《巧数图形(一)》
巧数图形
巧数图形巧数图形数图形包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形等，这看似简单，其实其中学问可大了．为了能准确地数出结果，我们必须有次序、有条理地数，既不能遗漏，也不能重复．只要我们掌握了数的方法，就能数得又对又快．例1．下图中有多少条线段？（1）思路分析：每条线段均有两个端点，可以根据左端点进行分类．以A为左端点的线段为AB、AC，共有2条；以B点为左端点的线段为BC，只有1条；以C点为左端点的线段不存在．因此共有2＋1＝3(条)．答：图中共有3条线段．(2)这题中左端点是A的线段有：AB、AC、AD、AE，共有4条；左端点是B的线段有BC、BD、BE，共有3条；左端点是C的线段有C D、CE，共有2条；左端点是D的线段有DE；左端点是E的线段不存在．所以共有4＋3＋2＋1＝10(条)．答：图中共有10条线段．例2．数出下面图中共有多少条线段？思路分析：线段有一个重要特征：线段都是笔直的．所以我们在数的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一部分分别采用以线段左端点分类数的方法，然后把四部分算得结果加起来．例题解答：第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10条线段．第二部分从G到J共有4＋3＋2＋1＝10条线段．第三部分是FG一条线段．第四部分是JK一条线段．10＋10＋1＋1＝22(条)答：这幅图共有22条线段．方法指导：数线段可以根据左端点将线段分类，数出每一类有多少条线段，然后再相加得出线段的总的条数．例3．一条线段上共有10个点，以这10个点为端点的不同线段共有多少条？思路分析：将这条线段上的10个点从左到右依次标为、、…、、以为左端点的线段为、、、、、、、、共有9条；为左端点的线段为、、、…、，共有8条；…；以为左端点的线段为，只有1条；以为左端点的线段不存在．因此，共有线段：9＋8＋…＋3＋2＋1＝(9＋1)×9÷2＝45(条)答：一共有45条线段．方法指导：一般地，如果线段上有几个点(其中n是大于或等于2的自然数)，那么以这n个点为端点的线段共有：(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝n×(n－1)÷2例4．下面图形中有几个角？思路分析：数角的个数为了不遗漏、不重复，也需要按一定的顺序去数，可以采用与数线段相同的方法．以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD，共3个；以OB为一边的角有：∠BOC、∠BOD，共2个．以OC为一边的角有：∠COD，只有1个．3＋2＋1＝6(个)答：图中共有6个角．例5．数出下面图中共有多少个三角形？思路分析：数三角形个数的方法与数线段的方法差不多．以AB为边的三角形有：△ABD、△ABE、△ABC，共有3个．以AD为边的三角形有：△ADE、△ADC，共有2个．以AE为边的三角形有：△AEC，只有1个．所以，图中一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．我们还可以发现，可以抓住底边BC来考虑，底边BC中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形．底边左端点是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个．底边左端点是D的三角形共有△DEA、△DCA两个．底边左端点是E的三角形只有△ECA一个．所以一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．方法指导：数角的个数和三角形个数这些基本图形时，所采用的方法与数线段的方法相同．即角的个数＝射线数×(射线数－1)÷2．即三角形个数就是底边上的线段数．例6．数一数图中共有多少个三角形？思路分析：我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图．在△ABC中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形，在△ABD中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形；在△BDC中，一共有5个三角形．15＋15＋5＝35(个)答：图中共有35个三角形．例7．图中共有多少个不同的三角形？思路分析：将本题分成(1)、(2)两部分来数：第(1)部分中共有三角形：3＋2＋1＝6(个)；第(2)部分中共有3＋2＋1＝6(个)三角形．所以，共有三角形6＋6＝12(个)．例8．数出下图中共有多少个三角形？思路分析：这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数．把图中最小的一个三角形看作基本图形．由一个基本三角形构成的三角形共有8个；由两个基本三角形构成的三角形共有4个；由四个基本三角形构成的三角形共有4个．