初三中考数学复习天天练--动点与折叠
2020年中考数学一轮复习 冲刺专题 动点和折叠问题 练习(含答案)
2020中考数学冲刺专题动点与折叠问题（含答案）（1）动点问题1. 如图①，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，动点P从点B从发，沿着B→C→D→A方向运动至点A处停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是()第1题图A. 当x＝2时，y＝43B. 平行四边形ABCD的面积是243C. 当x＝10时，y＝123D. 当y＝83时，x＝4答案：D2. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠A＝90°，点O是BC的中点．动点D从点B出发沿BA方向向A匀速运动，运动速度为1 cm/s，连接DO，过点O作OE⊥DO，交AC于点E，连接DE.设运动时间为x，△DOE的面积为y，则y(cm)关于x(s)的函数图象大致是()第2题图答案：D3. 如图①，在等边△ABC中，动点P从点A出发，沿三角形的边以每秒1个单位长度的速度沿A→C→B匀速运动，设点P运动的时间为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则t＝6 s时，△ABP的面积为()第3题图A. 23B. 43C. 4D. 8答案：A4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P以2 cm/s的速度从点A出发，沿折线AC→CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，若AC＝6 cm，BC＝8 cm.当点P运动5 s时，线段PD的长为________cm.第4题图答案：2.45. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是边AD上的一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AC＝10，则PE＋PF的最大值为________．第5题图答案：10 26. 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP＋PQ的最小值为________．第6题图答案：337. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．第7题图答案：58. 如图，边长为23的菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且点E是BC的中点．连接BD，交AE于点F，点M是AD上的一个动点，连接MF，MC，则MF ＋MC的最小值是________．第8题图答案：279. 如图，O为矩形ABCD对角线AC、BD的交点，AB＝6，M、N是BC边上的动点，且MN＝2，则OM＋ON的最小值是________．第9题图10. 如图，等腰△ABC的底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM 周长的最小值为________cm.第10题图答案：8（2）几何图形的折叠1. 如图，在矩形ABCD中，把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕为AF.把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，则∠HAF＝________.第1题图45°2. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边上的A′处，若AB＝3，∠EF A＝60°，则四边形A′B′EF的周长是________．第2题图3.在如图所示的▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，将△ACD 沿对角线AC 折叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处，且AE 过BC 的中点O ，则△ADE 的周长等于________．第3题图答案：104. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，BC 边上有一点E ，BE ＝4，将纸片折叠，使A 点与E 点重合，折痕MN 交AD 于点M ，则线段AM 的长为________．第4题图答案：1325. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，cos B ＝34，点D 在BC 边上，将△ABD沿直线AD 翻折得到△AED ，点B 的对应点为点E ，AE 与BC 边交于点F .若BD ＝2，那么EF ＝________.第5题图答案：32156. 如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且∠AFG ＝60°，GE ＝2BG ，则折痕EF 的长为________．第6题图答案：27. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE .若DE ∥AC ，则AE 的长为________．第7题图答案：238. 如图，将面积为322的矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点A 的对应点为点P ，连接AP 交BC 于点E .若BE ＝2，则AP 的长为__________．第8题图 答案：16239. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB＝6，BE∶EC＝4∶1，则线段DE的长为________．第9题图答案：21010. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝6，在矩形边上有一点P，且DP＝3，将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为________．第10题图答案：62或210。
河南省2019年中考数学专题复习专题三 几何图形的折叠与动点问题训练(含答案)
专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE 并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE ＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB 中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为43或4.图①图②1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形，则DE＝________________.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．3．(2017·河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C 为直角三角形，则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′.当△BC′D是直角三角形时，DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝23＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝23，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD 为等腰三角形时，AP的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E为AC，BC 上两个动点．若将∠C沿DE折叠，点C的对应点C′恰好落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为__________．类型二点的位置不确定(2016·河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为________．【分析】 根据勾股定理，可得EB ′，根据相似三角形的性质，可得EN 的长，根据勾股定理，可得答案．【自主解答】 由翻折的性质，得AB ＝AB ′，BE ＝B ′E .①当MB ′＝2，B ′N ＝1时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋1.由△B ′EN ～△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 2＝x 2＋13，x 2＝45，BE ＝B ′E ＝45＋1＝355； ②当MB ′＝1，B ′N ＝2时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋22，△B ′EN ∽△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 1＝x 2＋43，解得x 2＝12，BE ＝B ′E ＝12＋4＝322，故答案为：322或355.1．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使D 点落在BC 边上的点E 处，折痕为GH .若点E 是BC 的三等分点，则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝9，点E 是AD 边上一动点，将边AB 沿BE 折叠，点A 的对应点为A ′.若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则AE 的长为__________．3．(2015·河南)如图，矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上时，DE 的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝8，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为__________．5．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，点P是AB上(不含端点A，B)任意一点，把△PBC 沿PC折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图，△ABC中，AB＝5，AC＝5，tan A＝2，D是BC中点，点P是AC 上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD 面积的一半，则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE －A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如解图所示．根据折叠可知：A ′E ＝AE ＝12AB ＝1.在Rt △BCE 中，BE ＝12AB ＝1，BC ＝3，∠B ＝90°，∴CE ＝BE 2＋BC 2＝10，∴A ′C 的最小值＝CE －A ′E ＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图，在边长为10的等边三角形△ABC 中，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，连接BA ′，则BA ′的最小值是__________．2．在矩形ABCD 中，AD ＝12，E 是AB 边上的点，AE ＝5，点P 在AD 边上，将△AEP 沿EP 折叠，使得点A 落在点A ′的位置，如图，当A ′与点D 的距离最短时，△A ′PD 的面积为________．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D .则当B ′D 取得最小值时，tan ∠BEF 的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练 1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E 在边AD 上时，过点E 作EF ⊥CD 于F ，如解图①，设CF ＝x ，第1题解图①∵∠ABC ＝30°，∴∠BCD ＝150°.∵△BCD ′是等边三角形，∴∠DCD ′＝90°.由折叠可知，∠ECD ＝∠D ′CE ＝45°，∵EF ＝CF ＝x ，在直角三角形DEF 中，∠D ＝30°，∴DE ＝2x ，∴DF ＝3x ，∴CD ＝CF ＋DF ＝x ＋3x ＝2，解得x ＝3x －1，∴DE ＝2x ＝23－2.(2)当E 在DA 的延长线上时，如解图②.第1题解图②过点B 作BF ⊥DA 于点F ，根据折叠可知，∠ED ′C ＝∠D ＝30°，又∵三角形BD ′C 是等边三角形，∴D ′E 垂直平分BC ，∵AD ∥BC .∴D ′E ⊥AD ，∵∠ABC ＝30°∴∠BAF ＝30°，又∵AB＝2，∴AF ＝ 3.令D ′E 与BC 的交点为G ，则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1，∴AE ＝3－1，∴DE ＝3＋1，综上所述，DE 的长度为3＋1或23－2.2.158或157【解析】在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC ＝3.沿直线EF 将∠B 折叠，使点B 恰好落在BC 上的D 处，当△ADE 恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE ＝DE ，设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝5－x ，①当∠ADE ＝90°时，则DE ∥BC ，∴DE CB ＝AE AB ，∴x 3＝5－x 5，解得x ＝158；②当∠AED ＝90°时，则△AED ∽△ACB ，∴DE BC ＝AE AC ，∴x 3＝5－x 4，解得x ＝157，故所求BE 的长度为：158或157.3.122＋12或1 【解析】①如解图①，当∠B ′MC ＝90°，B ′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM ＝12BC ＝122＋12；②如解图②，当∠MB ′C ＝90°，∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴∠C ＝45°，∴△CMB ′是等腰直角三角形，∴CM ＝2MB ′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点为B ′，∴BM ＝B ′M ，∴CM ＝2BM .∵BC ＝2＋1，∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1，∴BM ＝1，综上所述，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①，当A ′D ＝A ′C 时，∠A ′DC ＝∠A ′CD ＝30°，∴∠AA ′D ＝60°.又∵∠CAD ＝30°，∴∠ADA ′＝90°，在Rt △ADA ′中，AA ′＝AD cos 30°＝432＝833，由折叠可得AP ＝12AA ′＝433；图①图②第4题解图②如解图②，当CD ＝CA ′＝4时，连接BD 交AC 于O ，则Rt △COD 中，CO ＝CD ×cos 30°＝4×32＝23，∴AC ＝43，∴AA ′＝AC －A ′C ＝43－4，由折叠可得AP ＝12AA ′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示，点E 与点C ′重合时．在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE ，则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x ，则BD ＝4－x .在Rt △DBE中，DE 2＋BE 2＝DB 2，即x 2＋22＝(4－x )2.解得x ＝32.∴DE ＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB ＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC ′，∠C ＝∠AC ′D ＝90°.∵∠C ＝∠AC ′D ＝∠CDC ′＝90°，∴四边形ACDC ′为矩形．又∵AC ＝AC ′，∴四边形ACDC ′为正方形．∴CD ＝AC ＝3.∴DB ＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA .∴DE AC ＝DB CB ＝14，即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动，∠DBC ′＜90°，故∠DBC ′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或6 【解析】分两种情况：①如解图①，当∠CDM ＝90°，△CDM 是直角三角形，∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝23＋4，∴∠C ＝30°，AB ＝12AC ＝3＋2，由折叠可得，∠MDN ＝∠A ＝60°，∴∠BDN ＝30°，∴BN ＝12DN ＝12AN ，∴BN ＝13AB ＝3＋23，∴AN ＝2BN ＝233＋43，∵∠DNB ＝60°，∴∠ANM ＝∠DNM ＝60°，∴∠ANM ＝60°，∴AN ＝MN ＝23＋43.②如解图②，当∠CMD ＝90°时，△CDM 是直角三角形，由题可得∠CDM ＝60°，∠A ＝∠MDN ＝60°，∴∠BDN ＝60°，∠BND ＝30°，∴BD ＝12DN ＝12AN ，BN ＝3BD ，又∵AB＝3＋2，∴AN ＝2，BN ＝3，过N 作NH ⊥AM 于H ，则∠ANH ＝30°，∴AH ＝12AN ＝1，HN ＝3，由折叠可得∠AMN ＝∠DMN ＝45°，∴△MNH 是等腰直角三角形，∴HM ＝HN ＝3，∴MN ＝6，故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C ＝90°，BC ＝23，AC ＝2，∴tan B ＝AC BC ＝223＝33，∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B ′D ′E 的位置，B ′D 交AB 于点F ，∴DB ＝DC ＝3，EB ′＝EB ，∠DB ′E ＝∠B ＝30°.设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，EB ′＝4－x ，当∠AFB ′＝90°时，在Rt △BDF 中，cos B ＝BF BD ，∴BF ＝3cos 30°＝32，∴EF ＝32－(4－x )＝x －52.在Rt △B ′EF 中，∵∠EB ′F ＝30°，∴EB ′＝2EF ， 则4－x ＝2(x －52)，解得x ＝3，此时AE 为3；第7题解图当∠FB ′A ＝90°时，作EH ⊥AB ′于H ，连接AD ，如解图，∵DC ＝DB ′，AD ＝AD ，∴Rt △ADB ′≌Rt △ADC ，∴AB ′＝AC ＝2.∵∠AB ′E ＝∠AB ′F ＋∠EB ′F ＝90°＋30°＝120°，∴∠EB ′H ＝60°.在Rt △EHB ′中，B ′H ＝12B ′E ＝12(4－x )，EH ＝3B ′H ＝32(4－x )，在Rt △AEH中，∵EH 2＋AH 2＝AE 2，∴34(4－x )2＋[12(4－x )＋2]2＝x 2，解得x ＝145，此时AE 为145.综上所述，AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∠DAC ＝∠BAC .∵EF ⊥AA ′，∴∠EPA ＝∠FPA ′＝90°，∴∠EAP ＋∠AEP ＝90°，∠FAP ＋∠AFP ＝90°，∴∠AEP ＝∠AFP ，∴AE ＝AF .∵△A ′EF 是由△AEF 翻折，∴AE ＝EA ′，AF ＝FA ′，∴AE ＝EA ′＝A ′F ＝FA ，∴四边形AEA ′F 是菱形，∴AP ＝PA ′.①当CD ＝CA ′时，∵AA ′＝AC －CA ′＝3，∴AP ＝12AA ′＝32.②当A ′C ＝A ′D 时，∵∠A ′CD ＝∠A ′DC ＝∠DAC ，∴△A ′CD ∽△DAC ，∴A′C AD ＝DC AC，∴A ′C ＝258，∴AA ′＝8－258＝398，∴AP ＝12AA ′＝3916，故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①，当∠ADC ′＝90°时，∠ADC ′＝∠C ，第9题解图①∴DC ′∥CB ，∴△ADC ′∽△ACB .又∵AC ＝3，BC ＝4，∴AD DC′＝34，设CD ＝C ′D ＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝34，解得x ＝127，经检验：x ＝127是所列方程的解，∴CD ＝127；②如解图②，当∠DC ′A ＝90°时，∠DCB ＝90°，第9题解图②由折叠可得，∠C ＝∠DC ′E ＝90°，∴C ′B 与CE 重合，由∠C ＝∠AC ′D ＝90°，∠A ＝∠A ，可得△ADC ′∽△ABC ，在Rt △ABC 中，AB ＝5，∴AD C′D ＝AB CB ＝54，设CD ＝C ′D ＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝54，解得x ＝43，∴CD ＝43.综上所述，CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝9－x ，当BE ∶EC ＝2∶1时，BC ＝9，∴CE ＝13BC＝3.在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.当BE ∶EC＝1∶2时，CE ＝23BC ＝6.在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝62＋x 2，解得：x ＝52，即CH ＝52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图，过点A ′作A ′M ⊥AD 于M 交BC 于N ，则四边形ABNM 是矩形，∴AB ＝MN ＝4.∵若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，∴A ′M ＝1，A ′N ＝3或A ′M ＝3，A ′N ＝1.①当A ′M ＝1，A ′N ＝3时，在Rt △BA ′N 中，BN ＝42－32＝7，∴AM ＝BN ＝7.由△A ′EM ～△BA ′N ，∴EM A′N ＝A′M BN ，∴EM 3＝17，∴EM ＝377，∴AE ＝477；②当A ′M ＝3，A ′N ＝1时，同理可得AE ＝4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图，连接BD ′，过D ′作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D ′P ⊥BC 交BC 于点P .∵点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上，∴MD ′＝PD ′.设MD ′＝x ，则PD ′＝BM ＝x ，∴AM ＝AB －BM ＝7－x ，又由折叠图形可得AD ＝AD ′＝5，∴x 2＋(7－x )2＝25，解得x ＝3或4，即MD ′＝3或4.在Rt △END ′中，设ED ′＝a ，①当MD ′＝3时，AM ＝7－3＝4，D ′N＝5－3＝2，EN ＝4－a ，∴a 2＝22＋(4－a )2，解得a ＝52，即DE ＝52；②当MD ′＝4时，AM ＝7－4＝3，D ′N ＝5－4＝1，EN ＝3－a ，∴a 2＝12＋(3－a )2，解得a ＝53，即DE ＝53.综上所述，DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①，当点F 在矩形内部时，∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上，∴AN ＝4.∵AF ＝AD ＝5，由勾股定理得FN ＝3，∴FM ＝2.设DE 为x ，则EM ＝4－x ，FE ＝x ，在△EMF 中，由勾股定理，得x 2＝(4－x )2＋22，∴x ＝52，即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②，当点F 在矩形外部时，同①的方法可得FN ＝3，∴FM ＝8，设DE 为y ，则EM ＝y －4，FE ＝y ，在△EMF 中，由勾股定理，得y 2＝(y －4)2＋82，∴y ＝10，即DE 的长为10.