高中数学直线与圆的位置关系ppt课件
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人教版高中数学直线.圆的位置关系(共30张PPT)教育课件
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有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
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理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
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学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
高中数学人教A版 选择性必修第一册 直线与圆的位置关系 课件
2 所以，所求直线方程为： x 2y 9 0 ，或 2x y 3 0 .
5、已知过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8，求直线 l 的方程；
【解析】圆心 C(0, 2) ，半径 r 5 .所以弦心距 d 52 42 3 ，
(2)SPACB 2S PAC PA r 2PA
2 PC2 4 4 7.
12.(1)已知实数 x，y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，则
x2＋y2 的最大值为__________．
【解析】x2＋y2＝[ （x－0）2＋（y－0）2]2， 它表示(0，0)和(x，y)两点间距离的平方， 最大距离为 3 2＋ 6， 则 x2＋y2 的最大值为(3 2＋ 6)2＝24＋12 3.
7、已知圆 C：x2＋(y－2)2＝5，直线 l：mx－y＋1－m＝0. (1)求证：对 m∈R，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点； (2)若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，
①当弦长|AB|最大时，求 m 的值； ②当弦长|AB|最小时，求 m 的值. 【分析】(1)直线 l：m(x－1)－y＋1＝0，过定点 P(1，1)， P 在圆 C 内，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点.
设直线 l 的方程为 y 3 k(x 3) ，即 kx y 3k 3 0 ，
根据点到直线的距离公式， d | 3k 1| ， 1 k2
因此， | 3k 1| 3 ，即 | 3k 1| 3 1 k2 ，解得 k 4 ，
1 k2
3
直线方程为： 4x 3y 21 0 ，
经检验， x 3 0 适合题意， 所以，所求直线方程为： 4x 3y 21 0 或 x 3 0 .
(1) 2 b 2 2 (2) 2 b 2或b 2 2
5、已知过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8，求直线 l 的方程；
【解析】圆心 C(0, 2) ，半径 r 5 .所以弦心距 d 52 42 3 ，
(2)SPACB 2S PAC PA r 2PA
2 PC2 4 4 7.
12.(1)已知实数 x，y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，则
x2＋y2 的最大值为__________．
【解析】x2＋y2＝[ （x－0）2＋（y－0）2]2， 它表示(0，0)和(x，y)两点间距离的平方， 最大距离为 3 2＋ 6， 则 x2＋y2 的最大值为(3 2＋ 6)2＝24＋12 3.
7、已知圆 C：x2＋(y－2)2＝5，直线 l：mx－y＋1－m＝0. (1)求证：对 m∈R，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点； (2)若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，
①当弦长|AB|最大时，求 m 的值； ②当弦长|AB|最小时，求 m 的值. 【分析】(1)直线 l：m(x－1)－y＋1＝0，过定点 P(1，1)， P 在圆 C 内，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点.
设直线 l 的方程为 y 3 k(x 3) ，即 kx y 3k 3 0 ，
根据点到直线的距离公式， d | 3k 1| ， 1 k2
因此， | 3k 1| 3 ，即 | 3k 1| 3 1 k2 ，解得 k 4 ，
1 k2
3
直线方程为： 4x 3y 21 0 ，
经检验， x 3 0 适合题意， 所以，所求直线方程为： 4x 3y 21 0 或 x 3 0 .
(1) 2 b 2 2 (2) 2 b 2或b 2 2
高中数学课件-专题9 直线和圆的方程 (共55张PPT)
2.自一点引圆 的切线的条数
3.弦长公式
考点53 直线与圆的位置关系
1.直线与圆 的位置关系
2.自一点引圆 的切线的条数
(1)若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切 点； (3)若点在圆内,则过此点不能作圆的切线．
3.弦长公式
考点53 直线与圆的位置关系
2.距离公式 的应用
（2）已知距离求有关方程或有关量
借助于距离公式建立方程（组）得出参数的值或
满足的关系式，然后可结合题中其他条件确定方
程、点的坐标等.
【注意】若已知点到直线的距离求直线方程，用
一般式可避免讨论.否则，应讨论斜率是否存在.
