2021届上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期数学开学试题答案
2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期3月月考数学试卷含详解
2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期3月月考数学试卷2024.3一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________．2.若复数z 满足()1i 2i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为______.3.已知函数()1f x x =，则0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-=∆__________．4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S =________5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为6.已知a 、b 为实数，函数ln ay x x =+在1x =处的切线方程为40x y b -+=，则ab 的值______.7.已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y +的最小值为______.8.在直角三角形ABC 中，5AB =，12AC =，13BC =，点M 是ABC 外接圆上的任意一点，则AB AM ⋅的最大值是___________.9.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n -=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．10.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.11.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e x x x f axf ax ax->-恒成立，则a 的取值范围是______.12.已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点（允许重合），满足0FA FB FC ++= ，且FA FB FC ≤≤ ，则FC的取值范围是___．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）A.若a >b ，则11a b< B.若a >b ，则22ac bc >C.若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD.若a >b ，c >d ，则ac >bd14.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，如图是()f x '的图像，下列说法中不正确的是（）A.[]1,3-为函数()f x 的单调增区间B.[]3,5为函数()f x 的单调减区间C.函数()f x 在0x =处取得极大值D.函数()f x 在5x =处取得极小值15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是A.1a b +> B.1a b +< C.221a b +< D.221a b +>16.在数列{}n a 中，12a =，2a a =，()11*211,N ,n n n n n n n nn a a a a a n a a aa +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩.对于命题：①存在[)2,a ∈+∞，对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=.②对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.下列判断正确的是（）A.①是真命题，②也是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②也是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.18.已知函数()22sin 3sin cos f x x x x ωωω=+的最小正周期为π，其中0ω>．（1）求ω的值与函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且3,sin 2sin c B A ==，()3f C =，求ABC 的面积．19.为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为20cm 的正方形，高为10cm ，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示．1P ，2P ，3P ，4P 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得1P ，2P ，3P ，4P 四个点重合于点P ，正好形成一个正四棱锥P ABCD -，如图所示，设AB x =（单位：cm ）．（1）若10x =，求正四棱锥P ABCD -的表面积；（2）当x 取何值时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）若a =2，求椭圆E 的标准方程；（2）以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线G ，若G 上动点M 到点(10,0)H 的最短距离为，求a 的值；（3）当2a =时，设点F 为椭圆E 的右焦点，(2,0)A -，直线l 交E 于P 、Q （均不与点A 重合）两点，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若1230kk kk ++=，求FPQ △的周长．21.已知函数()ln h x x xλ=+，其中λ为实数.（1）若()y h x =是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；（2）若函数()y h x =有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；（3）记()()g x h x x λ=-，若(),p q p q <为()g x 的两个驻点，当λ在区间42,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求()()g p g q -的取值范围.2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期3月月考数学试卷2024.3一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________．【答案】[]22-,【解析】【分析】根据补集的定义直接进行运算即可.【详解】因为{}2M x x =>，所以{}{}2|22M x x x x =≤=-≤≤，故答案为：[2,2]-.2.若复数z 满足()1i 2i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为______.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】利用复数的除法运算得z ，即可求解.【详解】()()()()2+i 1i 2+i 31i,1+i 1+i 1i 22z -===--则z 的虚部为12-.故答案为：12-.3.已知函数()1f x x =，则0(2)(2)limx f x f x∆→+∆-=∆__________．【答案】14-【解析】【分析】首先计算()()()22122f x f x x +∆-=-∆+∆，当0x ∆→时，即可求值.【详解】()()()11222222xf x f x x -∆+∆-=-=+∆+∆，()()()22122f x f x x +∆-=-∆+∆，()()()002211limlim 224x x f x f x x ∆→∆→⎛⎫+∆-=-=- ⎪ ⎪∆+∆⎝⎭.故答案为：14-4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S =________【答案】8【解析】【分析】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案.【详解】由等差数列的性质可得：1164131a a a a +=+=，所以()1161616116822a a S +⨯⨯===，故答案为：8.5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为【答案】23【解析】【详解】试卷分析：设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r ，由题意圆锥的侧面展开图得弧长（即圆锥得底面圆周长）为43π，由得圆锥母线与底面所成角的余弦值为23r l =.考点：圆锥的侧面展开图.6.已知a 、b 为实数，函数ln ay x x=+在1x =处的切线方程为40x y b -+=，则ab 的值______.【答案】21【解析】【分析】求导，点斜式得到直线方程，对应项相等得ab .【详解】由()ln af x x x =+，得21()a f x x x'=-，则()11f a '=-，又()1f a =，则切线方程为()()11y a a x -=--，即()112y a x a=--+14,12a a b ∴-=-+=，得3,7a b =-=-21ab ∴=故答案为：21.7.已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y+的最小值为______.【答案】3+##3+【解析】【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为1,1,10x y xy >>=，所以lg lg lg 1x y xy +==，lg 0x >，lg 0>y ，所以1212lg 2lg ()(lg lg )33lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+3=+当且仅当lg 2lg lg lg y xx y=，即lg 2y x ==-时，等号成立，显然此时,x y 有解，所以12lg lg x y+的最小值为3+.故答案为：3+.8.在直角三角形ABC 中，5AB =，12AC =，13BC =，点M 是ABC 外接圆上的任意一点，则AB AM ⋅的最大值是___________.【答案】45【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点M 的坐标，计算AB AM ⋅的最大值．【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：(0,0)A ，(5,0)B ，(0,12)C ，ABC 外接圆225169()(6)24x y -+-=，设M 513(cos 22θ+，136sin )2θ+，则513(cos 22AM θ=+ ，136sin )2θ+，(5,0)AB =，2565cos 4522AB AM θ⋅=+≤ ，当且仅当cos 1θ=时取等号．所以AB AM ⋅的最大值是45．故答案为：45．9.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．【答案】1)-【解析】【分析】利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案．【详解】如图正六边形中，,OA AB c BD ===，直线OB 即双曲线的渐近线方程为y =，由椭圆的定义可得)21a AB BD c =+=，所以椭圆的离心率1c e a ===，双曲线的渐近线方程为n y x m =，则=n m ，双曲线的离心率2e ==，所以椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为1)-【点睛】本题考查椭圆的定义和离心率，双曲线的简单性质，属于一般题．10.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.【答案】【解析】【分析】先根据线面垂直确定点P 的轨迹，再解三角形得周长.【详解】设底面的中心为O ，则SO ⊥面ABCD SO AC ∴⊥,由正方形ABCD 得,AC BD SO BD O AC ⊥=∴⊥I 面SBD取SC ，CD 的中点为G ，F ，易得面//SBD 面GEF ，所以AC ⊥面GEF ，因此动点P 的轨迹为GEF ∆，因为1,SO BD BO SB ====2GE GF ==，EF =P+【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及立体几何中轨迹问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.11.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．若对x ∀∈R ，不等式()()e eexxxf axf ax ax ->-恒成立，则a 的取值范围是______.【答案】[)0,e 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x x =-，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为e x ax >恒成立,分离参数求最值即可求解.【详解】定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，∴函数()f x 为R 上的偶函数．令()()g x xf x x =-，则()()g x g x -=-,()g x 为奇函数．()()()1g x xf x f x ''=+-．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．()0g x '∴>，()g x 在[)0,∞+单调递增．∴函数()g x 在R 上单调递增．对x ∀∈R ，不等式()()e eexxxf axf ax ax ->-恒成立，()()e e e x x x f axf ax ax ⇒->-,即()()exg g ax >e x ax ∴>．当0x >时，e ()xa h x x <=，则2(1)()x e x h x x'-=，则()01,0x h x <<'<；()1,0x h x '>>；故()h x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增；可得1x =时，函数()h x 取得极小值即最小值，()1eh =e a ∴<．当0x <时，e xa x>，则()0h x <，则0a ≥则a 的取值范围是[)0,e .故答案为：[)0,e .12.已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点（允许重合），满足0FA FB FC ++=，且FA FB FC ≤≤ ，则FC的取值范围是___．