高三正余弦定理、解三角形综合讲义

正余弦定理、解三角形综合讲义

一、考试要求：

了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

二、知识梳理：

考点1 正弦定理

1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正

弦定理可以变形为：

(1)a ∶b ∶c ＝

(2)a ＝ ，b ＝ ，c ＝

(3)sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝

考点2 余弦定理

在ABC ∆中a 2＝ ，

b 2＝ ，

c 2＝ ．

余弦定理可以变形为：cos A ＝ ， cos B ＝ ， cos C ＝ . 考点3 内角和定理

面积公式: ．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B

在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 在三角形中大边对大角，反之亦然.

1．(广州调研)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知

a ＝2，

b ＝3，则sin A sin A ＋C

＝( ) A.23 B.32 C ．－23 D ．－32

2．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝( )

A ．－725 B.725 C ．－2425 D.2425

3．(全国)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，

则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )

A ．－12 B.12

C ．－1

D ．1 4．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，并且B 为锐角，则△ABC 的形状是( )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，CA ＝7，则AB →〃BC →＝( )

A ．－152 B.152 C ．－15 32 D.15 32

6．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.

7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为______．

8．在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b a ＋a b

＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B

＝________.

1．(广州海珠调研)已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，A ＝π3.a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(cos B ，sin B )，n ＝(cos C ，－sin C )．

(1)求m 〃n 的大小；

(2)若a ＝2，cos B ＝33

，求b 的长．

2．(2011年广东深圳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，sin α2与向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45

，2cos α2

垂直，其中α为第二象限角．

(1)求tan α的值；

(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若b 2＋c 2－a 2＝2bc ，求tan(α＋A )的值．

3．(2011年全国)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .己知a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .

(1)求B ；

(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .

4．(2011年山东)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b

. (1)求sin C sin A

的值； (2)若cos B ＝14

，△ABC 的周长为5，求b 的长．

5．(惠州调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，

若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝

⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m 〃n ＝12. (1)求角A 的值；

(2)若a ＝2 3，b ＋c ＝4，求ABC 的面积．

高考尝试

1．(湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C .

(1)求角C 的大小；

(2)求3sin A －cos ⎝

⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．

2. ABC ∆的内角C B A ，，

所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，

成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，

成等比数列，求B cos 的最小值.

3.在ABC ∆中，3,2,600===∠BC AC A ，则AB 等于___________。