23
24
第2节 圆的方程及直线、圆的位置关系
600分基础 考点&考法
8
10
考法2 求直线方程
常用的方法 1.直接法 2.待定系数法
确定定点和斜率或确定两点, 套用直线方程的相应形式, 写出方程．
11
考法2 求直线方程
常用的方法 1.直接法 2.待定系数法
一般步骤： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件（直线的截距、直线上的点、有关图形的面 积等）建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求参数； ④把所求的参数值代入所设直线方程．
1.两条直线的 位置关系
2.两条直线 的交点坐标
3.距离公式 距离公式
考点51 两条直线的位置关系
1.两条直线的 位置关系
2.两条直线 的交点坐标
3.距离公式 距离公式
两直线的方程组成的方程组的解
考法3 两直线平行与垂直的判定及应用
1.两直线平行或 垂直的判定方法
人教版高中数学必修2第四章《4.2直线、圆的位置关系：4.2.1 直线与圆的位置关系》教学PPT
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求它们的交点坐标。
相交
△＞0
r ＞d
O
x
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交；
当b=2 2或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 2或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
y 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
00b b
圆心到直线的距离为 d
(3)△＜0 直线与圆径相r离的. 大小关系 直线与圆没有交点
方法3：代数性质
2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点
3、相交 (d<r)
直线与圆有两个交点
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2， 直线L的方程为 Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
练习与例题
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交, 直线与圆有___2_个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__, 直线与圆有___0_个公共点.
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求它们的交点坐标。
相交
△＞0
r ＞d
O
x
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交；
当b=2 2或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 2或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
y 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
00b b
圆心到直线的距离为 d
(3)△＜0 直线与圆径相r离的. 大小关系 直线与圆没有交点
方法3：代数性质
2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点
3、相交 (d<r)
直线与圆有两个交点
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2， 直线L的方程为 Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
练习与例题
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交, 直线与圆有___2_个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__, 直线与圆有___0_个公共点.
人教版新课标高中数学圆和圆的位置关系 (共30张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
线是两圆公共弦 AB所在的直线
①-②得
y
x2y10 ③
探究：画出圆C1与圆 C2以及直线方程③ ， 你发现了什么？
A
O
C2 Bx
C1
题型 与两圆公共弦有关的问题 例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-
4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程 及公共弦长.
人教版高中数学必修2(A版) 4.2.1直线与圆的位置关系 PPT课件
从而:
2
o
x
P
4 5 d 5 5, 2
2
2
C B
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解: ……
例2:已知过点M(-3,-3)的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5 , y 求直线l的方程.
4 5 d 5 2 5,
2 2
y+3=k(x+3) 设直线l的方程为：
△<0 △=0 △>0
n=0 n=1 n=2
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
回到目录
例1:已知直线l:3x+y-6=0和圆C:x2+y2-2y4=0,判断直线l与圆的位置关系;如果相交, 求它们交点的坐标. ① 解法一: 解方程组: 3x+y-6=0
x2+y2-2y-4=0 ②
消去y得: x2-3x+2=0 解得: Байду номын сангаас1=1, x2=2
§4.2.1直线与圆的位置关系
§4.2.1直线与圆的位置关系
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
1.请回顾直线与圆有几种位置关系？ （1）.直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点 2. 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？ 3.上一章我们知道可以利用两条直线的方程来判断位置关 系，那么如何能否利用直线与圆的方程判断它们之间的位 置关系呢？
如果没让求交点坐标,还 需要解这个方程吗?
不用!只需用判别式△来判断此 ∴方程组的解为: x1=1 x2=2 一元二次方程根的情况 ,△>0 y1=3 y2=0
2
o
x
P
4 5 d 5 5, 2
2
2
C B
回到目录
解: ……
例2:已知过点M(-3,-3)的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5 , y 求直线l的方程.
