大连理工大学2005硕士研究生考试数学分析试题及解答

大连理工大学2005硕士研究生考试试题数学分析试题及解答 一、 计算题 1、 求极限：122

2 (i)

,lim n

n n n a a na a a n →∞

→∞+++=其中 解：

1212222...(1)(1)lim

lim lim ()(1)212

n n n n n n a a na n a n a a

Stolz n n n n +→∞→∞→∞+++++===+-+利用公式

2、求极限：2

1lim

(1)x x x e x

-→∞

+ 解：

22

2

222

1(1)

1lim (1)lim()1111(1)(1)(ln(1))

1lim lim

11

1111(())21lim 121(1)112lim (1)lim(

)lim()x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x e x e

e x x x x x x

o e x x

x x e x

e e x x e x e e e

-→∞→∞→∞→∞→∞-→∞→∞→∞++=+-++-+=--+-

+==--+-

∴+===

3、证明区间（0，1）和（0，+∞）具有相同的势。 证明：构造一一对应y=arctanx 。

4、计算积分2

1

D

dxdy y x

+⎰⎰

，其中D 是x=0,y=1,y=x 围成的区域 解：

1120220001

1

1011ln()|ln(1)ln [(1)ln(1)(1)ln ]|2ln 2

y y

D

dxdy dxdy x y dy y x y x y dy ydy

y y y y y y ==+++=+-=++-+-+=⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰

5、计算第二类曲线积分：22

C ydx xdy

I x y

--=+⎰，22:21C x y +=方向为逆时针。 解

：

222222002222

2tan 2222

cos ,[0,2)1sin 211

sin cos 4cos 222113cos 22cos 22

13(2)(1)812arctan 421(2)(1)2

311421C x x y ydx xdy I d d x y x x x x d x dx x x x x ππθθ

θπθθθθθθθθ

+∞+∞=-∞-∞=⎧⎪

∈⎨

=⎪⎩

---=−−−→=-+++-+-++−−−−−→-=--+++

+=-⎰⎰⎰⎰⎰换元万能公式代换22

6426212x

dx d x x ππ+∞+∞-∞-∞+=-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭

⎰⎰

6、设a>0,b>0,证明：1

11b b

a a

b b ++⎛⎫

⎛⎫

≥ ⎪

⎪+⎝⎭

⎝⎭

。 证明：

1

1

1

1()1111(1)

111()'()1[ln(1)]0()()()b b x

b b b

b

x

a a a

b f x b b x a a b f b b b a a b f b b b a b a b a b f x Taylor x x x a b f x ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+ ⎪ ⎪ ⎪

+⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫

=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭

⎝⎭

-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

---⎛⎫=++-> ⎪

+-⎝⎭

，构造函数展开可以证明所以递增，从而得证

二、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且

2[,]

()0,a b f x dx =⎰

证明：f(x)

在[a,b]上几乎处处为0。 证明：

反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0。

1

2

2[,]

1

{|()},,0

()0,n n n n n n a b A x f x A A A mA n mA f x dx n +∞

==>=>>>⎰ 。必然存在某个矛盾

三、 设函数f(x)在开区间（0，+∞）内连续且有界，是讨论f(x)

在（0，+∞）内的一致连续性。 讨论：非一致连续，构造函数：

1

()sin

()()00,0,0,|'"|11|sin

sin |.1'"

211

',"|'"|(21)(21)11|sin sin |1'"f x x

f x f x x x x x x x x x n x x n n n n x x εδδεεδ

πππε

=→∀>>∃>-≤-<<==-=≤++-=>显然，连续且有界。但是在时非一致连续反证法：如果一致连续，对当取令。当足够大的时候

四、 设242

,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)

x y

x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪

=⎩，讨论函数的连续性和可微性。

解：

1）连续性：连续

24

2

2

000

4

lim

lim

01x x y y x y y x y

y x →→→→==++

2）可微性：可微

00222224200002

2

24

(,0)(0,0)

(0,0)lim 0

(0,)(0,0)

(0,0)lim 0

(,)(,)(,)lim lim

lim

11x x y x x y x x y y x y f x f f x

f y f f y

f x y f x y f x y x y

x y x y x y x y y

x x →→→→→→→→-==-==--=+++==+

+

五、 设f(x)在（a,b ）内二次可微，求证：

2

()(,)()2()()"()24

a b b a a b f a f f b f ξξ+-∃∈--=，满足

证明：

2

()()()2

()()'()()(),(,)

2

()()"(),(,)222,()()()"()

22b a

g x f x f x Cauchy g x g a b a

g f f a x x a Lagrange b a b a b a

f f f b a b a

g x g a f ζζζζζζξξζζζξ-=+

---==+-∈----+

-=∈++-=-=令，利用中值定理：利用中值定理：令=原式