2017数学建模 计算机仿真
计算机仿真-数学建模
§2 对偶理论与灵敏度分析
• 2.1 原始问题和对偶问题
1.对偶问题 考虑下列一对线性规划模型：
max cT x s.t. Ax b, x 0 (P) min bT y 和 s.t. AT y c, y 0 (D)
称（P）为原始问题，（D）为它的对偶问题。 不太严谨地说，对偶问题可被看作是原始问题的“行列转置”：原始
1.1 线性规划的实例与定义
例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润 分别为4000元与3000元。生产甲机床需用 机器加工， 加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用 三 种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于 加工的机器时数分别为 机器10小时、 机器8小时和 机器 7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润 最大？
为线性函数，故被称x为1,线x2性规0 划问题。
1.2线性规划的Matlab标准形式
• 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最
小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于
号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab中
规定线性规划的标准形式为
min cT x such that Ax b
问题中的第 列系数与其对偶问题中的第 行的系数相同；原始目标函数的 各个系数行与其对偶问题右侧的各常数列相同；原始问题右侧的各常数 列与其对偶目标函数的各个系数行相同；在这一对问题中，不等式方向 和优化方向相反。
对偶问题的基本性质
14、 可对行称解性是：最对优偶解问时题的的性对质偶：是设原问是题原。问题的可行解， 2是、对弱偶对问偶题性的：可若行解是，原当问题时的，可是行最解优，解是。对偶问题的可 行5、解对。偶则定存理在：。若原问题有最优解，那么对偶问题也有最 3优、解无；界且性目：标若函原数问值题相（同对。偶问题）为无界解，则其对偶 问6、题互（补原松问弛题性）：无若可分行别解是。原问题和对偶问题的最优解。
数学建模之计算机模拟
武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 制作
数学建模之计算机模拟
• • • • • 什么是计算机模拟 为什么要进行计算机模拟 适用于计算机模拟解决的问题 计算机模拟步骤 计算机模拟应用举例
什么是计算机模拟
• 计算机模拟也叫计算机仿真，是用计算机对一个 系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测 一个系统的行为效果，为决策提供信息的一种方 法，即：用计算机程序直接建立真实系统的模型， 并通过计算了解系统随时间变化的行为或特性。 • 计算机模拟分为连续系统仿真和离散系统仿真两 大类，这里只对离散系统作初步介绍。
9.98 T ( 1)*1000 184.84 6
计算机模拟应用举例
• 事件步长法：以事件发生的时间为增量， 按时间的进展，一步一步地对系统行为进 行仿真，直到预定的时间结点为止。 • 事件步长法中常用事件表法。
– 事件步长法与时间步长法的主要区别：
• 仿真时钟步长不同 • 步长大小对精度的影响不同 • 每步中对系统状态的扫描不同
I f ( x)dx
a b
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
•
例2 排队过程 某商店只有一个收款台，顾客到 达收款台的时间间隔服从均值为4.5 的负指数分布，每个顾客的服务时间 服从均值为3.2、标准差0.6的正态分 布。这里时间单位是分钟，且服务时 间不取负值。以100个顾客接受服务 情况估计每个顾客的平均等待时间、 最大队长、收银员的工作效率。
dST WI * SI WO * SR dT ST 其中，SR V 0 (WI WO)* T
初始条件为ST|T=0=S0
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
•
例1 池水含盐量问题
2017年全国研究生数学建模竞赛B题
2017年中国研究生数学建模竞赛B题（华为公司命题）面向下一代光通信的VCSEL激光器仿真模型随着互联网技术的快速发展，家庭固定网络速度从原来的2Mbps、10Mbps，快速发展到了今天的百兆（100Mbps），甚至千兆（1000Mbps）光纤宽带入户。
“光纤宽带入户”，顾名思义，就是采用光纤来传输信号。
