、勇敢展示、大胆质疑的好习惯和克服困难的勇气. 重点：解直角三角形.难点:会选择适当三角函数来解直角三角形. 二、学习流程 学习流程： 【知识链接】一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？ (1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系: (3)边角之间的关系:1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，a =5，b =12，那么sin A = _____cosA=______；sin B= _____,cosB=______；tanA = ______, tanB = ______. 2.为了测量河两案A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于 ．A . a ·sin α B. a ·tan α C. a ·cos α D. tan a3.特殊角的三角函数值4.在Rt △ABC 中，∠C =90o，a =3,b =3, ∠A =BC（第1题）【独学新知】（参考值：sin 25o ≈0.4226，cos25o ≈0.9063，tan25o≈0.4663）指导：学习课本16页至17页的内容，一定要独立做例题，后对答案，标注自己的疑惑和新发现；再结合以上的学习，思考下列问题：1.第16页的例1，已知哪些条件？你还有其它解法吗？请补充上.2.第16页的例2，已知条件是： ; 试总结出例2的解题方法： . 归纳总结：由例1、例2，可知， ，叫做解直角三角形.在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，至少再知道什么元素，这个三角形的未知元素就可求出？ . 例3.在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°,且AC=4，求这个三角形的其他元素（边长可保留根号）.【合作交流】例1、例2、例3分析的方法、解答过程、新的收获、存在的疑惑。
“解直角三角形”教材分析与教学建议
“解直角三角形”教材分析与教学建议注明：本文以青岛出版社和泰山出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《数学》（七—九）年级为版本（以下简称“教材”）展开讨论。
该套教材共分六册，计34章，其中“解直角三角形”是八年级下册的第九章。
为帮助教师更好的钻研教材，从而使用教材（用别版本教材的教师可参考），引导学生学好直角三角形的有关知识，我们首先就本章的教材内容、学生的学情与学法进行分析，然后在此基础上提出教学建议。
一．教材分析1.内容总体安排本章的主要内容是锐角三角比（也叫锐角三角函数）的概念（主要指正弦、余弦和正切的概念）以及利用锐角三角比解直角三角形，这些内容是中学阶段三角学的基础知识。
本章内容是在同学们学习了相似三角形、勾股定理和函数等有关知识的基础上研究的，这些知识是学习本章内容的直接基础。
本章的重点是锐角三角比的概念和直角三角形的解法；学生学习的难点是锐角三角比的概念，因为锐角三角比的概念反映了一个锐角的度数与实数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及sin A，cosA，tanA等函数的符号表示方法，学生都是第一次接触，所以，同学们理解和认识起来都有一定的难度。
学习本章的关键是结合图形，遵循“从特殊到一般，从实践探索到证明”的方式呈现正弦函数概念，在学生通过实验、观察、归纳、猜想等求知过程的基础上，建立起角度与数值之间的对应关系，从而正确掌握锐角三角比的概念，真正理解直角三角形中边、角之间的关系。
本章内容分为五节，第一节主要学习正弦、余弦和正切的概念；第二节研究了几个特殊角（300，450，600）的三角比的求法；第三节介绍了用计算器求锐角三角比的方法；第四节主要研究了直角三角形中的边角关系和解直角三角形的知识；第五节用多个具体例子说明了解直角三角形的应用，并总结出用三角比的知识解决实际问题的一般过程。
这个过程强调了数学建模的构建，凸显了数学建模的思想，强化了数形结合的思想。
可以说第一节是后面四节内容的基础，后面的内容是第一节内容的应用，通过后面四节的学习，又巩固和提高了对基础内容的学习，使同学们对函数的概念及其本质有了更深层次的认识。
解直角三角形教材分析
解直角三角形教材分析教学目标：1使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。
并能应用这些概念解决一些实际问题。
2使学生进一步掌握三角函数的概念，并能熟练运用此概念探索30°、45°、60°等角度的三角函数值，培养学生运用知识解决问题的能力。
3、使学生能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题。
4、能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。
使学生进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
5、使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
由于实际问题的内容是多种多样的，要把这些问题转化为解直角三角形的教学问题，对分析问题能力的要求比较高，这使得学生感到困难。
所以它也是本章学习内容中的一个难点。
我认为，《解直角三角形的应用》第一节课，起着承上启下的作用，既要让学生了解在解直角三角形的应用中常见的问题，又要能够正确理解实际问题的题意，看懂题中给出的示意图，学会能够在示意图中找出或者添加必要的辅助线，构成合适的直角三角形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，进而解决问题。
因此在教学中，引导学生，审清题意，并根据题意画出示意图。
结合图形，求得结论。
教学重点、难点：重点：1、理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系；2、能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。