因此：8＋4＋4＝16(个)，所以，图中共有16个三角形．例9．数出下面图形中共有多少个三角形？思路分析：这题采用把其中最小的三角形作为一个基本图形，然后分类相加的方法．由一个基本三角形构成的三角形共有9个；由四个基本三角形构成的三角形共有3个；由九个基本三角形构成的三角形只有1个．因此9＋3＋1＝13(个)，所以，图形中共有13个三角形．例10．下面两幅图中各有多少个长方形？思路分析：(1)中长方形都是竖向的，可以利用对应的方法来数．因为每个长方形都和底边上的一条线段对应，因此用数长边上的线段条数来数长方形的个数．所以，图中长方形共有4＋3＋2＋1＝10(个)．(2)我们可用按基本图形组合的方法来数．由一个基本长方形构成的长方形共有6个；由两个基本长方形构成的长方形共有7个；由三个基本长方形构成的长方形共有2个；由四个基本长方形构成的长方形共有2个；由六个基本长方形构成的长方形有1个；所以，图中共有长方形6＋7＋2＋2＋1＝18(个)．本题还可以结合数线段的方法，这题中长方形的长被分成了3段，线段总数为3＋2＋1＝6条，宽被分成了2段，线段总数为2＋1＝3 (条)．由此可见，长方形的个数＝6×3＝18(个)．于是，可以整理出数长方形个数的方法：长方形的个数等于原长方形长上的线段数乘以宽上的线段数．例11．数出各图中正方形的个数．思路分析：(1)中最基本的正方形有9个，即边长为1的正方形有9个(9＝3×3)；由4个基本正方形组成的正方形，即边长为2的正方形有4个(4＝2×2)；由9个基本正方形组成的正方形，即边长为3的正方形有1个(1＝1×1)所以共有正方形9＋4＋1＝14(个)．(2)中边长为1的正方形有16个，即16＝4×4；边长为2的正方形有9个，即9＝3×3；边长为3的正方形有4个，即4＝2×2；边长为4的正方形有1个，即1＝1×1．所以共有正方形有16＋9＋4＋1＝30(个)．因此，如果一个正方形的各边被分成几个等份，那么正方形的个数便是1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n．方法指导：正确数出图形的个数，首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个．然后再从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少．有些图形被分成了几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和．例12．图中共有多少个正方形？思路分析：将正方形分类，将每一类的总数相加，就可得到所有正方形的个数．由两块小三角形构成的正方形有4个；由四块小三角形构成的正方形有4个；由八块小三角形构成的正方形有1个；由十六块小三角形构成的正方形有1个．由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形．所以，图中共有4＋4＋1＋1＝10(个)正方形．例13．数出图中共有多少个正方形？思路分析：根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类：第1类：边长为1的正方形有24个；第2类：边长为2的正方形有13个；第3类：边长为3的正方形有4个；第4类：边长为4的正方形有1个．所以图中共有24＋13＋4＋1＝42(个)正方形．这题如果把四条边长多出的8个小正方形去掉，很容易得出共有1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30(个)正方形，添上了去掉的小正方形后，这8个小正方形还能再和其他图形组成4个新的正方形．所以，图中共有30＋8＋4＝42(个)正方形．例14．下图中共有多少个长方形？思路分析：我们可以先将大长方形中的5小块编上号：这5块都是符合要求的长方形．然后数由两小块拼成的长方形，共有4个，即①＋②，②＋③，③＋④，④＋⑤；再数由三小块拼成的长方形，共有2个，即①＋③＋④，③＋④＋⑤；没有由四小块拼成的长方形；最后数由5小块拼成的长方形只有最大的一个．所以，图中共有5＋4＋2＋1＝12(个)长方形．例15．数出下图中共有多少个三角形？思路分析：首先将大三角形中六小块分别编上号．通过观察，我们可以发现这6小块中，④和⑤不是三角形，因此，由一块形成的三角形有4个；由两块拼成的三角形有5个，即分别是①＋②，①＋③，③＋④，②＋④，⑤＋⑥；由三块拼成的三角形有两个，分别为①＋③＋⑤，②＋④＋⑥；由四块拼成的三角形有1个，即是①＋②＋③＋④；没有由五块拼成的三角形；由六块拼成的三角形有1个，即最大的三角形．所以，图中三角形一共有4＋5＋2＋1＋1＝13(个)．方法指导：数长方形、正方形、三角形以及一些不规则的图形都可以采用编号数图形的方法，就是将原来图中的每一小块都编上号，先看每一小块是否符合要求的图形，接着数由两个小块相拼成的图形中有几个是符合要求的图形，再依次数由三小块、四小块……拼成的图形中各有几个是符合要求的图形，最后将每一步数得的结果加起来．。