光纤中传输的激光信号具有远高于电信号传输速率的特点(激光信号传输带宽远大于电信号传输带宽)，更适合于未来高速率的传输网络。
工程师们在光纤通信传输系统设计前，往往会通过计算机仿真的方式研究系统设计的指标，以便快速找到最适合的解决方案。
因此在进行系统仿真时，需要准确掌握系统中各个器件的特性以保证仿真模型的精度。
激光器作为光纤通信系统的核心器件是系统仿真中需要考虑的一个重要因素。
与我们生活息息相关的激光器种类繁多，其中的垂直腔面发射激光器（VCSEL: Vertical Cavity Surface Emitting Laser）具有使用简单，功耗较低等特点，一般VCSEL 的工作电流在6mA~8mA。
本题的主要任务，就是得到能准确反映VCSEL激光器特性的数学模型。
激光器输出的光功率强度与器件的温度相关，当器件温度（受激光器自身发热和环境温度的共同影响）改变后，激光器输出的光功率强度也会相应发生变化。
在进行建模时，我们既要准确反映VCSEL激光器特性，还要考虑：1.激光器输出的功率强度与温度的关系——即该激光器可以在多大的外界环境温度范围内使用；2.如何设计激光器参数可以使激光器具有更大的传输带宽（即S21曲线上纵坐标-10dB位置对应的横坐标频率值更大）——即可以实现更快的传输速率。
1问题1：VCSEL的L-I模型L-I模型，即激光器的工作电流与输出光功率强度关系模型（L：light，表示光功率强度，也可以表示为P ；I ：Intensity of current ，表示工作电流）。
激光器是将电能转换成光能的半导体器件，能量转换的过程，也是电子的电能转换为光子的光能的过程，在转换过程中，伴随着电子的运动，半导体器件会产生一定的热量。
2017全国大学生数学建模竞赛解析演示文档
巡视，而每名工人的上班时间向后错
下，可以不巡视，但要在相应点
35分钟，即在前一位工人开始巡视的
处休息，休息的时间就是该点的
35分钟之后，再安排另一名工人巡视。 巡视需要的时间。
h
28
问题3 —— 上班时间
因此，得到如下的排班方法：第1
如果第1名工人在第一轮巡视后，
名工人在8:00开始巡视（上班或换
由于每天是24小时，而换班的时
间点，工作7个小时开始换班。
间是7小时，三班下来是21小时，所
例如，第一班工作的4名工人上 以每天的换班时间比前一天提前3小
班的时间分别是8:00、8:35、9:10和 时。
h
31
问题3 —— 换班时间
也就是说，第一班的4名工人在
一周7天，有7个24小时，恰好有
第二天的换班时间分别是5:00、5:35、 8个21小时，所以这种换班方案一周
表12 第5组巡视的时间表（部分，包含进餐时间）
h
25
问题2 —— 进餐时间
表13 第6组（机动）的巡视时间表
h
26
问题3 —— 上班时间
4.问题3的求解
问题3是考虑错时上班能否更省
如果能省，应在哪个地方省；如 果不能省，这个问题也就没有讨论的
人力。
4.1 上班时间
必要了。 每个点的检查时间（共计67分钟）
题（Vehicle Routing Problem, VRP）， 没有那糟糕，如果一个人能巡视3～5
而且还是带有时间窗口的车辆路径问 个点的话，一个班也就是 6～9 个人。
题（Vehicle Routing Problem with
因此，只需要启发式算法就可能得到
数学建模和计算机仿真
硬币正面?
6
N
骰子点数?
4，5
k1=k1+1
k2=k2+1
k3=k3+1
k1=k1+1
Y i＜20? N k k k (k k ) E= 2 3 E1= 0× 1 +1 × 2 +2 × 3 20 20 20 20
停止
简单的例子——数学仿真
4. 模拟结果
试验 序号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 投硬币 结 果 正 正 反 正 正 反 正 正 反 反 ∨ ∨ ∨ ∨ 指示 正确 ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ３ ６ ∨ ∨ １ ２ 指 示 不正确 掷骰子 结 果 ４ ４ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ 消灭敌人火炮数 ０ １ ２ ∨ ∨
k
(1)顾客到达某商店的 间隔时间服从参数为 0.1的指数分布
(2)该商店在单位时间 内到达的顾客数服从 参数为0.1的泊松分布
• 指两个顾客到达商店的 平均间隔时间是10个单 位时间.即平均10个单 位时间到达1个顾客.
•指一个单位时间内平均 到达0.1个顾客
连续系统模拟实例: 追逐问题
离散系统模拟实例: 排队问题