综上所述，点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上，如解图①，∵在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6∴∠ABC ＝90°，AC ＝BD ，∴AC ＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质，得PC ⊥BB ′，∴∠PBD ＝∠BCP ，∴△BCP ∽△ABD ，∴BP AD ＝BC AB ，即BP 6＝68，解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上，如解图②，根据折叠的性质，得BP ＝B ′P ，∠B ＝∠PB ′C ＝90°，∴∠AB ′A＝90°，∴△APB ′∽△ACB ，∴B′P BC ＝AP AC ，即BP 6＝8－BP 10，解得BP ＝3，故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－5 【解析】分两种情况：①当点B ′在AC 的下方时，如解图①，∵D 是BC 中点，∴S△BPD＝S△PDC，∵S△PDF＝12S△BPD，∴S△PDF＝12S△PDC.∴F是PC的中点，∴DF是△BPC的中位线，∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折叠得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB＝BD，过B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，tan A＝BEAE＝2，∵AB＝5，∴AE ＝1，BE＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC＝BE2＋EC2＝22＋42＝25，∵D为BC的中点，∴BD＝5，∴PB＝BD＝5，在Rt△BPE中，PE＝1，∴AP＝AE＋PE＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC的上方时，如解图②，连接B′C，同理得：F是DC的中点，F是PB′的中点，∴DF＝FC，PF＝FB′，∴四边形DPCB′是平行四边形，∴PC＝B′D＝BD＝5，∴AP＝5－5，综上所述，AP的长为2或5－ 5.7．8＋23或8－23【解析】由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，BEC′E＝2，∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时，如解图①，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC，∴∠HFE ＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，∴GF＝23，∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时，如解图②，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，∴AF＝BG，FG＝AB＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG中，GE＝2 3.∵BE＝8，∴BG＝8－23，∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图，连接BE .第1题解图∵AB ＝BC ＝AC ＝10，∴∠C ＝60°.∵AB ＝BC ，E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC .∴BE ＝BC 2－EC 2＝102－52＝5 3.∵AC ＝10，E 是AC 边的中点，∴AE ＝5.由翻折的性质可知A ′E ＝AE ＝5.∵BA ′＋A ′E ≥BE ，∴当点B 、A ′、E 在一条直线上时，BA ′有最小值，最小值＝BE －A ′E ＝53－5. 2.403【解析】连接DE ，DE ＝52＋122＝13，∵将△AEP 沿FP 折叠，使得点A 落在点A ′的位置，∴EA ′＝EA ＝5，∵A ′D ≥DE －EA ′第2题解图(当且仅当A ′点在DE 上时，取等号)，∴当A ′与点D 的距离最短时，A ′点在DE 上，∴DA ′＝13－5＝8，设PA ′＝x ，则PA ＝x ，PD ＝12－x ，在Rt △DPA ′中，x 2＋82＝(12－x )2，解得x ＝103，∴△A ′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt △ADE 中，DE ＝22＋42＝25，当B ′在ED 上时，B ′D 最小，在ED 上截取EB ′＝EB ＝2，连接B ′F ，FD ，则B ′D ＝ED －EB ′＝25－2，设BF ＝x ，则B ′F ＝x ，CF ＝4－x ，在Rt △B ′FD 和Rt △FCD 中，利用勾股定理，可得DB ′2＋B ′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2，即(25－2)2＋x 2＝(4－x )2＋42，解得x ＝5＋1，∴Rt △BEF 中，tan ∠BEF ＝BF BE ＝1＋52.第3题解图 4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，第4题解图∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，作⊙D ; 连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF 值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD ＝BD ＝3；而AC ＝4，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∴AD ＝5，而FD ＝3，∴FA ＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过F 作FH ⊥BC 于H ，∵∠ACB ＝90°，∴FH ∥AC ，∴△DFH ∽△DAC ，∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF ＝125，DH ＝95，∴BH ＝245，∴BF ＝BH 2＋HF 2＝1255.。
初三数学折叠练习题
初三数学折叠练习题数学是一门需要反复练习和掌握技巧的学科，特别是对于初三学生而言，数学的学习更加需要注重基础知识的巩固和运用的灵活性。
折叠练习题是一种常见的训练方法，通过将图形进行折叠来观察和推理数学问题。
下面是一些初三数学折叠练习题，希望能够帮助同学们加深对数学知识的理解和运用。
练习一：正方形对折1. 将一张正方形纸张对折，然后再对折。
最终纸张变为四个小正方形，请问每个小正方形的边长是多少？解析：我们可以通过折叠来观察和推理。
首先将正方形的上下两边对折，得到一条折痕。
然后再将左右两边对折，得到另一条折痕。
此时，纸张被折痕分成了四个小正方形，它们的边长都相等。
假设原正方形的边长为a，则第一个小正方形的边长为a/2，第二个小正方形的边长为a/2，第三个小正方形的边长也是a/2，第四个小正方形的边长也是a/2。
因此，每个小正方形的边长都是原正方形边长的一半，即a/2。
练习二：长方体的折叠2. 将一张长方形纸张对折，然后再对折，最后再对折。
最终纸张变成了一个长方体，请问纸张的长、宽、高分别是多少？解析：这个问题涉及到三次对折，我们可以通过折叠来观察和推理。
首先将纸张的上下两边对折，得到一条折痕。
然后再将左右两边对折，得到另一条折痕。
最后再将纸张的上下两边对折，得到第三条折痕。
此时，我们可以发现纸张被折痕分成了六个小矩形，它们的边长、宽、高都不相等。
假设原长方形的长为L，宽为W，则第一个小矩形的长为L/2，宽为W/2，高为W/2；第二个小矩形的长为L/2，宽为W/2，高为W/2；第三个小矩形的长为L/2，宽为W/2，高为L/2；第四个小矩形的长为L/2，宽为W/2，高为L/2；第五个小矩形的长为W/2，宽为L/2，高为W/2；第六个小矩形的长为W/2，宽为L/2，高为W/2。
因此，纸张的长、宽、高分别为L/2、W/2、L/2。
练习三：平行四边形的折叠3. 将一张平行四边形纸张对折，然后再对折，最后再对折。
九年级数学专题复习图形的折叠和动点问题
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的剪拼问题例1．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下(如图所示)：请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；(2)对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．举一反三：【变式】把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（）A． B． C． D．类型二、实践操作例2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．例3．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B＝90°，∠C＝60°，∠A＝30°，BC＝6 cm；图②中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐________．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD＝15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．举一反三：【变式】如图，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6,CD=BC=4，BC⊥OB于B,以O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处.为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在求出直线的解析式,若不存在，请说明理由.类型三、平移旋转型操作题例4．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：(1)如图所示，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF 的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积．(2)如图所示，当D点移动到．AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．(3)如图所示，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB 边上，此时，点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值．类型四、动态数学问题例5．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O 出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）当t为何值时，S△BCD=？举一反三：【变式】如图，平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P从点A出发沿折线AB-BC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当P与C重合时停止运动，过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q．设P 运动时间为t秒，直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S．求S关于t的函数解析式．【巩固练习】一、选择题1. 将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（ ）A ．1080°B ．360°C ．180°D ．900°3. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B ′处.得到Rt △AB ′E （图乙），再延长EB ′交AD 于F ，所得到的△EAF 是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则CE 的长是（ ）A 、10315-B 、1053-C 、535-D 、20103-二、填空题5.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=22,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE 和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是cm．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图(2)所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图(3)所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4)，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图(4)中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．9. 如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．(1)如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；(3)如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11.在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE 在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. 已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．。
中考专题复习：几何图形折叠和动点问题.doc
几何图形的折叠与动点问题类型一点位置不确定1. 如图，矩形纸片ABCD 屮，AB=4, AD=6,点、P 是边EC 上的动点，现将纸 片折叠，使点4与点P 重合，折痕与矩形边的交点分别为E 、F,要使折痕始终 与边AB 、AD 有交点，则的取值范围是 ____________2. （2017呼和浩特改编）如图，在期BCD 中，ZB=30° , AB=AC f O 是两条对 角线的交点，过点O 作AC 的垂线分别交边AD. BC 于点E 、点M 是边4B 的一个三等分点.则AAOE 与的面积比为 __________________ ・第2题图 第3题图3. 如图，在矩形ABCD 中，AB=2f BC=4, F 为线段BC 上的一动点，且不和B 、C 重合，连接刚，过点F 作FELFA 交CD 所在直线于点E,将AFEC 沿FE 翻折到ZXFEG 位置，使点G 落到AD±,则BF= ___________ ・ 4. 如图，在矩形ABCD 中，AB=6, AD=2书,E 是AB 边上一点，AE=2,F 是直线CD 上一动点，将AAEF 沿肓线EF 折叠，点A 的对应点为点",当点 E 、A'、C 三点在一条直线上时，DF 的长度为 __________第1题图5.（2017开封模拟）如图，在边长为30的等边AABC中，点M为线段AB上一动点，将等边AABC沿过点M的直线折叠，直线与AC交于点N,使点A落在直线BC的点D处，口BD： DC=1 ： 4,设折痕为MM 则AN的长为__________ .6.如图，在矩形ABCD中，BC=6, CD=8,点、P是AB上（不含端点A, B）任意一点，把APBC沿PC折叠，当点B的对应点落在矩形ABCD对角线上吋，BP= ________ ・第6题图第7题图7•如图，在矩形ABCD中，AD=5, AB=8,点、E为DC上的一个动点，把△ADE 沿直线AE折叠，当点D的对应点D'恰好落在线段4B的垂直平分线上吋，DE 的长为试题演练1・6—2书WBPW4【解析】①如解图①，当F 、D 重合时，肿的值最小，根 据折叠的性质可知AF=PF=6,在RtAPFC 屮，PF=6, FC=4,则PC=2y[5, ・・・BP=6—2品②如解图②，当E 、B 重合时，BP 的值最大，根据折叠的性质 即可得到AB=BP=4,即BP 的最大值为4.故BP 的取值范围是6_2逛WBPW第1题解图2.3 ： 4 或 3： 8 【解析】如解图，连接 AF 、MF, 9：AB=AC, ZB=30° , Z. ZACE=ZB =30° ,・・•点 O 是对角线的交点，EFA.AC, :.AF=FC, :. ZACB = ZFAC =30° , :.ZFAB=90° , :.BF=2AF=2FC,・.•点 M 为 AB 的三等分点，女口解图①，当 时，设 S HBMF =Q ，则 S/\ABF =3CI , . _ 3cz . _ 3(7 • • -- - ，• • =\AOE2 4综上所述：AAOE 与的面积比为3 ： 4或3 : 8.图① 图②(E)E P C图②:.S'AOE • —:a=3 : 4.则 AAOE 与△BMF 4 的面积比为3 : 4；如解图②，当时2o=3 : 8.第2题解图23•亍或2【解析】过点尸作FH丄AD于H,如解图，设BF=x,则CF=4—兀,•・・FE丄朋，・・・Z2+Z3 = 90。
中招数学专题复习运动变化与折叠问题
学科融合教学设计表段AB关于y轴对称的线段A'B'，并写出点A'，B'的坐标。
功能分析:问题1要求在平面直角坐标系中作轴对称图形,对应七年级下册“生活中的轴对称”内容。
问题1的主要功能,首先表现为数形结合的数学思想,从“数”的角度认识轴对称变换，点A与对称点A’到对称轴(y轴)的距离相等,在平面直角坐标系中表现出一对对称点的坐标之间具有特殊的数量关系。
其次通过实践作图,揭示轴对称的本质特征,对应点的连线被对称轴垂直平分,进一步巩固学生对轴对称变换的理解。
教学示范:让学生动手画图,感受图形的直观性，理解数的特征,并尝试说明作图的过程,鼓励学生说说作图后图形具有哪些特征即轴对称变换的性质--在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等，对应角相等。
（2）图形再造，发散思维问题2：如图3，在△ABC中，将△ABC沿直线MN折叠，使点C与点B重合，联结BM。
(1)若∠A=80°，∠C=40°，则∠ABM=_____;(2)若AB=5,AC=8,则△ABM的周长为_____;(3)若∠A=90°,AB=3,AC=4,则MN=__。
问题3:如图1，在矩形ABCD中,AD=5,AB=4，点P为AB上一点，沿直线PC 将△BCP翻折至△FCP,点B落在点F处。
(1)当点P与点A重合时，CF交AD于点G,求证:AG=CG。
(2)当点F落在AD边上时,利用尺规作图作出符合条件的图形。
(3)如图2,当点F落在AD边上时,求折痕CP的长。
(4)如图7,当点P在AB上移动时，联结AF，则 AF的最小值为？答案:(1)略。
(2)如图所示 (3)CP=5/2（5）AF的最小值为-5（4）课堂小结，布置作业你说我说大家说本节你学到了哪些知识？哪些方法？收获了什么？五、技术融合点解读在学情分析中利用白板对主题图进行展示在学法指导中，学生在多媒体上操作直观，更容易总结和发现问题，在投影使用中混合学习环境活动设计这一微能力点。
中考数学专题复习学案：折叠类题目中的动点问题含答案
专题：折叠类题目中的动点问题折叠问题是中考的热门也是难点问题，平时与动点问题联合起来，这种问题的题设平时是将某个图形按必定的条件折叠，经过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似三角形性质、三角函数等知识进行解答。
此类问题立意新奇，充满着变化，要解决此类问题，除了能依据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。
种类一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值例 1.着手操作：在矩形纸片ABCD 中， AB=3，AD =5.如图例1-1所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A’处，折痕为PQ ，当点在BC边上挪动时，折痕的端点、也随之挪动 . 若限制点、分别在、边上挪动，则点A’A ’P Q P Q AB AD在 BC 边上可挪动的最大距离为.图例 1-1【答案】 2.【分析】此题依据题目要求正确判断出点A'的最左端和最右端地点.当点Q与点D重合时，A '的地点处于最左端，当点P 与点 B 重合时，点 A'的地点处于最右端. 依据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种状况下的BA'或 CA'的长度，两者之差即为所求.①当点 Q 与点 D 重合时， A '的地点处于最左端，如图例1-2 所示 .确立点 A'的地点方法：由于在折叠过程中， A 'Q= AQ ，因此以点 Q 为圆心，以 AQ 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '.再作出∠ A' QA 的角均分线，与AB 的交点即为点P.图例 1-2图例1-3由折叠性质可知，AD = A' D=5，在 Rt△A' CD 中，由勾股定理得，A'C A' D2CD252324②当点 P 与点 B 重合时，点A'的地点处于最右端，如图例1-3 所示 .确立点 A'的地点方法：由于在折叠过程中， A 'P= AP，因此以点P 为圆心，以AP 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '.再作出∠ A' PA 的角均分线，与AD 的交点即为点Q.由折叠性质可知，AB= A' B=3，因此四边形AB A' Q 为正方形.因此 A'C= BC－A'B=5－3=2.综上所述，点 A 挪动的最大距离为4－2=2.故答案为： 2.【点睛】此类问题难度较大，主要观察学生的分析能力，作图能力。
中考数学专题复习四边形中的折叠剪切旋转与动点最值问题精编版
中考数学专题复习四边形中的折叠剪切旋转与动点最值问题GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-C DEBA图②中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题一、折叠、剪切类问题 1、折叠后求度数（1）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950（2）如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°（3）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝____________度.2、折叠后求长度图①（1）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．A 、3B 、2C 、3D 、32（2）如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ）（A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D ）20103-（3）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm（4）如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘ABCDEFNMFEDCBA米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.（5）如图，是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD =（6）如图（1），把一个长为m 、宽为n 的长方形（m n >）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A ．2m n - B ．m n - C ．2mD ．2n3、折叠后求面积（1）如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10m nnn （2（1（2）如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．10（3）如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。
中考数学复习动点折叠类问题函数及其综合折叠与全等解析版
例3.（2019·临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G,连接AG，作GH ⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH，显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线，仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由.