巧数图形
奥数
年级
三年级课时ຫໍສະໝຸດ 3授课教师夏老师
课题名称
教学目标
初步掌握数图形的基本方法，学会正确数出图形的个数，通过观察寻找规律，探究计算方法。
教学重点
数图形的基本方法；正确数出图形的个数。
教学难点
寻找数图形规律并探究计算方法。
教学流程
一、导入
晚饭过后，妈妈给小明出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有几个正方形。小明看，立刻回答：“窗户上有6个正方形。”妈妈笑了，爷爷在一旁也笑了，小明给弄了个“丈二和尚摸不着头脑”。小朋友，你知道小明的爷爷妈妈为什么笑吗？小明数的难道不对吗？如果不对，那么窗户上共有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。
二、新课（例题）
例1、下图中有多少条线段？
例2、下面图形中有几个角？
例3、下图中共有多少个三角形？
雅思英语学校教案
教学流程
例4、右图中有多少个正方形？
例5、数一数图中共有多少个三角形？
三、巩固练习
1．下图中各有多少条线段？
（1）
（2）
（3）
2．下图中有多少个角？
3．下图中各有多少个三角形？
(1)
(2)
（3） （3）
（4）
4．下图中各有多少个长方形？
(1)
(2)
(3)
5．下图中有多少个正方形？
四、全课小结
通过本次课的学习你有哪些收获？
五、课后作业
教学反思
在教学生对计算常规长方形和正方形的个数时没有很浅显易懂的解释清楚公式的原理，导致学生只能生搬公式解题，所以前期有很多问题出现；部分学生对一些难度简单升级的题型不会仔细观察，灵活处理。
学生家长签字
巧数图形教案
巧数图形教案教案标题：巧数图形教案教案目标：1. 理解巧数的概念，并能通过观察图形找出巧数。
2. 能够解释巧数图形的特征和规律。
3. 发展学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学资源：1. 巧数图形的示例和问题。
2. 黑板/白板、彩色粉笔/白板笔。
3. 学生用纸和铅笔。
教学步骤：引入（10分钟）：1. 谈论巧数的定义：巧数是指能够被3整除的数。
2. 引导学生列举一些巧数并讨论其规律：3、6、9、12、15等。
3. 提问学生：巧数有什么特征或规律？学生回答后进行解释和总结。
探究（20分钟）：1. 展示一系列巧数图形的示例，例如由方块或圆圈组成的图形。
2. 让学生观察这些图形并尝试找出其中的巧数。
3. 学生思考并记录他们找到的巧数，并与同学交流发现。
整理（10分钟）：1. 邀请学生分享他们找到的巧数，并将其记录在黑板/白板上。
2. 引导学生一起观察这些巧数图形的特征和规律，例如巧数图形中的方块或圆圈数量与巧数的关系。
3. 引导学生总结巧数图形的规律，并鼓励他们进行逻辑推理和解释。
拓展（15分钟）：1. 给学生一些新的巧数图形示例，并鼓励他们找出其中的巧数。
2. 提问学生：是否可以用其他形状和不同的巧数找出新的巧数图形？3. 鼓励学生用纸和铅笔设计自己的巧数图形，并在班级中展示和分享。
巩固（5分钟）：1. 总结巧数图形的概念和规律，并再次强调巧数是能够被3整除的数。
2. 提醒学生继续观察和思考数学中的规律，并勉励他们尝试解决更复杂的问题。
评估：观察学生在探究和拓展环节中的表现，包括他们参与讨论的贡献、解释和设计的巧数图形。
评估的重点在于学生对巧数概念和图形规律的理解和应用能力。
拓展活动或作业建议：1. 给学生布置巧数图形的作业，让他们设计和绘制一个符合巧数规律的图形，并解释其特征和规律。
2. 鼓励学生在日常生活中观察巧数，并记录下他们发现的巧数图形或情况。
在下堂课中，学生可以分享他们的发现。
3. 给学生提供更多的巧数和图形问题，让他们进行推理和解决。
小学四年级数学拔高-巧数图形
第一讲巧数图形【知识要点】：我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
【例题精讲】例1：数出下面图中有多少条线段。
试一试：数出下列图中有多少条线段。
（2）（3）例2：数一数下图中有多少个锐角。
试一试：下列各图中各有多少个锐角？例3：数一数下图中共有多少个三角形。
试一试：数一数下面图中各有多少个三角形。
例4：右图中有多少个三角形？例5：数一数下图中有多少个长方形？试一试：数一数，下面各图中分别有几个长方形？例6：数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）试一试：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）例7：从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？试一试：从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？这些船票中有多少种不同的票价？【巩固练习】1、数出下列图中有多少条线段。
(3)2、数一数下图中共有多少个三角形。
3、数一数下图中有多少个长方形。
