组合数学 第6章
ch6 组合数学第3讲
• 重量为1与为2的组合，则为 (x0+x1+x2)(x0+x2+x4+x6)=x0+x2+x4+x6+x1+x3+x5+x7+x2+x4+x6 +x8=x0+x1+2x2+x3+2x4+x5+2x6+x7+x8,
解：Fibonacci 数列的递推方程为： fn -fn1-fn2=0 其特征方程为： t2 t 1 = 0 判别式=5
特征根：
t 1 2
5
均为单重根，所以：
n
n
通解为 :
fn
b
1 2
5
d
1
2
5
将f0=1,f1=1代入其中：
解出：
b
1 5
1 2
5
d
1 5
1 2
5
故Fibonacci 数列的通项公式：
n1
n1
fn
1 5
1 2
5
1 5
1 2
5
例题6.11.2 数列������0 = 3，������1 = 26，递推公式：������������ = ������������−1 + 12������������−2
• =1+(a+b+c)+(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+(a2b+a2c+ab2+ac2+a bc+b2c+bc2)+(a2b2+a2bc+ab2c+abc2+b2c2+a2c2)+(a2b2c+ a2bc2+ab2c2)+a2b2c2。
《组合数学》第五版 第6章答案.pdf
set size
justification
S
13 4
13 = 14 − 5 + 5 − 1
Ai
8 4
13 − 5 = 8
Ai ∩ Aj 0 13 − 5 − 5 = 3 < 4
By inclusion/exclusion
13
8
|A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5| =
4
− 5 = 365. 4
set size
justification
S
17 3
17 = 14 + 4 − 1
Ai
8 3
17 − 9 = 8
Ai ∩ Aj 0 17 − 9 − 9 = −1 < 3
By inclusion/exclusion
17
8
|A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4| =
3
− 4 = 456. 3
8. Let S denote the set of positive integral solutions for x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 14. For 1 ≤ i ≤ 5 let Ai denote the set of elements in S with xi ≥ 6. We seek |A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4 ∩A5|. We have
X∩Y ∩Z
0
15 − 5 − 4 − 5 = 1 < 3
X∩Y ∩W 0
15 − 5 − 4 − 6 = 0 < 3
X ∩Z ∩W
0 15 − 5 − 5 − 6 = −1 < 3
Y ∩Z∩W
0
组合数学(第6章6.1)
2 (1)k m k+…+ k 3 (1)mm
应 用
例. 从0到99999中有多少含有数字2, 5和8的整数。 解：设A1，A2 和A3分别是不包含数字2, 5和8的集合， 需要计算 | A1 A2 A3 | 0到99999的整数个数：0=105 1=|A1|=|A2|=|A3|=95 2=|A1A2|=85 3=|A1A2 A3|=75 因此，答案为：105395+385-75
因此：对于sS
—
—
S
A1A1A2 A2
一般情形：容斥原理计数
定理6.1.1 集合S不具有性质P1,P2,…,Pm的物 体的个数：
+…+(1)m|A1A2…Am|
| A1 A2 Am |＝|S||Ai|+|Ai Aj||Ai Aj Ak |
其中，第一个求和对集合{1,2,…,m}的所有的1-组合 进行, 第二个求和对集合{1,2,…,m}的所有的2பைடு நூலகம்组合 进行,依此类推.
|A1A2A3|=1000/120=8 由容斥原理， | A1 A2 A3 | =1000(200+166+125)+(33+25+41)8 =600
例2
字母M,A,T,H,I,S,F,U,N存在多少排列使得单 词MATH, IS和FUN都不出现？ 解：9个字母组成所有排列集合为S。 A1是MATH出现的排列集合； A2是IS出现的排列集合； A3是FUN出现的排列集合。 运用容斥原理。
这样S的每个元素在两边具有相同的计数。证明 了定理。
推论6.1.2 具有性质P1,P2,…,Pm的物体的个数：
| A1 A2 Am |＝|Ai||Ai Aj|+|Ai Aj Ak |
组合数学(第6章6.3)
X1={1, 4}
× × × ×
×
{3}
× {1,5} × {2,5}
特别的， 个元素集合的排列对应n 特别的，n个元素集合的排列对应n×n棋盘的 非攻击型车布局
一般禁止位置 与棋盘的非攻击型车布局
× × × × × × ×
解：r1=7 等于禁止位置数。 计算r2 ＝1+2+3×4=15; (分区计算) r3＝1×4+3×2＝10 r4＝2 r5＝r6＝0 禁止位置方法数： 6!7×5!+15×4！10×3!+2×2！＝226
小结
定理6.4.1将带禁止位置的棋盘非攻击型车 摆放计数转化为在禁止位置的非攻击型车 摆放计数。 定理6.4.1的公式应用价值仅当计算rk更容易 情况。 否则不如直接计算符合条件的数（禁止位 置过多时）。
6.5 相对禁排位置问题
定义: 定义 设集合S={1,2,…,n}, 它的不出现12, 23, …, (n1)n的排列称相对禁止位置排列. 相对禁止位置排列的排列数用Qn表示. 如n=3时，213、321、132是所有满足条件 的排列，因此Q3=3.
