组合数学 第6章

周期2: 1212 周期4: 1112, 1122, 1222
观察规律
固定k, 令S={1,…, k}.
circ(n) : S的长为n的圆排列个数.
per(d) : S的周期为d的线排列数.
line(n) : S的长为n的线排列数(=kn, circ(n)n).
周期1: 1111, 2222,
per(1)=2
固定k, 令S={1,…, k}. circ(n) : S的长为n的圆排列个数. per(d) : S的周期为d的线排列数. line(n) : S的长为n的线排列数(=kn, circ(n)n).
kn line(n) per(d ) -------(1)
d|n
circ(n) 1 per(d ) -------(2) d|n d 先由(1)解出per(n), 再带入(2)解出circ(n)
1
k
推论(C102,E165)
定理: 设A1, A2,…, An是有限集合, 则
n
|A1A2…An| = | Ai | | Ai Aj |
i 1
1i jn
| Ai Aj Ak |
1i jkn
+(-1)n-1|A1A2…An|
欧拉函数(n) (ex32,C122,E196)
(n)是1~n中与n互素的数的个数.
n! 3!
n! n!
n!
1
1 1!
1 2!
1 3!
n1!
错排的递推关系(C109,E176)
定理: Dn = (n-1) Dn-2 + (n-1) Dn-1. 证明: 对错排i1…in, (1) i1有n-1种取值, 设i1 = k; (2) 或(2a) ik=1; 或(2b) ik1. 将i1,ik互换则有
(2a) {1,2,…,n}\{1,k}是错排. (2b) {1,2,…,n}\{k}是错排.
问题举例(C110,E177)
n位男士, n位女士聚会, 女士选择舞伴, 第一次跳舞有多少种方案? 若每人都换舞伴,第二次跳舞方案数? 第二次跳舞每人都换舞伴的概率是多少?
带禁止位置的排列(C111,E178)
周期2: 1212,
per(2)=2
周期4: 1112, 1122, 1222, per(4)=12
line(4) = per(1) + per(2) + per(4) = 16
circ(4) =per(1)/1+per(2)/2+per(4)/4=2+1+3=6
多重集线排列与圆排列关系(C123,E197)
k k (1)k k 0
0 1
k
经典Möbius反演定理(C121,E194)
定理:设F(n)和G(n)是正整数集上的函数, 则
G(n) F(d ) F (n) (d )G n .
d|n
d|n
d
n Gd . d|n d
per(d ) kn per(n) n kd
(1) ( pi )
( pi pj ) ... ( p1 pk )
p 1ik
i
p p 1i jk
ij
p1 pk
(1) 1
1 ... (1)k (n)
p p p 1ik i 1i jk i j
p1 pk n
多重集的圆排列数(C124,E196)
固定k, 令S={1,…, k}.
定义rk (C112,E180)
定义: 设将k个棋子放在棋盘的禁止位置上, 没有棋子位于同行同列,方案数为rk.
123456
i1 X
i2 X X
i3
XX
i4
XX
i5
i6
r1=7, r2=15, r3=10, r4=2, r5 = r6 = 0
定义: Ak = { ik Xk } 即: ik在禁止位, 其它ij任意
应用二: 魔法手镯(补充)
设有m种魔法珠, B=(bij)mm为其邻接矩阵 circ(n) : 满足B, 且长为n的圆排列数. per(d) : 满足B, 且周期是d的线排列数. line(n)=tr Bn : B的长为n的回路的条数
d|n
d|n d
Möbius函数与欧拉函数(C122,E195)
定理: 对任意正整数n, 有 d|n (d)/d = (n)/n.
证明: 反演或归纳. n=1, 定理成立. 若n>1, 设
n
pa1 1
pa2 2
pak k
,
n1 p1 p2 pk .
(d)/ d (d)/ d
d|n
d|n1
组合数学
第六章 容斥原理及其应用
主要内容：
1. 容斥原理及简单应用 2. 错排问题 3. 带禁止位置的排列 4. 莫比乌斯反演
n n (1)n n 0
0 1
n
容斥原理
“容”是inclusion, “斥”是exclusion. Principle of inclusion and exclusion 容斥原理是加法原理的一般情况 设全集为U, AU, 则有
i1 X i2 X X
r4=2, r5 = r6 = 0 带如图禁止位置排列数为
i3
XX
i4
XX
6!-75!+154!-103!+22!
i5
= 184
i6
魔法手镯(补充)
Potter的女朋友Ginny的生日快到了.
Potter打算做魔法手镯作为生日礼物.
手镯上要均匀地点缀n(1n109)个魔珠.
有m(1m10)种魔珠,有些魔珠不能相邻.
问题的解(C112,E180)
定义: 设将k个棋子放在棋盘的禁止位置上,
没有棋子位于同行同列,方案数为rk.
定义: Ak = { ik Xk } 即: ik在禁止位, 其它ij任意
观察:
12345
A1A2: i1和i2在禁止位, 其它ij任意 i1 X
X
两棋子放第12行禁止位,其它任意
i2 i3
输入第一行: t
// 测试样例数.
第二行: n m k // 1km(m-1)/2
接下来k行: a b // 1a,bm, a和b号珠不能相邻
…
输出: 不同手镯数模9973的结果.
k种元素多重集的圆排列(C123,E196)
长为n圆排列在n个位置断开可得n个线排列 可能相同, 例:123412341234123412341234 只能形成4个不同的线排列, 称为周期4. 设一圆(线)排列可由长为p的线排列拷贝形成, 则这样的p中最小者称为该排列的周期. 长为n线(圆)排列数?周期取值?各数间的关系? n=4, k=2: 周期1: 1111, 2222
d|n
(d )
1, 0,
if n 1, if n 1.
