MINITAB统计基础

MINITAB统计基础

1.正态总体的抽样分布

1)样本均值的分布——标准正态分布及T分布

样本标准差计算公式：

◆T分布的定义：Student t distribution，如果X服从标准正态分布，S2服从个自由度的卡方分布，且

它们相互独立，那么随机量

所服从的分布称为个自由度的t分布。其分布密度函数为：

当时的极限分布即是标准正态分布，

当时就是Cauchy分布。

T分布只包含1个参数。数学期望和方差分别为0，（时期望不存在，方差不存在）。

我们常常用表示υ个自由度的t分布。MINITAB对于更一般的t分布还增加了一个“非中心参数”，当非中心参数为0时，就得到了我们现在所说的t分布。在用MINITAB计算时，只要注意这一点就行了。

自由度：可以简单理解为在研究问题中，可以自由独立取值的数据或变量的个数。

范例：

✧Z~N(0，1)，求Z=1.98时的概率密度。

计算----->概率分布----->正态分布----->概率密度----->输入常数1.98----->确定

概率密度函数

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1

x f( x )

1.980.0561831

✧。

计算----->概率分布----->正态分布----->累积概率----->输入常数2.4----->确定

累积分布函数

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1

x P( X <= x )

2.4 0.991802

✧Z~N(0，1)，求使得P(Z

计算----->概率分布----->正态分布----->逆累积概率----->输入常数0.95----->确定

逆累积分布函数

正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1

P( X <= x ) x

0.95 1.64485

✧自由度=12，求使得。

计算----->概率分布----->t分布----->逆累积概率----->输入自由度12----->输入常数0.95----->确定

逆累积分布函数

学生 t 分布，12 自由度

P( X <= x ) x

0.95 1.7822

✧自由度=12，求使得。

计算----->概率分布----->t分布----->累积概率----->输入自由度12----->输入常数3----->确定

累积分布函数

学生 t 分布，12 自由度

x P( X <= x )

3 0.994467

2)双样本均值差的分布

3)正态样本正态样本方差S2的分布——卡房卡方分布

若X1，X2，……,Xn是从正态总体中抽出的一组样本量为n的独立随机样本，记

已知时：

当未知时，用替后可以得到

其概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。

◆卡方分布的定义：把n个相互独立的标准正态随机变量的平方和称为自由度为n的卡方分布。它的密

度表达式为：

参数称为自由度。

卡方分布有向右的偏斜，特别在较小自由度情况下（越小，分布越偏斜）。我们常用表达自由度为的卡方分布。

卡方分布有很多用途，其中一项就是用来分析单个正态总体样本方差的状况；还可以用来进行分布的拟合优度检验，即检验资料是否符合某种特定分布；对于离散数据构成的列联表，也可以用来分析两个离散型因子间是否独立等。

◆卡方分布的性质

a)卡方分布的加法性：设X和Y彼此独立，且都服从卡方分布，其自由度分别为n1，n2。若令Z=X+Y，

则Z服从自由度为n1+n2的卡方分布。

b)若X，则，。

计算下列各卡方分布的相关数值：

✧自由度=10，求使得成立的x 值。

计算-----> 概率分布-----> 卡方分布-----> 逆累积概率-----> 自由度=10 -----> 常数=0.95 -----> 确定逆累积分布函数

卡方分布，10 自由度

P( X <= x ) x

0.95 18.307

✧自由度=10，求。

计算-----> 概率分布-----> 卡方分布-----> 累积概率-----> 自由度=10 -----> 常数=28 -----> 确定

累积分布函数

卡方分布，10 自由度

x P( X <= x )

28 0.998195

4)两个独立的正态样本方差之比的分布——F分布

两个独立的正态样本方差之比的分布是F分布。

设有两个独立的正态总体() 和() ，它们的方差相等。又设X1，X2，…，X n是来自()

的一个样本Y1，Y2，…，Y n是来自() 的一个样本，这两样相互独立。它们的样本方差之比是自由度为n-1和m-1的F分布：

n-1称为分子自由度；m-1为分母自由度；F分布的概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。

实际上，F统计量就是由两个卡方随机变量相除所构成的，如果，，且二者相互独立，则称二者比值的分布为F分布，即

其密度函数是：

F分布的应用非常广泛，尤其是在判断两正态总体方差是否相等以及方差分析（ANOVA）等问题上面。

✧计算F0.95（8，,18）的数值。

计算-----> 概率分布-----> F分布-----> 逆累积概率-----> 分子自由度=8 -----> 分母自由度=18 ----->

常数=0.95 ----->确定

逆累积分布函数

F 分布，8 分子自由度和 18 分母自由度

P( X <= x ) x

0.95 2.51016

2.参数的点估计

1)点估计的概念

用单个数值对于总体参数给出估计的方法称为点估计。

设Ɵ是总体的一个未知参数，X1，X2，…，X n是从总体中抽取的样本量为n的一个随机样本，那么用来估计未知参数Ɵ的统计量（X1，X2，…X n）称为Ɵ的估计量，或称为Ɵ的点估计。

我们总是在参数上方画一个帽子“∧”表示该参数的估计量。在工程中经常出现的点估计问题之最好结果是：

➢对于总体均值，；

➢对于总体方差，；

➢对于比率p ，，X是样本量为n的随机样本中我们感兴趣的那类出现的次数；

➢对于 1 - 2 ，=（两个独立随机样本均值之差）；

➢对于p1 - p2，估计为（两个独立随机样本比率之差）；

2)点估计的评选标准

3.参数的区间估计

设Ɵ是总体的一个待估参数，从总体中获得样本量为n 的样本是X1，X2，…，X n，对给定的显著性水平α（0﹤α﹤1），有统计量：ƟL= ƟL（X1，X2，…，X n）与ƟU= ƟU（X1，X2，…，X n），若对于任意Ɵ有P（ƟL≤Ɵ≤ƟU）= 1 - α，则称随机区间[ƟL，ƟU]是Ɵ的置信水平为1-α的置信区间，ƟL与ƟU分别称为置信下限和置信上限。

置信区间的大小表达了区间估计的精确性，置信水平表达了区间估计的可靠性， 1 - α是区间估计的可靠程度，而α表达了区间估计的不可靠程度。

在进行区间估计时，必须同时考虑置信水平与置信区间两个方面。对于置信区间的选取，一定要注意，决不能认为置信水平越大的置信区间就越好。实际上，置信水平定的越大，则置信区间相应也一定越宽，当置信水平太大时，则置信区间会宽得没有实际意义了。这两者要结合在一起考虑，才更为实际。通常我们取置信水平为0.95，极个别情况下可取0.99或0.90，一般不取其他的置信水平。

1)单正态总体均值的置信区间

当时，正态总体均值的置信区间有以下三种情况：

a)当总体方差已知时，正态总体均值的1 –α置信区间为：

式中，是标准正态分布的分位数，也就是双侧α分位数。例如α=0.05时，。

在MINITAB中，我们通过：统计-----> 基本统计量-----> 单样本Z来实现的。

由于实际情况中，已知标准差的情况很少见，因此我们这里重点关注的是标准差位置时的情况。

b)当总体方差未知时，用样本标准差S代替，此时正态总体均值的1 –α置信区间为：

式中，表示自由度为n – 1的t 分布的分位数，也就是t分布的双侧α分位数。

例如α=0.05时，样本量n = 16时，，其值略大于。