相对禁止位置排列计数： 定理6.5.1
对于n≥1,
第六章 容斥原理应用
禁止位置的排列
主要内容
6.4 带有禁止位置的排列 6.5 另外的禁排位置问题
一些例子
1。有多少各位数字互异大于5400的4位整数？ 2。{1,2,…,n}的错位排列数。 3。15人围坐，A不与B挨着坐，有多少方式？ 绝对禁止位置排列：1，2 相对禁止位置排列：3
（绝对）禁位排列
ch6 组合数学第1-2讲
• 组合分析是组合算法的基础。本章中将依次学 习计数方法、母函数、递归关系。
• 加法与乘法法则
• ⒈ 加法法则
• 例题6.3.3 某婚礼现场有6名男方的接待人员，4名女方的 接待人员，站成一排在门口迎客，要求女方的人员不能挨 着站，请问多少种不同的站法？
– 先让6名男方的人员站好，则为： 男1男2男3男4男5 男6 ，女方的人员只要站在中就可以避免相邻，
– 男方6个成员站6个位置，站位方案有������(6,6) = 6! = 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 720种
• 2. 排列数������(������, ������)
• 从������个不同元素中取������ 个的全部不同排列的个数记为.
•
������ ������, ������ = ������ ������ − ������ … ������ − ������ + ������ = ������!
– 方案1：第1个位置的旗有5种取法，最后位置 的旗有4种取法，中间三盆花有������(20,3)种取法 ，共有5 ∗ 4 ∗ ������(20,3) = 5 ∗ 4 ∗ 20 ∗ 19 ∗ 18 = 136800。
– 方案2：因为旗固定在两个位置，所以旗的取 法为������(5,2)，花固定在三个位置，所以花的取 法为������(20,3)，总的取法为������(5,2) ∗ ������(20,3) =5 ∗ 4 ∗ 20 ∗ 19 ∗ 18 = 136800
人教版高中数学选择性必修第三册6-2-3组合
3．乒乓球集训队有5名队员，每两人组成一对练球，其不同的组对方式共有 10 种．
解析：记5名队员为A，B，C，D，E，则所有的组队方式为AB，AC，AD，AE， BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种．
4.某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形 ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆 时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方 向行走i个单位，一直循环下去，则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的 所有不同走法有多少种？
课前篇·自主预习 检测篇·达标小练
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课前篇·自主预习
知识点 组合
1．组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 同元素中取出m个元素的一个 组合 ．
作为一组
，叫做从n个不
2．组合与排列的联系与区别 从排列与组合的定义可知，两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素， 这是它们的共同点．但排列与元素的顺序 有关 ，而组合与元素的顺序无关 ．只 有元素 相同 且顺序也 相同 的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素 相同 ，不论元素的顺序如何，都是相同的．
1．列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助“顺．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写 出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同 一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
3．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片5)玩游戏， 不放回抽取，甲、乙各抽一张放在一起，写出甲、乙抽到牌的所有情况．
组合数学6章作业答案
第6章 容斥原理及应用6.7 练习题3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。
解：∵100001002=,9261213=,10648223=∴从1到10000，共有100个平方数，21个立方数 又∵409646=，1562556=∴从1到10000，共有4个6次方数，也就是共有4个数既是平方数又是立方数 计算：10000-100-21+4=9883∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个□4、确定多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，的12-组合的个数。
解：设T ：{}d c b a S ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞=,,,*的所有12-组合 1A ：a 的个数大于4的12-组合2A ：b 的个数大于3的12-组合 3A ：c 的个数大于4的12-组合4A ：d 的个数大于5的12-组合要求的是：4321A A A A ⋂⋂⋂ = T )(4321A A A A +++-)(434232413121A A A A A A A A A A A A ⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂- )(4321A A A A ⋂⋂⋂+T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+121412=4551A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 2A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+8148=165 3A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 4A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+6146=8421A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 31A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 41A A ⋂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1141=432A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 42A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 43A A ⋂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1141=4321A A A ⋂⋂=421A A A ⋂⋂=431A A A ⋂⋂=432A A A ⋂⋂=4321A A A A ⋂⋂⋂=0 455-（120+165+120+84）+（20+10+4+20+10+4）=34∴多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，的12-组合的个数是34 □9、确定方程204321=+++x x x x满足611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x的整数解的个数。
2023新教材高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数第2课时组合的综合
况；
③从6条棱的中点中取4个点时，有3种共面情况．
故4点不共面的取法有C410－(60＋6＋3)＝141(种)．
解答几何组合问题的策略 (1)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样， 把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可． (2)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多 的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．
[解] 本题属平均分组问题，是组合问题，与顺序无关，有 C28CA26C44 24C22种不同分法．
(2)平均分给甲、乙、丙、丁四人；
[解] 法一：本题为平均分组，并且有分配对象，先分组，与
顺序无关，有