单服务员的排队模型：在某商店有一个售货员，顾客陆续来到， 售货员逐个地接待顾客．当到来的顾客较多时，一部分顾客便 须排队等待，被接待后的顾客便离开商店．设： •顾客到来间隔时间服从参数为0.1的指数分布． •对顾客的服务时间服从［４，１５］上的均匀分布． •排队按先到先服务规则，队长无限制． 假定一个工作日为8小时，时间以分钟为单位． [1]模拟一个工作日内完成服务的个数及顾客平均等待时间t． [2]模拟100个工作日，求出平均每日完成服务的个数及每日顾
xi 1 xi cos d
2017全国数学建模B题
题目纲要1问题的重述鉴于挪动互联网的自助式劳务众包平台，为公司供给各样商业检查和信息收集，对比传统的市场检查方式能够大大节俭检查成本，并且有效地保证了检查数据真切性，缩短了检查的周期。
对于整个过程中间，任务的订价问题成为了中心重点。
当订价过高时，商家所付出的代价太大；当订价过低时，会员拒接此类任务，最后致使商品检查（任务）失败。
请议论以下问题 :问题一依据对所给的附件一已结束项目任务数据的研究，研究（找出）项目任务的订价规律，同时剖析部分任务未达成的原由。
问题二依据问题一的状况为附件一中的项目设计一个新的任务订价方案，并且与原方案进行比较。
问题三考虑到实质状况中，绝大多半用户会争相竞争选择地点比较集中的多个任务，所以，商家（平台）考虑将这些任务联合在一同打包公布。
鉴于这种条件，对问题二的订价模型进行相应的改正并且剖析此类情况对最后任务的达成状况有什么影响。
问题四依据前三问剖析所成立出来的订价模型给出附件三中新项目的任务订价方案，并且评论该方案的实行成效。
2问题剖析“摄影赚钱” 的任求实质上就是经过劳务众包的方式进行工作，所谓众包就是将本来由公司内部职工达成的任务，以开放的形式外包给未知的且数目宏大的集体来达成。
在此题所波及到的自助式劳务众包平台，公司将所需收集的信息通过 APP这个平台，展此刻大众眼前，大众依据自己状况来对一系列任务进行选择性的达成，最后获取相应的奖金。
问题一中对于任务悬赏金额量确实定是由一系列要素决定的，包含任务公布者所希望获取的作品数目、同期不同公布商所给的悬赏金、任务的难易程度、任务的限期等，对于问题一我们能够将这些要素都考虑进去，发掘出各要素对于订价的影响规律，最后确立项目任务的订价规律，在综合剖析实质状况和用户的信用程度影响，来概括出任务未达成的原由。
问题二中对于任务未达成状况的再剖析，在问题一成立的模型的基础上，再考虑任务量，交通便利性等要素，将这些要素考虑进去以后，充足考虑任务点四周会员的信用值状况，议论任务未达成跟低信用会员之间有什么关系，成立新的任务订价模型再给出新的任务订价方案，最后结共计算机对任务进行模拟仿真，获取在新任务订价条件下的各地区任务达成率和总达成率，将这个指标与以前的指标进行比较，可判断新任务订价方案能否优于模型一。
数学建模之计算机仿真PPT课件
件下，利用数学运算模拟系统的运行过程．连
续系统模型一般是微分方程，它在数值模拟中
dy
f (t , y )
最基本的算法是数值积分算法．例如有一系统
dt
y(t ) y
可用微分方程来描述:
0
始条件
0
已知输出量y的初
，现在要求出输出量y随时间变化
的过程y(t)。
n3=poissrnd(4),n=n1+n2+n3
(2) 由排队论知识,敌机到达规律服从泊松分布等价
•注：如果单位时间发生的次数（如到达的人数）服从参数为r的
泊松分布,则任连续发生的两次时间的间隔时间序列服从参数为r
于敌机到达港口的间隔时间服从参数为1/4的指数分布,
的指数分布!
故可由指数分布模拟每架飞机的到达时刻.
况.
•
表1
•
Xk
•
pk
10分钟内顾客到达柜台的情况
0
1
2
0.4 0.3 0.3
• 分析:因为每分钟到达柜台的人数是随机的,所以可用计算
机随机生成一组(0,1)的数据,由X的概率分布情况,可认为
随机数在(0,0.4)范围内时没有顾客光顾,在[0.4,0.7)时,有
第29页/共87页
2 离散型随机变量的模拟
第31页/共87页
1 理论介绍
• 最直观的想法是：首先将时间离散化，令
•
hk tk 1 tk
，称为第k步的计算步距
（一般是等间距的），然后按以下算法计算状态
tk 1
y(tk 1 ) yk 1 y上的近似值:
变量在各时刻
k f (tk , yk )(tk 1 tk )
2017年全国大学生数学建模A题
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 2017年全国大学生数学建模A题1 C CT T 系统参数标定及成像摘要二十世纪中期，CT 理论的提出给科学界带来了重大影响，而伴随着科技的发展与进步，作为处理断层成像问题的 CT 系统也越来越完善。
本文通过研究典型的二维平行束CT 成像系统，标定出了具体的参数信息，并对未知样品进行了成像处理。
针对问题一，首先对附件 2 中的数据进行筛选，发现部分数据只与小圆有关，因此利用 Excel 对此部分数据进行填色处理，并且得出每列填色数据所占的表格数都为 29，继而依据圆的特性，可得出探测器单元之间的距离。