【答案】见解析.
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠B=90°，
由折叠知：△ADE≌△AFE，
∴AD=AF=AB，∠AFG=90°，
在Rt△AGB和Rt△AGF中，
∵AG=AG，AF=AB，
∴Rt△AGB≌Rt△AGF，
∴∠6=∠7，∠3=∠4，
即AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；
∵∠AGH=90°，
∴∠6+∠HGC=90°，∠7+∠EGH=90°，
∴∠HGC= EGH，
即GH是∠EGC的平分线；
过H作HN⊥BM于N，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴∠GAH=2+∠3=45°，
∴AG=GH，
∴△ABG≌△GNH，
∴NH=BG，GN=AB=BC，
∴GN－GC= BC－GC,
即BG=CN=NH，
∴∠HCN=45°，∠DCH=45°，
即CH是∠DCM的平分线.。
中考数学考前专题复习几何图形的折叠和动点问题
中考数学考前专题复习几何图形的折叠和动点问题学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图，已知//AD BC，AB BC⊥，3AB=，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将ABE△沿AE折叠，点B落在点B'处，过点B'作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B'为线段MN的三等分点时，BE的长为（）A．32B．322C．32或322D．322或355 2．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB43=，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D处，当APD'△是直角三角形时，PD的值为（）A．23或67B．83或247C．83或307D．103或187 3．如图菱形OABC，在平面直角坐标系中，点A(8，0)，∠C＝60°，点P为OA上的一点，且点P(3，0)，Q是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线PQ折叠，O的对应点O'，当BO'的长度最小时，则点Q的坐标为（）A．(﹣1，43)B．(﹣2，43)C．(﹣3，43)D．(0，43)4．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD折叠后，A点的对应点A'落在CD边上，EF为折痕，A A'和EF交于G点，当AG+BG取最小值时，此时EF的值为（）A．154B．32C．213D．55．如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝10，AD＝12，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3），给出四个结论：∠AF的长为10；∠BGH的周长为18；∠23BGGF=；∠GH的长为5．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．如图，矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点E是AB边上一点，且AE＝2，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（）A．32B．43C．54D．3评卷人得分二、填空题7．如图，腰长为22+2的等腰ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与ABC的某一条腰垂直时，BD的长为_______．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM13=AD，BN13=BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将DCE沿DE所在直线翻折得到DC E'，当点C'恰好落在直线MN上时，tan∠DEC的值是_______．9．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AB＝x，点E在边CD上，且CE59=x，将BCE 沿BE折叠，若点C的对应点C'落在矩形ABCD的边上，则x的值为_______．10．如图，等边ABC的边长为8，点P是AB边上的一点，且PB＝6，直线l经过点P，把ABC沿直线l折叠，点B的对应点为点B'，在直线l变化的过程中，则ACB'△面积的最大值为_______．11．如图，等边ABC 的边长为6，点D 是AB 上一动点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，将BDE 沿着DE 翻折得到B DE '，连接AB '，则AB '的最小值为________．12．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC ＝4，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点将AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA '，CA '，则CGA '△的周长的最小值为________．13．如图，矩形ABCD 中，22AB =，4=AD ，点E 是AB 的中点，点F 是直线BD 上的一动点，将BEF 沿EF 所在直线翻折，得到B EF '，则B C '长的最小值是______．14．如图，在ABC 中，AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝120°，点E 是AB 边上不与端点重合的一个动点，作ED ∠BC 交BC 于点D ，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为F ，当ACF 为直角三角形时，则BE 的长为_______．15．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠ADC ＝60°，将平行四边形ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D 处，折痕交CD 边于点E ．若点P 是直线l 上的一个动点，则PD '+PB 的最小值_______．16．矩形纸片OABC，长AB ＝8cm ，宽AO ＝4cm ，折叠纸片，使折痕经过AB 上点D ，点A 落在点A '处，展平后得到折痕OD ，同时得到线段OA '，DA '，不再添加其它线段，当图中存在30°角时，A '的坐标为________．17．如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，23BC =，AC ＝2，点D 是BC 的中点，点E 是边AB 上一动点，沿DE 所在直线把BDE 翻折到B DE '的位置，B D '交AB 于点F ．（1）连接AD ，若AB B F ''⊥，则∠ADE ＝________； （2）若AB F '为直角三角形，则AE 的长为________．18．如图，折叠矩形纸片ABCD 时，进行如下操作：∠把△BCE 翻折使点B 落在DC 边上的点F 处，折痕为CE ，点E 在AB 边上；∠把纸片展开并铺平；∠把△CDH 翻折使点D 落在线段AE 上的点G 处，折痕为CH ，点H 在AD 边上．若13DH DC =，BC =6，则EG 的长为______．19．在五边形纸片ABCDE中，AB＝2，∠A＝120°，将五边形纸片ABCDE沿BD折叠，点C落在点P处；在AE上取一点Q，将ABQ，EDQ分别沿BQ，DQ折叠，点A，E恰好落在点P处，如图1．（1）∠BPQ＝______°；（2）∠BCD+∠QED＝_______°；（3）如图2，当四边形BCDP是菱形，且Q，P，C三点共线时，BQ＝_______．20．如图，矩形纸片ABCD，AD＝12，AB＝4，点E在线段BC上，将∠ECD沿DE向上翻折，点C的对应点C′落在线段AD上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向上翻折，点B恰好落在线段DE的中点B′处．则线段MN的长____．参考答案：1．D【解析】【分析】因为点'B为线段MN的三等分点，没有指明线段'B M的占比情况，所以需要分两种情况讨论：∠1'3B M MN=；∠2'3B M MN=．然后由一线三垂直模型可证'AMB∠'B NE，再根据相似三角形的性质求得EN的值，最后由BE BN EN=-即可求得BE的长．【详解】当点'B为线段MN的三等分点时，需要分两种情况讨论：∠如图1，当1'3B M MN=时，∠AD∠BC，AB BC⊥，MN BC⊥，∠四边形ABNM为矩形，∠11'133B M MN AB===，22'233B N MN AB===，BN AM=．由折叠的性质可得'3A B AB==，'90AB E ABC∠=∠=︒．在'Rt AB M中，'2222'3122AM AB B M=-=-=．∠''90AB M MAB∠+∠=︒，''90AB M EB N∠+∠=︒，∠''EB N MAB∠=∠，∠'B NE∠'AMB，∠''EN B N B M AM =，即 2122EN =，解得 22EN =， ∠2322222BE BN EN =-=-=． ∠如图2，当2'3B M MN =时， ∠AD ∠BC ，AB BC ⊥， MN BC ⊥， ∠四边形ABNM 为矩形， ∠22'233B M MN AB ===， 11'133B N MN AB ===， BN AM =． 由折叠的性质可得'3AB AB ==，'90AB E ABC ∠=∠=︒． 在'Rt AB M 中，2222''325AM AB B M =-=-=． ∠''90AB M MAB ∠+∠=︒， ''90AB M EB N ∠+∠=︒， ∠''EB N MAB ∠=∠， ∠'B NE ∠'AMB ， ∠''EN B N B M AM =，即 125EN =，解得255EN =，∠2535555BE BN EN =-=-=． 综上所述，BE 的长为322或 355．故选：D ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由'B 为线段MN 的三等分点，分两种情况讨论线段'B M 的占比情况，以及利用K 型相似进行相关计算是解决此题的关键． 2．B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到AB ＝CD ，∠B ＝90°，根据勾股定理求得AE ，当∠APD '是直角三角形时，分两种情况分类计算即可； 【详解】∠四边形ABCD 是矩形， ∠AB ＝CD ，∠B ＝90°，∠CD ＝4，tan∠AEB 43=，∠BE ＝3， 在Rt ∠ABE 中，AE 2222345AB BE =+=+=， ∠E 是BC 的中点， ∠AD ＝6，由折叠可知，PD ＝PD '，设PD ＝x ，则PD '＝x ，AP ＝6﹣x ， 当∠APD '是直角三角形时， ∠当∠AD 'P ＝90°时， ∠∠AD 'P ＝∠B ＝90°， ∠AD ∠BC ， ∠∠P AD '＝∠AEB ， ∠∠ABE ∠∠PD 'A ， ∠AP PD AE AB'=， ∠654x x-=， ∠x 83=，∠PD 83=；∠当∠APD '＝90°时， ∠∠APD '＝∠B ＝90°， ∠∠P AE ＝∠AEB ， ∠∠APD '∠∠EBA ， ∠AP PD BE AB'=， ∠634x x-=， ∠x 247=， ∠PD 247=； 综上所述：当∠APD '是直角三角形时，PD 的值为83或247；故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．3．C【解析】【分析】连接BP，设BC交y轴于T，首先求出PB的长，由题意，当点O′落在BP上时，BO′的值最小，此时∠OPQ＝∠QPB，证明BQ＝BP＝7，可得结论；【详解】如图，连接BP，设BC交y轴于T．∠A（8，0），四边形OABC是菱形，∠OA＝OC＝BC＝8，∠∠C＝60°，∠OTC＝90°，∠CT12=OC＝4，OT22228443OC CT=-=-=，∠B（4，43），∠P（3，0），∠PB()221437=+=，∠OP＝PO′＝3，∠当点O′落在BP上时，BO′的值最小，此时∠OPQ＝∠QPB，∠BC∠OA，∠∠BQP＝∠OPQ，∠∠BPQ＝∠BQP，∠BQ＝BP＝7，∠CQ＝BC﹣BQ＝8﹣7＝1，∠Q（﹣3，43）；故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形对称变化，翻折变换，等边三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．4．A【解析】【分析】过点G作GM AD⊥于M，由翻折的性质知点G为AA'的中点，则GM为ADA'∆的中位线，可知G在GM上运动，当AG BG+取最小值时，此时A'与C重合，利用勾股定理和相似求出EG的长即可解决问题．【详解】解：过点G作GM AD⊥于M，将矩形ABCD折叠后，A点的对应点A'落在CD边上，∴点G为AA'的中点，GM∴为ADA'∆的中位线，A'在CD上运动，G∴在GM上运动，∴当AG BG+取最小值时，此时A'与C重合，22345AA'=+=，52AG∴=，AGE ADC∠=∠，GAE DAC∠=∠，AGE ADC∴∆∆∽，∴EG CDAG AD=，∴3542EG =，158EG ∴=， 在BFG ∆和DEG ∆中，FBG EDG BG DG BGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()BFG DEG ASA ∴∆≅∆，EG GF ∴=，15152284EF EG ∴==⨯=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明G 在GM 上运动．5．C【解析】【分析】 根据题意过G 点作MN ∠AB ，交AD 、BC 于点M、N ，可知四边形ABEF 为正方形，可求得AF 的长，可判断∠，且∠BNG 和∠FMG 为等腰三角形，设BN =x ，则可表示出GN 、MG 、MD ，利用折叠的性质可得到CD =DG ，在Rt ∠MDG 中，利用勾股定理可求得x ，再利用∠MGD ∠∠NHG ，可求得NH 、GH 和HC ，则可求得BH ，容易判断∠∠∠，可得出答案．【详解】解：如图，过点G 作MN ∠AB ，分别交AD 、BC 于点M 、N ，∠四边形ABCD 为矩形，∠AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，由折叠可得AB＝BE，且∠A＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∠四边形ABEF为正方形，∠AF＝AB＝10，故∠正确；∠MN∠AB，∠∠BNG和∠FMG为等腰直角三角形，且MN＝AB＝10，设BN＝x，则GN＝AM＝x，MG＝MN﹣GN＝10﹣x，MD＝AD﹣AM＝12﹣x，又由折叠的可知DG＝DC＝10，在Rt∠MDG中，由勾股定理可得MD2+MG2＝GD2，即（12﹣x）2+（10﹣x）2＝102，解得x＝4，∠GN＝BN＝4，MG＝6，MD＝8，又∠DGH＝∠C＝∠GMD＝90°，∠∠NGH+∠MGD＝∠MGD+∠MDG＝90°，∠∠NGH＝∠MDG，∠∠DMG＝∠GNH，∠∠MGD∠∠NHG，∠MGNHMD DGGN GH==，即1486NH GH==，∠NH＝3，GH＝CH＝5，∠BH＝BC﹣HC＝12﹣5＝7，故∠正确；又∠BNG和∠FMG为等腰直角三角形，且BN＝4，MG＝6，∠BG＝42，GF＝62，∠∠BGH的周长＝BG+GH+BH＝42+5+7＝12+42，∠422362BGGF==，故∠不正确；∠正确；综上可知正确的为：∠∠∠.故选：C．【点睛】本题考查翻折及矩形的性质以及平行线性质和构造等腰直角三角形，利用方程思想在Rt∠GMD中得到方程，求得BN的长度是解题的关键．6．A【解析】【分析】先确定出EG AC⊥且E、G、H三点共线时，ACGS∆中高GH最小，所以ACGS∆最小．再利用三角函数求出EH的长，最后1GH EH=-得高．最后求得面积．【详解】解：四边形ABCD为矩形，3CD AB∴==，4AD BC==，90ABC D∠=∠=︒．由勾股定理得：22345AC=+=．3AB=，2AE=，∴点F在BC任意一点时，点G始终在AC下方，设点G到AC的距离为h．1522ACGS AC h h∆=⋅=．∴当h最小时，ACGS∆最小.点G是以点E为圆心，1BE=为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴当EG AC⊥时，GH h=最小，此时E、G、H三点共线，如图所示．4sin5BC EHBACAC AE∠===．48255EH∴=⨯=．83155h EH EG∴=-=-=．55332252ACGS h∆∴==⨯=．故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形性质，勾股定理，确定ACG∆面积的最小值时点G的位置是本题关键，点G的运动轨迹是圆，动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”结合“垂线段最短”的性质求解．7．2或22【解析】【分析】分两种情况：当CE ∠AB 时，设垂足为M ，在Rt ∠AMC 中，∠A ＝45°，由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5°，证明∠BCM ∠∠DCM ，得到BM ＝DM ，证明∠MDE 是等腰直角三角形，即可得解；当CE ∠AC 时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质计算即可；【详解】当CE ∠AB 时，如图，设垂足为M ，在Rt ∠AMC 中，∠A ＝45°，由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5°，∠等腰∠ABC 中，顶角∠A ＝45°，∠∠B ＝∠ACB ＝67.5°，∠∠BCM ＝22.5°，∠∠BCM ＝∠DCM ，在∠BCM 和∠DCM 中，90BMC DMC CM CM BCM DCM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BCM ∠∠DCM （ASA ），∠BM ＝DM ，由折叠得：∠E ＝∠A ＝45°，AD ＝DE ，∠∠MDE 是等腰直角三角形，∠DM ＝EM ，设DM＝x，则BM＝x，DE2=x，∠AD2=x．∠AB＝22+2，∠2x2x＝22+2，解得：x2=，∠BD＝2x＝22；当CE∠AC时，如图，∠∠ACE＝90°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°，∠等腰∠ABC中，顶角∠A＝45°，∠∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∠∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且∠ADC、∠DEC、∠ACE都是等腰直角三角形，∠AB＝AC＝＝22+2，∠AD22=AC＝22，BD＝AB﹣AD＝（22+2）﹣（22）2=，综上，BD的长为2或22．故答案为：2或22．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，注重分类讨论思想的运用是解题的关键．8．2或12【解析】【分析】分两种情况讨论：当E 点在B 点左侧时，求出tan ∠C 'DM =34，再求出∠C 'DM =∠EC 'M ，可求EN =6，CE =10，则tan ∠DEC =12CD EC =；当E 点在B 、C 之间时，设CE =x ，则NE =4-x ，在Rt ∠NEC '中，求出EC =52，则tan ∠DEC =CD EC=2． 