3、体会三角函数在解决问题过程中的作用。
4、发展学生数学应用意识和解决问题的能力。
难点：1、用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
初中数学_解直角三角形教学设计学情分析教材分析课后反思
解直角三角形复习教学设计一、 学习目标：1、理解并准确说出锐角三角函数的定义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值。
2、能够把实际问题转化为解直角三角形问题。
3、体会数形结合、转化思想在解题中的应用。
二、 课堂前测：1、在R t △ABC 中，AC=3，BC=4,则sinA= 、 tanA= 。
2、已知：在△ABC 中，∠C=90°，AB=6,sinB= ,则AC= ,BC= .3、4531()=∠=︒-αα则，2310sin A四、 典型例题例1、在△ABC 中，已知，∠A=60°，∠B=45°，AC=12 求：AB 的长和△ABC 的面积。
对应练习1，如图所示，在R t △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB,D 为垂足，若AC=4，BC=3, 则sin ∠ACD 的值为例2，如图，为测量某建筑物AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30° 在水平地面向AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得A 点的仰角为60° 则建筑物AB 的高度为对应练习：如图，轮船沿正南方向以30海里/小时的速度匀速航行， 在M 处观测到灯塔P 在南偏西68°方向上，航行2小时 后到达N 处，观察灯塔P 在西偏南46°方向上，若该轮船 继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离 约为 （sin68°=0.9272,sin46°=0.7193 Sin22°=0.3746，sin44°=0.6047）A 、22.48B 、41.68C 、43.16D 、55.63五、 自主探究1、 在平行四边形ABCD 中,连接BD ，AD ⊥BD,AD=4,sinA= 则平行四边形ABCD 的面积是2、已知等腰三角形的两边长是5和8，则此等腰三角形底角的余弦值为 。
初中数学_解直角三角形教学设计学情分析教材分析课后反思
六．教学设计课题解直角三角形课时 1教学目标:1.了解解直角三角形的概念并能由已知条件解直角三角形及实际问题。
2.通过对全章知识的回顾引出一些解直角三角形的问题再由学生自己发现解直角三角形一般具备的三种已知条件得情况并由此掌握解直角三角形的含义和方法教学重点与.难点直角三角形的解法.教学方法一、本章知识结构图直角三角形中的边角关系____ 锐角三角函数________解直角三角形________实际问题二、回顾与思考1.（1）锐角三角形函数是如何定义的？（2）直角三角形的边角关系包括哪些内容？2. 总结直角三角形的边角关系，完成下面的表格教学内容师生行为设计意图一、复习引入教师提出问题，引起学生思考，然后有学生来回答回顾复习直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系以及锐角三角函数的有关知识二、回顾汇总教师根据学生的回答归纳教师提出问题，引导提示学生思考总结回顾复习汇总，为解直角三角形打下基础三、典型例题例1在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB ?教师：1、就学生分析简要讲评。
2、有学生板书出过程，强调做题规范性然后出示解题过程,让学生自己批改,可以发现自己的不足五．学情分析通过以前的数学学习，大多数学生已能用数学思想来思考问题，能与教师或同学一起来分析问题。
但由于各种因素的影响，学生发展参差不齐。
部分学生对学过的知识点掌握不牢固，做题没有把握，讲不出原因。
八．效果分析1. 学生在数学课堂上不积极参与，缺少主动发言的热情或根本不愿意发言;另外，相当一部分学生在听课时跟不上老师的节奏。
2. 学生对数学课堂知识的理解不全面，课外花的冤枉时间多。
大部分学生对书本知识不够重视，找不到数学学科复习的有效载体，不能有效的利用课本，适时地回归课本。
3．学生缺少教师明确的指导，在复习时缺乏系统安排和科学计划，或者学习和复习没有个性化特点, 导致学习效果不明显。
解直角三角形教学设计
解直角三角形教学设计作为一位无私奉献的人民教师，很有必要精心设计一份教学设计，教学设计是连接基础理论与实践的桥梁，对于教学理论与实践的紧密结合具有沟通作用。
教学设计应该怎么写呢？以下是店铺收集整理的解直角三角形教学设计（通用5篇），供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
解直角三角形教学设计1教学目标：理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力。
教学重点：能运用直角三角形的角与角（两锐角互余），边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形。
教学难点：能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形，提高分析问题、解决问题的能力。
教学过程：一、课前专训根据条件，解下列直角三角形在Rt△ABC中，∠C＝90°（1）已知∠A＝30°，BC＝2；（2）已知∠B＝45°，AB＝6；（3）已知AB＝10，BC＝5；（4）已知AC＝6，BC＝8。