然后，根据椭圆长轴和短轴旋转 90时的数据组的个数来查找中间的旋转次数，再计算出每次旋转的角度，并且据此找到终止位置，从而可得起始位置。
接下来，应用 Matlab 对附件 2 中的数据进行灰度处理整合，作出相关的投影分布图像，明显可看出灰度处理过的图像中圆的图像为正弦线。
根据投影图找到椭圆中心对应于探测器的位置，运用 Matlab 程序运算得到此发射-接收装置的旋转中心。
最终得到CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置为（-9.2734,5.5363）；探测器单元之间的距离为 0.2857mm；起始位置与水平方向 x 轴方向呈 -61或 119，且逆时针每次旋转 1，共旋转1 / 22了 180 次。
针对问题二，通过 Matlab 整合附件 3 的数据得出未知介质的灰度图像，再与附件 2中的数据得出来的图像进行比较，初步判断未知介质的几何特征，然后根据傅里叶切片定理以及滤波反投影 CT 图像重建的方法，利用 Matlab 软件中的滤波反投影函数进一步精确地求出该介质的位置信息以及几何形状信息。
数学建模计算机模拟
数学建模计算机模拟数学建模和计算机模拟是现代科学研究中非常重要的工具。
这两种技术能够以精确和有效的方式解决各种实际问题，从自然科学到社会科学，从工程学到金融学。
本文将探讨数学建模和计算机模拟的基本概念，以及它们在实际问题中的应用和未来的发展趋势。
一、数学建模数学建模是一种将现实问题转化为数学模型的过程。
它涉及到建立、使用和改进数学模型，以解释现象、预测行为、优化决策等。
数学建模的主要步骤包括：理解问题、建立模型、验证模型、应用模型和评估模型。
在自然科学中，数学建模被广泛应用于物理学、化学、生物学等学科。
例如，在物理学中，我们可以通过建立微分方程来描述物体的运动和力之间的关系；在化学中，我们可以通过建立量子力学模型来预测分子的结构和化学反应的速率；在生物学中，我们可以通过建立基因网络模型来理解生物体的复杂行为。
在社会科学中，数学建模也被广泛应用于经济学、社会学、心理学等学科。
例如，在经济学中，我们可以通过建立计量经济学模型来预测市场的走势和解释经济现象；在社会学中，我们可以通过建立人口统计学模型来预测人口的变化和规划社会政策；在心理学中，我们可以通过建立认知心理学模型来理解人类的学习和行为。
二、计算机模拟计算机模拟是一种利用计算机来模拟现实世界中的现象和过程的技术。
它涉及到对现实问题的数学建模、编程、运行模拟、分析和解释结果等步骤。
计算机模拟可以用来预测行为、优化决策、测试假设等。
计算机模拟广泛应用于各个领域，包括物理学、化学、生物学、社会科学等。
例如，在物理学中，我们可以通过计算机模拟来模拟物体的运动和力之间的关系；在化学中，我们可以通过计算机模拟来预测分子的结构和化学反应的速率；在社会学中，我们可以通过计算机模拟来模拟社会系统的动态行为。
三、应用案例让我们以一个具体的案例来说明数学建模和计算机模拟的应用。
假设我们想要设计一座桥梁，我们需要考虑桥梁的结构、材料、施工方法等因素。
为了优化设计，我们可以使用数学建模和计算机模拟。
数学建模和计算机仿真
模拟试验有两种结果，每种结果出现的概率都是1/2． 投掷1枚硬币的方式予以确定： 当硬币出现正面时为指示正确，反之为不正确．
（2）当指示正确时，我方火力单位的射击结果情况
模拟试验有三种结果：毁伤1门火炮的可能性为 1/3(即2/6)，毁伤两门的可能性为1/6，没能毁伤敌 火炮的可能性为1/2(即3/6)． 可用投掷骰子的方法来确定： 如果出现的是１、２、３点，则认为没能击中敌人； 如果出现的是４、５点，则认为毁伤敌人一门火炮； 若出现的是６点，则认为毁伤敌人两门火炮．
简单的例子——数学仿真
2. 符号假设
i： 要模拟的打击次数； k1：没击中敌人火炮的射击总数； k2：击中敌人一门火炮的射击总数；
k3：击中敌人两门火炮的射击总数．
E： 有效射击比率； E1：20次射击平均每次毁伤敌人的火炮数．
简单的例子——数学仿真
3. 模拟框图
初始化:i=0, k1=0, k2=0, k3=0 i=i+1 Y
初始化:i=0,k1=0，k2=0,k3=0
i=i+1
Y R2<3/6 R1<=0.5 N
k1=k1+1
R2=? R2>5/6 其它 k2=k2+1 k3=k3+1
k1=k1+1
Y i＜20? N E=(k2 k3 ) E1= 0×k1 +1 × k2 +2 × k3 20 20 20 20 停止
简单的例子——计算机仿真
投掷硬币的计算机模拟 1．产生服从U（0，1）的随机数R1 2．将区间[0，1]等分： 若 0 R1 0.5，则对应硬币正面
若 0.5 R1 1 ，则对应硬币反面
简单的例子——计算机仿真