证明: n=1, 定理成立. 若n>1, 设
n
pa1 1
pa2 2
pak k
,
n1 p1 p2 pk .
(d) (d)
d|n
d|n1
(1) ( pi ) ( pi pj ) ... ( p1 pk )
1ik
1i jk
+ |AB| + |BC| + |AC| - |ABC|.
简单应用举例(C102-105,E165-169)
例. 求1~1000中不能被5,6,8整除的数的个数. A5={1~1000中能被5整除的数}, A6, A8, |A5c∩A6c∩A8c| = ?
例. 多重集的组合. {3a, 4b, 5c}的10组合个数 x1 + x2 + x3 = 10 -------* 0 x1 3, 0 x2 4, 0 x3 5
|Ac| = |
因为 |AB| = |A| + |B| - |AB|, U 所以 设全集为U, 且A,BU, 则有 A B
| Ac Bc | = |U| - |AB| = |U| - |A| - |B| + |AB|
类似的设全集为U, 且A,B,CU, 则有 | Ac Bc Cc | = |U| - |A| - |B| - |C|
| Ai Aj Ak | + (-1)n|A1A2…An|
1i jkn
证明: xU, 计算x在等号两边出现的次数
设x在A1, A2, …, An中恰好出现k次, k=0,1,…,n
k=0: 左边 = 1, 右边 = 1
k>0: 左边 = 0, 右边 = 1 k ... (1)k k
| Ai1 Aik | rk (n k)!
1i1 ik n
定理: 带禁止位置的排列数为
i1 X
X
i2
X
i3
i4 X
X
i5
X
X
n! - r1(n-1)! + r2(n-2)! - … + (-1)nrn 0!,
问题举例(C112,E180)
1 2 3 4 5 6 r1=7, r2=15, r3=10,
错排公式(C108,E173)
设Ai为数i在第i位的全体排列, i , j =1,2,…,n |Ai|=(n-1)!, |AiAj|=(n-2)!, … … 错排数=|A1cA2c…Anc| ?
n! n(n 1)! n(n 2)! (1)n n(n n)!
1
2
n
n! n! 1!
n! 2!
例(3)=2, (6)=2. 设n的素分解为n
pa1 1
pa2 2
pak k
设Ai为1~n中pi的倍数的集合, i, j =1,…,k
|Ai|=n/pi , |Ai Aj|=n/(pi pj ), ……
(n) = |A1cA2c…Akc|
k
n
n
n
n
p i1 i i j pi p j
p1 p2 pk
circ(n) : S的长为n的圆排列个数.
per(d) : S的周期为d的线排列数.
line(n) : S的长为n的线排列数(=kn).
per(d ) kn per(n) n k d
d|n
d|n d
circ(n) 1 per(d ) 1 n kd
d|n d
n d|n d
经典Möbius反演定理(C121,E194)
定理:设F(n)和G(n)是正整数集上的函数, 则
G(n) F(d ) F (n) (d )G n .
d|n
d|n
d
per(d ) kn per(n) n kd
d|n
d|n d
Möbius函数的性质(C117,E186)
定理: 对任意正整数n, 有
n1 1 1 1 1 1 p1 p2 pk
错位排列(C107,E173)
定义: 若S={1,2,…,n}的排列i1i2…in满足 i1 1, i2 2, …, in n,
则称它为n元素的错位排列. 以Dn记n元素的错位排列数. D1 = 0, D2 = 1, D3 = ?, 定理: Dn = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+…+(-1)n/n! ] 定理: Dn = (n-1) Dn-1 + (n-1) Dn-2. 注: 满足 i2=2, 其它元素错位的排列数为Dn-1.
X
A1A4: i1和i4在禁止位, 其它ij任意 i4 X
X
两棋子放第14行禁止位,其它任意 i5 X
X
ij| AiAj| = r2(n-1)!
问题的解(C112,E180)
定义: 设将k个棋子放在棋盘的禁止位置上,
没有棋子位于同行同列,方案数为rk. 定义: Ak = { ik Xk } 即: ik在禁止位, 其它ij任意 关联: |A1| + |A2| + … + |An| = r1(n-1)! 1 2 3 4 5
U={*,xi0}, A={*,x14}, B={*,x25}, C={*,x36}, |Ac∩Bc∩Cc| = ?
容斥原理(C101,E163)
定理: 设A1, A2, …, An是U中的有限集合, 则
n
|A1cA2c…Anc| = | U | | Ai | | Ai I Aj |
i 1
1i jn
问题的描述: 设S={1,…,n}, X1,…,XnS, 求满足i1X1,…, inXn的排列i1…in的个数. 例. X1={1,4},X2={3},X3=,X4={1,5},X5={2,5}
12345
i1 X
X
i2
X
i3
i4 X
X
i5
X
X
注1: Xi是第i行 的禁止位置
注2: 等价于将5个棋子 放在非禁止位置 无同行同列
经典的Möbius函数(n)(C121,E194)
n>0 可以唯一地分解为素数幂的乘积:
n
pa1 1
pa2 2
pak k
,
其中p1, p2,…, pk 是不同的素数, ai 1. 令 1, 若n=1;
(n)= 0, 若i, 使得ai >1; (-1)k, 其它.
例如: 30=2·3·5, (30)=(-1)3=-1, 14=2·7, (14)=(-1)2=1, 44=22·11, (44)=0,