二、复习什么叫解直角三角形？三、实践探究解直角三角形问题分类：1、已知一边一角（锐角和直角边、锐角和斜边）2、已知两边（直角边和斜边、两直角边）四、例题讲解例1、在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°．求AB．例2、⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长（精确到0.1）．五、练一练1．在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，求平行四边形的面积．2．求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1）．六、总结通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．七、课堂练习1．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于_________．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＋b＝＋3，解这个直角三角形．3．求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积．八、课后作业1．在菱形钢架ABCD中，AB=2 m，∠BAD=72，焊接这个钢架约需多少钢材（精确到0.1m）2.思考题（选做）：CD切⊙O于点D，连接OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin ∠COD ＝，求：（1）弦AB的长；（2）CD的长．解直角三角形教学设计2一、教学目标(一)知识教学点使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
初中数学_解直角三角形教学设计学情分析教材分析课后反思
解直角三角形复习目标：1.熟记特殊角（30°，45，60）的三角函数值，在理解三角函数定义的基础上进行有关的计算和解答。
2.能够利用直角三角形的边角关系，解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题，提高应用知识的能力（一）复习导入：我们知道直角三角形是一种非常重要的数学图形，在解决几何问题中发挥至关重要的作用。
学习中你能熟练应用直角三角形的边角关系解决问题吗？这节课我对同学们的表现拭目以待。
（二）展示目标：下面同学们看下我们这节课要达到的复习目标。
老师同时板书课题 （三）教学过程下面就各知识点检查一下同学们的复习情况。
活动一：师生共同回忆直角三角形的边角关系： 直角三角形中的边角关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边. 1.三边之间的关系：________.2.两锐角之间的关系：_____________.3.边角之间的关系：sinA= ，sinB= ，cosA= cosB= ，tanA= ，tanB= 由此我们发现同角及互余两个锐角的三角函数值有什么关系？ 生1：相同的两个锐角的三角函数有以下两种关系：22sin (1)tan (2)sin cos 1cos A A A A A=+=生2：互余的两个锐角三角函数有以下关系：(1)sin cos (2)cos sin (3)tan tan 1A B A B A B ==⋅=师：以上两位同学回答的很好。
解直角三角形依据条件有哪两种类型？ 生：可能已知两边或一边一角。
师：我们称为知2求3，那么条件中必须有一个什么样的条件？ 生：必须有一条边是已知的。
师：同学们回答的很好。
我们可以总结为：知2求3，必有一边。
所以我们解直角三角形就是结合勾股定理及三角函数的定义求出未知元素的过程。
活动二：特殊角的三角函数值师：特殊角的三角函数值你还记得吗？下面请同学回答一下。
生：按照表格顺序向下填下师：回答的很准确。
解直角三角形教材分析
解直角三角形”教材分析锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用．锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础．因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一．一、教学内容本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用．研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想．因此本章还包含了数形结合的思想．本章内容之间的相互关系可用如下的结构框图表示：框图说明：（1）现实生活中的边角之间存在着确定的数量关系，例如当斜面的倾斜角确定时，斜面的高度与斜面在水平方向的距离之比随之确定，说明斜面的倾斜角和斜面的高度与斜面在水平方向的距离的比值之间存在着某种函数关系．（2）锐角三角函数是指本学段所学的三角函数限定在锐角，本章所指的锐角三角函数包括正弦（sin A）、余弦（cos A）和正切（tan A）三种．（3）三角函数的计算包括已知锐角求三角函数值和已知三角函数值求锐角两个方面，当已知角或所求的角不是30°、45°和60°这三个特殊角时，需要使用计算器进行计算．（4）锐角三角函数的运用主要包含解直角三角形与现实生活中的实际问题两个方面，而能用锐角三角函数解决的实际问题，都可归结为解直角三角形的数学问题，因此，锐角三角函数的运用核心是解直角三角形．二、教学要求三、各节内容分析第1课时§25.1测量【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解决生活中某些测量问题。
【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。
【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。
【教学方法】探究法两种测量的方法：方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长；方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。
初中数学_解直角三角形复习课教学设计学情分析教材分析课后反思
《解直角三角形复习课》教学设计【课型】复习课【学习目标】1．掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。