4 5 d 5 2 5,
2 2
y+3=k(x+3) 设直线l的方程为：
△<0 △=0 △>0
n=0 n=1 n=2
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
回到目录
例1:已知直线l:3x+y-6=0和圆C:x2+y2-2y4=0,判断直线l与圆的位置关系;如果相交, 求它们交点的坐标. ① 解法一: 解方程组: 3x+y-6=0
x2+y2-2y-4=0 ②
消去y得: x2-3x+2=0 解得: Байду номын сангаас1=1, x2=2
§4.2.1直线与圆的位置关系
§4.2.1直线与圆的位置关系
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
1.请回顾直线与圆有几种位置关系？ （1）.直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点 2. 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？ 3.上一章我们知道可以利用两条直线的方程来判断位置关 系，那么如何能否利用直线与圆的方程判断它们之间的位 置关系呢？
如果没让求交点坐标,还 需要解这个方程吗?
不用!只需用判别式△来判断此 ∴方程组的解为: x1=1 x2=2 一元二次方程根的情况 ,△>0 y1=3 y2=0
高中数学选择性必修一《2.5.1 第一课时 直线与圆的位置关系》课件
答案：4 5
题型一 直线与圆位置关系的判断 [学透用活]
[典例 1] 求实数 m 的取值范围，使直线 x－my＋3＝0 与圆 x2＋y2－6x＋5＝0 分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
[解] 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线 x－my＋3＝0 的距离为 d＝ m62＋1，圆
)
A．0 或 2
B．2
C． 2
D．无解
解析：由圆心(0,0)到直线
x＋y＋m＝0
的距离为半径得|m|＝ 2
m，解得 m＝2.
答案：B
4．直线 y＝2x＋3 被圆 x2＋y2－6x－8y＝0 所截得方 程 可 化 为 (x － 3)2 ＋ (y － 4)2 ＝ 25. 故 圆 心 为 (3,4)，半径 r＝5.又直线方程为 2x－y＋3＝0，所以圆心到 直线的距离为 d＝|2×34－＋41＋3|＝ 5，所以弦长为 2 r2－d2 ＝2× 25－5＝4 5.
2．[变条件]若将本例中条件“与直线 y＝x＋2 平行”换为“过 点 P(5,1)”其他条件不变，结论又如何呢？
解：设所求切线方程为 y－1＝k(x－5)， 即 kx－y－5k＋1＝0. 由|2k－3k－2＋5k1＋1|＝2 2.得 k＝－6±2 10. 故所求切线方程为(－6＋2 10)x－y＋31－10 10＝0 或(－6 －2 10)x－y＋31＋10 10＝0.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝4 和直线 l：kx－y－4k＋3＝0，
(1)求证：不论 k 取何值，直线和圆总相交； (2)求当 k 取何值时，圆被直线 l 截得弦最短，并求最短弦长 的值.
题型一 直线与圆位置关系的判断 [学透用活]
[典例 1] 求实数 m 的取值范围，使直线 x－my＋3＝0 与圆 x2＋y2－6x＋5＝0 分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
[解] 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线 x－my＋3＝0 的距离为 d＝ m62＋1，圆
)
A．0 或 2
B．2
C． 2
D．无解
解析：由圆心(0,0)到直线
x＋y＋m＝0
的距离为半径得|m|＝ 2
m，解得 m＝2.
答案：B
4．直线 y＝2x＋3 被圆 x2＋y2－6x－8y＝0 所截得方 程 可 化 为 (x － 3)2 ＋ (y － 4)2 ＝ 25. 故 圆 心 为 (3,4)，半径 r＝5.又直线方程为 2x－y＋3＝0，所以圆心到 直线的距离为 d＝|2×34－＋41＋3|＝ 5，所以弦长为 2 r2－d2 ＝2× 25－5＝4 5.
2．[变条件]若将本例中条件“与直线 y＝x＋2 平行”换为“过 点 P(5,1)”其他条件不变，结论又如何呢？
解：设所求切线方程为 y－1＝k(x－5)， 即 kx－y－5k＋1＝0. 由|2k－3k－2＋5k1＋1|＝2 2.得 k＝－6±2 10. 故所求切线方程为(－6＋2 10)x－y＋31－10 10＝0 或(－6 －2 10)x－y＋31＋10 10＝0.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝4 和直线 l：kx－y－4k＋3＝0，
(1)求证：不论 k 取何值，直线和圆总相交； (2)求当 k 取何值时，圆被直线 l 截得弦最短，并求最短弦长 的值.