数学建模之计算机仿真
• 对于随机性系统，可以通过大量的重复试验，获 得其平均意义上的特性指标。
3.适用计算机仿真解决的问题
• 难以用数学公式表示的系统，或者没有建立和求解数学 模型的有效方法．
• 虽然可以用解析的方法解决问题，但数学的分析与计算 过于复杂，这时计算机仿真可能提供简单可行的求解方 法．
• 希望能在较短的时间内观察到系统发展的全过程，以估 计某些参数对系统行为的影响．
计算机仿真的基本概念
计算机仿真通过建立数学模型、编 制计算机程序实现对真实系统的模拟, 从而了解系统随时间变化的行为或特 性。
计算机仿真的基本概念
仿真举例
计算机仿真反映出新的科学技术的时代特
征,它的应用为各个领域带来新气象和成果。
应用的领域有：
航空管理,
公交车的调度,
飞机设计,
动画设计,
三峡的安全、生态, 道路的修建,
计算机仿真的基本概念
欧洲鼠疫流行时死亡无数
计算机仿真的基本概念
鼠疫期间贵族纷纷弃城逃往
计算机仿真的基本概念
疫如此让人恐怖，那么有没有什么好的预测方式呢？ 计算机仿真就是一个很好的预测方法。 研究发现，鼠疫是由老鼠身上一种特殊的跳蚤传播的。 跳蚤的多少决定是否发生鼠疫
跳蚤 老鼠
水草
我们可以用计算机根据一个地区的气候模拟出当年此 地水草的情况就可以预测出是否有鼠疫要发生。
2017全国数学建模B题
2017全国数学建模B题D1问题的重述基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。
对于整个过程当中，任务的定价问题成为了核心关键。
当定价过高时，商家所付出的代价太大；当定价过低时，会员拒接此类任务，最终导致商品检查（任务）失败。
请讨论以下问题: 问题一根据对所给的附件一已结束项目任务数据的研究，研究（找出）项目任务的定价规律，同时分析部分任务未完成的原因。
问题二根据问题一的情况为附件一中的项目设计一个新的任务定价方案，并且与原方案进行比较。
问题三考虑到实际情况中，绝大多数用户会争相竞争选择位置比较集中的多个任务，因此，商家（平台）考虑将这些任务联合在一起打包发布。
基于这种条件，对问题二的定价模型进行相应的修改并且分析此类情形对最终任务的完成情况有什么影响。
问题四根据前三问分析所建立出来的定价模型给出附件三中新项目的任务定价方案，并且评价该方案的实施效果。
2问题分析“拍照赚钱”的任务实际上就是通过劳务众包的方式进行工作，所谓众包就是将原本由企业内部员工完成的任务，以开放的形式外包给未知的且数量庞大的群体来完成。
在本题所涉及到的自助式劳务众包平台，企业将所需搜集的信息通过APP这个平台，展现在大众面前，大众根据自身情况来对一系列任务进行选择性的完成，最终得到相应的奖金。
问题一中对于任务悬赏金额量的确定是由一系列因素决定的，包括任务发布者所期望得到的作品数量、同期不同发布商所给的悬赏金、任务的难易程度、任务的期限等，对于问题一我们可以将这些因素都考虑进去，挖掘出各因素对于定价的影响规律，最终确定项目任务的定价规律，在综合分析实际情况和用户的信誉程度影响，来归纳出任务未完成的原因。
问题二中对于任务未完成情况的再分析，在问题一建立的模型的基础上，再考虑任务量，交通便利性等因素，将这些因素考虑进去之后，充分考虑任务点周围会员的信誉值情况，讨论任务未完成跟低信誉会员之间有什么关系，建立新的任务定价模型再给出新的任务定价方案，最后结合计算机对任务进行模拟仿真，得到在新任务定价条件下的各区域任务完成率和总完成率，将这个指标与之前的指标进行比较，可判断新任务定价方案是否优于模型一。
2017年全国研究生数学建模竞赛B题
2017年中国研究生数学建模竞赛B题（华为公司命题）面向下一代光通信的VCSEL激光器仿真模型友情提示：阅读本题附录3有助于理解本题的相关概念与方法。
随着互联网技术的快速发展，家庭固定网络速度从原来的2Mbps、10Mbps，快速发展到了今天的百兆（100Mbps），甚至千兆（1000Mbps）光纤宽带入户。
“光纤宽带入户”，顾名思义，就是采用光纤来传输信号。
光纤中传输的激光信号具有远高于电信号传输速率的特点(激光信号传输带宽远大于电信号传输带宽)，更适合于未来高速率的传输网络。
工程师们在光纤通信传输系统设计前，往往会通过计算机仿真的方式研究系统设计的指标，以便快速找到最适合的解决方案。
因此在进行系统仿真时，需要准确掌握系统中各个器件的特性以保证仿真模型的精度。
激光器作为光纤通信系统的核心器件是系统仿真中需要考虑的一个重要因素。
与我们生活息息相关的激光器种类繁多，其中的垂直腔面发射激光器（VCSEL: Vertical Cavity Surface Emitting Laser）具有使用简单，功耗较低等特点，一般VCSEL 的工作电流在6mA~8mA。
本题的主要任务，就是得到能准确反映VCSEL激光器特性的数学模型。