2．熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。
3．会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题【重难点】运用直角三角形的知识解决实际问题。
【教学过程】一、引入训练二、回顾复习1、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，BC ＝3，AC ＝4，则sinA= （ ） 2、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦（ ）A 、都扩大2倍B 、都扩大4倍C 、没有变化D 、都缩小一半3、∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ （ ）4、若∠A 为锐角，且tanA ＜ ，则∠A （ ）A 、小于600B 、大于300C 、大于45且小于600 D、大Ａ Ｃ于600三、认定目标（出示目标）.1.掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。
2.熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。
3.会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题四、构建知识结构图五、合作探究1、分组合作①学生分组合作进行探究，②师巡视课堂，参与到学生的活动中，解决学生遇到的问题2、出示展示分工及要求要求：①书面展示要分层次，要点化，书写要认真、规范。
②非展示的同学讨论完毕后巩固基础知识，整理导学案，并迅速浏览展示同学的答案，准备点评。
③提高效率，不浪费一分钟，组长做好检查。
3、出示点评分工及要求要求：1、面向同学，声音洪亮，语言精练，自然大方。
2、点评时注意对题目思路和方法的分析，点明注意事项，并总结方法和规律。
3、其他同学要求认真倾听，积极质疑，补充点评。
六、激情点评（生进行点评、补充、质疑，师予以强调总结）任务一1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm =则SinA=cosA=2、Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=54,AB=10,则BC ＝3、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝5、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为（ ）A 、asinAB 、 A a sinC 、acosAD 、Aa cos 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ）A 、41cmB 、21cm C 、43cm D 、23cm 任务二1、sin600－2sin300cos300 2. sin300－cos 24503. 2cos450+|32-|4.0045cos 360sin 2+5、现要建造一段水坝，它的横截面是梯形ABCD ，其上底CD ＝4米，斜坡BC 的坡度2:1=i ，31tan =A ，坝高DE ＝6米.求截面梯形的面积；任务三1、数学实验课上，同学们调查知道：本乡镇位于 距离学校不远处最高的山顶上的电信发射台铁塔高30米，为了测量此小山相对学校的高度，在学校里操场上用自制的测仰角的仪器做测试实验，如图：在一个地方测的仰角为α=45°，仰角β=60°，求此山的高。
解直角三角形教案
解直角三角形教案解直角三角形教案1教材与学情：解直角三角形的应用是在学生熟练掌握了直角三角形的解法的基础上进行教学，它是把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题，对分析问题能力要求较高，这会使学生学习感到困难，在教学中应引起足够的重视。
信息论原理：将直角三角形中边角关系作为已有信息，通过复习（输入），使学生更牢固地掌握（贮存）；再通过例题讲解，达到信息处理；通过总结归纳，使信息优化；通过变式练习，使信息强化并能灵活运用；通过布置作业，使信息得到反馈。
教学目标：⒈认知目标：⑴懂得常见名词（如仰角、俯角）的意义⑵能正确理解题意，将实际问题转化为数学⑶能利用已有知识，通过直接解三角形或列方程的方法解决一些实际问题。
⒉能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生思维能力的灵活性。
⒊情感目标：使学生能理论联系实际，培养学生的对立统一的观点。
教学重点、难点：重点：利用解直角三角形来解决一些实际问题难点：正确理解题意，将实际问题转化为数学问题。
信息优化策略：⑴在学生对实际问题的探究中，神经兴奋，思维活动始终处于积极状态⑵在归纳、变换中激发学生思维的灵活性、敏捷性和创造性。
⑶重视学法指导，以加速教学效绩信息的顺利体现。
教学媒体：投影仪、教具（一个锐角三角形，可变换图2－图7）高潮设计：1、例1、例2图形基本相同，但解法不同；这是为什么？学生的思维处于积极探求状态中，从而激发学生学习的积极性和主动性2、将一个锐角三角形纸片通过旋转、翻折等变换，使学生对问题本质有了更深的认识教学过程：一、复习引入，输入并贮存信息：1.提问：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°。
⑴三边a、b、c有什么关系？⑵两锐角∠A、∠B有怎样的关系？⑶边与角之间有怎样的关系？2.提问：解直角三角形应具备怎样的条件：注：直角三角形的边角关系及解直角三角形的条件由投影给出，便于学生贮存信息二、实例讲解，处理信息：例1.（投影）在水平线上一点C，测得同顶的仰角为30°，向山沿直线前进20为到D处，再测山顶A的仰角为60°，求山高AB。
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5
3 2006
0
0
6 tan 30
- （
- 1） + |-2|.