第一部分 第二章 §2 2.3 第一课时 直线和圆的位置关系
12 解得k＝ 5 . 12 ∴所求直线l的方程为y－3＝ 5 (x－2)． 即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线x＝2也符合题意． ∴所求直线l的方程为x＝2. 综上可知，所求直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
5．(2012· 兴义检测)求经过点(3,2)，圆心在直线y＝2x上，
3x＋y－6＝0， 2 x ＋y2－2y－4＝0，
则联立方程有
解得交点坐标
为(2,0)，(1,3)．
法二：圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心为 (0,1)，半径为 5 . 圆心到直线的距离为d＝ 5 < 5， 10
∴直线与圆相交，有两个交点．
3x＋y－6＝0， 由直线与圆的方程得 2 2 x ＋y －2y－4＝0.
(1＋m2)x2－2(m＋2)x＋1＝0. Δ＝4(4m＋3)． 3 ∴当Δ>0即m>－4时，直线与圆相交； 3 当Δ＝0即m＝－4时，直线与圆相切； 3 当Δ<0即m<－4时，直线与圆相离．
法二：将圆的方程化为(x－2)2＋y2＝4. 得圆心C(2,0)，半径r＝2， |2m－1| 圆心C到直线mx－y－1＝0的距离d＝ 2. 1＋m 2m－12 3 当d<2，即 <4，m>－4时，直线与圆相交； 1＋m2 3 当d＝2，即m＝－4时，直线与圆相切； 3 当d>2，即m<－4时，直线与圆相离．
＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系怎样？ 提示：相交．
1．直线与圆的位置关系有三种，分别是直线与
圆 相交、相切 、 相离 ． 2．直线与圆位置关系的判定 方法 条件 位置关系 相交 0≤d< r 几何法 代数法： 联立直线与圆的方程得 一元二次方程，判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
人教版高中数学选修一2.5.1 直线与圆位置关系 课件
x1 2, x2 1
y1 0 ；
x2 1
把 x1 2,代入方程①，得
由
x1 把
2, x2 1代入方程① ，得 y 2 3．
因为： (3) 2 4 1 2
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
=1>0
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
A（2，0），B（1，3）
y
o
P.
x
变式
例2 过点
作圆O:x2+y2=1的切线l,求此切线l的方程.
①当切线l的斜率存在时,
解： 设切线l的方程为y-2=k(x-1),
即kx-y+2-k=0
y
.P
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1 解得
=
o
x
此时，切线l的方程为3x-4y+5=0.
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆
的位置关系.(逻辑推理)
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学
问题与实际问题.(数学建模)
思维脉络
情境导学
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代
诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞
外特有的景象．
从日落这种自然现象中可以抽象出哪些
基本的几何图形呢？它们有哪些位置关系呢？
运算量较大
请谨慎选择
Ax By C 0
2
2
2
(
x
a
)
(
y
b
)
r
2.几何法：计算圆心到直线的距离d，与半径r相比较
y1 0 ；
x2 1
把 x1 2,代入方程①，得
由
x1 把
2, x2 1代入方程① ，得 y 2 3．
因为： (3) 2 4 1 2
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
=1>0
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
A（2，0），B（1，3）
y
o
P.
x
变式
例2 过点
作圆O:x2+y2=1的切线l,求此切线l的方程.
①当切线l的斜率存在时,
解： 设切线l的方程为y-2=k(x-1),
即kx-y+2-k=0
y
.P
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1 解得
=
o
x
此时，切线l的方程为3x-4y+5=0.