4、下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个？5、数一数下列各图中分别有多少个正方形。
6、从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？7、从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？。
巧数图形(一)_
巧数图形（一） (2020-09-14 11:27:12)
分类：课程资源
巧数图形（一）
指点迷津
巧数图形，关键是要仔细观察，发现规律，掌握有次序、有条理地数或计算图形的方法。
巧数图形一般采用逐个计数法或分类计数法；较复杂的组合图形，可采用分步计数法，把图形分成若干组成部分，先数各部分图形的个数，再把结果相加；若能发现规律，也可直接计算图形的个数。
经典例题
数一数，下面图中有多少条线段？
思路导航
方法一，要正确解答这类问题，关键要按一定的顺序数，做到不重、不漏。
从图中可以看出，从A点出发的线段有4条：AB、AC、AD、AE；从B点出发的线段有3条，BC、BD、BE；从C点出发的线段有2条CD、CE；从D点出发的线段只有1条DE。
因此图中共有4 3 2 1=10（条）线段。
4 3 2 1=10（条）
方法二，把图中AB、BC 、CD、DE第四条线段看作基本线段，由两条基本线段组成的线段有AB、BD、CE3条，有三条基本线段组成的有AD、BE2条，由四条线段基本线段组成的只有AE1条。
从而算出线段的总数。
4 3 2 1=10（条）
答：图中有10条线段。
经进一步观察、分析不难发现：采用两种不同的分类计数法却列出了同一道加法算式，且算式中最大的加数等于线段上的总点数减1，线段的总数等于从1开始的若干个连续自然数的和，即线段总数=1 2 3 … （总点数-1）。
这个规律也适用于其他一些图形。
举一反三
数一数，下列图形中各有多少条线段？。
巧数图形教案
巧数图形教案篇一：巧数图形巧数图形1、教材地位及作用《数图形中的学问》是第八册书中第一个专题性活动。
在第二单元认识各种图形之后，本课设计了数简单图形个数的活动，使学生初步体会有序思考的必要性，培养学生有序思考的习惯。
为后面学习“图形中的规律”打下坚实的基础。
2、教学目标：1、体会到按一定规律去数，可以做到不重复，不遗漏，发展有序思维。
2、引导学生在按一定规律数的基础上发现数图形的规律。
3、教学重点：有规律地数，不重复不遗漏。
教学难点：引导学生在按一定规律数的基础上发现数图形的规律。
【学情分析】学生们能够数出简单的图形的个数，但是不一定做到按着一定的顺序来数。
只有极少数学生知道数图形的规律并用算式来计数，绝大多数同学并没有发现数图形的规律，更不会用算式来计数。
设计中注意兼顾各层面学生的不同需求，做到有层次、有梯度。
【教学策略】1、留出空白，放手探究。
课堂教学中在以下几个环节中留出“空白”，让学生去探索、思考。
⑴在寻找新旧知识的衔接点时留“空白”；⑵在提问后留“空白”；⑶当学生对知识认识模糊时留“空白”；⑷在概括结论之前留“空白”；⑸在出现错误之后留“空白”；⑹在出现难题时留“空白”。
2、群体互动，合作探究。
在数较复杂的图形的个数时，有计划地组织他们进行合作探究，以形成集体探究的氛围，培养学生的合作精神。
【教学过程】一、激趣导入。
同学们，今天这节数学课有一些老朋友要和我们一起来上课，欢迎吗？快来看看它们是谁吧！（出示图一）（图一）这些老朋友是谁呀？（指名回答：梯形、三角形、长方形??）今天他们不仅自己来到了课堂，还带来了各自的兄弟姐妹，快来看看向我们提出了什么问题？（出示图二）?共()个共()个（图二）原来让我们数他们兄弟姐妹的个数，也就是数图形的个数。
同学们，你们会数吗？（生有答会数，有答不会数）好，今天这节课我们就一起来研究——数图形中的学问。
（板书课题）咱们先从简单的图形数起吧，这么多图形，你觉得谁的兄弟姐妹的个数最好数呀？（角）（设计意图：引发学生认知冲突，激发学生学习兴趣）二、探索规律。
三年级 巧数图形
• 计算方法
6×2+3=15（个）
随堂练习
• 课本 74页 第三题 • （3）（4）
• 解题锦囊： • （1）单层三角形时，可以用数角的方法 戒数线段的方法来数； • （2）数多层三角形时，可以先数出一层 的数量，在数出层数，最后算出总数 （如果底层也有三角形的话，不要漏 掉。）
例3
• 数一数下列图形中，有多少个三角形？
B A D
C
E
Hale Waihona Puke • 元素组合法 • 4+3+2+1=10
家庭作业
• P 74页 第3题 • （5）（8）（6）（7）
例4
• 下图中有多少个正方形？
例5
• 下图中有多少个长方形？
例6
• 数一数下图中共有多少个平行四边形？
课题：巧数图
形
可是当图形比较复杂时，要想快速、不重 复也不遗漏地数出图形的个数也不是一件轻松的 事。
老师这里有三大法宝：
1、有次序； 2、有条理； 3、有规律。
这些数图形的好方法你们想学吗？那 就让我们一起来动脑思考吧！
例1
• （1）
A B C D E F