1 ( ) 1 ( x 2 1) 0 2 3 1
2
练习：如图,p是∠α的边OA上一点,且p点 坐标为(3,4),则sinα= cosα=
A 的 邻 边b B 的 邻 边a c o s A c o s B 斜 边 c 斜 边 c
A 的 对 边a t a n A A 的 邻 边b
B 的 对 边b t a n B B 的 邻 边a
（四）重视基本图形教学，注意数形结合。
A A A
B
300
五、教学建议
（一）重视概念教学
锐角三角函数感念是学习本章的关键。它反映 的是角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数 之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、 cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因 此对学生来讲有一定的难度。只有正确掌握了锐角
三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、
求sinB的值。 练习1.在Rt△ABC中，如果各边长度都 扩大2倍，那么锐角A的正弦值（ A.没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定
2.在△ABC中，∠C=90°，BC=5, AB=13,那么sinA的值等于（ 5 12 13 Ａ． Ｂ． Ｃ． 12 13 5 ）．
5 Ｄ． 13
）
二、课时安排
本章教学约需13课时，具体分配如下（仅供参考）： 20.1 20.2 20.3 20.4 锐角三角函数 30°、45°、60°角的三角函数值 用科学计算器求锐角三角函数值 解直角三角形 3课时 1课时 1课时 2课时
20.5
测量与计算
4课时
2课时
小结与复习（测试）
三、知识结构
直角三角形
三角形中边与边、边与角之间的制约关系从数量上加以揭示。 解决这类问题需要进行计算。三角形中的计算和逻辑思维是密不可分的。
解直角三角形体现了数形结合，数形结合的桥梁是锐角三角形。解直角 通过这部分知识的学习，可使学生获得用所学数学知识解决实际问题的成功 三角形提供了一种以计算手段处理几何问题的途径和方法。 体验，提升用数学的意识，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。 有些简单的几何图形通过做垂线可分解为直角三角形和特殊的四边形， 从而也能用本章知识加以处理；圆中有关半径、弦长及圆的正多边形中的有 关问题都可以划归为解直角三角形的问题。高中立体几何、物理学科许多问 题也需要通过解直角三角形来解决。
的边角关系
锐角 三角函数
解直角
实际
三角形
问题
本章知识 展开顺序
整体把握
运算、建模
核心 能力
锐角三角函数 解直角三角形
核心知识
解直角 三角形
核心 思维
核心方法
数形结合
特殊到一般
转 化
教学目标
在直角三角形中能利用定义表示直角三角形的两边比。 2.经历求特殊锐角三角函数值的过程，知道300、450、600角的三 角函数值。 3.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数
解直角
三角形
理解解直角三角形的概
念.
2.能利用锐角三角函数的有关知识解直角
三角形.
四、重点、难点和关键
重 点： 锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。
特殊锐角的三角函数值也非常重要，应该让
学生牢记。 难点和关键： 1.锐角三角函数的概念既是本章的难点，也 是学习本章的关键； 2.运用解直角三角形的知识解决简单的实际 问题。
1.sinA是∠A的函数，也就是说对于每一个 ∠A都有唯一确定的值sinA和它对应。
根据直角三角 形定义，依赖 于形，超越于 形，与边长大 小无关.
