第二章线性规划

以下讨论在 w 0 下进行。分两种情形： （1）在最优表中人工变量已全部退出基变量 （表现为 D 中不存在基向量） 。
这时，与 Ax b 等价的 Ax b 中有了标准基，即
表明（2.54）有了初始基本容许解，这时可以 开始求解（2.54） （见下面的 4.（1）。 ）
T 其中 e 1,1, ,1 。
显然（2.55）不可能无解。
设（2.55）的最优值为 w ，显然 w 0 。设 最优表对应的 G-J 方程组为 Du Ax b . （2.56）
注意： Ax b 与 Ax b 等价。
（2.54）与（2.55）的关系：若 w 0 ，则 （2.54）无解；若 w 0 ，则由（2.56）可得到 （2.54）的一个初始基本容许解。
么关于 B 的信息全部反映在以下两个式子（线 性规划的两个关键数学式）中， 1 1 IxB B NxN B b T N xN z z
(2.43) (2.44)
称之为关于基 B 的增广 G-J 方程组。
增广 G-J 方程组其实可由线性规划（2.21） 的原始数据经初等行变换得到。原有 BxB NxN b (2.45) T T (2.46) z cB xB cN xN 0,
称为线性规划的准备表。
类似前面的推导，由准备表容易导出单纯形表
B c T B I 0 1 1 N b I B N B b T T T cB c N cN 0 0 1 1 B N B b I B 1 N T 1 T T 1 T T cB B N c N cB B b 0 N
（1）求解线性规划
（2）求解线性规划
T min c x s.t. Ax b x 0.
T min c x s.t. Ax b x 0. 总结：一般来说，解线性规划主要分为两 大步：
第一步，化标准形（有时不需要） ；
B1 即得（2.43）式， （2.45）式左乘 （2.43）式
T 再左乘 cB 加到（2.46）式上便得（2.44）式。
þ ¥ ö ã Ò È Ô ¹ G-J ·³ ×Ö µ ±Á º ½ Ì é Ð Ä ä ¿ Í Ä µ ý ò ¿ ¬ « ä à ý Ý Ð É í µ Ï Ê Ï Á £ ½ Æ Ó Ê ¾ Á ³ ±
例 2.9 求解线性规划
s.t. x1 2 x1
min x1 x2 2 x3 5 x4 2 x3 x4 1 4 4 x3 2 x4 2 x1 x2 x3 x1 , x2 , x3 , x4 0.
例 2.10 求解线性规划
min x1 2 x2 3 x3 s.t. x1 2 x2 4 x3 4 4x1 9 x2 3 x3 16 x1 , x2 , x3 0.
z
I B N T （2.51） T 0 N 称为关于基 B 的单纯形表。若 B 是最优基，则
1 1
B b ， z
称为最优表。 单纯形表是增广 G-J 方程组的简单表示。 表 B N b c T c T 0 （2.52） N B
这里介绍一种最简单的避免循环的规则 ——Bland 规则。 Bland 规则 设在单纯形法的迭代过程中，当
B [at1 , at2 ,, atm ] ，关于 B 的基容许解 前容许基是
不是最优解，则主元列标和行标分别由如下两 个规则确定： ⅰ）Bland 进基规则 采用正判别数最小下标进基规则，即主元 列标是 l min{ j | j 0},
ⅱ）若 ak1 , ak 2 , , akn 至少有一个不为 0 ，不
妨设 akl 0 。以 akl 为主元在最优表上进行换基运
算，人工变量 u k 就会从基变量中消失。
重复以上步骤，直到人工变量全部从基变 量中消失，最终的 G-J 方程组为
Du Ax b
然后就可以启动单纯形法。
例 2.8 求解线性规划 P66
min x1 2 x2 x3 3x4 s.t. x1 x2 3x3 x4 6 2 x2 x3 x4 3 x2 6 x3 x4 4 x1 , x2 , x3 , x4 0.
3. 初始基本容许解的产生 对于标准线性规划
0 ， k 是用公式（2.36）确
定的一个行标；
ⅳ）用 al 替换 B 中的 ak ，而其余基向量不
变，构成矩阵 B 。
那么， B 是容许基，且关于 B 的基本容许解的 目标函数值小于关于 B 的基本容许解的目标函 数值。 定理 2.12 在标准线性规划（2.21）中， 假设： ⅰ） B [a1 , a2 ,, am ] 是容许基；
B0 at1 , at2 , , atm 是标准容许基。
x j 0,
j 1, 2, , n.