【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据焦半径公式表示出FA ，FB，FC，依题意可得1233x x x ++=，即可求出3x 的取值范围，即可得解.【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0F ，准线方程为=1x -，所以11FA x =+ ，21F x B =+ ，31FC x =+，0FA FB FC ++=，又A 、B 、C 为抛物线上三点，显然三点不完全重合，∴()()()()1122331,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=，即1233x x x ++=，1230y y y ++=，所以123222123012y y y y y y ++=⎧⎨++=⎩，因为FA FB FC ≤≤，所以123111x x x ≤≤+++，等价于123y y y ≤≤，由对称性，不妨设312210y y y y y =--≤≤≤，所以()222222123121212y y y y y y y ++=++--=，即2212126y y y y ++=，所以()()222212*********y y y y y y y y +≤++=≤+，所以2233364y y ≤≤，所以33364x x ≤≤，3322x ≤≤，351,32FC x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，当()330,0,,,22A B C ⎛⎛ ⎝⎝时，即52FC = ；当(11,,2,22A B C ⎛⎛- ⎝⎝时，即3FC = ;所以5,32FC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）A.若a >b ，则11a b < B.若a >b ，则22ac bc >C.若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD.若a >b ，c >d ，则ac >bd 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取2,1a b ==-则11a b>，故A 错，对于B:若0c =，则22=ac bc ，故B 错误，对于C:由同号可加性可知：a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，故C 正确，对于D:若2,1,2,3a b c d ===-=-，则4,3ac bd =-=-，ac bd <，故D 错误.故选：C14.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，如图是()f x '的图像，下列说法中不正确的是（）A.[]1,3-为函数()f x 的单调增区间B.[]3,5为函数()f x 的单调减区间C.函数()f x 在0x =处取得极大值D.函数()f x 在5x =处取得极小值【答案】C【解析】【分析】[]13,x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增，A 正确，[]3,5x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，B 正确，[]13,x ∈-时，()f x 单调递增，C 错误，根据单调性判断D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：[]13,x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增，正确；对选项B ：[]3,5x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，正确；对选项C ：[]13,x ∈-时，()f x 单调递增，错误；对选项D ：[]3,5x ∈时，()f x 单调递减，当()5,x ∈+∞时，()f x 单调递增，函数()f x 在5x =处取得极小值，正确；故选：C ．15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是A.1a b +> B.1a b +< C.221a b +< D.221a b +>【答案】C【解析】【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．16.在数列{}n a 中，12a =，2a a =，()11*211,N ,n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩.对于命题：①存在[)2,a ∈+∞，对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=.②对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.下列判断正确的是（）A.①是真命题，②也是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②也是假命题【答案】A【解析】【分析】对①，直接令2a =判断即可；对②，利用反证法，先设数列中第一项满足n a a >的项为k a ，再推导21,k k a a --的大小推出矛盾即可；【详解】对①，当2a =时，易得12a =，22a =，31a =，42a =，52a =，61a =…故数列{}n a 为2，2，1循环.所以对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=成立，故①正确；对②，对于任意[)2,a ∈+∞，有12a =，2a a =，32a a =，42a =，设数列中第一项满足n a a >的项为k a ，则4k >，此时易得21,k k a a a --≤，又()11*211,N ,n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩，且由题意，0n a >恒成立，故21n a +≥，即数列{}n a 中所有项都满足1n a ≥，故211,k k a a a --≤≤，因为[]2112max ,1,k k k k k a a a a a a ----⎧⎫=∈⎨⎩⎭，与k a a >矛盾，故对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.故选：A三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）1arcsin3【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.分别求出直线PC 的方向向量与平面PBD 的法向量，由线面角的向量公式代入即可求解.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥.在正方形ABCD 中，AC BD ⊥.而PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC .【小问2详解】以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.设1AB =，则()()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0B D P C ，从而()()()1,0,1,0,1,1,1,1,1PB PD PC =-=-=- .设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =r，0000PB n x z x z y z y z PD n ⎧⎧⋅=-==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==⋅=⎩⎪⎩⎩ ，令1z =，则()1,1,1n = .设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ，则1 sin|cos,3PC nPC nPC nθ⋅===⋅∣，故PC与夹面PBD的所成角大小为1 arcsin3.18.已知函数()22sin cosf x x x xωωω=+的最小正周期为π，其中0ω>．（1）求ω的值与函数()f x的单调增区间；（2）设ABC的内角、、A B C的对边分别为a b c、、，且2sinc B A==，()3f C=，求ABC的面积．【答案】（1）1ω=，πππ,π,63k k k⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）32【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到()π2sin216f x xω⎛⎫=-+⎪⎝⎭，根据最小正周期得到ω，进而得到函数解析式，得到单调递增区间；（2）根据()3f C=求出π3C=，由正弦定理得到2b a=，由余弦定理得到1a=，求出三角形面积.【小问1详解】()π1cos22sin216f x x x xωωω⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，2ππ2Tω==，()π1,2sin216f x xω⎛⎫∴==-+⎪⎝⎭，令πππ22π,2π,622x k k k⎡⎤-∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z，解得πππ,π,63x k k k⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z，故()f x的单调增区间为πππ,π,63k k k⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z．【小问2详解】()π2sin 2136f C C ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ，即sin 216πC ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πC ∈，ππ11π2,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故ππ262C -=，解得π3C =，sin 2sin B A =，2b a ∴=，2222cos c a b ab C =+- ，222342a a a ∴=+-，解得1a =，1322,sin 22ABC b a S ab C ∴====△．19.为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为20cm 的正方形，高为10cm ，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示．1P ，2P ，3P ，4P 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得1P ，2P ，3P ，4P 四个点重合于点P ，正好形成一个正四棱锥P ABCD -，如图所示，设AB x =（单位：cm ）．（1）若10x =，求正四棱锥P ABCD -的表面积；（2）当x 取何值时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．【答案】（1）2400cm ；（2）16x =.【解析】【分析】（1）连接AC ，BD ，交于点O ，设BC 中点为E ，连接PE ，EO ，PO ，利用底面积与侧面积的和求解表面积；（2）由AB x =，可得2x OE =，)(200202x PE x =-<<，先利用勾股定理求出棱锥的高，然后表示出体积，再利用导数求最大值时x 的的值.【详解】在正四棱锥P ABCD -中，连接AC ，BD ，交于点O ，设BC 中点为E ，连接PE ，EO ，PO ．（1）∵10AB =，∴5OE =，15PE =，∴正四棱锥P ABCD -的表面积为141010410154002ABCD PBC S S S =+=⨯+⨯⨯⨯=表△，∴正四棱锥P ABCD -的表面积为2400cm ．（2）∵AB x =，∴2x OE =，)(200202x PE x =-<<，∴)222052002022x x PO x x ⎛⎛⎫⎫=---<<⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝，∴正四棱锥P ABCD -的体积为)()()241252525202020020333V x x x x x x x x =⨯-=⨯-=-<<．令)()()(420020t x x x x =-<<，则)()(3516t x x x '=-，当016x <<时，)(0t x '>，)(t x 单调递增；当1620x <<时，)(0t x '<，)(t x 单调递减，∴)()(max 16t x t =，∴)()(max 16V x V =，∴当16x =时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．【点睛】方法点睛：解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何法，特别是平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、导数法以及均值不等式法求解.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）若a =2，求椭圆E 的标准方程；（2）以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线G ，若G 上动点M 到点(10,0)H 的最短距离为，求a 的值；（3）当2a =时，设点F 为椭圆E 的右焦点，(2,0)A -，直线l 交E 于P 、Q （均不与点A 重合）两点，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若1230kk kk ++=，求FPQ △的周长．【答案】（1）22143x y +=；（2）4；（3）8【解析】【分析】（1）直接利用四边形面积可知=ab 2a =即可求出b 值，即可求得椭圆方程；（2）设出点M 坐标，由两点间距离公式构造二次函数求最值即可；（3）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理及1230kk kk ++=可求出直线方程，得出直线恒过定点，即可求出三角形FPQ △的周长.