【详解】解：如图1，当E 点在B 点左侧时，由折叠可知，CD ＝C 'D ，∠AB ＝5，BC ＝6，AM 13=AD ，BN 13=BC ，∠AM ＝2，BN ＝2，∠MD ＝4， 在Rt ∠DMC '中，C 'M 222516C D MD =-=-'=3，∠tan ∠C 'DM 34=， ∠∠C 'DM +∠MC 'D ＝90°，∠MC 'D +∠EC 'M ＝90°，∠∠C 'DM ＝∠EC 'M ，∠''tan tan C DM EC M ∠=，∠34EN C N '=， ∠348EN =， ∠EN ＝6，∠CE ＝10，∠tan ∠DEC 51102CD EC ===； 如图2，当E 点在B△C 之间时，由折叠可知，CD＝C'D＝5，∠MD＝4，∠C'M＝3，∠C'N＝2，设CE＝x，则C'E＝x，NE＝4﹣x，在Rt∠NEC'中，C'E2＝NE2+C'N2，∠x2＝(4﹣x)2+4，∠x52 =，∠EC52 =，∠tan∠DEC552CDEC===2；综上所述：tan∠DEC的值为2或12，故答案为：2或12．【点睛】本题考查图形的折叠，熟练掌握图形折叠的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．9．65或185【解析】【分析】分两种情况进行解答，即当点C'落在AD边上和点C'落在AB边上，分别画出相应的图形，利用翻折变换的性质，勾股定理进行计算即可．【详解】解：如图1，当点C'落在AD边上，由翻折变换可知，59CE C E x='=，5499DE CD CE x x x=-=-=，在Rt∠C DE'中，由勾股定理得，223193C D C E DE x x'='-==，123AC x∴'=-，在'Rt ABC△中，由勾股定理得，222AB AC AC+'='，即2221(2)23x x+-=，解得65x=，或0x=（舍去），如图2，当点C'落在AB边上，由翻折变换可知，四边形BCEC'是正方形，∴529x=，185x∴=，故答案为：65或185．【点睛】本题考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质以及勾股定理是解决问题的前提．10．24+43##43+24【解析】【分析】由对称性可知，PB＝PB'，过点P作PH∠AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△ACB'的面积最大，根据三角函数的定义求解即可得解；【详解】由对称性可知，PB＝PB'，∠B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，过点P作PH∠AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△ACB'的面积最大，∠∠BAC＝60°，PB＝6，AB＝8，∠AP＝2，在Rt∠APH中，PH＝AP•sin60°＝2332⨯=，∠B'H＝63+，∠S△AB'C12=⨯8×（63+）＝24+43；故答案为：24+43．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，准确计算是解题的关键．11．3【解析】【分析】先找出B'点变化的规律，可发现B'在∠ABC的角平分线上运动，故AB'取最小值时，B'点在AC中点上．【详解】如图，∠DE∠AC，∠ABC是等边三角形，∠∠BDE是等边三角形，折叠后的∠B′DE也是等边三角形，过B作DE的垂直平分线，∠BD＝BE，B′D＝B′E，∠BB′都在DE的垂直平分线上，∠AB′最小，即A到DE的垂直平分线的距离最小，此时AB′∠BB′，∠AB′=12AC=12×6＝3，即AB′的最小值是3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查等边三角形和垂直平分线的性质，掌握和理解等边三角形性质是本题关键．12．2102213-+【解析】【分析】连接AC交EF于G，连接A′G，此时∠CGA′的周长最小，最小值=A′G+GC+CA′=GA+GC+CA′=AC+CA′．当CA′最小时，∠CGA′的周长最小，求出CA′的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，连接AC交EF于G，连接A′G，连接EC，由折叠的性质可知A′G＝GA，此时∠A′GC的周长最小，最小值＝A′G+GC+CA′＝GA+GC+CA′＝AC+CA′．∠四边形ABCD是矩形，∠∠D＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝6，∠AC22=+=213，64∠∠A′CG的周长的最小值213=+CA′，当CA′最小时，∠CGA′的周长最小，∠AE＝DE＝EA′＝2，∠CE2262=+=210，∠CA′≥EC﹣EA′，∠CA′≥210-2，∠CA′的最小值为210-2，∠∠CGA′的周长的最小值为210-2213+，故答案为：2102213-+．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，最短路径问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．13．22【解析】【分析】如图，连接CE，根据折叠的性质可知B′E=BE，可知点B'在以E为圆心，BE为半径的圆上，当点B′在线段CE上时，B′C的长取最小值，在Rt∠BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE−B'E即可求出结论．【详解】∠22AB=，点E是AB的中点，∠BE=2，∠AD=4，∠2232CE BE BC=+=，∠将BEF沿EF所在直线翻折，得到B EF'，∠BE=B′E，∠点B'在以E为圆心，BE为半径的圆上，∠当B'在线段CE上时，B C'最短，B C'长的最小值是CE-B′E=22．故答案为：22【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出B′C取最小值时点B′的位置是解题的关键．14．2或3##3或2【解析】【分析】分两种情况进行解答，即当∠CAF＝90°或当∠AFC＝90°时，分别画出相应的图形，利用等腰三角形的性质，特殊角的直角三角形的边角关系及翻折变换的性质求解即可；【详解】∠当∠CAF＝90°时，如图1，∠AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，∠∠B＝∠C＝30°＝∠BAF，∠AF32=AC＝23=BF，由翻折可知，BD＝DF3=，在Rt ∠BDE 中，∠B ＝30°，BD 3=，∠BE cos30BD ==︒2； ∠当∠AFC ＝90°时，如图2，由翻折变换可知，BD ＝DF ，∠EDF ＝90°＝∠AFC ，∠DE ∠AF ，∠BE ＝AE 12=AB ＝3， 综上所述，BE 的长为2或3，故答案为：2或3．【点睛】本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键．15．7【解析】【分析】不管P 点在l 上哪个位置，PD 始终等于PD '，故求PD '+PB 可以转化成求PD +PB ，显然当D 、P 、D '共线时PD + PB 最短．【详解】过点D 作DM ∠AB 交BA 的延长线于点M ，∠四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝1，AB ＝2，∠ADC ＝60°，∠∠DAM ＝60°，由翻折变换可得，AD ＝AD ′＝1，DE ＝D ′E ，∠ADC ＝∠AD ′E ＝60°，∠∠DAM ＝∠AD ′E ＝60°，∠AD ∠D ′E ，又∠DE ∠AB ，∠四边形ADED ′是菱形，∠点D 与点D ′关于直线l 对称，连接BD 交直线l 于点P ，此时PD ′+PB 最小，PD ′+PB ＝BD ，在Rt ∠DAM 中，AD ＝1，∠DAM ＝60°，∠AM=12AD=12，DM=32AD=32，在Rt∠DBM中，DM=32，MB＝AB+AM=52，∠BD=DM2+MB2=322+522=7，即PD′+PB最小值为7，故答案为：7．【点睛】本题考查平行四边形性质和菱形性质，掌握这些是本题解题关键．16．(23,2)或(23,2)或(2,23)【解析】【分析】根据翻折可得∠AOD=∠A′OD，分3种情况讨论：当∠AOD=30°时或当∠ADO=30°时或当∠AOA′=30°时求A'的坐标．【详解】解：根据翻折可得∠AOD＝∠A′OD，作A'E∠OC于E，∠当∠AOD＝30°时，则∠A'OC＝30°，∠A'E=A'O•sin∠A'OC＝2cm，OE=A'O•cos∠A'OC＝23cm，∠A'的坐标为(23，2)；∠当∠ADO＝30°时，则∠AOD＝60°，∠∠AOA'＝120°，即A'在第四象限且∠A'OC＝30°，∠A'E=A'O•sin∠A'OC＝2cm，OE=A'O•cos∠A'OC＝23cm，∠A'的坐标为(23，﹣2)；∠∠AOD＝15°时，∠AOA′＝30°，∠A'OC＝60°，∠A'E=A'O•sin∠A'OC＝23cm，OE=A'O•cos∠A'OC＝2cm，∠A'的坐标为(2，23)．故答案为：(23，2)或(23，﹣2)或(2，23)．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是分类讨论以及解直角三角形．17．90°3或145【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得BDE B DE'∠=∠，BD B D'=，由D是BC的中点，则有BD CD B D'==，结合90C AB D'∠=∠=︒，AD AD=，利用HL可判定'Rt ACD Rt AB D≌，从而有ADC ADB'∠=∠，则有90ADE ADB B DE''∠=∠+∠=︒；（2）利用三角函数的定义得到30B∠=︒，4AB=，再利用折叠的性质得3DB DC==，EB EB'=，30DB E B∠'=∠=︒，设AE x=，则4BE x=-，4EB x'=-，讨论：当90AFB∠'=︒时，则33cos302BF∴=︒=，则35(4)22EF x x=--=-，于是在Rt∠B EF'中利用2EB EF'=得到542()2x x-=-，解方程求出x得到此时AE的长；当90AB F∠'=︒时，作EH AB⊥'于H，连接AD，如图，证明'Rt ADB Rt ADC≌得到2AB AC'==，再计算出60EB H∠'=︒，则1(4)2B H x'=-，3(4)2EH x=-，接着利用勾股定理得到22231(4)[(4)2]42x x x-+-+=，方程求出x得到此时AE的长．【详解】解：（1）连接AD，如图所示：由题意得：BDE B DE'∠=∠，BD B D'=，点D是BC的中点，BD CD B D'∴==，AB B F'⊥'，90AB D'∴∠=︒，90AB D C'∴∠=∠=︒，在Rt ACD△和'Rt AB D中，CD B DAD AD'=⎧⎨=⎩，'()Rt ACD Rt AB D HL∴≌，ADC ADB'∴∠=∠，180BDB CDB''∠+∠=︒，22180B DE ADB''∴∠+∠=︒，2()180B DE ADB''∠+∠=︒，即2180ADE∠=︒，90ADE∴∠=︒；故答案为：90︒；（2）90C∠=︒，23BC=，2AC=，23tan323ACBBC∴===，30B∴∠=︒，24AB AC∴==，点D是BC的中点沿DE所在直线把BDE∆翻折到∠B DE'的位置，B D'交AB于点F 3DB DC∴==，EB EB'=，30DB E B∠'=∠=︒，设AE x=，则4BE x=-，4EB x'=-，当90AFB∠'=︒时，在Rt BDF中，cosBFBBD=，33cos302BF∴=︒=，35(4)22EF x x∴=--=-，在Rt∠B EF'中，30EB F∠'=︒，2EB EF∴'=，即542()2x x-=-，解得3x=，此时AE为3；当90AB F∠'=︒时，作EH AB⊥'于H，连接AD，如图，由（1）可知'Rt ADB Rt ADC≌，2AB AC∴'==，9030120AB E AB F EB F∠'=∠'+∠'=︒+︒=︒，60EB H∴∠'=︒，在'Rt EHB△中，11(4)22B H B E x'='=-，33(4)2EH B H x='=-，在Rt AEH中，222EH AH AE+=，∴22231(4)[(4)2]42x x x-+-+=，解得145x=，此时AE为145．综上所述，AE的长为3或145．故答案为：3或145．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．18．2【解析】【分析】利用折叠的性质得EF＝BE，BC＝CF，∠CFE＝∠B＝∠BCF＝90°，则可判断四边形BEFC 为正方形，所以BE＝BC＝6，再根据折叠的性质得∠AGH∠∠BCG，根据相似比求出AG、AH、BG即可．【详解】解：∠把∠BCE翻折，点B落在DC边上的点F处，∠EF＝BE，BC＝CF，∠CFE＝∠B＝∠BCF＝90°，∠四边形BEFC为正方形，∠BE＝BC＝6，∠把∠CDH翻折，点D落在AE上的点G处，折痕为CH，∠∠HGC＝90°，DH＝HG，CG＝CD，∠∠CGB+∠AGH＝90°，∠∠AHG +∠AGH＝90°，∠∠CGB＝∠AHG，∠∠B＝∠A＝90°，∠∠AGH∠∠BCG，∠13 AG AH GHBC BG GC===，∠BC=6，∠AG=2，设AH＝x，则DH＝HG＝6-x，∠x2+22＝（6-x）2，解得83x ，∠BG=3AH=8．EG= BG- BE=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形相似，依据相似三角形的性质求线段长．19．1202406【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得∠A=∠BPQ=120°；（2）由周角的性质可得∠BPD+∠QPD+∠BPQ=360°，即可求解；（3）由菱形的性质可得BQ=QD，QH∠BD，BH=DH，由“SSS”可证∠ABQ∠∠EDQ，可得∠AQB=∠BQP=∠EQD=∠PQD=45°，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∠将五边形纸片ABCDE沿BD折叠，∠∠A＝∠BPQ＝120°，∠QED＝∠QPD，∠BCD＝∠BPD，故答案为：120；（2）∠∠BPD+∠QPD+∠BPQ＝360°，∠∠BPD+∠QPD＝240°，∠∠BCD+∠QED＝240°，故答案为：240；（3）如图，连接PC，交BD于H，∠四边形BPDC 是菱形，∠PC 是BD 的垂直平分线，BP ＝PD ＝BC ＝CD ，∠Q ，P ，C 三点共线，∠QC 是BD 的垂直平分线，∠BQ ＝QD ，QH ∠BD ，BH ＝DH ，由折叠可知：∠A ＝∠BPQ ＝120°，AB ＝BP ＝2＝DE ＝DP ，∠AQB ＝∠BQP ，∠EQD ＝∠PQD ，AQ ＝QP ＝QE ，∠∠BPH ＝60°，∠∠PBH ＝30°，∠PH 12=BP ＝1，BH 3=PH 3=， 在∠ABQ 和∠EDQ 中，AB DE QA QE BQ QD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠ABQ ∠∠EDQ （SSS ），∠∠AQB ＝∠EQD ，∠∠AQB ＝∠BQP ＝∠EQD ＝∠PQD ，∠∠AQE ＝180°，∠∠AQB ＝∠BQP ＝∠EQD ＝∠PQD ＝45°，∠∠QBH ＝∠BQP ＝45°，∠BH ＝QH 3=，∠BQ 2=BH 6=，故答案为：6．【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．20．4265【解析】【分析】作'B F BC ⊥于F ，连接BB '交MN 于G ，连接BM ，根据正方形的性质可得CF =EF =B 'F =12CD =2，BF =10，应用勾股定理计算得出BB '，再根据折叠的性质得到BN =B 'N ，在Rt ∠B 'BF 中根据勾股定理求得B 'N 长度，最后根据等面积法计算求得MN 的长度．【详解】如图，作'B F BC ⊥于F ，连接BB '交MN 于G ，连接BM ，四边形ABCD 是矩形90C CDA ∴∠=∠=︒将∠ECD 沿DE 向上翻折，点C 的对应点C ′落在线段AD 上，1452CDE CDA ∴∠=∠=︒,90EC D C CDC ''∠=∠=∠=︒， 'CD C D ∴=，∴四边形CDC E '是正方形，B ′是线段DE 的中点，122CF EF B F CD '∴====， 12210BF BC FC =-=-=，在Rt BB F '△中，2222210226BB B F BF ''=+=+=，设BN B N x '==，则10NF BF BN x =-=-，在Rt B NF '△中，222B N NF B F ''=+，即222(10)2x x =-+，解得265x =， 即265BN =， 根据折叠的性质，可得1262BG B G BB ''===，BB MN '⊥，1122BMN S BN AB MN BG =⨯=⨯△， 2644526526BN AB MN BG ⨯⋅∴===．故答案为：4265． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，添加辅助线，利用勾股定理是解题的关键．。
中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练
专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E ＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF ＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为43或4.图①图②1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形，则DE＝________________.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．3．(2017·河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM 的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′.当△BC′D是直角三角形时，DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝23＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝23，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，点P 是对角线AC 上的一个动点，过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 折叠，使点A 落在点A′处，当△A′CD 为等腰三角形时，AP 的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D ，E 为AC ，BC 上两个动点．若将∠C 沿DE 折叠，点C 的对应点C′恰好落在AB 上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD 的长为__________．类型二 点的位置不确定(2016·河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB ＝3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N.当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为________．【分析】 根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN 的长，根据勾股定理，可得答案．【自主解答】 由翻折的性质，得AB ＝AB′，BE ＝B′E.①当MB′＝2，B′N＝1时，设EN ＝x ，得B′E＝x 2＋1.由△B′EN～△AB′M，EN B′M ＝B′E AB′，即x 2＝x 2＋13，x 2＝45，BE ＝B′E＝45＋1＝355； ②当MB′＝1，B′N＝2时，设EN ＝x ，得B′E＝x 2＋22，△B′EN∽△AB′M，EN B′M ＝B′E AB′，即x 1＝x 2＋43，解得x 2＝12，BE ＝B′E＝12＋4＝322，故答案为：322或355.1．