C28C26C24C22 A44
种分法，再分配给四个人，与顺序有关，有
A
44种排列方法，共有
C28C26C24C22 A44
【例4】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
[思路点拨] (1)是“平均分组”问题，与顺序无关，相当于6本 不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来 取．(2)是“均匀分组”问题．(3)是“不均匀分组”问题，分三步进 行．(4)分组后再分配．(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、 “1、2、3型”、“1、1[解] 分两种情况： 第一类：女队长当选，有C412种； 第二类：女队长不当选，则男队长当选， 有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种． 故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．
人教A版选择性必修第三册第六章6.2.3组合6.2.4组合数课件(36张)
(3)区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关．( √ )
提示：组合与排列不同之处是组合选出的元素没有顺序而排列有顺序．
2．C26 ＝________，C1178 ＝________. 【解析】C62 ＝6×25 ＝15， C1178 ＝C118 ＝18. 答案：15 18
3．(教材练习改编)现有 1，3，7，13 这 4 个数． (1)从这 4 个数中任取 2 个相乘，可以得到________个不相等的积； (2)从这 4 个数中任取 2 个相除，可以得到________个不相等的商． 【解析】(1)可以得到 C42 ＝4×23 ＝6 个不相等的积； (2)可以得到 A42 ＝4×3＝12 个不相等的商． 答案：(1)6 (2)12
3．已知 A，B，C，D，E 五个元素，写出每次取出 3 个元素的所有组合． 【解析】方法一：可按 AB→AC→AD→BC→BD→CD 顺序写出，即
所以所有组合为 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
方法二：画出树状图，如图所示．
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE， CDE.
排列、组合问题的判断方法 (1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序． (2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任 意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问 题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【加练·固】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)8 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ (2)8 个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？ (3)从 1，2，3，…，9 这九个数字中任取 3 个，组成一个三位数，这样的三位数共有 多少个？ (4)从 1，2，3，…，9 这九个数字中任取 3 个，组成一个集合，这样的集合有多少个？
2023新教材高中数学第6章组合数第1课时组合与组合数公式教师用书新人教A版选择性必修第三册
6.2.3 组合6.2.4 组合数第1课时组合与组合数公式1．通过实例理解组合的概念．(重点) 2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)3．理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)1．通过学习组合与组合数的概念，提升数学抽象素养．2．借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算素养．“校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一，它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台，同时也给同学们出了一道数学题．比较下列两个问题并发现它们之间的关系．(1)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，且其中一名参加流行组，一名参加民歌组，共有几种不同的报名结果？(2)高二(1)班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，共有几种不同的报名结果？知识点1 组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．1．怎样理解组合，它与排列有何区别？[提示] (1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．1．(多选题)下列选项是组合问题的是( )A ．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法B ．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法C ．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法D ．3本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法 BD [AC 与顺序有关，是排列问题，BD 与顺序无关，是组合问题．] 知识点2 组合数的概念从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．2．如何理解组合与组合数这两个概念？[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a ，b ，c 中每次取出两个元素的组合为ab ，ac ，bc ，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3．2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数为________．3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同． 所以共有甲↔乙，甲↔丙，乙↔丙三种票价．] 知识点3 组合数公式及其性质 (1)公式：C m n＝A mn A m m ＝n ！m ！n －m ！．(2)性质：C m n ＝C n －m n ，C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1． (3)规定：C 0n ＝1．3．(1)C 26＝________；(2)C 1718＝________．(1)15 (2)18 [(1)C 26＝6×52＝15．(2)C 1718＝C 118＝18．]类型1 组合的概念【例1】 (1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：①设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？ ②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？③2022年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？ (2)(对接教材P 22例5)已知A ，B ，C ，D ，E 五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．[解] (1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．判断一个问题是不是组合问题的方法技巧(1)区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题．(2)写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来．[跟进训练]1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．[解] (1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．(2)可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd．类型2 组合数公式的计算与应用【例2】 (1)式子n n ＋1n ＋2…n ＋100100！可表示为( )A ．A 100n ＋100 B ．