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆
的位置关系.(逻辑推理)
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学
问题与实际问题.(数学建模)
思维脉络
情境导学
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代
诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞
外特有的景象．
从日落这种自然现象中可以抽象出哪些
基本的几何图形呢？它们有哪些位置关系呢？
运算量较大
请谨慎选择
Ax By C 0
2
2
2
(
x
a
)
(
y
b
)
r
2.几何法：计算圆心到直线的距离d，与半径r相比较
高中数学《直线和圆的位置关系》优秀课件
的方程为:
x2 y2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为：
4x 7 y 28 0
y 港口
问题归结为圆与直线l有无公共点,
O
也即是说要找直线与圆的位置关系
问题：能否用的方法去判断它们之间的位置 关系？
轮x 船
问题：如何用高中所学在直线和圆的方程 的情况下去判断它们之间的位置关系？ 也就是说要用直线和圆的方程
解：代数法
y
联立圆和直线的方程得
y x6
①
x2
y2
2y
4
0
②
把①代入②得：
C
x2 5x 10 0 ③
(5)2 41 (10) 15 0
O x
所以方程③没有实数根 所以直线l与圆没有交点，它们相离。
位置 关系
相 交
相 切
相 离
知识小结
图 形 几何特征 方程特征
有两个 公共点
有两组 实数解
的范围是半径长为30km的圆形区域．港口位于台风
中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么
它是否会受到台风的影响？
y
为解决这个问题，我们以台
港口
风中心为原点 O，东西方向为
x 轴，建立如下图的直角坐标
系，其中取 10km 为单位长 度．
O
轮x
船
实例引入
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
求出公共点个数，或者 求出圆心到直线的距离？
y 港口
O
轮x
船
例1 如图，已知直线l： 3x y 6 和0 圆心为C的 圆 x2 y2 2y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如
果相交，求它们交点的坐标．
分析：判断由它们的方程组成的方程组有几组实数解；
x2 y2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为：
4x 7 y 28 0
y 港口
问题归结为圆与直线l有无公共点,
O
也即是说要找直线与圆的位置关系
问题：能否用的方法去判断它们之间的位置 关系？
轮x 船
问题：如何用高中所学在直线和圆的方程 的情况下去判断它们之间的位置关系？ 也就是说要用直线和圆的方程
解：代数法
y
联立圆和直线的方程得
y x6
①
x2
y2
2y
4
0
②
把①代入②得：
C
x2 5x 10 0 ③
(5)2 41 (10) 15 0
O x
所以方程③没有实数根 所以直线l与圆没有交点，它们相离。
位置 关系
相 交
相 切
相 离
知识小结
图 形 几何特征 方程特征
有两个 公共点
有两组 实数解
的范围是半径长为30km的圆形区域．港口位于台风
中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么
它是否会受到台风的影响？
y
为解决这个问题，我们以台
港口
风中心为原点 O，东西方向为
x 轴，建立如下图的直角坐标
系，其中取 10km 为单位长 度．
O
轮x
船
实例引入
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
求出公共点个数，或者 求出圆心到直线的距离？
y 港口
O
轮x
船
例1 如图，已知直线l： 3x y 6 和0 圆心为C的 圆 x2 y2 2y 4 0 ，判断直线 l 与圆的位置关系；如
果相交，求它们交点的坐标．
分析：判断由它们的方程组成的方程组有几组实数解；
直线与圆、圆与圆的位置关系-高中数学总复习课件
y 0 y ＝ r 2；
（2）过圆（ x － a ） 2 ＋（ y － b ） 2 ＝ r 2 上一点 P （ x 0 ， y 0 ）
的圆的切线方程为（ x 0 － a ）·（ x － a ）＋（ y 0 －
b ）·（ y － b ）＝ r 2 ；
（3）过圆 x 2＋ y 2＝ r 2外一点 P （ x 0， y 0）作圆的两条切线，则两
法二（几何法） 由题意知，圆心（0，1）到直线 l 的距离 d ＝
|−｜
2 +1
＜1＜ 5 ，故直线 l 与圆相交.
法三（点与圆的位置关系法） 直线 l ： mx － y ＋1－ m ＝0过定
点（1，1），因为点（1，1）在圆 x 2＋（ y －1）2＝5的内部，
所以直线 l 与圆相交.
目录
高中总复习·数学
2
−
2
1+2
，｜ AB ｜＝2
4｜｜
4｜｜
1
8
2
＝
，所以 S △ ABC ＝ × d ×｜ AB ｜＝
＝ ，解
2
2
2
1+
5
1+
1
1
得 m ＝2或 m ＝－2或 m ＝ 或 m ＝－ .填写任意一个均可.
2
2
目录
高中总复习·数学
解题技法
直线被圆截得的弦长的两种求法
目录
高中总复习·数学
点 P 作圆 O ： x 2＋ y 2＝2的两条切线，切点分别为 A ， B ，若直线 PA
与 PB 的夹角为α，当四边形 PAOB 的面积最小时， sin α＝
3
2
.