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使D 点落在BC 边上的点E 处，折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点，则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A 的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则AE的长为__________．3．(2015·河南)如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为__________．5．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，点P是AB上(不含端点A，B)任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图，△ABC中，AB＝5，AC＝5，tan A＝2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D 的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．【分析】 以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE 上时，A′C 的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE 中利用勾股定理可求出CE 的长度，用CE －A′E 即可求出结论．例3题解图【自主解答】 以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点A′在线段CE 上时，A′C 的长取最小值，如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE ＝12AB ＝1.在Rt△BCE 中，BE ＝12AB ＝1，BC ＝3，∠B＝90°，∴CE＝BE 2＋BC 2＝10，∴A′C 的最小值＝CE －A′E＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图，在边长为10的等边三角形△ABC 中，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△A′DE，连接BA′，则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD 中，AD ＝12，E 是AB 边上的点，AE ＝5，点P 在AD 边上，将△AEP 沿EP 折叠，使得点A 落在点A′的位置，如图，当A′与点D 的距离最短时，△A′PD 的面积为________．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D.则当B′D 取得最小值时，tan∠BEF 的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练 1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E 在边AD 上时，过点E 作EF⊥CD 于F ，如解图①，设CF ＝x ，第1题解图①∵∠ABC＝30°，∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形，∴∠DCD′＝90°.由折叠可知，∠ECD＝∠D′CE＝45°，∵EF＝CF ＝x ，在直角三角形DEF 中，∠D＝30°，∴DE＝2x ，∴DF＝3x ，∴CD＝CF ＋DF ＝x ＋3x ＝2，解得x ＝3x －1，∴DE＝2x ＝23－2.(2)当E 在DA 的延长线上时，如解图②.第1题解图②过点B 作BF⊥DA 于点F ，根据折叠可知，∠ED′C＝∠D＝30°，又∵三角形BD′C 是等边三角形，∴D′E 垂直平分BC ，∵AD∥BC.∴D′E⊥AD，∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°，又∵AB＝2，∴AF＝ 3.令D′E 与BC 的交点为G ，则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1，∴AE＝3－1，∴DE＝3＋1，综上所述，DE 的长度为3＋1或23－2.2.158或157【解析】在Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC＝3.沿直线EF 将∠B 折叠，使点B 恰好落在BC 上的D 处，当△ADE 恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE ＝DE ，设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝5－x ，①当∠ADE＝90°时，则DE∥BC，∴DE CB ＝AE AB ，∴x 3＝5－x 5，解得x ＝158；②当∠AED＝90°时，则△AED∽△ACB，∴DE BC ＝AE AC ，∴x 3＝5－x 4，解得x ＝157，故所求BE 的长度为：158或157. 3.122＋12或1 【解析】①如解图①，当∠B′MC＝90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM＝12BC ＝122＋12；②如解图②，当∠MB′C＝90°，∵∠A＝90°，AB ＝AC ，∴∠C＝45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM＝2MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点为B′，∴BM＝B′M，∴CM＝2BM.∵BC＝2＋1，∴CM＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1，∴BM＝1，综上所述，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①，当A′D＝A′C 时，∠A′DC＝∠A′CD＝30°，∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝30°，∴∠ADA′＝90°，在Rt△ADA′中，AA′＝AD cos 30°＝432＝833，由折叠可得AP ＝12AA′＝433；图①图②第4题解图②如解图②，当CD ＝CA′＝4时，连接BD 交AC 于O ，则Rt△COD 中，CO ＝CD×cos 30°＝4×32＝23，∴AC＝43，∴AA′＝AC －A′C＝43－4，由折叠可得AP ＝12AA′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示，点E 与点C′重合时．在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE ，则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x ，则BD ＝4－x.在Rt△DBE 中，DE 2＋BE 2＝DB 2，即x2＋22＝(4－x)2.解得x ＝32.∴DE＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC′，∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D ＝∠CDC′＝90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC ＝3.∴DB＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA.∴DE AC ＝DB CB ＝14，即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或 6 【解析】分两种情况：①如解图①，当∠CDM＝90°，△CDM 是直角三角形，∵在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC ＝23＋4，∴∠C＝30°，AB ＝12AC ＝3＋2，由折叠可得，∠MDN＝∠A ＝60°，∴∠BDN＝30°，∴BN＝12DN ＝12AN ，∴BN＝13AB ＝3＋23，∴AN＝2BN ＝233＋43，∵∠DNB＝60°，∴∠ANM＝∠DNM＝60°，∴∠ANM＝60°，∴AN＝MN ＝23＋43.②如解图②，当∠CMD＝90°时，△CDM 是直角三角形，由题可得∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，∴BD ＝12DN ＝12AN ，BN ＝3BD ，又∵AB＝3＋2，∴AN＝2，BN ＝3，过N 作NH⊥AM 于H ，则∠ANH＝30°，∴AH＝12AN ＝1，HN ＝3，由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°，∴△MNH 是等腰直角三角形，∴HM＝HN ＝3，∴MN＝6，故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C＝90°，BC ＝23，AC ＝2，∴tan B＝AC BC ＝223＝33，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置，B′D 交AB 于点F ，∴DB＝DC ＝3，EB′＝EB ，∠DB′E＝∠B＝30°.设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，EB′＝4－x ，当∠AFB′＝90°时，在Rt△BDF 中，cos B ＝BF BD ，∴BF＝3cos 30°＝32，∴EF＝32－(4－x)＝x －52.在Rt △B′EF 中，∵∠EB′F ＝30°，∴EB′＝2EF ，则4－x ＝2(x －52)，解得x ＝3，此时AE 为3；第7题解图当∠FB′A ＝90°时，作EH⊥AB′于H ，连接AD ，如解图，∵DC ＝DB′，AD ＝AD ，∴Rt△ADB′≌Rt△ADC ，∴AB′＝AC ＝2.∵∠AB′E ＝∠AB′F ＋∠EB′F ＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中，B′H＝12B ′E ＝12(4－x)，EH ＝3B′H＝32(4－x)，在Rt△AEH 中，∵EH 2＋AH 2＝AE 2，∴34(4－x)2＋[12(4－x)＋2]2＝x 2，解得x ＝145，此时AE 为145.综上所述，AE 的长为3或145.8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′，∴∠EPA ＝∠FPA′＝90°，∴∠EAP ＋∠AEP ＝90°，∠FAP ＋∠AFP ＝90°，∴∠AEP ＝∠AFP ，∴AE ＝AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折，∴AE＝EA′，AF ＝FA′，∴AE＝EA′＝A′F＝FA ，∴四边形AEA′F 是菱形，∴AP＝PA′.①当CD ＝CA′时，∵AA′＝AC －CA′＝3，∴AP＝12AA′＝32.②当A′C＝A′D 时，∵∠A′CD＝∠A′DC＝∠DAC，∴△A′CD∽△DAC，∴A′C AD ＝DC AC ，∴A′C＝258，∴AA′＝8－258＝398，∴AP＝12AA′＝3916，故答案为32或3916. 9.127或43 【解析】①如解图①，当∠ADC′＝90°时，∠ADC′＝∠C，第9题解图①∴DC′∥CB，∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3，BC ＝4，∴AD DC′＝34，设CD ＝C′D＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝34，解得x ＝127，经检验：x ＝127是所列方程的解，∴CD＝127；②如解图②，当∠DC′A＝90°时，∠DCB ＝90°，第9题解图②由折叠可得，∠C＝∠DC′E＝90°，∴C′B 与CE 重合，由∠C＝∠AC′D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC′∽△ABC，在Rt △ABC 中，AB ＝5，∴AD C′D ＝AB CB ＝54，设CD ＝C′D＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝54，解得x ＝43，∴CD＝43.综上所述，CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝9－x ，当BE∶EC＝2∶1时，BC ＝9，∴CE＝13BC ＝3.在Rt△ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x)2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.当BE∶EC＝1∶2时，CE ＝23BC ＝6.在Rt△ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x)2＝62＋x 2，解得：x ＝52，即CH ＝52.故CH 的长为4或52.2.477或4155【解析】如解图，过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N ，则四边形ABNM 是矩形，∴AB＝MN ＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，∴A′M＝1，A′N＝3或A′M＝3，A′N＝1.①当A′M＝1，A′N＝3时，在Rt△BA′N 中，BN ＝42－32＝7，∴AM＝BN ＝7.由△A′EM～△BA′N，∴EM A′N ＝A′M BN ，∴EM 3＝17，∴EM＝377，∴AE＝477；②当A′M＝3，A′N＝1时，同理可得AE ＝4155., 第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P⊥BC 交BC 于点P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上，∴MD′＝PD′.设MD′＝x ，则PD′＝BM ＝x ，∴AM＝AB －BM ＝7－x ，又由折叠图形可得AD ＝AD′＝5，∴x 2＋(7－x)2＝25，解得x ＝3或4，即MD′＝3或4.在Rt△END′中，设ED′＝a ，①当MD′＝3时，AM ＝7－3＝4，D′N＝5－3＝2，EN ＝4－a ，∴a 2＝22＋(4－a)2，解得a ＝52，即DE ＝52；②当MD′＝4时，AM ＝7－4＝3，D′N＝5－4＝1，EN ＝3－a ，∴a 2＝12＋(3－a)2，解得a ＝53，即DE ＝53.综上所述，DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①，当点F 在矩形内部时，∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上，∴AN＝4.∵AF＝AD ＝5，由勾股定理得FN ＝3，∴FM＝2.设DE 为x ，则EM ＝4－x ，FE ＝x ，在△EMF 中，由勾股定理，得x 2＝(4－x)2＋22，∴x＝52，即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②，当点F 在矩形外部时，同①的方法可得FN ＝3，∴FM＝8，设DE 为y ，则EM ＝y －4，FE ＝y ，在△EMF 中，由勾股定理，得y 2＝(y －4)2＋82，∴y＝10，即DE 的长为10.综上所述，点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上，如解图①，∵在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6∴∠ABC ＝90°，AC ＝BD ，∴AC ＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质，得PC⊥BB′，∴∠PBD ＝∠BCP ，∴△BCP∽△ABD，∴BP AD ＝BC AB ，即BP 6＝68，解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上，如解图②，根据折叠的性质，得BP ＝B′P，∠B＝∠PB′C＝90°，∴∠AB′A＝90°，∴△APB′∽△ACB，∴B′P BC ＝AP AC ，即BP 6＝8－BP 10，解得BP ＝3，故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－ 5 【解析】分两种情况：①当点B′在AC 的下方时，如解图①，∵D 是BC 中点，∴S △BPD ＝S △PDC ，∵S △PDF ＝12S △BPD ，∴S △PDF ＝12S △PDC .∴F 是PC 的中点，∴DF 是△BPC 的中位线，∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折叠得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB ＝BD ，过B 作BE⊥AC 于E ，在Rt△ABE 中，tan A ＝BE AE＝2，∵AB＝5，∴AE＝1，BE ＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC ＝BE 2＋EC 2＝22＋42＝25，∵D 为BC 的中点，∴BD＝5，∴PB＝BD ＝5，在Rt△BPE 中，PE ＝1，∴AP ＝AE ＋PE ＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC的上方时，如解图②，连接B′C，同理得：F是DC的中点，F是PB′的中点，∴DF＝FC，PF＝FB′，∴四边形DPCB′是平行四边形，∴PC＝B′D＝BD＝5，∴AP＝5－5，综上所述，AP的长为2或5－ 5.7．8＋23或8－2 3 【解析】由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，BEC′E ＝2，∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时，如解图①，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC，∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，∴GF＝23，∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时，如解图②，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，∴AF＝BG，FG ＝AB＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG中，GE＝23.∵BE＝8，∴BG＝8－23，∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图，连接BE.第1题解图∵AB＝BC＝AC＝10，∴∠C＝60°.∵AB＝BC，E是AC的中点，∴BE⊥AC.∴BE＝BC2－EC2＝102－52＝53.∵AC＝10，E 是AC 边的中点，∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE ＝5.∵BA′＋A′E≥BE，∴当点B 、A′、E 在一条直线上时，BA′有最小值，最小值＝BE －A′E＝53－5.2.403【解析】连接DE ，DE ＝52＋122＝13，∵将△AEP 沿FP 折叠，使得点A 落在点A′的位置，∴EA′＝EA ＝5，∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时，取等号)，∴当A′与点D 的距离最短时，A′点在DE 上，∴DA′＝13－5＝8，设PA′＝x ，则PA ＝x ，PD ＝12－x ，在Rt△DPA′中，x 2＋82＝(12－x)2，解得x ＝103，∴△A′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt△ADE 中，DE ＝22＋42＝25，当B′在ED 上时，B′D 最小，在ED 上截取EB′＝EB ＝2，连接B′F，FD ，则B′D＝ED －EB′＝25－2，设BF ＝x ，则B′F＝x ，CF ＝4－x ，在Rt△B′FD 和Rt△FCD 中，利用勾股定理，可得DB′2＋B′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2，即(25－2)2＋x 2＝(4－x)2＋42，解得x ＝5＋1，∴Rt△BEF 中，tan∠BEF＝BF BE ＝1＋52.第3题解图4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，第4题解图∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF 值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD＝BD ＝3；而AC ＝4，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∴AD＝5，而FD ＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过F 作FH⊥BC 于H ，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC，∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF＝125，DH ＝95，∴BH＝245，∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255.。