【小问1详解】由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为1222a b ⨯⨯⨯=，即=ab∵2a =，∴b =，∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】椭圆的右顶点为(),0a ，以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为24y ax =，设动点()00,M xy ，则()()()22222200000010201004102100102MH x y x x ax x a a =-+=-++=--+--⎡⎤⎣⎦当1020a ->时，即05a <<，最小值在对称轴处取得，即()(22100102a --=，解得4a =或6a =（舍去），当1020a -≤，即05a <≤，最小值在00x =处取得，此时MH 最小值为10，不符合题意，故4a =；【小问3详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则1112y k x =+，2222y k x =+，故12121212122222y y kx m kx m k k x x x x +++=+=+++++，则()()()()()()()12211212122233322kx m x kx m x kk kk k k k x x +++++++=++=+++()()()12121212224324kx x k m x x mk x x x x ++++=++++，当2a =时椭圆的方程为22143x y +=，将椭圆方程与直线方程联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得()2223484120k x kmx m +++-=，()()22222264434412144481920k m k m m k ∆=-+-=-+>，即22340m k -+>，122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，即()()2221222241282243434334128243434m km k k m m k k k k k k m km k k --⨯++⨯+++++=--+⨯+++()()222041616m k m k m km k --==-+，故m k =或2m k =，此时均满足0∆>，若m k =，则直线l 的方程为y kx k =+，此时直线恒过()1,0-，若2m k =，则直线l 的方程为2y kx k =+，此时直线恒过()2,0-，与题意矛盾，点()1,0-为椭圆的左焦点1F ，故FPQ △的周长为1148PF FQ PQ PF FQ PF QF a ++=+++==.21.已知函数()ln h x x xλ=+，其中λ为实数.（1）若()y h x =是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；（2）若函数()y h x =有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；（3）记()()g x h x x λ=-，若(),p q p q <为()g x 的两个驻点，当λ在区间42,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求()()g p g q -的取值范围.【答案】（1）(,0∞⎤-⎦（2）10eλ<<（3）6302ln 2,4ln 2517⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）直接由导数求出参数的范围即可.（2）由导数判断单调性后转化为方程根的个数问题，再求最小值小于零得出结果.（3）根据驻点得出导函数为零的的两根，用韦达定理将双变量换成单变量带入()()g p g q -，写出表达式再求导即可.【小问1详解】易得定义域为()0,∞+，()221x h x x x xλλ-'=-=，当且仅当0λ≤时，()0h x '>恒成立，()y h x =是定义域上的单调递增函数，符合题意；而当0λ>时，()h x '既不恒正，也不恒负，即()y h x =不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去；所以，由题意得实数λ的取值范围为(],0-∞；【小问2详解】函数()y h x =有两个不同的零点，所以()y h x =不是定义域上的单调函数，即0λ>；∴()y h x =在()0,λ上为单调递减函数，在[),λ+∞上为单调递增函数，且当x 趋近于0和+∞时，()y h x =趋近于+∞，∴函数()y h x =有两个不同的零点()()min 1ln 100eh x h l l l ==+<Þ<<.【小问3详解】(),p q p q < 为()()ln x x g x x x xh λλλ=-=+-的两个驻点，(),0p q p q ∴<<为()210g x x x l l =--=¢的两根，即一元二次方程20x x λλ-+=有两个不同的正根，即11p q pq λ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，则1142,11751p q p p p q p λ⎧⎡⎤==∈⎪⎢⎥+⎣⎦+⎪⎪⎨⎪<=⎪⎪⎩，解得1142p ≤≤，()()()2111122ln ln 2ln p g p g q g p g p p p p p p p p p l l l 骣骣骣骣-琪琪琪琪\-=-=+----=+琪琪琪琪桫桫桫桫2212242ln 2ln 211⎛⎫-=+⋅=+- ⎪+⎝⎭+p p p p p p p ，令()24112ln 2,,142⎡⎤=+-∈⎢⎥+⎣⎦m p p p p ，()()()()2222222128011p p m p p p p p -=-=++¢³ ()m p \在11,42p 轾Î犏犏臌上为单调递增函数，则()3064ln 2,2ln 2175m p 轾Î-+-+犏犏臌，()()()6302ln 2,4ln 2517g p g q m p 轾\-=Î--犏犏臌.【点睛】关键点睛：第二问是零点问题，转化为方程根的个数问题；第三问较难，首先将双变量转化为单变量需用驻点这一条件，再用韦达定理表示出来，注意新变量的取值范围，最后再构造函数求单调性得出结果.。
2021年高二下学期开学考试理科数学试题 含答案
2021年高二下学期开学考试理科数学试题含答案第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1.用样本估计总体，下列说法正确的个数是2.①样本的概率与实验次数有关；3.②样本容量越大，估计就越精确；4.③样本的标准差可以近似地反映总体的平均水平；5.④数据的方差越大，说明数据越不稳定．6.A．1 B．2 C．3 D．47.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是8.A．至少有一个黑球与都是黑球B．至多有一个黑球与都是黑球9.C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有一个黑球与恰有两个黑球10.在直角坐标系中，直线的倾斜角是11.A．B．C．D．12.已知随机变量服从正态分布，且，则13.A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.214.学校高中部共有学生2100名，高中部各年级男、女生人数如右表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为15.A．24 B．18 C．16 D．1216.在的展开式中，常数项是17.A．－28 B．－7 C．7 D．2818.在△ABC中，∠ABC = 60°，AB = 2，BC＝6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为19.A．B．C．D．20.直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是21.A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心22.C．直线与圆相离D．直线过圆心23.小明在玩“开心农场”游戏的时候，为了尽快提高经验值及金币值，打算从土豆、南瓜、桃子、茄子、石榴这5种种子中选出4种分别种在四块不同的空地上(一块空地只能种一种作物)．若打算在第一块空地上种南瓜或石榴，则不同的种植方案共有24.A．36种B．48种C．60种D．64种25.已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有26.A．9条B．10条C．11条D．12条27.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点B与A连接，则弦长AB超过半径的倍的概率是28.A．B．C．D．29.在圆内，过点有n条长度成等差数列的弦，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么n的取值集合内所有元素平方和为30.A．126 B．86 C．77 D．50第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）31.若随机变量Ｘ服从两点分布，且成功的概率为0.7，则D(X) =_________32.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有_________33. 已知过点A (－1，0)的动直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N ．则_________34. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如右表．请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了数学期望的正确答案为_________三、解答题：本大题共6个小题，共70分。
2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是( )A. f(x)=tanxB. f(x)=x−1xC. f(x)=x−cosxD. f(x)=x(e x+e−x)2.数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sin(a2π+π6)=( )A. 12B. −12C. 32D. −323.设f(x)=ax2+bx+c，(a,b,c∈R).已知关于x的方程f(x)=0有纯虚数根，则关于x的方程f(f(x))=0 ( )A. 只有纯虚数根B. 只有实数根C. 有两个实数根，两个纯虚数根D. 既没有实数根，也没有纯虚数根4.对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：①“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”②d(x,y)=d(y,x)③对任意z∈A，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)则称d(x,y)为集合A上的距离，记为d A.对于命题P、命题Q，下列说法正确的是( )命题P：d(x,y)=|x−y|为d R命题Q：d(x,y)=|sinx−siny|为d RA. 命题P是真命题，命题Q是假命题B. 命题P是假命题，命题Q是真命题C. 命题P和命题Q都是真命题D. 命题P和命题Q都是假命题二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数y=−x2+x+6|x−3|的定义域为______．6.已知复数z=2+i，则log5|z|=______．7.在(x+1x)6的展开式中，常数项为______.(用数字作答)8.已知平面直角坐标系xOy中，A(1,3)，B(2,−4)，则三角形AOB面积为______．9.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=．10.已知向量a=(−1,2),b=(x2,2)，且cos〈a,b〉=35，则x=______．11.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中m、n∈N.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则mn=______．12.已知α，β为锐角，sin(2α+β)=4sinβ，则tan(α+β)tanα=______．13.已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(B|−A)=0.2，那么P(B)=______．14.设l1、l2、l3为空间中三条不同的直线，若l1与l2所成角为α=π6，l1与l3所成角为β=π4，那么l2与l3所成角的取值范围为______．15.已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线方程为x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．16.在数列{a n}中，若存在两个连续的三项a i，a i+1，a i+2与a j，a j+1，a j+2相同(i≠j)，则称{a n}是“3阶可重复数列”.已知给定项数为m(m∈N,m≥4)的数列{a n}，其中a i∈{0,1}(i=1，2，⋯，m)一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是______．三、解答题：本题共5小题，共78分。
2021年高二下学期开学考试数学试题含答案
2021年高二下学期开学考试数学试题含答案一、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟；二、本试卷为文、理合卷，注明理科的只理科考生做，注明文科的只文科考生做，其它的文理考生皆做三、填空题答案答在第Ⅱ卷相应横线上，否则不给分。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )2.A、1 B、2 C、3 D、43.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )4.A、开口向上，焦点为(0，1) B、开口向上，焦点为(0，)5.C、开口向右，焦点为(1，0) D、开口向右，焦点为(0，)6.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量中与相等的向量是：( )7.A、B、8.C、D、9.在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是( )10.A、一解B、两解C、一解或两解D、无解11.已知等差数列的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝( )12.A、-4 B、-6 C、-8 D、-1013.已知不等式ax2-5x+b＞0的解集是，则不等式bx2-5x+a＞0的解是( )14.A、x＜-3或x＞-2 B、x＜或x＞C、D、-3＜x＜-215.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么( )16.A、甲是乙成立的充分不必要条件B、甲是乙成立的必要不充分条件17.C、甲是乙成立的充要条件D、甲是乙成立的非充分必要条件18.已知数列的前n项和S n＝n2-9n，第k项满足5＜a k＜8，则k＝( )19.A、9 B、8 C、7 D、620.设X∈R，[X]表示不大于X的最大整数，如：[π]＝3，[-1，2]＝-2，[0，5]＝0，则使[X2-1]＝3的X的取值范围( )21.A、B、C、 D、22.设a，b是非零实数，则方程bx2+ay2＝ab及ax+by＝0所表示的图形可能是( )23.24.已知三个不等式：①x2-4x+3＜0；②x2-6x+8＞0；③2x2-8x+m≤0。
【全国百强校】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题
【解析】
由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD.