2.在这个函数中，变量A是一个角度，另一个变量sinA是一个比 值，而函数法则是边之间的关系，此函数沟通了直角三角形 中边、角之间的关系。 3.学生对表示符号的认识需要一个过程 ： sinA不是 sin与A 的乘积；如sinA，不写sin∠A；∠APB的正弦写sin∠APB，不 写sinAPB 。 4.２sinA尽量不写成sinA •２
sin 60 0 1 5. 0 2 sin 30
20.1.1
锐角三角函数---正弦
锐角的正弦是本章的起点，同时又是重点。锐角的
正弦概念的建立应让学生经历一个从特殊到一般的 认识过程。 直角三角形中，三条边组成六个比，其比值都是固 定不变的，因有倒数关系，故只研究其中的三个就 够了。
例1.已知：在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，AC=3， BC=4，求sinA和sinB的值．
角三角函数值的变化规律；
2.利用几何画板验证一般锐角三角函数值的变
化规律及范围；
3.让学生尝试从理论上说明猜想的正确性。
80页例3例4 教材81页例4的说明：
本例题运用了等角代换的方法，将所求角从一个
直角三角形中转移到另一个直角三角形中，从而使计
算简单。尝试让学生在一题多解的方法中体会三角函 数的简洁，体会等角的三角函数值相等。 这种思想在将来的习题中，特别是圆中，经常会 用到，所以教学时要加强重视。
（4）构造直角三角形后用定义求锐角三角函数值 （P82练习3）
练习1已知：如图，△ABC中,∠A=90°,AB=AC, D为AC 上一点，AD:DC=1：2
（1）求∠ADB的三角函数值。
（2）求 ∠DBC的三角函数值。
练习2如图，在△ABC中
3 ∠A=30°,tanB= 2
AC=2
,
3
求AB
（补充）直角三角板的组合问题-----分类讨论
C
450
┌
D
B
300
C
600 ┌
D
450
600
B
C A
┌
D
A
A
300
┌
D
450
300
┌
600
B
C
B
D
C
B
600
┐
450
D
C
六、章节分析
关于引例的思考
体现测量物高的多样性：1.可由相似的知识得到； 2.可由解直角三角形的知识得到。
最重要的目的：感受数学 知识来源于生活，反之又
可以解决生活中的问题。
20.1
2017年中考说明
考试内容 考试要求
A
1.理解锐角三角函数
B
C
（sin A，cos A，tan A） 1.能利用锐角三角函数的有关知识解直角
锐角 三角形
的概念； 2.知道30°，45°， 60°角的三角函数值.
三角形；
2.能利用锐角三角函数的有关知识解决一
些简单的实际问题 . 运用直角三角形的有 关内容解决有关问题 1.会解直角三角形；
,则斜边长是
20.1.2
锐角三角函数---余弦、正切
A 的对边 a sinA 斜边 c
A 的邻边 b cos A 斜边 c
A 的对边 a tan A A 的邻边 b
可以让学生类比正弦函数的研究方法，更好的体会函 数思想。
教材80页交流
关于确定函数值范围的建议： 1.引导学生经历从特殊角的函数值猜想一般锐
1. 探索锐角三角函数的概念的形成过程，认识锐角三角函数概念，
值求它的对应锐角。
4.能用锐角三角函数值解直角三角形，能用相关知识解决一些简 单的实际问题。
5.结合实际问题情景认识仰角、俯角、坡角等与测量有关的术语。
6.通过本章的学习，进一步认识函数，体会函数中变化与对应的 思想；进一步感受数学与实际生活的联系。
第二十章解直角三角形
大峪中学分校 朱建奇
提
纲
一、教材地位和内容 二、课时安排
三、知识结构
四、重点、难点和关键 五、教学建议
六、章节分析
一、教材地位和内容
锐角三角函数的概念是以相似三角形和勾股定理的知识为基础的，它的 解直角三角形的知识在实际生活中有着十分广泛的应用，特别是在测量、 建立是对代数中已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野，也将 建筑学、物理学等方面起着十分重要的作用。解决此类问题的关键是要认真 是高中阶段学习任意角的三角函数的重要准备。 分析题意 ,善于将已知条件和未知归结到一个三角形中,然后利用直角三角形 解直角三角形是建立在锐角三角函数的有关基础知识之上的，有广泛的 的知识加以解决。直角三角形是一种抽象的数学模型，一个实际问题要转换 实际应用。解直角三角函数实质上是对直角三角形作定量的研究。即对直角 为解直角三角形的问题，必须在图形中找到要解的直角三角形。
这部分的相关计算题是中考会涉及到的，应多加练习。
1、计算： 22 2、计算：
2
8 sin 45 21 (3.14 )0
0
2 cos60 t an305 4、计算：sin30°+ 2 5、计算： t an60
1 27 2
（二）紧密联系实际，培养用数学的意识。
同一图 形，不 同情境
┌
91页 102页
（三）加强知识间的纵向联系
2 2 2 b c （1）三边之间的关系 a （勾股定理）
（2）两锐角之间的关系 ∠A ＋∠B＝90° （3）边角之间的关系
A 的 对 边a s i n A 斜 边 c
B 的 对 边b s i n B 斜 边 c
对边与斜边的比值随∠A的变化而变化
一个变量（锐角的对边与斜边的比值）随另一变量（锐角大小）的变化而变化 对于每一个确定的X（锐角大小）Y（锐角的对边与斜边的比值）都有唯一确定 的值与之对应 我们把锐角∠A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦 记作：sinA=