C 100n ＋100C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100(2)计算：C 5－nn ＋C 9－nn ＋1． (3)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1． (1)D [分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ，故n n ＋1n ＋2…n ＋100100！＝101·n n ＋1n ＋2…n ＋100101！＝101C 101n ＋100．](2)[解] 由组合数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，所以4≤n ≤5，又因为n ∈N *，所以n ＝4或5． 当n ＝4时，C 5－nn ＋C 9－nn ＋1＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，C 5－nn ＋C 9－nn ＋1＝C 05＋C 46＝16． (3)[证明] ∵右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1 ＝m ＋1n ＋1·n ＋1！m ＋1！n －m ！＝n ！m ！n －m ！＝C mn ， 左边＝C mn ，∴左边＝右边， ∴原式成立． [母题探究]1．(变条件，变设问)将例(2)改为若A 3m ＝6C 4m ，求m ． [解] 因为A 3m ＝6C 4m ， 所以m (m －1)(m －2) ＝6·m m －1m －2m －34×3×2×1，所以m －3＝4，m ＝7．2．(变设问)将例(3)改为证明C mn ＝nn －mC mn －1．[证明] 右边＝nn －mC mn －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ，左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立．关于组合数计算公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m＝nn －1n －2…n －m ＋1m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！n －m ！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．[跟进训练]2．(1)计算：C 38－n3n ＋C 3n21＋n ；(2)求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝195中的n 值． [解] (1)由组合数的意义可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤38－n ≤3n ，0≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤38，0≤n ≤212，∴192≤n ≤212． ∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466．(2)原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3，即n －1n －2n －3n －4n －55！＝145·n －3n －4n －53！，化简整理，得n 2－3n －54＝0．解得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．类型3 组合数的两个性质【例3】 C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝__________．(用数字作答)220 [C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 34＋C 24＋…＋C 211＝…＝C 312＝220．] [母题探究]1．将本例改为C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝________．210 [C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210．] 2．将本例改为“C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 021”则结果如何？[解] C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 021＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 32 021－C 44＝C 45＋C 35＋…＋C 32 021－1＝…＝C 42 021＋C 32 021－1＝C 42 022－1．组合数公式C m n＝A mnA m m体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式C mn ＝n ！n －m ！m ！的主要作用有：1计算m ，n 较大时的组合数．2对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．特别地，当m >n2时计算C m n ，用性质C m n ＝C n －mn 转化，减少计算量．[跟进训练]3．(1)化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8m ＝________； (2)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值．(1)0 [原式＝(C 9m ＋C 8m )－C 9m ＋1＝C 9m ＋1－C 9m ＋1＝0．](2)[解] 根据题意，C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，变形可得C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ， 由组合数的性质，可得 C 7n ＋1＝C 8n ＋1，故8＋7＝n ＋1，解得n ＝14．1．若C x7＝C 47，则x 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．3或4D ．7C [由组合数性质知x ＝4或x ＋4＝7，即x ＝4或x ＝3．] 2．计算：C 24＋C 34＝( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．16B [C 24＋C 34＝4×32×1＋4＝6＋4＝10．]3．C 2n ＝10，则n 的值为________． 5 [由题意知n n －12＝10，解得n ＝5或n ＝－4(舍去)．]4．计算C 28＋C 38＋C 29＝________． 120 [C 28＋C 38＋C 29＝C 39＋C 29＝C 310＝10×9×83×2×1＝120．]5．C 17－n2n ＋C 3n n ＋13＝________．31 [由题意及组合数公式知⎩⎪⎨⎪⎧0≤17－n ≤2n ，0≤3n ≤n ＋13，n ∈N *，解得n ＝6．所以原式＝C 1112＋C 1819＝C 112＋C 119＝12＋19＝31．]回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．写出本节课学习的公式．[提示] ①C m n＝A mn A m m ＝n ！m ！n －m ！；②C 0n ＝1；③C m n ＝C n －m n ；④C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1．2．区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？[提示] 关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题． 3．写组合时可采取什么方法？[提示] 可采用“顺序后移法”或“树形图法”．。
组合数学_第6章6.4-6.5_
{1,2,…, n}的排列 i1 i2… in对应于棋盘上以方格 (1, i1), (2, i2),…, (n, in)
为坐标的n个车的位置
1 2 3 4 5 设n=5, X1={1, 4}, X2={3},
1X
X
X3=Φ, X4={1, 5}, X5={2, 5},
2
X
则P(X1,X2,…,X5)中的排列
p(X1 , X2 , X3 , X4 ) = 2
（方法2：容斥原理）
带禁止位置的“非攻击型车”
{1,2,…, n}的排列 i1 i2… in对应于棋盘上以方格 (1, i1), (2, i2),…, (n, in)
为坐标的n个车的位置
1 1
2 3 4 5 位置
23 45
24135
带禁止位置的“非攻击型车”
满足第 j 行的车不在 Xj 中的列，i=1,2,…,n，共 有多少种放置方法？
令属性Pj表示 j行上的车放置在Xj所给出的禁止位置中， 且Aj则为具有属性Pj的车的放置方法集合，
(1) |Aj |= |Xj | (n - 1)! (j=1,2,…,n) S |Aj | = (|X1|+|X2|+…+|Xn|) (n - 1)! 令r1 = (|X1|+|X2|+…+|Xn|) 则S |Aj | = r1 (n - 1)!