激光器输出的光功率强度与器件的温度相关，当器件温度（受激光器自身发热和环境温度的共同影响）改变后，激光器输出的光功率强度也会相应发生变化。
在进行建模时，我们既要准确反映VCSEL激光器特性，还要考虑：1.激光器输出的功率强度与温度的关系——即该激光器可以在多大的外界环境温度范围内使用；2.如何设计激光器参数可以使激光器具有更大的传输带宽（即S21曲线上纵坐标-10dB位置对应的横坐标频率值更大）——即可以实现更快的传输速率。
1问题1：VCSEL的L-I模型L-I 模型，即激光器的工作电流与输出光功率强度关系模型（L ：light ，表示光功率强度，也可以表示为P ；I ：Intensity of current ，表示工作电流）。
2017亚太数学建模模拟问题B喷雾弹道计划问题
2017年亚太地区数学竞赛模拟问题B喷雾弹道计划问题釉喷涂工艺用釉喷枪或釉喷涂机在压缩空气中喷雾釉，使釉粘附在粘土体上。
这是一个在陶瓷生产过程中轻松实现自动化的过程。
由于烧制过程中不均匀的釉料会产生裂纹，造成工件报废，所以喷涂过程中喷涂釉料的厚度要求尽可能均匀。
在实际的空气喷涂中，通常在喷枪口两侧设置压缩空气，雾锥被压扁成椭圆锥体，被喷漆雾形成的喷雾锥所覆盖的平面上的区域为椭圆形，半b的短半轴和短半轴的长轴，如图1所示。
它在椭圆分布区符合椭圆双β分布模型为：其中：a-喷雾椭圆半长轴（mm）; b是喷雾椭圆半短轴（mm）;漆膜的最大厚度Z-max;β1为x方向剖面β分布指数; β2是y方向截面中β分布的指数。
一些研究表明，雾化压力P1，隔膜泵压力P2和喷雾距离d是影响上述参数的主要因素，它们的关系如下：上述模型是喷枪单点喷涂的模型。
然而实际上，喷枪需要沿着规划的路径移动，使得待喷射的工件的表面均匀地被釉覆盖，如图2所示。
由于雾点区域的厚度在单点喷涂时中间较大，两侧薄，所以为了保证喷雾面均匀，雾晕将在图3中的相邻路径上重叠。
根据以上背景，我们尝试探讨以下四个问题：1、根据上述材料，如果喷枪的喷涂方向始终保持不变（如图4所示），请计算平面喷涂的累计情况，找出喷枪轨迹的合适搭接间隔（P1和P2取0.2Mpa，d 取225mm）。
2.对于曲面确定在问题1中计算的喷涂间隔如果不一致，请重新计划喷枪轨迹，计算重叠间隔，使釉面厚度差小于10％（不同轨迹的间隔可以不同，P1和P2取0.2Mpa，d可以是根据实际需要选择）。
3.如果在喷涂过程中喷枪的喷涂方向始终是雾锥中心喷涂点的正常方向（如图5所示），其他条件保持不变，请重新计算问题2的结果。
4.问题3的结果是否适用于任何曲面z=f(x,y)？喷雾路径规划是否有一个通用的解决方案？。
计算机仿真与数学建模7月31日
现代仿真技术的进展
现代仿真技术的一个重要进展是将仿真活动扩 展到上述三个方面，并将其统一到同一环境中。 在仿真建模方面，除了传统的基于物理、化学、 生物学、社会学等基本定律及系统辨识等方法 外，现代仿真技术提出了用仿真方法确定实际 系统的模型。例如，根据某一系统在试验中所 获得的输入输出数据，在计算机上进行仿真试 验，确定模型的结构和参数。
控制系统、导航系统和制导系统广泛采用数字计算机， 通过软件进行控制、导航和制导的运算，软件的规模越 来越大，功能越来越强，许多设计思想和核心技术都反 映在应用软件中，因此软件在系统中的测试越显重要。 这种仿真试验将系统用计算机与仿真计算机通过接口对 接，进行系统试验，如图所示。接口的作用是将不同格 式的数字信息进行转换。软件在回路仿真系统一般情况 下要求实时运行。
超市某日用品供需变化模型：
超市中某种用品的“供”与“需”处在平衡 状态时，则“供”与“需”同时受此种日用品的价格 决定。 当价格（ P）较高时，需求（ Q）将比较低； 价格较低时需求将增加。 Q与P之间的关系用“需求” 曲线表示。 S表示供货量按价值的计算。S与P之间的关系 用“供货”曲线表示。 如果供需处于稳定状态，则价格将会停留在 图中两线的交点上，这是因为“供”与“需”大致相 等，如图1-3。
假设上述关系都是线性的，则完整的 超市日用品供需关系模型可以表示成下 面的数学形式：
Q=a-bP S=c+dP S=Q
如果日用品的需求关系（ Q）是一种 呈下降趋势的曲线（非直线）形式， 供货量（ S）是呈上升趋势的曲线形 式（如图1-4）。 这种关系的数学模型形式就不可能 使用普通方程求解的方式得到其解的。 就需要一种有效的数值计算方法得到 模型方程，求出数值解，绘出曲线图， 找出商家有利的日用品价位。
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上面就是一个计算机仿真最简单的例子！
计算机仿真的定义
计算机仿真就是根据已知的信息和知识， 利用计算机模拟现实情况或系统演变过 程，发现新的知识和规律，从而解决问 题的一种方法。 计算机仿真被称为独立于理论研究和实 验研究的第三种方法。
计算机仿真的特点
