单调性与最大(小)值时函数的最大值最小值
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5.求函数 f (x) x2 2ax 在区间[0,4]上的最小值.
h(t) 4.9t2 1我4.们7t有：18
当t 14.7 1.5时，函数有最大值 2 (4.9)
h 4 (4.9) 18 14.72 29. 4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m.
11
例4.已知函数 f (x) 2 (x [2,6]) ，求函数f(x)的最大 x 1
4
函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点 处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数 f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有 f(x)≤f(0) 函数最大值的“形”的定义：当函数图象有最高点时， 我们就说这个函数有最大值.当函数图象无最高点时， 我们就说这个函数没有最大值.
13
求函数 f (x) 3x 在区间[-1,3]的最大值和最小值。
【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数. 【答案】最大值是9，最小值是-3.
14
1.（2012·洛阳高一检测）函数f(x)=x2+4ax+2在区间
(-∞，6]内递减，则a的取值范围是( D )
(A)a≥3
(B)a≤3
(C)a≥-3
x-1
因此，函数 f（x）=在2区间[2,6]的两个端点上分别取得最大
x-1
值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在 x=6时取得最小值，最小值是0.4.
【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然 后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程 分为两个部分，证明函数在[2，6]上是减函数，求这个函 数的最大值和最小值.
最大值M.如函数 f (x) x, x (1,1) ,虽然对定义域上
的任意自变量都有 f (x) 1 ，但1不是函数的最大值.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函 数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小 的函数值.
8
Fra Baidu bibliotek
探究点3 例题解析
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期 望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时 间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出 后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多 少（精确到1 m）？
5
探究点1 函数最大（小）值的定义
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
请同学们仿此 给出函数最小
值的定义
6
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果存在实数N满足：
( x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) ( x1 1)] 2( x2 x1) .
( x1 1)( x2 1)
( x1 1)( x2 1)
单调性求最 值
12
由2 x1 x2 6, 得x2 x1 0, (x1 1）(x2 1) 0,
于是f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 ). 所以，函数 f（x）=是2区间[2,6]上的减函数.
9
分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意 就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值， 以及这个最大值是多少.
解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象. 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐 标就是这时距地面的高度.
10
由二次函数的知识，对于函数
值和最小值。 分析：这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正 值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的 增大而减少，也就是说这个函数在区间[2，6]上是减函数， 因此这个函数在定义的两个端点上取得最值.
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2
则f
( x1)
f
(D)a≤-3
2.已知函数f(x)=4x2-mx+1在(-∞，-2]上递减，在[-2,
+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域为__[_2_1_,_4_9_]____.
15
3.求函数 f (x) x2在区间[-1,3]上的最大值和最小值.
【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减 函数，在区间(0,3]上是增函数，最小值一定在x=0时取 得，最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的. 【答案】最大值是9，最小值是0.
对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等， 今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值
16
4.求函数f(x)=kx+2在区间[0,2]上的最大值和最小值. 【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一 次函数，再根据k>0,k<0时函数的单调性进行解答. 【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2； k>0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k<0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.
（1）对任意的 x I ，都有 f (x) N ；
（2）存在 x0 I ，使得 f (x0 ) N . 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.
7
探究点2 对函数最值的理解
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 x0 I ,
使得 f x0 M.并不是所有满足 f (x) M 的函数都有
第2课时 函数的最大值、最小值
1
1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点） 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）
2
观察下列函数的图象，找出函数图象上的最 高点或者最低点处的函数值.
最低点处的函数值是0.
最高点处的函数值是0.
3
函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点 处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数 f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有 f(x)≥f(0). 最小值的“形”的定义：当一个函数f(x)的图象有最低 点时，我们就说这个函数有最小值.当函数图象没有最低 点时，我们就说这个函数没有最小值.
5.求函数 f (x) x2 2ax 在区间[0,4]上的最小值.
h(t) 4.9t2 1我4.们7t有：18
当t 14.7 1.5时，函数有最大值 2 (4.9)
h 4 (4.9) 18 14.72 29. 4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m.
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例4.已知函数 f (x) 2 (x [2,6]) ，求函数f(x)的最大 x 1
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函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点 处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数 f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有 f(x)≤f(0) 函数最大值的“形”的定义：当函数图象有最高点时， 我们就说这个函数有最大值.当函数图象无最高点时， 我们就说这个函数没有最大值.
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求函数 f (x) 3x 在区间[-1,3]的最大值和最小值。
【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数. 【答案】最大值是9，最小值是-3.
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1.（2012·洛阳高一检测）函数f(x)=x2+4ax+2在区间
(-∞，6]内递减，则a的取值范围是( D )
(A)a≥3
(B)a≤3
(C)a≥-3
x-1
因此，函数 f（x）=在2区间[2,6]的两个端点上分别取得最大
x-1
值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在 x=6时取得最小值，最小值是0.4.
【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然 后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程 分为两个部分，证明函数在[2，6]上是减函数，求这个函 数的最大值和最小值.
最大值M.如函数 f (x) x, x (1,1) ,虽然对定义域上
的任意自变量都有 f (x) 1 ，但1不是函数的最大值.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函 数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小 的函数值.
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Fra Baidu bibliotek
探究点3 例题解析
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期 望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时 间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出 后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多 少（精确到1 m）？
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探究点1 函数最大（小）值的定义
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
请同学们仿此 给出函数最小
值的定义
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函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果存在实数N满足：
( x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) ( x1 1)] 2( x2 x1) .
( x1 1)( x2 1)
( x1 1)( x2 1)
单调性求最 值
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由2 x1 x2 6, 得x2 x1 0, (x1 1）(x2 1) 0,
于是f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 ). 所以，函数 f（x）=是2区间[2,6]上的减函数.
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分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意 就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值， 以及这个最大值是多少.
解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象. 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐 标就是这时距地面的高度.
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由二次函数的知识，对于函数
值和最小值。 分析：这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正 值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的 增大而减少，也就是说这个函数在区间[2，6]上是减函数， 因此这个函数在定义的两个端点上取得最值.
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2
则f
( x1)
f
(D)a≤-3
2.已知函数f(x)=4x2-mx+1在(-∞，-2]上递减，在[-2,
+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域为__[_2_1_,_4_9_]____.
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3.求函数 f (x) x2在区间[-1,3]上的最大值和最小值.
【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减 函数，在区间(0,3]上是增函数，最小值一定在x=0时取 得，最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的. 【答案】最大值是9，最小值是0.
对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等， 今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值
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4.求函数f(x)=kx+2在区间[0,2]上的最大值和最小值. 【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一 次函数，再根据k>0,k<0时函数的单调性进行解答. 【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2； k>0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k<0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.
（1）对任意的 x I ，都有 f (x) N ；
（2）存在 x0 I ，使得 f (x0 ) N . 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.
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探究点2 对函数最值的理解
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 x0 I ,
使得 f x0 M.并不是所有满足 f (x) M 的函数都有
第2课时 函数的最大值、最小值
1
1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点） 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）
2
观察下列函数的图象，找出函数图象上的最 高点或者最低点处的函数值.
最低点处的函数值是0.
最高点处的函数值是0.
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函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点 处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数 f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R，都有 f(x)≥f(0). 最小值的“形”的定义：当一个函数f(x)的图象有最低 点时，我们就说这个函数有最小值.当函数图象没有最低 点时，我们就说这个函数没有最小值.