中考复习讲义：图形折叠中的动点问题及几何动态问题解题新策略
中考热点Ⅰ：图形折叠中的动点问题一、问题导读折叠类综合问题，题型多样、变化灵活、知识点多，蕴含丰富数学思想方法。
折叠类综合问题不仅能是考查学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，而基于折叠操作的动点问题，常常是近年来各省市中考数学选填空题压轴题，甚至解答题中出现不少，操作+动点加重学生的思维容量，学生在解答时往往顾此失彼，患得患失，给学生造成很大麻烦，复习应加强这方面学习思考及巩固练习，解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量。
应注意的事一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解二、典例精析类型一:折叠成特殊三角形的动点问题例1(2018·河南中考题)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论．【解答】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB ＝BC －AC ，∴AB＝4√3；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为4√3或4.方法归纳：解决这类综合问题，我们要学会由于动点进一步发现图形中的数量关系的是否具有多样性；其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题类型二：点的位置不确定例2.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE 沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为________．【分析】根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．。
河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练
专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图.∠MAN＝90°.点C在边AM上.AC＝4.点B为边AN上一动点.连接BC.△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.点D.E分别为AC.BC的中点.连接DE并延长交A′B所在直线于点F.连接A′E.当△A′EF为直角三角形时.AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①∠A′EF＝90°.②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时.如解图①.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴A′C＝AC＝4.∠ACB＝∠A′CB.∵点D.E分别为AC.BC的中点.∴D、E是△ABC的中位线.∴DE∥AB.∴∠CDE＝∠MAN＝90°.∴∠CDE＝∠A′EF.∴AC∥A′E.∴∠ACB＝∠A′EC.∴∠A′CB＝∠A′EC.∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中.∵E是斜边BC的中点.∴BC＝2A′E＝8.由勾股定理.得AB2＝BC2－AC2.∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时.如解图②.∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴∠ABC＝∠CBA′＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形.∴AB＝AC＝4；综上所述.AB的长为43或4.图①图②1．如图.四边形ABCD是菱形.AB＝2.∠ABC＝30°.点E是射线DA上一动点.把△CDE沿CE折叠.其中点D 的对应点为D′.连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形.则DE＝________________.2．如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝4.E、F分别为AB、AC上的点.沿直线EF将∠B折叠.使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时.BE的长为______．3．(2017·河南)如图.在Rt△ABC中.∠A＝90°.AB＝AC.BC＝2＋1.点M.N分别是边BC.AB上的动点.沿MN所在的直线折叠∠B.使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形.则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4.∠DAB＝60°.点M、N分别在边AD、AB上.且MN⊥AC.垂足为P.把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形.则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝3.点D是BC上一动点.连接AD.将△ACD沿AD折叠.点C落在点C′.连接C′D交AB于点E.连接BC′.当△BC′D是直角三角形时.DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图.已知Rt△ABC中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC＝23＋4.点M、N分别在线段AC、AB 上．将△ANM沿直线MN折叠.使点A的对应点D恰好落在线段BC上.当△DCM为直角三角形时.折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.BC＝2 3.AC＝2.点D是BC的中点.点E是边AB上一动点.沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置.B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形.则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中.AB ＝5.AC ＝8.点P 是对角线AC 上的一个动点.过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E.交AB 于点F.将△AEF 折叠.使点A 落在点A′处.当△A′CD 为等腰三角形时.AP 的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图.在Rt△ABC 中.∠C＝90°.AC ＝3.BC ＝4.点D.E 为AC.BC 上两个动点．若将∠C 沿DE 折叠.点C 的对应点C′恰好落在AB 上.且△ADC′恰好为直角三角形.则此时CD 的长为__________．类型二 点的位置不确定(2016·河南)如图.已知AD∥BC .AB⊥BC .AB ＝3.点E 为射线BC 上一个动点.连接AE.将△ABE 沿AE折叠.点B 落在点B′处.过点B′作AD 的垂线.分别交AD.BC 于点M.N.当点B′为线段MN 的三等分点时.BE 的长为________．【分析】 根据勾股定理.可得EB′.根据相似三角形的性质.可得EN 的长.根据勾股定理.可得答案．【自主解答】 由翻折的性质.得AB ＝AB′.BE ＝B′E.①当MB′＝2.B′N＝1时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋1.由△B′EN～△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 2＝x 2＋13.x 2＝45.BE ＝B′E＝45＋1＝355； ②当MB′＝1.B′N＝2时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋22.△B′EN∽△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 1＝x 2＋43.解得x 2＝12.BE ＝B′E＝12＋4＝322.故答案为：322或355.1．如图.正方形ABCD 的边长为9.将正方形折叠.使D 点落在BC 边上的点E 处.折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点.则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中.AB＝4.BC＝9.点E是AD边上一动点.将边AB沿BE折叠.点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.则AE的长为__________．3．(2015·河南)如图.矩形ABCD中.AD＝5.AB＝7.点E为DC上一个动点.把△ADE沿AE折叠.当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时.DE的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图.在矩形ABCD中.AD＝5.AB＝8.点E为射线DC上一个动点.把△ADE沿直线AE 折叠.当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时.则DE的长为__________．5．如图.在矩形ABCD中.BC＝6.CD＝8.点P是AB上(不含端点A.B)任意一点.把△PBC沿PC折叠.当点B 的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时.BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图.△ABC中.AB＝ 5.AC＝5.tan A＝2.D是BC中点.点P是AC上一个动点.将△BPD 沿PD折叠.折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半.则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中.AB＝6.BC＝12.点E在边BC上.且BE＝2CE.将矩形沿过点E的直线折叠.点C.D的对应点分别为C′.D′.折痕与边AD交于点 F.当点 B.C′.D′恰好在同一直线上时.AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图.在矩形纸片ABCD中.AB＝2.AD＝3.点E是AB的中点.点F是AD边上的一个动点.将△AEF沿EF所在直线翻折.得到△A′EF.则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.根据折叠的性质可知A′E＝1.在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度.用CE－A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝12AB＝1.在Rt△BCE中.BE＝12AB＝1.BC＝3.∠B＝90°.∴CE＝BE2＋BC2＝10.∴A′C的最小值＝CE－A′E＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图.在边长为10的等边三角形△ABC中.D是AB边上的动点.E是AC边的中点.将△ADE 沿DE翻折得到△A′DE.连接BA′.则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD中.AD＝12.E是AB边上的点.AE＝5.点P在AD边上.将△AEP沿EP折叠.使得点A落在点A′的位置.如图.当A′与点D的距离最短时.△A′PD的面积为________．3．如图.在边长为4的正方形ABCD中.E为AB边的中点.F是BC边上的动点.将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F.连接B′D.则当B′D取得最小值时.tan∠BEF的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝4.BC＝6.点D是边BC的中点.点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合).沿DE翻折△DBE使点B落在点F处.连接AF.则线段AF的长取最小值时.BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E在边AD上时.过点E作EF⊥CD于F.如解图①.设CF＝x.第1题解图①∵∠ABC＝30°.∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形.∴∠DCD′＝90°.由折叠可知.∠ECD＝∠D′CE＝45°.∵EF＝CF＝x.在直角三角形DEF中.∠D＝30°.∴DE＝2x.∴DF＝3x.∴CD＝CF＋DF＝x＋3x＝2.解得x＝3x－1.∴DE＝2x＝23－2.(2)当E在DA的延长线上时.如解图②.第1题解图②过点B作BF⊥DA于点F.根据折叠可知.∠ED′C＝∠D＝30°.又∵三角形BD′C是等边三角形.∴D′E垂直平分BC.∵AD∥BC.∴D′E⊥AD.∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°.又∵AB＝2.∴AF＝ 3.令D′E与BC的交点为G.则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1.∴AE＝3－1.∴DE＝3＋1.综上所述.DE 的长度为3＋1或23－2. 2.158或157【解析】在Rt△ABC 中.∵∠C＝90°.AB ＝5.AC ＝4.∴BC＝3.沿直线EF 将∠B 折叠.使点B 恰好落在BC 上的D 处.当△ADE 恰好为直角三角形时.根据折叠的性质：BE ＝DE.设BE ＝x.则DE ＝x.AE ＝5－x.①当∠ADE＝90°时.则DE∥BC .∴DE CB ＝AE AB .∴x 3＝5－x 5.解得x ＝158；②当∠AED＝90°时.则△AED∽△ACB .∴DE BC＝AE AC .∴x 3＝5－x 4.解得x ＝157.故所求BE 的长度为：158或157. 3.122＋12或1 【解析】①如解图①.当∠B′MC＝90°.B′与A 重合.M 是BC 的中点.∴BM＝12BC ＝122＋12；②如解图②.当∠MB′C＝90°.∵∠A＝90°.AB ＝AC.∴∠C＝45°.∴△CMB′是等腰直角三角形.∴CM＝2MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B.使点B 的对应点为B′.∴BM＝B′M .∴CM＝2BM.∵BC＝2＋1.∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1.∴BM＝1.综上所述.若△MB′C 为直角三角形.则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①.当A′D＝A′C 时.∠A′DC＝∠A′CD＝30°.∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝30°.∴∠ADA′＝90°.在Rt△ADA′中.AA′＝AD cos 30°＝432＝833.由折叠可得AP ＝12AA′＝433；图①图②第4题解图②如解图②.当CD ＝CA′＝4时.连接BD 交AC 于O.则Rt△COD 中.CO ＝CD×cos 30°＝4×32＝2 3.∴AC ＝4 3.∴AA′＝AC －A′C＝43－4.由折叠可得AP ＝12AA′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示.点E 与点C′重合时．在Rt△ABC 中.BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE.则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x.则BD ＝4－x.在Rt△DBE 中.DE 2＋BE 2＝DB 2.即x 2＋22＝(4－x)2.解得x ＝32.∴DE＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC′.∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D ＝∠CDC′＝90°.∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′.∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC ＝3.∴DB＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE∥AC .∴△BDE∽△BCA.∴DE AC ＝DB CB ＝14.即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动.∠DBC′＜90°.故∠DBC′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或 6 【解析】分两种情况：①如解图①.当∠CDM＝90°.△CDM 是直角三角形.∵在Rt△ABC 中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC ＝23＋4.∴∠C＝30°.AB ＝12AC ＝3＋2.由折叠可得.∠MDN＝∠A＝60°.∴∠BDN＝30°.∴BN＝12DN ＝12AN.∴BN＝13AB ＝3＋23.∴AN＝2BN ＝233＋43.∵∠DNB＝60°.∴∠ANM ＝∠DNM＝60°.∴∠ANM＝60°.