答案：5.
7．
【全国百强校】上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高二下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设 是平面 外两条直线，且 ，那么 是 的________条件.
2．已知直线 及平面 ，下列命题中：
④ 可以得到直线 与平面 垂直，所以正确.
【点睛】
本题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，属于简单题.
3．
【解析】
【分析】
由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．
【详解】
地球表面上从 地（北纬 ，东经 ）到 地（北纬 ，西经 ）
两地都在北纬 上，对应的的纬圆半径是 ,经度差是
D．
14．由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）
A．5B．6C．7D．8
三、解答题
15．在正方体 中， 分别是 的中点.
求证：空间四边形 是菱形.
16．在棱长为2的正方体 中，（如图） 是棱 的中点， 是侧面 的中心.
（1）求三棱锥 的体积；
5．
【解析】
如图，三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
因为 平面 ，
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
4．由0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数有________个；
5．某高中元旦晚会有一节目是现代舞，选了5位男生和4位女生参加，舞蹈老师在排练前，让他们男女间隔排列，则排列的方式有__________种；
（1）求 人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；
（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家 和护理专家 不能同时被选的概率.
17．如图所示的几何体 中，四边形 为菱形， ， 平面 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若 ， 是 内的一点，求点 到平面 ，平面 ，平面 的距离的平方和最小值.
二、单选题
11．已知一组数据 、 、 、 、 的平均数是 ，则这组数据的中位数是（）
A． B． C． D．不确定
12．已知两个不同的平面 、 ，A、B、C是三个不同线的三个点，且它们都在平面 内，则“A、B、C到平面 距离相等”是“平面 平面 ”的（）条件
A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．非充分非必要
6．已知正三角形 的边长 ，则到三个顶点的距离都为2的平面有___个；
7．如图，已知正三棱柱 的各条棱长都是 ， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的大小是______；
8．从0、1、2、6、8中任意选择3个不同数作为一元二次方程 的三个系数，则所得到的一元二次方程有实数根的概率是_______；
9．设集合 ，选择A的两个非空子集B和C，要使C中最小的数大于B中的最大数，则不同的选择方法有________；
18．如图，已知正方体 内接于球O，且球的半径为 ，P，Q分别是 ， 上的动点.
2021年高二下学期开学测试数学理试题 含答案
2021年高二下学期开学测试数学理试题 含答案学科：理科数学 测试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集A.个B.个C.个D.个2.复数等于（ ）A. B. C. D.3．已知 , 则(A) (B) (C) (D)4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5.“a = 1”是“复数(,i 为虚数单位)是纯虚数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.7．如下图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1那么这个几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13 D.168．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 359．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．310.将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋111.椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ ）A. B . C . D .12. 如右图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题中，错误的是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直于平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为________．14．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为 ．15.已知OA →＝(1,1)，OB →＝(4,1)，OC →＝(4,5)，则AB →与AC →夹角的余弦值为16．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是____． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积．18. （本小题满分12分）假设某种设备使用的年限x （年）与所支出的维修费用y （元）有以下统计资料：使用年限x2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0参考数据：，如果由资料知y 对x 呈线性相关关系．试求：（1）；（2）线性回归方程．（3）估计使用10年时，维修费用是多少？19．（本小题满分12分）如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)是否存在这样的E 点，使得平面A 1BD ⊥平面EBD ？若存在，请找出这样的E 点；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2n S n＝4，n ＝1,2，…， (1)求数列{a n }的通项公式和S n ；(2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .21. （本小题满分12分）如图，点A ，B 分别是椭圆的长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为：且.(1)求直线AP 的方程；(2)设点M 是椭圆长轴AB 上一点，点M 到直线AP 的距离等于，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.22. （本小题满分12分）如右图所示，已知直二面角α－AB －β，P ∈α，Q ∈β，PQ 与平面α，β所成的角都为30°，PQ ＝4.PC ⊥AB ，C 为垂足，QD ⊥AB ，D 为垂足．求：(1)直线PQ 与CD 所成角的大小；(2)四面体PCDQ 的体积．参考答案1. A2.B3.C4.A5.A6.A7.D8.B9.C 10. C 11. B 12. D13. 3π∶2 14. 15. 35 16. －3<k ≤017.解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10.(3)S ＝12ab sin C ＝32.18. 解：（1）由表中数据可得=（2+3+4+5+6）÷5=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）÷5=5（2）由已知可得：=．于是 ．所求线性回归方程为：．（3）由（2）可得，当x=10时，（万元）．即估计使用10年时，维修费用是12.38万元． 19. 解：连接AC ，设AC ∩DB ＝O ，连接A 1O ，OE .(1)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ，又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACEA 1，∵A 1E ⊂平面ACEA 1，∴A 1E ⊥BD .(2)当E 是CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .证明如下：∵A 1B ＝A 1D ，EB ＝ED ，O 为BD 中点，∴A 1O ⊥BD ，EO ⊥BD ，∴∠A 1OE 为二面角A 1－BD －E 的平面角．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设棱长为2a ，∵E 为棱CC 1的中点，由平面几何知识，EO ＝3a ，A 1O ＝6a ，A 1E ＝3a ，∴A 1E 2＝A 1O 2＋EO 2，即∠A 1OE ＝90°.∴平面A 1BD ⊥平面EBD .20. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2n S n ＝4，得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3， 且d ＝a 2－a 1＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2. (2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1.所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，①2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n －1＝2(1－2n )1－2－(2n －1)·2n －1. 所以T n ＝(2n －1)·2n ＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n ＋3.21. 解： ⑴由题意知，，从而 ，由题意得，，从而，，因此，直线AP 的方程为：， 即. ⑵设，则点M 到直线AP 的距离为，而，依题意得解得或（舍去），故.设椭圆上一点，则，即()22222424249d MN x y x x ==-+=-+，， 所以当时，，即.22. 解：(1)如下图，在平面β内，作CE 綊DQ ，连接PE ，QE ，则四边形CDQE 为平行四边行，所以EQ 綊CD ，即∠PQE 为直线PQ 与CD 所成的角(或其补角)．∵α⊥β，α∩β＝AB ，PC ⊥AB 于C .∴PC ⊥β.同理QD ⊥α，又PQ 与平面α，β所成的角都为30°，∴∠PQC ＝30°，∠QPD ＝30°，∴CQ ＝PQ ·cos 30°＝4×32＝23，DQ ＝PQ ·sin 30°＝4×12＝2.在Rt△CDQ中，CD＝CQ2－DQ2＝12－4＝22，从而EQ＝2 2.∵QD⊥AB，且CDQE为平行四边形，∴QE⊥CE.又PC⊥β，EQ⊂β，∴EQ⊥PC. 故EQ⊥平面PCE，从而EQ⊥PE.在Rt△PEQ中，cos∠PQE＝EQPQ＝224＝22.∴∠PQE＝45°，即直线PQ与CD所成角的大小为45°.(2)在Rt△PCQ中，PQ＝4，∠PQC＝30°，∴PC＝2.而S△CDQ＝12CD·DQ＝12×22×2＝22，故四面体PCDQ的体积为V＝13S△CDQ·PC＝13×22×2＝43 2.936617 8F09 載J34747 87BB 螻35362 8A22 訢37957 9445 鑅23753 5CC9 峉26879 68FF 棿39658 9AEA 髪22414 578E 垎MN 27772 6C7C 汼。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题(解析版)
若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；
若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；
若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．
故选A．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．
∴
因为
∴
综上所述， 中最小角为 ，故选B.
【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角 平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
【答案】
【解析】
【分析】由已知中球O的半径为1，线段 的长度为 ，求得 ，求出弧AB的长度，即可得出答案.
【详解】解：因为球O的半径为1，A､B是球面上两点，线段 的长度为 ，
在 中， ，
又 ，则 ，
所以A､B两点的球面距离为 .
故答案为： .
5.正方体 中，异面直线 和 所成角的大小为________
所以 取 ，得 .
易知平面 的法向量为 .
由二面角 是锐角，得 .
所以二面角 的余弦值为 .
（3）解：假设存在满足条件的点 .
因为 在线段 上， ， ，故可设 ，其中 .