上，使得每一个男孩都面对到另一个男孩。他们能够
有多少种方法改变座位使得每人面对的男孩都不同？
（所有的座位都是一样）
1
8
2
解：应用容斥原理 假设8个男孩分成了四对： (1,5), (2,6),
7
3
6
4
5
组合数学答案6-8
Let A be the set of xi is nonnegative integer and xi 0 (i 1 ,2 ,3 and 4) ,
then
14 4 1 17
A
14
14
680
.
Let Ai be the set of xi is nonnegative integer and xi 8 (i 1,2,3 or 4) ,
|������| = 3
9 42
1
=
1260
|������1| = 4
7 2
1
= 105
|������2| = 3
6 2
1
= 60
|������3| = 4
8 3
1
= 280
We can also get that
Thus,
|������1 ∩ ������2| = *'aaa' , 'bbbb' , 2∙c, 1∙d+ |������1 ∩ ������3| = *'aaa' , 4∙b, 'cc' , 1∙d+ |������2 ∩ ������3| = *3∙a, 'bbbb' , 'cc' , 1∙d+
������3 = *3∙a, 4∙b, 'cc' , 1∙d+ ������1 is the set that consisting all the permutations of S which three a is consecutively.������2is the set that consisting the all the permutations of S which four b is consecutively. ������3 is the set that consisting all the permutations of S which two c is consecutively.
人教A版高中数学选择性必修三6.2.4组合数课件
120
(2)C170
10! 7!(10
7)!
10 9 8 7! 7! 3!
10 9 8 3!
120
思考：两 种计算公 式，你觉 得哪一种 更好用？
计算时，可以通过组合数的性质 Cmn Cnnm 简化运算.
学习新知
环节三：应用举例，解决问题
例2 式子 n(n 1)(n 2) (n 100) 可表示为( D )
根据分步乘法的计数原理，有 A34 C34 A33
,
C34
A34 A33
c,b, a d,b, a d,c, a d , c, b
有
每 一
A
3 3
种种
组不
合同
组的
内排
列
学习新知
环节二：问题探究，导出公式
问题3：如何将结论从特殊推广到一般的情况呢？
求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”，可以看作由以下 两个步骤得到：
学习新知
环节三：应用举例，解决问题
例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品 中任意抽出3件. （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
思考（3）：抽出的3件产品至少有1件是次品，可以包括那些情况？ 有1件次品和有2件次品两种情况.
C
m n
.
2）组合数的计算公式有两种：
Cmn
Amn Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
3）巧用组合数的性质，简化运算.
新教材2023高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.4组合数课件新人教A版选择性必修第三册
5 人,共有C95 =126 种不同的选法.
(4)甲、乙、丙 3 人只能有 1 人参加,可分两步:先从甲、
乙、丙中选 1 人,有C31 =3 种选法;再从另外 9 人中选 4 人,有C94
种选法.共有C31 ×C94 =378 种不同的选法.
2 名男生,从 4 名女生中选出 1 名女生,有C52 ×C41 =40 种选法;第
二类,从 5 名男生中选出 1 名男生,从 4 名女生中选出 2 名女
生,有C51 ×C42 =30 种选法;第三类,从 4 名女生中选出 3 名女生,
有C43 =4 种选法.
根据分类加法计数原理,知共有 40+30+4=74 种选法.
的家长中有 2 位为 1 个家庭的父亲和母亲,其选法有C41 种,另 2
位家长从另 3 个家庭中的 2 个家庭中选,其选法有C32 种,并且被
选中的家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况,其选
法有 22 种.
解析:根据分步乘法计数原理,知作介绍的家长的选法种
数为C41 ×C32 ×22=48.
=C14 的解为 4 或 6 .
解析: 由题意,得 x=2x-4 或 x=14-(2x-4),
且 x 满足不等式组
解得 x=4 或 x=6.
0 ≤ 2-4 ≤ 14,
0 ≤ ≤ 14,
探索点一
组合数公式及性质的应用
【例 1】 (1)计算:
①3C83 -2C52 +C88 = 149 ;
98
199
次取出 2 个元素的组合为 ab,ac,bc,其中每一种都是一个组合,
这些组合共有 3 个,则组合数为 3.
新教材2023高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合课件新人教A版选择性必修第三册
[基础测试]
1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( ) 解析: 只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都 是相同的组合.
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.3 组合
[学习目标] 通过解决实际的计数问题,得到组合的概 念,并能利用概念判断组合问题,知道组合问题与排列问题的
区别和联系,发展数学抽象素养.
组合的概念
[新知探究]
情境Ⅰ:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天 的活动,其中 1 名同学参加上午的活动,1 名同学参加下午的 活动.
(2)由于组合与顺序无关,故利用顺序后移法时箭头向后逐 步推进,且写出的一个组合不可交换位置.如写出 AB 后,不必再 交换位置为 BA,因为它们是同一组合.画树状图时,应注意顶层 及下枝的排列思路,防止重复或遗漏.