∴AN＝MN ＝23＋43.②如解图②.当∠CMD＝90°时.△CDM 是直角三角形.由题可得∠CDM＝60°.∠A＝∠MDN＝60°.∴∠BDN＝60°.∠BND＝30°.∴BD＝12DN ＝12AN.BN ＝3BD.又∵AB＝3＋2.∴AN＝2.BN ＝ 3.过N 作NH⊥AM 于H.则∠ANH＝30°.∴AH＝12AN ＝1.HN ＝ 3.由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°.∴△MNH 是等腰直角三角形.∴HM＝HN ＝ 3.∴MN＝ 6.故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C＝90°.BC ＝2 3.AC ＝2.∴tan B＝AC BC ＝223＝33.∴∠B＝30°.∴AB＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点.沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置.B′D 交AB 于点F.∴DB＝DC ＝ 3.EB′＝EB.∠DB′E＝∠B＝30°.设AE ＝x.则BE ＝4－x.EB′＝4－x.当∠AFB′＝90°时.在Rt△BDF 中.cos B ＝BF BD .∴BF＝3cos 30°＝32.∴EF＝32－(4－x)＝x －52.在Rt△B′EF 中.∵∠EB′F＝30°.∴EB′＝2EF. 则4－x ＝2(x －52).解得x ＝3.此时AE 为3；第7题解图当∠FB′A＝90°时.作EH⊥AB′于H.连接AD.如解图.∵DC＝DB′.AD ＝AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC .∴AB′＝AC ＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°.∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中.B′H＝12B ′E ＝12(4－x).EH ＝3B′H＝32(4－x).在Rt△AEH 中.∵EH 2＋AH 2＝AE 2.∴34(4－x)2＋[12(4－x)＋2]2＝x 2.解得x ＝145.此时AE 为145.综上所述.AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形.∴AB＝BC ＝CD ＝AD ＝5.∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′.∴∠EPA＝∠FPA′＝90°.∴∠EAP＋∠AEP＝90°.∠FAP＋∠AFP＝90°.∴∠AEP＝∠AFP .∴AE＝AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折.∴AE＝EA′.AF ＝FA′.∴AE＝EA′＝A′F＝FA.∴四边形AEA′F 是菱形.∴AP＝PA′.①当CD＝CA′时.∵AA′＝AC －CA′＝3.∴AP ＝12AA′＝32.②当A′C ＝A′D 时.∵∠A′CD ＝∠A′DC ＝∠DAC .∴△A′CD∽△DAC.∴A′C AD ＝DC AC .∴A′C＝258.∴AA′＝8－258＝398.∴AP＝12AA′＝3916.故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①.当∠ADC′＝90°时.∠ADC′＝∠C .第9题解图①∴DC′∥CB .∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3.BC ＝4.∴AD DC′＝34.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝34.解得x ＝127.经检验：x ＝127是所列方程的解.∴CD＝127；②如解图②.当∠DC′A＝90°时.∠DCB＝90°.第9题解图②由折叠可得.∠C ＝∠DC′E ＝90°.∴C′B 与CE 重合.由∠C ＝∠AC′D ＝90°.∠A ＝∠A .可得△ADC′∽△ABC .在Rt △ABC 中.AB ＝5.∴AD C′D ＝AB CB ＝54.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝54.解得x ＝43.∴CD＝43.综上所述.CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x.则DH ＝EH ＝9－x.当BE∶EC＝2∶1时.BC ＝9.∴CE＝13BC ＝3.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝32＋x 2.解得x ＝4.即CH ＝4.当BE∶EC＝1∶2时.CE ＝23BC ＝6.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝62＋x 2.解得：x ＝52.即CH ＝52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图.过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N.则四边形ABNM 是矩形.∴AB＝MN ＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.∴A′M＝1.A′N＝3或A′M＝3.A′N＝1.①当A′M＝1.A′N ＝3时.在Rt△BA′N 中.BN ＝42－32＝7.∴AM ＝BN ＝7.由△A′EM～△BA′N .∴EM A′N ＝A′M BN .∴EM 3＝17.∴EM＝377.∴AE＝477；②当A′M＝3.A′N＝1时.同理可得AE ＝4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图.连接BD′.过D′作MN⊥AB .交AB 于点M.CD 于点N.作D′P⊥BC 交BC 于点P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上.∴MD′＝PD′.设MD′＝x.则PD′＝BM ＝x.∴AM＝AB －BM ＝7－x.又由折叠图形可得AD ＝AD′＝5.∴x 2＋(7－x)2＝25.解得x ＝3或4.即MD′＝3或4.在Rt△END′中.设ED′＝a.①当MD′＝3时.AM ＝7－3＝4.D′N＝5－3＝2.EN ＝4－a.∴a 2＝22＋(4－a)2.解得a ＝52.即DE ＝52；②当MD′＝4时.AM ＝7－4＝3.D′N＝5－4＝1.EN ＝3－a.∴a 2＝12＋(3－a)2.解得a ＝53.即DE ＝53.综上所述.DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①.当点F 在矩形内部时.∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上.∴AN ＝4.∵AF＝AD ＝5.由勾股定理得FN ＝3.∴FM＝2.设DE 为x.则EM ＝4－x.FE ＝x.在△EMF 中.由勾股定理.得x 2＝(4－x)2＋22.∴x＝52.即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②.当点F 在矩形外部时.同①的方法可得FN ＝3.∴FM＝8.设DE 为y.则EM ＝y －4.FE ＝y.在△EMF 中.由勾股定理.得y 2＝(y －4)2＋82.∴y＝10.即DE 的长为10.综上所述.点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时.DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上.如解图①.∵在矩形ABCD 中.AB ＝8.BC ＝6∴∠ABC＝90°.AC ＝BD.∴AC＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质.得PC⊥BB′.∴∠PBD＝∠BCP .∴△BCP∽△ABD .∴BP AD ＝BC AB.即BP 6＝68.解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上.如解图②.根据折叠的性质.得BP ＝B′P .∠B＝∠PB′C ＝90°.∴∠AB′A＝90°.∴△APB′∽△ACB .∴B′P BC ＝AP AC .即BP 6＝8－BP 10.解得BP ＝3.故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－ 5 【解析】分两种情况：①当点B′在AC 的下方时.如解图①.∵D 是BC 中点.∴S △BPD ＝S △PDC .∵S △PDF ＝12S △BPD .∴S △PDF ＝12S △PDC .∴F 是PC 的中点.∴DF 是△BPC 的中位线.∴DF∥BP .∴∠BPD＝∠PDF .由折叠得：∠BPD＝∠B′PD .∴∠B′PD＝∠PDF .∴PB′＝B′D .即PB ＝BD.过B 作BE⊥AC 于E.在Rt△ABE中.tan A ＝BE AE＝2.∵AB＝ 5.∴AE＝1.BE ＝2.∴EC＝5－1＝4.由勾股定理.得BC ＝BE 2＋EC 2＝22＋42＝2 5.∵D 为BC 的中点.∴BD＝ 5.∴PB＝BD ＝ 5.在Rt△BPE 中.PE ＝1.∴AP＝AE ＋PE ＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC 的上方时.如解图②.连接B′C .同理得：F 是DC 的中点.F 是PB′的中点.∴DF＝FC.PF ＝FB′.∴四边形DPCB′是平行四边形.∴PC＝B′D＝BD＝ 5.∴AP＝5－ 5.综上所述.AP的长为2或5－5.7．8＋23或8－2 3 【解析】由折叠的性质得.∠EC′D′＝∠C＝90°.C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上.∴∠BC′E＝90°.∵BC＝12.BE＝2CE.∴BE＝8.C′E＝CE＝4.在Rt△BC′E中.BE C′E＝2.∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时.如解图①.过E作EG⊥AD于G.延长EC′交AD于H.则四边形ABEG是矩形.∴EG＝AB＝6.AG＝BE＝8.∵∠C′BE＝30°.∠BC′E＝90°.∴∠BEC′＝60°.由折叠的性质得.∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC.∴∠HFE＝∠CEF＝60°.∴△EFH是等边三角形.∴在Rt△EFG 中.EG＝6.∴GF＝23.∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时.如解图②.过F作FG⊥AD于G.D′F交BE于H.同①可得.四边形ABGF是矩形.△EFH是等边三角形.∴AF＝BG.FG＝AB＝6.∠FEH＝60°.在Rt△EFG 中.GE＝23.∵BE＝8.∴BG＝8－2 3.∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图.连接BE.第1题解图∵AB＝BC＝AC＝10.∴∠C＝60°.∵AB＝BC.E是AC的中点.∴BE⊥AC.∴BE＝BC2－EC2＝102－52＝53.∵AC＝10.E是AC边的中点.∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE.∴当点B、A′、E在一条直线上时.BA′有最小值.最小值＝BE－A′E＝53－5.2.403【解析】连接DE.DE＝52＋122＝13.∵将△AEP沿FP折叠.使得点A落在点A′的位置.∴EA′＝EA＝5.∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时.取等号).∴当A′与点D 的距离最短时.A′点在DE 上.∴DA′＝13－5＝8.设PA′＝x.则PA ＝x.PD ＝12－x.在Rt△DPA′中.x 2＋82＝(12－x)2.解得x ＝103.∴△A′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt△ADE 中.DE ＝22＋42＝2 5.当B′在ED 上时.B′D 最小.在ED 上截取EB′＝EB ＝2.连接B′F .FD.则B′D＝ED －EB′＝25－2.设BF ＝x.则B′F＝x.CF ＝4－x.在Rt△B′FD 和Rt△FCD 中.利用勾股定理.可得DB′2＋B′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2.即(25－2)2＋x 2＝(4－x)2＋42.解得x ＝5＋1.∴Rt△BEF 中.tan∠BEF＝BF BE ＝1＋52.第3题解图4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB.第4题解图∴点F 在以D 为圆心.BD 为半径的圆上.作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F.此时AF 值最小.∵点D 是边BC 的中点.∴CD＝BD ＝3；而AC ＝4.由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2.∴AD＝5.而FD ＝3.∴FA＝5－3＝2.即线段AF长的最小值是2.连接BF.过F 作FH⊥BC 于H.∵∠ACB＝90°.∴FH∥AC .∴△DFH∽△DAC .∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC.即35＝DH 3＝HF 4.∴HF＝125.DH ＝95.∴BH＝245.∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255.。
初三几何专题练习折叠问题
初三几何专题练习折叠问题折叠问题实际上是轴对称问题的应用，解题关键是抓住对称的性质1)关于同一条直线对称的图形全等； 2)对称轴是轴对称点连线的垂直平分线。
1、矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝5cm ，若将矩形折叠，使B 、D 重合，则折痕EF 长为？2一面积为1的正方形纸片ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边的中点，将点C 折致MN 上，落在P 点位置，折痕为BQ ，连结PQ 。
1）求MP 的长；2）求证：以PQ 为边长的正方形面积＝313、矩形ABCD 中，AB ＝1，点M 在对角线AC 上，AM ＝41AC ，直线L 过M 点且与AC 垂直与边AD 交于点E 。
1)、若AD ＝3，求证：点B 在直线L 上。
A D CBMN P2)、若L 与BC 交于H ，且把矩形的面积分成72的两部分，求AD 长。
若L 与AD 、AB 交于点E 、G （包括G 与C 重合），设AD长为x （33≤x ≤3）找出x 的取值范围。
4、把矩形纸片放入直角坐标系中，使OA 、OC 与X 轴、Y 轴正半轴重合，连AC 将△ABC 沿AC 翻折，点B 落在该坐标系内，设落点为D ，CD 交X 轴于E ，若CE ＝5，OE 、OC 长是方程x 2＋（m －1）x ＋12＝0的两根，且OC ＞OE ；1）求点D 坐标；2）若点F 是AC 中点，判断（8，－20）是否在过D 、F 两点的直线上。
5、ABCD 为一矩形纸，E 是AB 上一点，且BE ∶AE ＝5∶3，EC ＝15，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设为F 点； 求：1）AB 与BC 长；2）若☉O 内切于以F 、E 、B 、C 为顶点的四边形，求⊙O 的面积。
6、矩形纸片OABC 放入直角坐标系XOY 中，使OA 、OC 分别与X 轴、Y 轴正半轴上，连结AC 、且AC=45。
Tan ∠1) 求A 、C 两点坐标 2) 求AC 所在直线的解析式3) 将纸片OABC 折叠，使点A 与点C 重合(折痕为EF)，求折叠后纸片重叠部分面积。
2021年中考数学专题复习：折叠问题、动点问题和多结论问题
2021年中考数学专题复习：折叠问题、动点问题和多结论问题选择、填空题中出现的折叠问题、动点问题、多结论问题是有些难度的三种类型的题目，突出对考生综合能力的考查，是近几年选择、填空压轴的热点．一、折叠问题1．如图，已知矩形纸片ABCD 的两边AB∶BC ＝2∶1，过点B 折叠纸片，使点A 落在边CD 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为4，则EF 的长为( )A ．8－4 3B ．2 3C ．43－6 D.65,第1题图) ,第2题图)2．对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B ，B′两点重合，MN 是折痕．若B′M ＝1.5，则CN 的长为( )A ．3.5B ．4.5C ．5.5D ．6.53．如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合(H 不与端点C ，D 重合)，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G.设正方形ABCD的周长为m ，∶CHG 的周长为n ，则n m 的值为( ) A.22 B.12 C.5－12D ．随H 点位置的变化而变化 4．如图，将一个边长分别为8，16的矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使C 点与A 点重合，则EF 与AF 的比值为( )A ．4 5 B.255 C ．2 D.53,第4题图) ,第5题图)5．如图，在平面直角坐标系中，∶ABCD 的顶点B 位于y 轴的正半轴上，顶点C ，D 位于x轴的负半轴上，双曲线y＝kx(k＜0，x＜0)与∶ABCD的边AB，AD交于点E，F，点A的纵坐标为10，F(－12，5)，把∶BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∶y轴，则∶BOC的面积是______．6．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N点处，同时得到折痕BM，BM与EF交于点H，连接线段BN，则EH与HN的比值是________．,第6题图),第7题图)7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD 上一动点，连接OP，以OP为折痕，将∶AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F.若∶PDF为直角三角形，则DP的长为________．8．如图，矩形AOBC的边OA，OB分别在x轴、y轴上，点C的坐标为(－2，4)，将∶ABC 沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为__________．9．如图，已知Rt∶ABC中，∶B＝90°，∶A＝60°，AC＝3，点M，N分别在线段AC，AB 上，将∶ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当∶DCM为直角三角形时，折痕MN的长为____________．10．如图，将矩形纸片ABCD分别沿AE、CF折叠，若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上，下列说法：∶四边形AECF为菱形，∶∶AEC ＝120°，∶若AB ＝2，则四边形AECF 的面积为833， ∶AB∶BC ＝1∶2，其中正确的说法有____________．(只填写序号)二、二次函数中的多结论问题1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，现给以下结论：∶abc ＜0；∶c ＋2a ＜0；∶9a －3b ＋c ＝0；∶a －b≥m(am ＋b)(m 为实数)；∶4ac －b 2＜0.其中错误结论的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个,第1题图) ,第2题图)2．