目录
高中总复习·数学
高中数学《第四章圆与方程小结》65PPT课件
即 x－3＝0.
又点 C(1，2)到直线 x－3＝0 的距离 d＝3－1＝2＝r， 即此时满足题意，所以直线 x＝3 是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为 y－1＝k(x－3)， 即 kx－y＋1－3k＝0， 则圆心 C 到切线的距离 d＝|k－2k＋2＋1－1 3k|＝r＝2，
解得 k＝34. ∴切线方程为 y－1＝34(x－3)，即 3x－4y－5＝0. 综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x－3＝0 或 3x－ 4y－5＝0.
4．若经过两点 A（－1，0）、B（0，2）的直线l 与圆（x 1）2 ( y a)2 1
相切，则a =
.
5．求圆（x 1）2 ( y 1)2 1上的点到直线3x 4y 3 0 的距离的最大最小 值 [解] 最大距离为3 最小距离为1
知识像一艘船
让它载着我们 驶向理想的 ……
[解] 如图，直线L过圆心，且与直 线3x+4y=25垂直于点M， 此时，l 与圆有两个交点A、B， ∵原点到直线3x+4y=25的距离 |OM|=5， ∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离 的 最大值为：|AM|=|OM|+r=5+1=6 最小值为：|BM|=|OM|-r=5-1=4
知识点三：切线问题
例 3 已知点 P( 2 1,2 2) ，点 M(3，1)，圆 C：(x 1)2 ( y 2)2 4 (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程； (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长．
[解] 由题意得圆心 C(1，2)，半径长 r＝2.
(1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4，
例 4 设圆的方程为 x2 y2 13 ，它与斜率为- 2 的直线相切，求切线的
新教材高中数学第一章直线与圆的位置关系课件北师大版选择性必修第一册ppt
其圆心C1的坐标为(2,-2),半径为1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方
程与圆C1相切.
|5+2+3|
设 l 的方程为 y-3=k(x+3),则
3;25k+12=0.∴k1=-3,k2=-4.
2
=1,
则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.
(方法3)设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在直线方程为y=-kx+b,
∴该方程组有两组不同的实数解 ,
即直线l与圆C相交.
(方法二)(几何法)
圆心(7,1)到直线l的距离为
|1×7-2×1+5|
d=
2
1 +(-2)
2
=2 5.
∵d<r=6,∴直线l与圆C相交.
探究二
直线与圆相切
例2过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,
当堂检测
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是(
A.过圆心
B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心
)
答案 D
|3×1+4×(-1)+12|
解析 圆心(1,-1)到直线 3x+4y+12=0 的距离 d=
示.
我们已经知道,在平面直角坐标系中,直线与圆都可以用方程来表示,一个
点是否在直线上或圆上,只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可.那
么,能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢?
程与圆C1相切.
|5+2+3|
设 l 的方程为 y-3=k(x+3),则
3;25k+12=0.∴k1=-3,k2=-4.
2
=1,
则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.
(方法3)设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在直线方程为y=-kx+b,
∴该方程组有两组不同的实数解 ,
即直线l与圆C相交.
(方法二)(几何法)
圆心(7,1)到直线l的距离为
|1×7-2×1+5|
d=
2
1 +(-2)
2
=2 5.
∵d<r=6,∴直线l与圆C相交.
探究二
直线与圆相切
例2过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,
当堂检测
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是(
A.过圆心
B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心
)
答案 D
|3×1+4×(-1)+12|
解析 圆心(1,-1)到直线 3x+4y+12=0 的距离 d=
示.
我们已经知道,在平面直角坐标系中,直线与圆都可以用方程来表示,一个
点是否在直线上或圆上,只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可.那
么,能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢?
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5
不符合题意，舍去。
所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为
1 y 3 ( x 3) 或 y 3 2( x 3) 2
即x+2y+9=0或2x-y+3=0
适当地利用图 形的几何性质, 有助于简化计 算.
练一 练 直线x-y+4=0 被圆
x y 4x 4 y 6 0
.