【跟踪训练】
2.变式练已知 A,B,C,D,E 五个元素,写出每次取出两个元素 的所有组合,并与例 2 的结论比较,其组合的个数有什么关系?
[知识梳理]
组合的概念 一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素作为一 组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合 .
【思考】
(1)排列与组合之间的共同点和不同点是什么? 提示: 从排列与组合的定义可以知道,两者都是从 n 个不同 元素中取出 m(m≤n)个元素,这是排列、组合的共同点.它们的不 同点是:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.只有元 素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;两个组合只要元 素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
6.2.3-6.2.4组合、组合数-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第三册)
m !( n m 1)!
( n 1) n !
( n 1)!
C nm 1 .
m !( n m 1)!
m !( n m 1)!
PART.04
组合与组合数的应用
概念讲解
例 3.求值：(1)3C38－2C25；
－
n
3n
(2)C38
＋C
3n
21＋n.
8×7×6
1
6
2
5
3
3
3
3
解：在(1)的基础上再进行全排列，所以一共有 C C C A ＝360(种)方法.
例题剖析
（3）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不
同的方法？
解：可以分为三类情况：①“2,2,2 型”
，有 C26C24C22＝90(种)方法；
②“1,2,3 型”
，有 C16C25C33A33＝360(种)方法；
件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的
抽法种数为
1
C 21C 982 C 22C 98
9506 98 9604.
(间接法)：抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出
3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即
3
100
C
98 97 96
人教A版2019选修第三册
第 六 章 计数原理
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
教学目标
1.通过实例理解组合的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式.
3.能解决有限制条件的组合问题.
4.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学
精品数学 高中数学人教A版选择性必修三第六章 6.2.3-6.2.4 第1课时 组合及组合数的定义
6.2.3组合6.2.4组合数第1课时组合及组合数的定义学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．知识点一组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．知识点二排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数C m n与排列数A m n间存在的关系A m n＝C m n A m m1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．(√) 2．“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．(×)3．组合数C35＝A35A33.(√)4．两个组合相同，则其对应的元素一定相同．(√)一、组合概念的理解例1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．反思感悟排列、组合辨析切入点(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．跟踪训练1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．解(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．二、组合的个数问题例2在A，B，C，D四位候选人中．(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数A m n与组合数C m n间的等量关系吗？解(1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有A24＝12(种)选法，所有可能的选举结果：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，BA ，CA ，DA ，CB ，DB ，DC .(2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有C 24＝6(种)选法，所有可能的选举结果：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD .(3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应A 22个排列，即A 24＝C 24A 22.类比可知，从n 个不同元素选出m 个元素的排列数A m n 与组合数C m n 间的等量关系为A m n ＝C m n A m m .反思感悟 组合个数的求解策略(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A 开头的组合，再枚举以字母B 开头的组合，直到全部枚举完毕．(2)公式法：利用排列数A m n 与组合数C m n 之间的关系C m n ＝A m n A m m求解． 跟踪训练2 从5个不同元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．解 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：由此可得所有的组合：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共有10种．三、简单的组合问题例3 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．答案 (1)45 (2)21 (3)90解析 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝A 210A 22＝10×92×1＝45. (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝A 26A 22＋A 24A 22＝6×52×1＋4×32×1＝15＋6＝21(种)不同的选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝A 26A 22×A 24A 22＝6×52×1×4×32×1＝90(种)． 反思感悟 利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．跟踪训练3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝A 38A 33＝8×7×63×2×1＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝A 27A 22＝7×62×1＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝A 37A 33＝7×6×53×2×1＝35.1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是( )A ．a ，b ，c —b ，c ，aB ．a ，b ，c —a ，c ，bC ．a ，c ，d —d ，a ，cD ．a ，b ，c —a ，b ，d答案 ABC2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )A ．10B ．5C ．4D ．1答案 B解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．3．在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为( )A．4×13手B．134手C．A1352手D．C1352手答案 D解析本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到C1352手不同的牌．4．下列问题中，组合问题有________，排列问题有________．(填序号)①从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和；②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数；③从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的两项活动．答案①②③解析①②为组合问题，③为排列问题．5．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________．答案ab，ac，ad，bc，bd，cd解析可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.1．知识清单：(1)组合与组合数的定义．(2)排列与组合的区别与联系．(3)用列举法写组合．2．方法归纳：枚举法．3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有()A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数C ．由1,2,3组成两位数的不同方法数D ．