典范线性规划含有标准容许基，它的准备表既 是单纯形表，因此单纯形法可以直接启动。
算法 2.1（单纯形法） P65 单纯形法本质上是求解典范线性规划的算 法。
定理 2.13 在使用单纯形法 （算法 2.1） 求 解典范线性规划时，若各次迭代出的基本容许 解皆是非退化的，则算法在有限步终止。
引理 2.10 定理 2.11（单纯形法基本定理） 在标准 线性规划（2.21）中，假设： ⅰ） B [a1 , a2 ,, am ] 是容许基，关于 B 的
1 基本容许解是非退化的，即 b B b 0 ；
1 ⅲ） al B al
ⅱ）非基变量 xl 的判别数 l 0 ；
由此确定 al 进基。
1 j n
ⅱ）Bland 退基规则 1 al B al [a1l , a2l ,, aml ]T 假定
0 。设
又设
bi min{ ail 0}, 1i m a il bi I i , ail 0, i 1, 2, , m ail
k
（2.58）
以下分两种情形： ⅰ）若 ak1 ak 2 akn 0 ，则（2.58）表 示 0 0 。这表明 Ax b 的第 k 个方程是多余方
程， 从而 Ax b 的第 k
个方程也多余。 划去第 k 个
方程，人工变量 u k 将彻底消失。
则主元行标 k 由式
tk min ti ti是基向量下标
iI
atk 退基。换句话说，在所有可 确定，由此确定
2.4 退化的处理
在非退化假定下，单纯形法（算法 2.1）具 有有限终止性（定理 2.13） 。取消非退化假定， 情况会是怎么样？第一，算法 2.1 可能发生无 限循环，求不到最优解；第二，适当修改选主 元的规则，则可以保证单纯形法仍具有有限步 终止性。
1. 选主元规则
单纯形法的核心是换基运算，而换基运算的 首要步骤是选主元。
选取主元列标的规则称为进基规则；选取主行 标的规则称为退基规则。进基规则和退基规则 合称选主元规则。选主元规则有多种多样，常 用的进基规则有以下两种：
ⅰ）最大正判别数进基规则
选取最大判别数的下标作为主元的列标。 若同时有多个等值的最大正判别数，则选取其 中最小的下标为主元的列标；
ⅱ）正判别数最小下标进基规则 选取正判别数中最小的下标作为主元的列 标。算法 2.2 和算法 2.3 就采用这种进基规则。
（2） 在最优表中至少还有一个人工变量是基变 量（表现为 D 中有基向量） 。
假设第 k 个人工变量 u k 仍是基变量，那么它的 取值为 bk 。因为 w 0且w ui ，所以 bk 0 。考虑 i 1 （2.56）的第 k 个方程
n
a
j 1
n
k jBiblioteka x j b 这时与 Ax b 等价的 Ax b 中也有了标准基， 从
而（2.54）也有了初始基本容许解，于是可以 开始求解（2.54） （见下面的 4.（2）。 ）
4. 标准线性规划的解法
按 3.求出（2.54）的初始基本容许解之后，接 下来求解（2.54） ，与 3.中的（1）（2）对应， 、 分别为
B b . z
1
至此，含有标准基的线性规划问题的求解 彻底解决。归纳见（3） 。
例 2.7 求解例 2.5 中的线性规划。P64-55
（3）典范线性规划的解法 考虑典范线性规划
min c1 x1 c2 x2 cn xn s.t. x1a1 x2 a2 xn an b
最大正判别数进基规则与最小行标退基规则合 称 Dantzig 规则。算法 2.1 采用的就是这种规 则。计算实践表明，在各种选主元规则中， Dantzig 规则效果较好， 在求解同一线性规划问 题时，迭代次数相对较少。它的缺点是，在求 解退化问题时，算法可能产生无限循环，求不 到最优解。
2. 避免循环的规则
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推论 2.14 典范线性规划或者存在最优基 本容许解，或者解无界。 对于如下形式的线性规划
T min c x s.t. Ax b x 0, 其中 b 0 。先引入非负变量 u 将其化为典范形