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．不等式11x≤的解集为______； 2．集合sin,2kx A x x k Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭的真子集的个数是______； 3．()202022020012202012x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0122020a a a a +++⋅⋅⋅+=______； 4．如图，四面体ABCD 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，则点P 到平面ABC 的距离为______；5．若0x >，0y >，()1xy x y -+=，则x y +的取值范围是______．6．若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆，求圆锥的表面积______．7．在6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于______．(结果用数值表示) 8．不等式252x x y -<-对任意[]1,2x ∈都成立，则实数y 的取值范围为______； 9．4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人参加的不同的分组共有_________种.10．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)ABCD 的棱长为1，B 是直线l 上的动点，C 是平面α上的动点，求O 到点D 的距离的最大值为_______二、单选题11．某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．3612．今年3月9日湖北武汉某方舱医院“休仓”，某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低的概率为（ ）A ．110B ．120C ．310D ．1513．定义：若平面点集A 中的任一个点00(,)x y ，总存在正实数r ，使得集合{(,)|}x y r A <⊆，则称A 为一个开集.给出下列集合：①22{(,)|1}x y x y +=；②{(,)|20}x y x y ++≥；③{(,)|6}x y x y +<；④22{(,)|0(1}x y x y <+<. 其中是开集的是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④14．一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数21x y x =+(0x >)的图像上，如图，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）A ．πB ．4πC ．2πD ．3π三、解答题15．已知集合(){}223120A x x a x a a =--+-<，集合{}2430B x x x =-+<. （1）当2a =时，求A B ；（2）命题P ：x A ∈，命题Q ：x B ∈，若P 是Q 的充分条件，求实数a 的取值范围. 16．已知()|2||2|(0)f x x m x m m =--+>的最小值为52-． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）已知0a >，0b >，且22a b m +=，求证：331b a a b +≥． 17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）点N 在线段1BB 上运动，求1A N 与1B C 所成角的范围.18．已知集合{}123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，其中1a R ∈，1i n ≤≤，2n >，()l A 表示i j a a +()1i j n ≤<≤中所有不同值的个数.（1）设集合{}1,2,3,4P =，{}1,3,9,27Q =，分别求()l P ，()l Q ；（2）若集合{}1,3,9,,3n A =⋅⋅⋅()1,n n N >∈，证：()()12n nl A -=；（3）()l A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由.参考答案1．()[),01,-∞+∞ 【分析】根据分式不等式的解法求解即可.【详解】 解：将不等式11x≤变形为110x -≤， 通分得：10x x -≤，即：()100x x x ⎧-≤⎨≠⎩，解得：0x <或1≥x 故答案为：()[),01,-∞+∞【点睛】 本题考查分式不等式的解法，是基础题.2．7【分析】对k 进行分类，求出集合{}1,0,1A =-，再根据集合元素个数和真子集的个数关系，即可求出结果.【详解】当4,k n n Z =∈时，sin 20x n π==；当41,k n n Z =+∈时，sin 2+12x n ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭； 当42,k n n Z =+∈时，()sin 20x n ππ=+=；当43,k n n Z =+∈时，3sin 212x n ππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭； 所以集合{}1,0,1A =-，集合A 的真子集的个数为3217-=.故答案为：7.【点睛】本题主要考查了集合的真子集个数，属于基础题.3．1【分析】利用赋值法，令1x =代入即可．【详解】解：令1x =得，20200122020(12)a a a a -=++++， 则01220201a a a a ++++=， 故答案为：1【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法是解决本题的关键．属于基础题． 4．3【分析】由题意可知AB BC CA ===ABC S =P 到平面ABC 的距离为h ；又P ABC A PBC V V --=，可得1133ABC PBCh S PA S ⋅⋅=⋅⋅，由此即可求出结果. 【详解】∵四面体ABCD 中，,,PA PB PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，∴AB BC CA ===ABC的面积为12ABC S== 设点P 到平面ABC 的距离为h ；又P ABC A PBC V V --=， 所以1133ABC PBC h S PA S ⋅⋅=⋅⋅所以1222PBC ABC PA Sh S ⨯⨯⨯⋅==． 【点睛】 本题查点到平面的距离的求法，利用等体积法是解题的关键，考查运算求解能力，是中档题． 5．{2x x ≥+．【分析】首先根据0,0x y >>，即可得到22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，代入原不等式进而得出()()214x y x y +≤-+，解关于x y +的不等式即可得出x y +的最小值,进而得出结果.【详解】 ∵0,0x y >>，∴22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()214x y xy x y x y +=-+≤-+，即()()2440x y x y +-+-≥，解得2x y +≥+2x y +≤-；因为0x y +>，所以2x y +≥+x y =时，等号成立．故答案为：{2x x ≥+【点睛】本题考查基本不等式a b +≥，0a >，0b >，以及一元二次不等式的解法，解题的关键是构造出关于x y +的不等式，属于基础题.6．34π 【分析】由题意，圆锥的底面周长是π，求出圆锥的底面半径是12r =，再由圆锥的母线长为1l =，能求出圆锥的表面积．【详解】解：由题意可得，圆锥的底面周长是π，设圆锥的底面半径是r ，则2r ππ=， 解得12r =， 圆锥的母线长为1l =， ∴圆锥的表面积是213244S rl r πππππ=+=+=， 故答案为：34π． 【点睛】本题主要考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的表面积、侧面展开图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．7．240【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【详解】解：∵6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()616212()r r r r T C x x -+=⋅⋅-66362(1)r r r r C x --=⋅⋅-⋅， 令630r -=，求得2r，可得展开式中的常数项为2462240C =，故答案为：240．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．8．()3,5【分析】 由于[]1,2x ∈时，[]22,4x ∈，故问题转化为不等式252x x y -<-对任意[]1,2x ∈都成立，再根据绝对值为求解即可得答案.【详解】解：因为[]1,2x ∈时，[]22,4x ∈，所以520x ->， 所以不等式252x x y -<-对任意[]1,2x ∈都成立所以25252x x x y -<-<-对任意[]1,2x ∈都成立， 即1255x y +-<<对任意[]1,2x ∈都成立因为125x y +=-在[]1,2x ∈的最大值为：3，所以35y <<故答案为：()3,5【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立求参数问题，是中档题.9．90【分析】由题意得4名学生中，恰有2名学生参加2个兴趣小组，，其余2 名学生参加一个兴趣小组，然后分情况讨论可得参加的不同的分组的种数.【详解】由题意得4名学生中，恰有2名学生参加2个兴趣小组，，其余2 名学生参加一个兴趣小组，首先4名学生中抽出参加2个兴趣小组的学生共有246C =种. 下面对参加兴趣小组的情况进行讨论：参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组完全相同，共233C =种；2、参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组有一个相同，共21232212C C A =种.故共有()631290⨯+=种.即答案为90.【点睛】本题考查两个计数原理，属中档题.10 【分析】直线BC 与动点O 的位置关系是：点O 是以BC 为直径的球面上的点，O 到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离，点O 到AD 的最大距离为AD 到球心的距离（即BC 与AD 的公垂线）与球的半径之和，由此能求出O 到点D 的距离的最大值．【详解】解：由题意，直线BC 与动点O 的位置关系是：点O 是以BC 为直径的球面上的点，∴O 到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离，分别取AD 、BC 中点E 、F ，连接AF ，DF ，则AF DF ==，EF ∴=， 点O 到AD 的最大距离为AD 到球心的距离（即BC 与AD 的公垂线）与球的半径之和，O ∴到AD 的距离的最大值为：2max BC OE =+=， O ∴到点D 的距离的最大值为：max OD ==，． 【点睛】 本题主要考查点、线、面间的距离计算问题，考查分析问题解答问题的能力、运算求解能力，属于难题．11．D【解析】∵有高中生960人，初中生480人∴总人数为9604801440+=人∴其高中生占比为960214403=，初中生占比为13由分层抽样原理可知，抽取高中生的比例应为高中生与总人数的比值23，即2243n ⨯=，则36n =.故选D.12．B【分析】先根据题意得5名医护人员任意排列有120种不同排法，其中满足好从中间往两边看都依次变低有6中不同排法，再根据古典概型计算概率即可. 