由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数答案 AB2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )A ．A 310种B ．C 310种 C ．C 310A 310种D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人，即C 310. 3．已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24答案 B解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BCD .4．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64答案 C解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C 28＝A 28A 22＝8×72×1＝28(条)公路． 5．某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有( )A ．C 59种B ．A 37种C ．C 37种D ．C 57种答案 C解析 只需再从其他7名队员中选3人，即C 37种选法．6．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同选法．答案 84解析 只需从9名学生中选出3名即可，从而有C 39＝A 39A 33＝9×8×73×2×1＝84(种)选法． 7．若已知集合P ＝{1,2,3,4}，则集合P 的子集中含有2个元素的子集数为________． 答案 6解析 由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 24＝A 24A 22＝4×32×1＝6(个)．8．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是________．(用数字作答) 答案 10解析 由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有C 35＝A 35A 33＝5×4×33×2×1＝10(种)不同方法． 9．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？解 (1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A 210＝90.(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为C 210＝A 210A 22＝45. (3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C 210＝A 210A 22＝45. (4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C 310＝A 310A 33＝120. (5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为A 310＝720.10．平面内有10个点，其中任意3个点不共线．(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？解 (1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合数，共有C 210＝A 210A 22＝10×92×1＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列数，共有A 210＝10×9＝90(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C 310＝A 310A 33＝10×9×83×2×1＝120(个)．11．(多选)下列问题是组合问题的有( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B ．平面上有2 021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }中含有三个元素的子集有多少个D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法答案 ABC解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.12．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( )A ．60种B ．36种C ．10种D ．6种答案 D解析 甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有C 24＝A 24A 22＝6(种)不同的选法． 13．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．28答案 B解析 由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 14＝A 28A 22·A 14A 11＝112. 14．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.15．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有________个矩形；(2)从A 点走向B 点最短的走法有________种．答案 (1)210 (2)210解析 (1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形C 27·C 25＝A 27A 22·A 25A 22＝210(个)． (2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610·C 44＝A 610A 66·A 44A 44＝210(种)走法．16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问：全部赛程共需比赛多少场？解 (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C 26＝2×A 26A 22＝30(场)．(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．。
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观察规律
固定k, 令S={1,…, k}.
circ(n) : S的长为n的圆排列个数.
per(d) : S的周期为d的线排列数.
line(n) : S的长为n的线排列数(=kn, circ(n)n).
周期1: 1111, 2222,
per(1)=2
固定k, 令S={1,…, k}. circ(n) : S的长为n的圆排列个数. per(d) : S的周期为d的线排列数. line(n) : S的长为n的线排列数(=kn, circ(n)n).
kn line(n) per(d ) -------(1)
d|n
circ(n) 1 per(d ) -------(2) d|n d 先由(1)解出per(n), 再带入(2)解出circ(n)
1
k
推论(C102,E165)
定理: 设A1, A2,…, An是有限集合, 则
n
|A1A2…An| = | Ai | | Ai Aj |
i 1
1i jn
| Ai Aj Ak |
1i jkn
+(-1)n-1|A1A2…An|
欧拉函数(n) (ex32,C122,E196)
(n)是1~n中与n互素的数的个数.
n! 3!
n! n!
n!
1
1 1!
1 2!
1 3!
n1!
错排的递推关系(C109,E176)
定理: Dn = (n-1) Dn-2 + (n-1) Dn-1. 证明: 对错排i1…in, (1) i1有n-1种取值, 设i1 = k; (2) 或(2a) ik=1; 或(2b) ik1. 将i1,ik互换则有
(2a) {1,2,…,n}\{1,k}是错排. (2b) {1,2,…,n}\{k}是错排.
问题举例(C110,E177)
n位男士, n位女士聚会, 女士选择舞伴, 第一次跳舞有多少种方案? 若每人都换舞伴,第二次跳舞方案数? 第二次跳舞每人都换舞伴的概率是多少?
带禁止位置的排列(C111,E178)
周期2: 1212,
per(2)=2
周期4: 1112, 1122, 1222, per(4)=12
line(4) = per(1) + per(2) + per(4) = 16
circ(4) =per(1)/1+per(2)/2+per(4)/4=2+1+3=6
多重集线排列与圆排列关系(C123,E197)
k k (1)k k 0
0 1
k
经典Möbius反演定理(C121,E194)
定理:设F(n)和G(n)是正整数集上的函数, 则
G(n) F(d ) F (n) (d )G n .
d|n
d|n
d
n Gd . d|n d
per(d ) kn per(n) n kd
(1) ( pi )
( pi pj ) ... ( p1 pk )
p 1ik
i
p p 1i jk
ij
p1 pk
(1) 1
1 ... (1)k (n)
p p p 1ik i 1i jk i j
p1 pk n
多重集的圆排列数(C124,E196)
固定k, 令S={1,…, k}.
定义rk (C112,E180)
定义: 设将k个棋子放在棋盘的禁止位置上, 没有棋子位于同行同列,方案数为rk.
123456
i1 X
i2 X X
i3
XX
i4
XX
i5
i6
r1=7, r2=15, r3=10, r4=2, r5 = r6 = 0
定义: Ak = { ik Xk } 即: ik在禁止位, 其它ij任意
应用二: 魔法手镯(补充)
设有m种魔法珠, B=(bij)mm为其邻接矩阵 circ(n) : 满足B, 且长为n的圆排列数. per(d) : 满足B, 且周期是d的线排列数. line(n)=tr Bn : B的长为n的回路的条数
d|n
d|n d
Möbius函数与欧拉函数(C122,E195)
定理: 对任意正整数n, 有 d|n (d)/d = (n)/n.