代价小，时间短，可重复，参数设置灵 活 是一种独特的“数”学模型。 是一种求解许多实际问题和数学模型的 简单方法，由于它不需要太多的数学知 识，非常适合各类工程技术人员。 计算机仿真仿的是“象”、是“数”， 要忽略许多具体的事物特征。
方案编号 方案1 方案2 方案3 方案4
订货起点：P辆 125 125 150 175
订货量：Q 150 250 250 250
方案5
175
300
我们以150天为例，依次对这五种方案进行仿真， 最后比较个方案的总费用，从而得出决策。
计算机仿真时的工作流程是早上到货、 全天销售、晚上订货。输入一下常数和初始 数据后，以一天为时间步长进行仿真。 首先检查这一天是否为预订到货日期，如果是，则 原有库存量加Q，并把到货量清为零；如果不是，则库 存量不变。 接着仿真随机需求量，这可用计算机语言这的随机 函数得到。如果库存量大于需求量，则新的库存量减去 需求量；反之，则新的库存量变为零，并且要在总费用 上加上缺货损失。 然后检查实际库存量加上预订到货量是否小于重 新订货点P，如果是，则需要重新订货，这是就加一 次订货费。 如此重复运行150天，即可得到所需费用总值。
P( X k )
k e
k!
, k 0,1, 2,,
反之亦然．
例 (1)顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布
(2)该商店在单位时间内到达的顾客数服从参数为0.1的泊松分布 (1)指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均 10个单位时间到达1个顾客. (2)指一个单位时间内平均到达0.1个顾客
计算机仿真案例4
某自行车商店的仓库管理人员采取一种简单的订货策略，当 库存量降低到P辆自行车时就向厂家订货，每次订货Q辆， 如果某一天的需求量越过了库存量，商店就有销售损失和信 誉损失，但如果库存量过多，会导致资金积压和保管费增加。 该问题的已知条件是： （1）从发出订货到收到货物需隔三天； （2）每辆自行车保管费为0.75元/天，每辆自行车的缺货损 失为1.8元/天，每次的订货费为75元； （3）每天自行车的需求量服从0到99之间的均匀分布； （4）原始库存为115辆，并假设第一天没有发出订货。 若现在已有如下表所示的五种库存策略，请选择一种总费用 最少的策略。
计算机仿真的分类
物理系统仿真——电系统、机械系统等的仿真，大坝 承受力仿真，原子弹爆炸威力…… 系统演变仿真——河堤垮塌后洪水蔓延程度仿真，海 啸蔓延程度仿真，种群生长仿真，战争推演仿真…… 蒙特卡洛方法——不规则图形的面积、体积，圆周率 的计算，电脑围棋……核心：生成随机数，……被列 为20世纪最伟大的10大算法之首。 离散事件仿真——企业经营策略…… 有些仿真需要一些设备工具甚至人的参与，这里不涉 及此类，只考虑与完全可用数学推演描述的问题。
例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布 指数分布的均值为1/0.1=10． 指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均10 个单位时间到达1个顾客. 顾客到达的间隔时间可用exprnd(10)模 拟．
5．产生 m n 阶参数为 的泊松分布的随机数矩阵：
poissrnd ( ,m, n)
计算机仿真案例3
追击问题
பைடு நூலகம்
我缉私雷达发现前方（南）c km处有一艘走私船正 以速度a沿直线向东匀速行驶，缉私艇立即以最大速度b 追赶，若用雷达进行跟踪，缉私艇的瞬时速度方向始终 指向走私船，是求缉私艇追逐路线和追赶上的时间。 分析 此问题可以建立微分方程模型，这里我们建立差分方 程模型，用仿真的方法求解。
取时间步长为h，在第i 步时的时间即t=hi，走私船的位 置坐标为(hia,0)，设缉私艇的位置坐标为P(xi,yi)。从第i步到 第i+1步的计算公式为
hb(iha xi ) xi 1 xi hb cos xi 2 2 (iha xi ) yi hbyi y y hb sin y i i 2 2 i 1 (iha xi ) yi
1:00 0.7 1:05 0.2 1:10 0.1 到达时刻 频率 1:28 0.3 1:30 0.4 1:32 0.2 1:34 0.1
出发时刻 频率
分析：这个问题用概率论的方法求解十分困难， 它涉及此人到达时刻、火车离开A站的时刻、火 车运行时间几个随机变量。
我们可以用计算机仿真的方法来解决。 仿真过程： 1、生成火车的发车时间、运行时间，从而达得到 其到达B站的时间。 2、生成此人达到B站的时间。 3、如果此人到达Ｂ站的时间早于火车到达时间， 则算赶上火车一次。 4、将上述过程重复一万次，统计赶上火车的频率 作为所求概率。