【详解】解：根据题意，5名医务人员共有：55120A =种排法，恰好从中间往两边看都依次变低，说明最高的站在最中间，只要把其中一边的人员选出来，另一边的也就确定下来了，故满足条件的排列方式有：246C =种， 故恰好从中间往两边看都依次变低的概率为6112020P ==. 故选：B. 【点睛】本题考查排列与组合，考查古典概率模型，是中档题. 13．D 【分析】根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案. 【详解】①：22{(,)|1}x y x y +=表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点00(,)x y ，以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足{(,)|}x y r A <⊆故①不是开集；②{(,)|20}x y x y ++≥，在曲线20x y ++=任意取点00(,)x y ，以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足{(,)|}x y r A <⊆，故该集合不是开集； ③{(,)|6}x y x y +<平面点集A 中的任一点00(,)x y ，则该点到直线的距离为d ，取r d ＝，则满足{(,)}x y r A <⊆，故该集合是开集；④22{(,)|0(1}x y x y <+<表示以点()0,3为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A 中的任一点00(,)x y ，则该点到圆周上的点的最短距离为d ，取r d ＝，则满足{(,)}x y r A <⊆，故该集合是开集． 故答案选D 项. 【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查对新定义的理解并解决问题，属于中档题. 14．C 【分析】先求出y 的范围，再设出点AB 的坐标，根据AB 两点的纵坐标相等得到211x x =，再求出高h ，根据圆柱体的体积公式得到关于y 的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值． 【详解】 解：211112x y x x x==≤++当且仅当1x =时取等号，11x x y∴+=， 矩形绕x 轴旋转得到的旋转体一个圆柱，设A 点的坐标为1(x ，)y ，B 点的坐标为2(x ，)y ， 则圆柱的底面圆的半径为y ，高为21h x x =-， 1121()1x f x x =+，2222()1x f x x =+， ∴12221211x x x x =++，即2121()(1)0x x x x --=， 211x x ∴=，222212112111()4()44h x x x x x x y∴=+-=+-=-，h∴=212V y h πππ∴=⋅==圆柱2214(14)1()224y y ππ+-≤=，当且仅当y =时取等号， 故此矩形绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为14π， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查空间几何体的体积计算，基本不等式的应用，本题求出211x x =是关键，属于中档题．15．（1）()2,3；（2）[]1,2. 【分析】（1）把2a =代入化简A ，求解一元二次不等式化简B ，再由交集运算得答案； （2）由P 是Q 的充分条件，得A B ⊆．然后对a 分类求解A ，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解． 【详解】解：（1）当2a =时，22{|(31)20}{|23}A x x a x a a x x =--+-<=<<，2{|430}{|13}B x x x x x =-+<=<<． {|23}{|13}{|23}AB x x x x x x =<<<<=<<；（2）:P x A ∈，:Q x B ∈，若P 是Q 的充分条件， 则A B ⊆．因为(){}()(){}223120120A x x a x a a x x a x a =--+-<=+--<当1a =时，A =∅，显然成立；当1a <时，{|21}A x a x a =-<<，{|13}B x x =<<，∴2113a a -⎧⎨⎩，解得a ∈∅；当1a >时，{|21}A x a x a =<<-，{|13}B x x =<<，∴1213a a >⎧⎨-⎩，解得12a <．∴实数a 的取值范围是[]1,2．【点睛】本题考查交集及其运算，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题．16．（Ⅰ）1m =；（Ⅱ）见解析 【分析】（Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出()f x 的最小值，与已知最小值相等列式可求出；（Ⅱ）利用分析法，结合基本不等式，即可证明． 【详解】（Ⅰ）由题意，函数32()223,223,2x m x m m f x x m x m x m m x m x m x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 可得()f x 在区间,2m ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为min 5()3222m m m f x f m ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭， 又因为函数()f x 的最小值为52-，可得5522m -=-，解得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）0a >，0b >，且221a b +=，要证331b a a b+≥，只要证44b a ab +≥， 即证()222222a ba b ab +-≥，即证22210a b ab +-≤， 即证(21)(1)0ab ab -+≤， 即证21ab ≤， 即证222ab a b ≤+，显然2212a b ab +≥=，当且仅当2a b ==时取等号． 所以331b a a b+≥．【点睛】本题主要考查了含有绝对值函数的最值的求解，以及不等式的证明，其中解答中合理去掉绝对值号，转化为分段函数，以及合理利用分析法，结合基本不等式进行证明是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 17．（1）证明见解析；（2）,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】(1)推导出11BC B C ⊥，1111111,A B BB A B B C ⊥⊥，从而11A B ⊥平面11BCC B ，进而111BC A B ⊥，由此证明1BC ⊥平面11A B C ；(2) 以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出1A N 与1B C 所成角的范围． 【详解】(1)证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC === ∴四边形11BCC B 是正方形，11BC B C ∴⊥1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥ 1111111,A B BB A B B C ∴⊥⊥111111,BB B C B A B ⋂=∴⊥平面11BCC B1BC ⊂平面11BCC B ，111BC A B ∴⊥11111,A B B C B BC ⋂=∴⊥平面11A B C(2)点N 在线段1BB 上运动，由(1)知，11A B ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，111A B B C ∴⊥，∴当N 与1B 重合时，1A N 与1B C 所成角取最大值2π， 以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系()()()()()110,2,2,0,0,02,0,0,2,2,0,0A N t t B C ≤≤ ()()110,2,2,2,0,2A N t B C =--=-设1A N 与1B C 所成角为θ，则1111cos 4A N B C A N B Cθ⋅===⋅2t ∴=时，cos θ取最小值0，0t =时，cos θ取最大值12N ∴与B 重合时，θ取最小值3π，N 与1B 重合时，θ取最小值2π， 1A N ∴与1B C 所成角的范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18．（1）()5l P =，()6l Q =；（2）证明见解析；（3）存在，23n -. 【分析】（1）直接利用定义把集合P ，Q 中的值代入，即可求出()l P 和()l Q ；（2）先由(1)i j a a i j n +< 最多有2(1)2n n n C -=个值，可得(1)()2n n l A -，再利用定义推得所有(1)i j a a i j n +< 的值两两不同，即可证明结论； （3）()l A 存在最小值，设12n a a a <<⋯<，则1213121n n n n a a a a a a a a a a -+<+<⋯<+<+<⋯<+，由此可得到()l A 的最小值23n -．【详解】解：（1）根据题中的定义可知：由123+=，134+=，145+=，235+=，246+=，347+=，得()5l P =；由134+=，1910+=，12728+=，2912+=，32730+=，92736+=，得()6l Q =．（2）证明：因为(1)i j a a i j n +< 最多有2(1)2n n n C -=个值，所以(1)()2n n l A -，又集合{1A =，3，9，⋯，3}n ，任取i j a a +，(1,1)k l a a i j n k l n +<<，当j l ≠ 时，不妨设j l <，则133j i j j l k l a a a a a a ++<=<+， 即i j k l a a a a +≠+．当j l =，i k ≠ 时，i j k l a a a a +≠+， 因此，当且仅当i k =，j l = 时，i j l k a a a a +=+， 即所有(1)i j a a i j n +< 的值两两不同， 所以(1)()2n n l A -=． （3）()l A 存在最小值，且最小值为23n -，不妨设12n a a a <<⋯<， 所以1213121n n n n a a a a a a a a a a -+<+<⋯<+<+<⋯<+，所以(1)i j a a i j n +< 中至少有23n - 个不同的数，即()23l A n -， 事实上，设1a ，2a ，3a ，⋯，n a 成等差数列，考虑(1)i j a a i j n +<，根据等差数列的性质， 当i j n + 时，11i j i j a a a a +-+=+， 当i j n +> 时，i j i j n n a a a a +-+=+，因此每个(1)i j a a i j n +<等于1(2)k a a k n + 中的一个， 或者等于(21)l n a a l n +-中的一个， 所以对这样的A ， ()23l A n =-， 所以()l A 的最小值为23n -． 【点睛】本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意整体思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于难题．。
精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期末数学试题解析版
7.现有 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 张．从中任取 张，要求这 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 张．不同取法的种数为．
【答案】
【解析】
【分析】
利用间接法，计算取3张卡片的总数，然后分别计算取3张同色，2张红色的方法数，最后做差，可得结果.