证明: 反演或归纳. n=1, 定理成立. 若n>1, 设
n
pa1 1
pa2 2
pak k
,
n1 p1 p2 pk .
(d)/ d (d)/ d
d|n
d|n1
组合数学
第六章 容斥原理及其应用
主要内容：
1. 容斥原理及简单应用 2. 错排问题 3. 带禁止位置的排列 4. 莫比乌斯反演
n n (1)n n 0
0 1
n
容斥原理
“容”是inclusion, “斥”是exclusion. Principle of inclusion and exclusion 容斥原理是加法原理的一般情况 设全集为U, AU, 则有
i1 X i2 X X
r4=2, r5 = r6 = 0 带如图禁止位置排列数为
i3
XX
i4
XX
6!-75!+154!-103!+22!
i5
= 184
i6
魔法手镯(补充)
Potter的女朋友Ginny的生日快到了.
Potter打算做魔法手镯作为生日礼物.
手镯上要均匀地点缀n(1n109)个魔珠.
有m(1m10)种魔珠,有些魔珠不能相邻.
问题的解(C112,E180)
定义: 设将k个棋子放在棋盘的禁止位置上,
没有棋子位于同行同列,方案数为rk.
定义: Ak = { ik Xk } 即: ik在禁止位, 其它ij任意
观察:
12345
A1A2: i1和i2在禁止位, 其它ij任意 i1 X
X
两棋子放第12行禁止位,其它任意
i2 i3
输入第一行: t
// 测试样例数.
第二行: n m k // 1km(m-1)/2
接下来k行: a b // 1a,bm, a和b号珠不能相邻
…
输出: 不同手镯数模9973的结果.
k种元素多重集的圆排列(C123,E196)
长为n圆排列在n个位置断开可得n个线排列 可能相同, 例:123412341234123412341234 只能形成4个不同的线排列, 称为周期4. 设一圆(线)排列可由长为p的线排列拷贝形成, 则这样的p中最小者称为该排列的周期. 长为n线(圆)排列数?周期取值?各数间的关系? n=4, k=2: 周期1: 1111, 2222
d|n
(d )
1, 0,
if n 1, if n 1.
证明: n=1, 定理成立. 若n>1, 设
n
pa1 1
pa2 2
pak k
,
n1 p1 p2 pk .
(d) (d)
d|n
d|n1
(1) ( pi ) ( pi pj ) ... ( p1 pk )
1ik
1i jk
+ |AB| + |BC| + |AC| - |ABC|.
简单应用举例(C102-105,E165-169)
例. 求1~1000中不能被5,6,8整除的数的个数. A5={1~1000中能被5整除的数}, A6, A8, |A5c∩A6c∩A8c| = ?
例. 多重集的组合. {3a, 4b, 5c}的10组合个数 x1 + x2 + x3 = 10 -------* 0 x1 3, 0 x2 4, 0 x3 5
|Ac| = |
因为 |AB| = |A| + |B| - |AB|, U 所以 设全集为U, 且A,BU, 则有 A B
| Ac Bc | = |U| - |AB| = |U| - |A| - |B| + |AB|
类似的设全集为U, 且A,B,CU, 则有 | Ac Bc Cc | = |U| - |A| - |B| - |C|
| Ai Aj Ak | + (-1)n|A1A2…An|
1i jkn
证明: xU, 计算x在等号两边出现的次数
设x在A1, A2, …, An中恰好出现k次, k=0,1,…,n
k=0: 左边 = 1, 右边 = 1
k>0: 左边 = 0, 右边 = 1 k ... (1)k k
| Ai1 Aik | rk (n k)!
1i1 ik n
定理: 带禁止位置的排列数为
i1 X
X
i2
X
i3
i4 X
X
i5
X
X
n! - r1(n-1)! + r2(n-2)! - … + (-1)nrn 0!,
问题举例(C112,E180)
1 2 3 4 5 6 r1=7, r2=15, r3=10,
错排公式(C108,E173)
设Ai为数i在第i位的全体排列, i , j =1,2,…,n |Ai|=(n-1)!, |AiAj|=(n-2)!, … … 错排数=|A1cA2c…Anc| ?
n! n(n 1)! n(n 2)! (1)n n(n n)!
1
2
n
n! n! 1!
n! 2!
例(3)=2, (6)=2. 设n的素分解为n
pa1 1
pa2 2
pak k
设Ai为1~n中pi的倍数的集合, i, j =1,…,k
|Ai|=n/pi , |Ai Aj|=n/(pi pj ), ……
(n) = |A1cA2c…Akc|