产生一个［０，１］均匀分布的随机数：rand
3.产生 m n 阶均值为 ，方差为 的正态分布的随机数矩阵： normrnd ( , ,m, n)
产生一个均值为 ，方差为 的正态分布的随机数： normrnd ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每 一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态 分布． •机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点与目标的偏差、 各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态 分布．
4、一个边长为10米的正方体空间 内有一个发声物体。在这个正方体 的A(x1,x2),B(y1,y2),C(z1,z2)三处安装 了三个时间完全同步声音接受转置。 三个装置分别在t1,t2,t3时刻接受到 了同一声音信号。请建立模型求出 发声物体的位置。
计算机仿真案例1
模型建立：由于本题要求使从搅拌中心到各个工地运输混凝土 的总的吨公里数最少，所以，该问题的目标函数是
min f ( x 0 , y 0 ) Q i ( x i x 0 ) 2 ( y i y 0 ) 2
i 1
n
求解方法：
1、高数中的方法
n f ( x 0 , y 0 ) x0 i 1 (( x i n f ( x , y ) 0 0 y0 i 1 (( x i
4．产生 m n 阶期望值为 的指数分布的随机数矩阵：exprnd ( ,m, n )
e t x 0 •若连续型随机变量X的概率密度函数为 f ( x) x0 0 其中 >0为常数，则称X服从参数为 的指数分布． 1 •指数分布的期望值为
•排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障 率为常数时零件的寿命都服从指数分布． •指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用． •注意：MATLAB 中，产生参数为 1 exprnd( ) 的指数分布的命令为
评价函数的设置方法
第i天销售量为 s i 辆 缺货量为 q i 辆 销售完后的库存量为 k i 辆 0-1变量 x i 表示第i天销售完后是否有库存，若库存量大 于等于0，则 x i ＝1，否则为0； 用0-1变量 yi 表示第i天销售是否会缺货，如果缺货量大 于0，则 yi ＝1； 用0-1变量 z i 表示第i天是否要订货。
如何把计算机仿真的过程作为 一个“数学模型”表述出来呢？
描述计算机仿真模型要包括两个内容，一是对 系统关键数据计算方法的清晰表述，二是对仿 真的程序流程的描述，可以用算法步骤的形式， 也可以用算法流程图。 计算机仿真要靠一个计算机程序来实现，然而 程序代码是不能作为模型，而且由于选择的系 统语言不同，表述上也会有较大差异。
计算机仿真
一个问题
我们做一个实验：把 一个硬币掷一万次， 统计两个面出现的次 数。这样做很简单但 却需要大量时间，有 没有一种较快的办法 把这个实验完成呢？
利用计算机可以实现这一想法
生成一个在 [ 0, 1] 中的随机数a， 如果a<0.5，则认为是掷硬币出现了正面， 给计数变量k1增加1； 如果，则认为是掷硬币出现了反面，给 计数变量k2增加1。 将该过程循环一万次即可。
Qi ( x i x 0 ) x0 )2 ( yi y0 )2 Qi ( y i x 0 ) x0 ) ( yi y0 )
2 2
0 0
2、数值计算方法 3、计算机仿真： 离散化，遍历！
计算机仿真案例2
例2 （赶火车过程仿真）一列火车从A站经过B站开 往C站，某人每天赶往B站乘这趟火车。已知火车从 A站到B站的运行时间是均值为30min、标准差为 2min的正态随机变量。火车大约在下午1点离开Ａ 站。火车离开时刻的频率分布和这个人到达Ｂ站时 刻的频率分布如下表所示。问他能赶上火车的概率 有多大？
3
实验作业
1．编一个福利彩票电脑选号的程序．
2. 某报童以每份 0.03 元的价格买进报纸,以 0.05 元的价格出售. 根据 长期统计,报纸每天的销售量及百分率为 200 210 220 230 240 250 销售量 0.10 0.20 0.40 0.15 0.10 0.05 百分率 已知当天销售不出去的报纸，将以每份 0.02 元的价格退还报社.试用模 拟方法确定报童每天买进多少份报纸,能使平均总收入最大?
则第i天的总费用（元）为 f i 0.75ki xi 1.8qi yi 75zi
150天的总费用（元）为
f fi
i 1
150
然而以此总费用最小为目标函数是不妥的，应当 将总费用分摊到每辆销售的自行车上，即单位销 量的费用更加合适，所以评价函数为