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算 • x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．
【详解】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），
故答案为：[ ，0]．
【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．
9.设正方形 的中心为 ，在以五个点 、 、 、 、 为顶点的三角形中任意取出两个，则它们面积相等的概率为________
【答案】
【解析】
【分析】
先确定以五个点 、 、 、 、 为顶点的三角形的个数，再确定从中取出两个的事件数，从中取出两个面积相等的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；
∴ （1﹣x，﹣y，﹣1）， （﹣x，1﹣y，0），
∴ • x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y ，
由二次函数的性质可得，当x＝y 时， • 取得最小值为 ；
当x＝0或1，且y＝0或1时， • 取得最大值为0，
上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二下学
期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
垂足分别为M 和N ，求证：线段MN 的长为定值．
21．已知函数()ln 3f x x x =--．
(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
(2)函数()f x 在区间()(),1N k k k +Î上有零点，求k 的值；
(3)记函数()()23g x x bx f x =---，设1
x 、()212x x x <是函数()g x 的两个极值点，若2b ³，且()()12g x g x m -³恒成立，求实数m 的最大值．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(下)期中数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期中数学试卷试题数：18，总分：01.（填空题，0分）若实数x ，y 满足xy=1，则x 2+2y 2的最小值为___ ．2.（填空题，0分）已知直线a 、b 和平面α，若a || b ，b⊂α，则a 与α的关系是___ ．3.（填空题，0分）分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___ ．4.（填空题，0分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为___ ．5.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为___ ．6.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为___ ．7.（填空题，0分）已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，则该四棱锥的体积是___ ．8.（填空题，0分）如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ． 9.（填空题，0分）在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，则A 、B 两点的球面距离为___ ．10.（填空题，0分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是___ ．11.（单选题，0分）设A 1，A 2，…，A 2021是空间中给定的2021个不同的点，则使 MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋅⋅⋅+MA 2021⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.2020D.202112.（单选题，0分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈ 136 L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ 275 L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A. 227B. 258C. 15750D. 35511313.（单选题，0分）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（ ）A. 34B. 45C. 35D. −3514.（单选题，0分）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、AB 上的点，若∠NMC 1=90°，那么∠NMB 1（ ）A.大于90度B.小于90度C.等于90度D.不能确定15.（问答题，0分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC ̂ 长为 23 π， A1B1̂ 长为 π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧． （1）求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．16.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2，存在x0∈[0，2-m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．)，并说明理由；（1）已知函数f(x)=√1−(x−1)2，判断f（x）是否具有性质P(12（2）求证：任取m∈（0，2），函数f（x）=（x-1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）．17.（问答题，0分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB || DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1，求k的值（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67（3）现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）18.（问答题，0分）正三棱柱P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，侧棱PA0长为2，点B0是棱PA的中点，定义集合{B1，B2，…}如下：点B n是棱PA n上异于P的一点，使得B n-1B n=PB n-1（n≥1），我们约定：若n除以3的余数r，则A n=A1（例如：A3=A0、A2015=A2等等），求三棱锥P-B0B1B2的体积；（1）若α=π3（2）若{B1，B2，…}是一个只有两个元素的有限集，求α的范围；（3）若{B1，B2，…}是一个无限集，求各线段PB0，PB1，PB2，…的长度之和（用α表示）．．（0＜|q|＜1））（提示：无穷等比数列各项和公式为S=a11−q2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18，总分：01.（填空题，0分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为___ ．【正确答案】：[1]2 √2，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解析】：由已知可得y= 1x【解答】：解：∵xy=1，∴x2+2y2≥2 √2 xy=2 √2，4时取等号，当且仅当x2=2y2，即x=± √2故答案为：2 √2．【点评】：本题考查基本不等式，属基础题．2.（填空题，0分）已知直线a、b和平面α，若a || b，b⊂α，则a与α的关系是___ ．【正确答案】：[1]a || α或a⊂α【解析】：由题意画图说明a || α或a⊂α，再由反证法说明a与α不相交．【解答】：解：如图，由a || b，b⊂α，可得a || α或a⊂α，a与α不可能相交，若a与α相交，则a与b相交或异面，与a || b矛盾．故答案为：a || α或a⊂α．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．3.（填空题，0分）分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___ ．【正确答案】：[1]相交或异面【解析】：画出草图，当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面，即可得到结论．【解答】：解：已知直线a与b是异面直线，直线AB与直线CD分别与两条直线a与直线b相交于点A，B，C，D，根据题意可得当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面．故答案为：相交或异面【点评】：本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．4.（填空题，0分）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为___ ．【正确答案】：[1]6π【解析】：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．【解答】：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．【点评】：本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．5.（填空题，0分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BB1的中点，则异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为___ ．【正确答案】：[1] 25【解析】：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A 1（2，0，2），E （2，1，0），C 1（0，2，2），F （2，2，1），A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，-2）， C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1），设异面直线A 1E 与C 1F 所成角为θ，则异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为： cosθ= |A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= 25 ． 故答案为： 25 ．【点评】：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题．6.（填空题，0分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为___ ．【正确答案】：[1] √63【解析】：建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，求出直线的方向向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】：解：设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A （1，0，0），C （0，1，0），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），B （1，1，0），所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1，0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，1) ，设平面AB 1C 的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，则有 {n ⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {−x +y =0y +z =0 ， 令x=1，则y=1，z=-1，故 n ⃗ =(1，1，−1) ，所以 |cos ＜BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=2√2×√3= √63 ， 故BC 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为 √63 ．故答案为： √63 ．【点评】：本题考查了空间角的求解，主要考查了线面角的求解，对于空间角问题，经常选择建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究，属于中档题．7.（填空题，0分）已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，则该四棱锥的体积是___ ．【正确答案】：[1]96【解析】：四棱锥的高已知，先求底面面积，再利用棱锥的体积公式求体积．【解答】：解：底面是边长为6的正方形，故其底面积为36，又侧棱PA⊥底面ABCD ，且PA=8，故棱锥的高为8由棱锥体积公式得 V =13×36×8=96 ．故答案为96．【点评】：本题考点是锥体的体积公式，考查空间想象能力与应用公式求解的能力．8.（填空题，0分）如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ． 【正确答案】：[1]（-4，3，2）【解析】：由 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果．【解答】：解：如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵ DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2），∴ AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，3，2) ．故答案为：（-4，3，2）．【点评】：本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9.（填空题，0分）在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，则A 、B 两点的球面距离为___ ．【正确答案】：[1] 13πR 【解析】：由于A 、B 两地在同一纬度圈上，可以先计算出它们的经度差和45°的纬圆半径，再求出A 、B 两地对应的AB 弦长，即可求出A 、B 两点在球面距离．【解答】：解：设北纬45°圈的半径为r ，∵点A 在东经70°处，点B 在东经160°处，∴纬圆半径是r=Rcos45°= √22 R 经度差是90°，∴A 、B 两点在纬度圈上的劣弧长为 √24π R ，∵AB= √2r =R ，∴∠AOB= π3 ，∴A 、B 两点的球面距离为 13πR ，故答案为： 13πR ．【点评】：本题主要考查了球面距离及相关计算，考查空间想象力，属于基础题．10.（填空题，0分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0， √6+√2 ）【解析】：根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情形： ① 当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a 此时a 取最大值， ② 当底面三角形的边长分别为a ，2，2，其他各边长为2，2，a ，有最小值，从而求得a 的取值范围．【解答】：解：根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情形：① 当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图1，此时a 取最大值，可知AD= √3 ，SD= √a 2−1 ，由于SD ＜SA+AD ，则有 √a 2−1 ＜2+ √3 ，即 a 2＜8+4√3=(√6+√2)2 ，即有a ＜ √6+√2② 构当底面三角形的边长分别为a ，2，2，其他各边长为2，2，a ，如图所示，此时a 可以取最大为2 √2 任意正数；综上则a 的取值范围是（0， √6+√2 ）；故答案为：（0， √6+√2 ）．【点评】：本小题主要考查棱锥的结构特征、解三角形等基础知识，考查空间想像能力，分类讨论思想，属于基础题．