（ ）条线段
解题方法： 组合法 5+4+3+2+1=15
• （3）数一数图中有几个三角形？
• （6）个三角形 • 解题思路： • 三角形组合个数
随堂练习（课本74页“我能行”第3题（1）、（2））
• 数一数下列图中，各有多少个三角形？
• 10 • 6
例2 • 数一数下列各图中，有多少个三角形？ • （1） （2）
• • • •
第一层：3个 第二层…… 第三层…… 计算方法 3×3=9（个） 第一层：6个 第二层…… 注意：第二层可单独成形 3个
巧数图形(课堂PPT)
【思路导航】 边长是1个长度单位的正方形有6×3=18个， 边长是2个长度单位的正方形有5×2=10个，
32 边长是3个长度单位的正方形有4×1=4个。
所以，图中正方形的总数为：6×3+5×2+4×1= 个
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被 分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的） 那么正方形的总数为： mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.
AB C D E F
5+4+3+2+1=15（条 ）
6+5+4+3+2+1=21（条 ）
Page 4
练一练
4+3+2+1=10（条 ）
5+4+3+2+1=15(条)
共计：10+15=25（条）
Page 5
数一数，下图中有几个角？
O
C
D
32 1 总共：3+2+1=6（个） 角的个数=基本角数一直加到1
Page 15
数线段： 线段条数=基本线段数一直加到1
巧数图形
第一讲巧数图形数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。
数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握一定的方法和技巧。
几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。
通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯，同时提高我们通过观察、思考去探寻事物规律的能力。
要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。
一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素。
因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。
例1、数一数，图中有多少条线段？分析与解：如果我们按照一定的顺序从左往右数，就会发现：以A点为共同端点的线段有：AB AC AD AE AF 5条；以B点为共同端点的线段有：BC BD BE BF 4条；以C点为共同左端点的线段有：CD CE CF 3条；以D点为共同左端点的线段有：DE DF 2条；以E点为共同左端点的线段有：EF 1条；总数为：5+4+3+2+1=15条。
用图示法表示更为直观明了，如右图。
想一想：①由例1可知，一条线段AF上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段。
由此猜想如下规律（见右图）：……………………还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：当一个图形中包含的所有线段都在同一条直线上时，线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中的总端点数少1.②如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么线段的总条数也是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见下图）。
基本线段数线段总条数……………………是不是存在这样的规律，同学们可以自己再举些例子试试看。
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数学采蜜园——第17页
数一数，一共有多少个三角形？
5 共有（ ）个三角形
数学采蜜园——第18页
数一数，填一填。
有 2
有 8 有 3 有 3
个△； 个○； 个□； 个。
课后——第16页和第17页
作
业
请你当小老师，把例3和例4讲 给爸爸妈妈听。
工作范文，仅供参考！
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数学思维第四专题——巧数图形（一）
例1、数一数，各种图形各有 多少个？
图中一共有（ 11）个△，
有（ 5 ）个○， 有（ 2 ）个□， 有（10）个 。
例2、数一数，图中一共有几个 圆？
小圆？ 中圆？ 大圆？
例3、数一数，一共有多少个 正方形？
7 有（ ）个正方形
例4、数一数，有多少个三角形？