则圆方程为
x y 92 2O.x y 直线方程为 1即4 x 7 y 28 0 7 4
轮船
课堂小结
一、判断直线与圆的位置关系有两种方法：
1、代数法。 2、几何法。
二、主要数学思想方法 数形结合
分类讨论
练一 练
(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m R)
（1）求证：不论m取何实数时，直线 l与圆c恒交于不同两点。
32 12
10
所以，直线l与圆相交，有两个公共点．
由 x 2 3x 2 0，解得
x1 2, x2 1
把
y1 0； x1 2代入方程①，得 , x2 1
代入方程① ，得 y 2 3 ． 把 2, x2 1
所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是
A（2，0）,B（1，3）
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离
| 2 3k 3 | 因此 d k2 1
即
2
| 2 3k 3 |
2
1 k ，或k 2 2k 3k 2 0 2 当斜率不存在时，此时的弦长为8。
解得
| 3k 1 | 5 5k
2
k 1 两边平方，并整理得到
练一 练
判断直线y=x+6 与圆 x y 2 y 4 0 的位置关系。
2 2
范例选讲
半径、弦长一 半、弦心距有 什么关系？
2
例3 已知过点 M (3,3) 的直线 l 被圆 x 所截得的弦长为 4 5
2
y 4 y 21 0
2
，求直线l 的方程．
解：将圆的方程写成标准形式，得
.O
d
.O
d
r
r .D
l
.B
.A
l
H. 相离
. C
相切
.E
d
.Or
.N .F
l
Q.
相交 当直线与圆 相离、相切、 相交时，d与 r有何关系？
d>r 2、直线与圆相切 d=r 3、直线与圆相交 d<r
1、直线与圆相离
范例选讲
例1、判断直线 3x 4 y 4 0 与 2 2 圆 （x 2) ( y 3) 4 的位置关系.
x 2 3x 2 0
(3)2 4 1 2=1>0
所以，直线l与圆相交，有两个公共点．
2 2 x ( y 1 ) 5 解法二：圆 x y 2 y 4 0可化为
2
2
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5，点C （0，1）到直线 l的距离 d 3 0 1 6 5 5
结论
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
1、代数法。
即判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果 有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆 C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时， 直线l与圆C相离．
2、几何法。
即判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系．如果 d< r ，直线l与圆C相交；如果d= r ，直线l与圆C相切；如果 d> r ，直线l与圆C相离．
思考
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台 的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的 范围是半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中 心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否 会受到台风的影响？
解：以台风中心为坐标原点o， 东西方向为x轴建立直角坐标 系，其中取10Km为单位长度。 则圆方程为
已知圆c: ( x 1) ( y 2) 25 直线l：
2 2
（2）求直线l被圆c截得的线段的最短 长度以及此时直线l的方程。
2 2
截得的弦长为多少？
2 2
思考
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台 的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的 范围是半径长为30km的圆形区域。已知港口位于台风中 心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否 会受到台风的影响？ 不建立 y 解：以台风中心为坐标原点o， 港口 坐标系 东西方向为x轴建立直角坐标 系，其中取10Km为单位长度。 能否解?
y
.港口
.
x y 9
2 2
O
x y 直线方程为 1即4 x 7 y 28 0 7 4
轮船
思考
初中里我们是怎 样判断直线与圆的位 置关系?
直线 与圆的位置关系
.O a
图1
相离 相切
基础知识 回顾
.O
b
.A
图2
.
.O
图3
.
E
F
c
相交
这时直线叫圆的割线 。 公共点叫直线 与圆的交点。
x ( y 2) 25
2
如图，因为直线l被圆所截得的弦长是 4 5 ，所以弦心距为
4 5 2 5 ( ) 5 2
2
即圆心到所求直线的距离为
5
因为直线l过点 M (3,3) ，所以可设所求直线l的方程为
y 3 k ( x 3) 即 kx y 3k 3 0
范例选讲
例 2 如下图，已知直线l： 3x y 6 0 和圆心为C的 2 2 圆 x y 2 y 4 0，判断直线l与圆的位置关系；如果
相交，求它们交点的坐标． 解法一：由直线l与圆的方程，得
3x y 6 0, 消去y，得 2 2 x y 2 y 4 0.