11.（单选题，0分）设A 1，A 2，…，A 2021是空间中给定的2021个不同的点，则使 MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋅⋅⋅+MA 2021⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ 成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.2020D.2021【正确答案】：B【解析】：可设出A 1，A 2，•••，A 2021及M 点的坐标，根据题意可求出M 点的坐标，有几组M 点的坐标，就有几个满足条件的点M ．【解答】：解：设A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A 2021（x 2021，y 2021），M （a ，b ），则： （x 1-a ，y 1-b ）+（x 2-a ，y 2-b ）+…+（x 2021-a ，y 2021-b ）=（0，0）， ∴x 1+x 2+•••+x 2021-2021a=0，y 1+y 2+•••+y 2021-2021b=0， ∴a= 12021 （x 1+x 2+•••+x 2021），b= 12021 （y 1+y 2+•••+y 2021）， ∴满足条件的点M 的个数为1个． 故选：B ．【点评】：本题考查通过坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法运算，属于中档题．12.（单选题，0分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈ 136L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ 275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A. 227 B. 258 C. 15750 D.355113 【正确答案】：B【解析】：根据近似公式V≈ 275 L 2h ，建立方程，即可求得结论．【解答】：解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ， ∴ 13πr 2ℎ = 275 （2πr ）2h ， ∴π= 258 ． 故选：B ．【点评】：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．13.（单选题，0分）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（）A. 34B. 45C. 35D. −35【正确答案】：C【解析】：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2θ的余弦值．【解答】：解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线与轴所成角为θ，则tanθ= rℎ，所以圆锥的高为h= rtanθ；所以圆锥的体积为V1= 13πr2•h= 13πr3• 1tanθ，半球的体积为V2= 23πr3，因为V1=V2，即13πr3• 1tanθ= 23πr3，解得tanθ= 12，所以cos2θ=cos2θ-sin2θ= cos2θ−sin2θsin2θ+cos2θ = 1−tan2θ1+tan2θ= 1−141+14= 35，即圆锥的轴截面顶角的余弦值是35．故选：C．【点评】：本题考查了旋转体的体积计算问题，也考查运算求解能力，是基础题．14.（单选题，0分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、AB上的点，若∠NMC1=90°，那么∠NMB1（）A.大于90度B.小于90度C.等于90度D.不能确定【正确答案】：C【解析】：由B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，得MN⊥B 1C 1，由∠NMC 1=90°，得MN⊥MC 1，从而MN⊥平面MB 1C 1，由此能求出∠NMB 1的大小．【解答】：解：∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、AB 上的点， ∴MN 、MB 1⊂平面ABB 1A 1， ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∴MN⊥B 1C 1， ∵∠NMC 1=90°，∴MN⊥MC 1，∵MC 1∩B 1C 1=C 1，MC 1、B 1C 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN⊥平面MB 1C 1，∵MB 1⊂平面MB 1C 1，∴MN⊥MB 1， ∴∠NMB 1=90°． 故选：C ．【点评】：本题考查的角大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题．15.（问答题，0分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC ̂ 长为 23 π， A1B1̂ 长为 π3 ，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧． （1）求三棱锥C-O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而S△O1A1B1 = √34，由此能求出三棱锥C-O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1 || AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】：解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1= π3，∴△O1A1B1为正三角形，∴ S△O1A1B1 = √34，V C−O1A1B1 = 13×OO1×S△O1A1B1= √312．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1 || AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1= π3，∠AOC=2π3，∴∠BOC= π3，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=1，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】：本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.（问答题，0分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2，存在x0∈[0，2-m]，使得f（x0）=f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f(x)=√1−(x−1)2，判断f（x）是否具有性质P(12)，并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2），函数f（x）=（x-1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）．【正确答案】：【解析】：（1）根据新定义可知m= 12，即f（x0）=f（x0+ 12），代入求x0即可进行判断；（2）根据条件验证f（x0）=f（x0+m）时m的取值范围即可；【解答】：解：（1）当m= 12时，设x0∈[0，32]，令f（x0）=f（x0+ 12），则1-（x0-1）2=1-（x0+ 12-1）2，解得x0= 34∈[0，32]，故f（x）具有性质P（12）；（2）证明：任取x0∈[0，2-m]，令f（x0）=f（x0+m），则（x0-1）2=（x0+m-1）2，因为m≠0，解得x0=- m2 +1，又0＜m＜2，所以0＜- m2+1＜1，当0＜m＜2，x0=- m2 +1时，（2-m）-x0=（2-m）-（- m2+1）=1-=- m2+1＞0，即0＜- m2+1＜2-m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）．【点评】：本题是新定义问题，利用函数基本性质及函数与方程的关系是关键，属于中当题17.（问答题，0分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB || DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）【正确答案】：【解析】：（1）取DC 得中点E ，连接BE ，可证明四边形ABED 是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD ，即CD⊥AD ，又侧棱AA 1⊥底面ABCD ，可得AA 1⊥DC ，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD 1A 1，BCC 1B 1，上或下面ABCD ，A 1B 1C 1D 1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k ）．【解答】：（1）证明：取DC 的中点E ，连接BE ，∵AB || ED ，AB=ED=3k ， ∴四边形ABED 是平行四边形，∴BE || AD ，且BE=AD=4k ，∴BE 2+EC 2=（4k ）2+（3k ）2=（5k ）2=BC 2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD ，又∵BE || AD ，∴CD⊥AD ．∵侧棱AA 1⊥底面ABCD ，∴AA 1⊥CD ， ∵AA 1∩AD=A ，∴CD⊥平面ADD 1A 1．（2）解：以D 为坐标原点， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A （4k ，0，0），C （0，6k ，0），B 1（4k ，3k ，1），A 1（4k ，0，1）． ∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4k ，6k ，0) ， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，3k ，1) ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) ．设平面AB 1C 的一个法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），则 {n ⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4kx +6ky =0n ⃗ •AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3ky +z =0 ，取y=2，则z=-6k ，x=3．∴ n ⃗ =(3，2，−6k) ．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则 sinθ=|cos ＜AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞| = |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•n⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |n ⃗ |= √36k 2+13= 67，解得k=1，故所求k=1．（3）由题意可与左右平面ADD 1A 1，BCC 1B 1，上或下面ABCD ，A 1B 1C 1D 1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k ）= {72k 2+26k ，0＜k ≤51836k 2+36k ，k ＞518【点评】：本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．18.（问答题，0分）正三棱柱P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，侧棱PA0长为2，点B0是棱PA的中点，定义集合{B1，B2，…}如下：点B n是棱PA n上异于P的一点，使得B n-1B n=PB n-1（n≥1），我们约定：若n除以3的余数r，则A n=A1（例如：A3=A0、A2015=A2等等），求三棱锥P-B0B1B2的体积；（1）若α=π3（2）若{B1，B2，…}是一个只有两个元素的有限集，求α的范围；（3）若{B1，B2，…}是一个无限集，求各线段PB0，PB1，PB2，…的长度之和（用α表示）．．（0＜|q|＜1））（提示：无穷等比数列各项和公式为S=a11−q【正确答案】：【解析】：由正三棱锥P-A0A1A2及B n-1B n=PB n-1（n≥1），可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列．时，三棱锥P-B0B1B2为正四面体，则可求其高、底面积，从而求出体积；（1）当α=π3（2）{B1，B2，...}是一个只有两个元素的有限集等价于PB2≤PA2=2，且PB3＞PA0=2，由等比数列可分别求出PB2和PB3，解不等式组，即可求出α的范围；（3）{B1，B2，…}是一个无限集且PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，结合无穷等比数列的求和公式，即可得到结果．【解答】：解：因为点B n是棱PA n上异于P的一点，且B n-1B n=PB n-1（n≥1），所以△PB n-1B n是等腰三角形，且B n-1B n，PB n-1是两腰，又正三棱锥P-A0A1A2中，∠A0PA1=α，所以∠A0PA1=∠B1PB2=•••=∠B n-1PB n=α，PB n=2PB n-1•cos∠B n-1PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，时，PB2=PB1=PB0=1，且∠B0PB1=∠B1PB2=∠B2PB0，（1）当α=π3则三棱锥P-B0B1B2为正四面体，其高h= √1−(1×√32×23)2=√63，底面积S△B0B1B2=√34×12=√34，所以其体积为V P−B0B1B2=13×√34×√63= √212；（2）{B1，B2，...}是一个只有两个元素的有限集，∴B2∈PA2，B3∉PA0，即{PB2≤PA2=2 PB3＞PA0=2，由PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），得PB2=（2cosα）2=4cos2α，PB3=（2cosα）3=8cos3α，∴由{4cos2α≤28cos3α＞2解得（12）23＜cosα≤（12）12，∴α∈[arccos（12）12，arccos（12）23）；（3）{B1，B2，…}是一个无限集，且PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列，∴PB0+PB1+…+PB n+…= 11−2cosα．【点评】：本题的关键是发现△PB n-1B n是等腰三角形，且B n-1B n，PB n-1是两腰，从而得到PB n=2PB n-1•cosα（n≥1），则可知数列{PB n}是一个以PB0=1为首项，2cosα为公比的等比数列．所以本题重点考察等比数列的性质及求和公式，属于中档题型．。
华东师范大学第二附属中学高二数学下学期3月月考试题含解析
故答案为：
【点睛】此题考查的是排列组合中的相邻问题与不相邻问题，要用捆绑法和插空法求解，属于中档题.
7。微信红包金额的单位为分.在某次抢红包游戏中,红包总额为10元，共有5人参加抢红包，每人所得红包金额至少为1分,则这5人抢得红包的金额（不计先后次序）的所有不同组合为__________种。（用组合数回答）
【答案】
【解析】
【分析】
先从0，2，4中任选一个数作为个位数，然后从剩下的4个数字中任选2个排在十位和百位，这里还含有百位为0的数字，再减去百位为0的偶数可得答案。
【详解】排除法(个位是偶数的情况下,去掉百位是零的情况): 。
故答案为: 。
【点睛】此题考查排列组合，对于这类题目先要认真审题，根据题目的要求合理选择方法，同时要区别排列与组合的不同,属于基础题.
由 ,可知集合 ， , 均含有元素 ， ， ，而要满足题意，则 ， 至少属于集合 ， ， 的一个,从而可得结果。
【详解】从元素角度分析，集合 ， ， 均含有元素 ， ， ,要满足题意, ， 至少属于集合 ， ， 的一个， 。
故答案为：
【点睛】此题考查排列组合知识,重点考查学生对基础知识概念的理解和计算能力，属于基础题。
系数的绝对值最大的项为第34项， 。
【点睛】此题考查二项式定理的有关知识，通过赋值，利用二项式系数的性质求解,属于基础题。
18。（1)在圆中有这样的结论：对圆 上任意一点 ，设 、 是圆和 轴的两交点,且直线 和 的斜率都存在，则它们的斜率之积为定值-1.试将该结论类比到椭圆 ，并给出证明.