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于点(－3，0)，其对称轴为直线x ＝－12，结合图象分析下列结论：∶abc ＞0；∶3a ＋c ＞0；∶当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；∶一元二次方程cx 2＋bx＋a ＝0的两根分别为x 1＝－13，x 2＝12；∶b 2－4ac 4a ＜0；∶若m ，n(m ＜n)为方程a(x ＋3)(x－2)＋3＝0的两个根，则m ＜－3且n ＞2，其中正确的结论有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于C点，OA ＝OC.则由抛物线的特征写出如下结论：∶abc ＞0；∶4ac －b 2＞0；∶a －b ＋c ＞0；∶ac ＋b ＋1＝0.其中正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1.下列结论：∶abc＜0；∶3a＋c＞0；∶(a＋c)2－b2＜0；∶a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中结论正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：∶b2＞4ac；∶abc＜0；∶2a ＋b－c＞0；∶a＋b＋c＜0.其中正确的是()A．∶∶ B．∶∶ C．∶∶ D．∶∶∶∶,第5题图),第6题图)6．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x＝－1，下列结论：∶abc＜0；∶3a＜－c；∶若m为任意实数，则有a－bm≤am2＋b; ∶若图象经过点(－3，－2)，方程ax2＋bx＋c＋2＝0的两根为x1，x2(||x1＜||x2)，则2x1－x2＝5.其中正确的结论的个数是() A．4个B．3个C．2个D．1个7．小飞研究二次函数y＝－(x－m)2－m＋1(m为常数)性质时如下结论：∶这个函数图象的顶点始终在直线y＝－x＋1上；∶存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；∶点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1＜x2，x1＋x2＞2m，则y1＜y2；∶当－1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2.其中错误结论的序号是()A．∶B．∶C．∶D．∶8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，有以下结论：∶3a－b＝0；∶b2－4ac ＞0；∶5a－2b＋c＞0；∶4b＋3c＞0，其中错误结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4,第8题图),第9题图)9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：∶b＞0；∶a－b＋c＝0；∶一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；∶当x＜－1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)10．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(1＜m＜3，n＜0)．下列结论：∶abc＞0；∶3a＋c＜0；∶a(m－1)＋2b＞0；∶a＝－1时，存在点P使∶PAB为直角三角形．其中正确结论的序号为________三、几何多结论问题1．如图，在∶OAB和∶OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA>OC，∶AOB＝∶COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：∶AC＝BD；∶∶AMB＝40°；∶OM平分∶BOC；∶MO平分∶BMC.其中正确的个数为()A．4B．3 C．2D．1,第1题图),第2题图)2．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x.当∶PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是()∶当x＝0(即E，A两点重合)时，P点有6个；∶当0<x<42－2时，P点最多有9个；∶当P点有8个时，x＝22－2；∶当∶PEF是等边三角形时，P点有4个．A．∶∶B．∶∶C．∶∶D．∶∶3．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∶CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，有下列结论：∶BE＝DE；∶CE＋DE ＝EF ；∶S ∶DEC ＝14－312；∶DH HC ＝23－1.则其中正确的结论有( )A ．∶∶∶B ．∶∶∶∶C ．∶∶∶D ．∶∶∶,第3题图) ,第4题图)4．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝12.将纸片折叠，使点B 落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E ，F 分别在边AD 和边BC 上．连接BG ，交CD 于点K ，FG 交CD 于点H.给出以下结论：∶EF∶BG ；∶GE ＝GF ；∶∶GDK 和∶GKH 的面积相等；∶当点F 与点C 重合时，∶DEF ＝75°.其中正确的结论共有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，∶BPC 是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q.下列结论：∶∶BPD ＝135°；∶∶BDP∶∶HDB ；∶DQ∶BQ ＝1∶2；∶S ∶BDP ＝3－14.其中正确的有( )A ．∶∶∶B ．∶∶∶C ．∶∶∶D ．∶∶∶6．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点(不与A ，B 重合)，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N.下列结论：∶∶APE∶∶AME; ∶PM ＋PN ＝AC ；∶PE 2＋PF 2＝PO 2；∶∶POF∶∶BNF ；∶点O 在M ，N 两点的连线上．其中正确的是( B )A ．∶∶∶∶B ．∶∶∶∶C ．∶∶∶∶∶D ．∶∶∶,第6题图) ,第7题图)7．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，BE ＝1，∶DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF ＝2，过点F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC ，EG ，EF.下列结论：∶∶ECF 的面积为172；∶∶AEG 的周长为8； ∶EG 2＝DG 2＋BE 2；其中正确的是( C )A ．∶∶∶B ．∶∶C ．∶∶D ．∶∶8．如图，∶ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∶BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∶ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE.下列结论：∶EO∶AC ；∶S ∶AOD ＝4S ∶OCF ；∶AC∶BD ＝21 ∶7；∶FB 2＝OF·DF.其中正确的结论有________(填写所有正确结论的序号)．,第8题图) ,第9题图)9．如图，已知正方形ABCD ，点M 是边BA 延长线上的动点(不与点A 重合)，且AM ＜AB ，∶CBE 由∶DAM 平移得到．若过点E 作EH∶AC ，H 为垂足，则有以下结论：∶点M 位置变化，使得∶DHC ＝60°时，2BE ＝DM ；∶无论点M 运动到何处，都有DM ＝2HM ；∶在点M 的运动过程中，四边形CEMD 可能成为菱形；∶无论点M 运动到何处，∶CHM 一定大于135°.以上结论正确的有____________(把所有正确结论的序号都填上)．10．如图，∶O 为等腰三角形ABC 的外接圆，AB 是∶O 的直径，AB ＝12，P 为BC ︵上任意一点 (不与点B ，C 重合) ，直线CP 交AB 的延长线于点Q ，∶O 在点P 处的切线PD 交BQ 于点D ，则下列结论：∶若∶PAB ＝30°，则PB ︵的长为π；∶若PD∶BC ，则AP 平分∶CAB ；∶若PB ＝BD ，则PD ＝63；∶无论点P 在BC ︵上的位置如何变化，CP·CQ ＝108. 其中正确结论的序号为________．四、几何动点问题1．如图，在Rt∶ABC中，∶ACB＝90°，AC＝BC＝22，CD∶AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止．过点P作PE∶AC于点E，作PF∶BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是(),A) ,B),C) ,D)2. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C.设P点经过的路径长为x，∶CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x 函数关系的是(),A) ,B),C) ,D)3．如图1，点P从∶ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P 运动时线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则∶ABC 的面积是()图1 图2A ．12B ．24C ．36D ．484．如图，抛物线y ＝14x 2－4与x 轴交于A ，B 两点，P 是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ.则线段OQ 的最大值是( )A ．3 B.412 C.72D ．4 ,第4题图) ,第5题图)5. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数y ＝k x(k≠0)的图象上运动，且始终保持线段AB ＝42的长度不变，M 为线段AB 的中点，连接OM.则线段OM 长度的最小值是________(用含k 的代数式表示)．参考答案一 1.A 2.A 3.B 4.B 5. 503 6. 1∶2 7. 52或1 8. ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125 9. 1或66－922 10. ①②③ 二 1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.C 7.C 8.A 9. ②③④ 10. ②③三 1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C8．①③④ 9.①②④ 10.②③四 1.A 2.C 3.D 4.C 5.2k ＋8。
2019河南省2019年中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练
专题三 几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△82－42A′CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝＝4 3；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC 关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，3AB的长为4或4.图①图②1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B.若使△D′BC为等边三角形，则DE＝________________.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．23．(2017·河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′.当△BC′D是直角三角形时，DE的长为______．36．(2018·盘锦)如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．37．(2018·乌鲁木齐)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE 的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，点P 是对角线AC 上的一个动点，过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 折叠，使点A 落在点A′处，当△A′CD 为等腰三角形时，AP 的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D ，E 为AC ，BC 上两个动点．若将∠C 沿DE 折叠，点C 的对应点C′恰好落在AB 上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD 的长为__________．类型二 点的位置不确定(2016·河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB ＝3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N.当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为________．【分析】 根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN 的长，根据勾股定理，可得答案．【自主解答】 由翻折的性质，得AB ＝AB′，BE ＝B′E.①当MB′＝2，B′N＝1时，设EN ＝x ，得B′E＝.由△B′EN～△AB′M，＝，即＝，x 2＝，BE ＝B′E＝＝；x2＋1EN B ′M B ′E AB ′x 2x2＋134545＋1355②当MB′＝1，B′N＝2时，设EN ＝x ，得B′E＝，△B′EN∽△AB′M，＝，即＝x2＋22EN B ′M B ′E AB ′x1，解得x 2＝，BE ＝B′E＝＝，故答案为：或.x2＋431212＋43223223551．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使D 点落在BC 边上的点E 处，折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点，则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则AE的长为__________．3．(2015·河南)如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D 的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为__________．5．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，点P是AB上(不含端点A，B)任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP＝________．56．(2018·河南模拟)如图，△ABC中，AB＝，AC＝5，tan A＝2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D 的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF 所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C 的长的最小值是________．【分析】 以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE 上时，A′C 的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE 中利用勾股定理可求出CE 的长度，用CE －A′E 即可求出结论．例3题解图【自主解答】 以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点A′在线段CE 上时，A′C 的长取最小值，如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE ＝AB ＝1.在Rt△BCE 中，BE ＝AB ＝1，BC ＝3，∠B＝90°，∴CE＝1212＝，∴A′C 的最小值＝CE －A′E＝－1.故答案为－1.BE2＋BC21010101．(2019·原创)如图，在边长为10的等边三角形△ABC 中，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△A′DE，连接BA′，则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD 中，AD ＝12，E 是AB 边上的点，AE ＝5，点P 在AD 边上，将△AEP 沿EP 折叠，使得点A 落在点A′的位置，如图，当A′与点D 的距离最短时，△A′PD 的面积为________．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D.则当B′D 取得最小值时，tan∠BEF 的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为_________．参考答案类型一针对训练331.＋1或2－2 【解析】(1)当点E在边AD上时，过点E作EF⊥CD于F，如解图①，设CF＝x，第1题解图①∵∠ABC＝30°，∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形，∴∠DCD′＝90°.由折叠可知，∠ECD＝∠D′CE＝45°，∵EF＝CF＝x，在直角三角形DEF中，∠D＝30°，3333∴DE＝2x，∴DF＝x，∴CD＝CF＋DF＝x＋x＝2，解得x＝x－1，∴DE＝2x＝2－2.(2)当E在DA的延长线上时，如解图②.第1题解图②过点B作BF⊥DA于点F，根据折叠可知，∠ED′C＝∠D＝30°，又∵三角形BD′C是等边三角形，∴D′E3垂直平分BC，∵AD∥BC.∴D′E⊥AD，∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°，又∵AB＝2，∴AF＝.令D′E与BC的交点为G ，则易知EF ＝BG ＝BC ＝1，∴AE＝－1，∴DE＝＋1，综上所述，DE 的长度为＋1或212333－2.32.或 【解析】在Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC＝3.沿直线EF 将∠B 折叠，使点B 158157恰好落在BC 上的D 处，当△ADE 恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE ＝DE ，设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝5－x ，①当∠ADE＝90°时，则DE∥BC，∴＝，∴＝，解得x ＝；②当∠AED＝90°DE CB AE AB x 35－x 5158时，则△AED∽△ACB，∴＝，∴＝，解得x ＝，故所求BE 的长度为：或.DE BC AE AC x 35－x 41571581573.＋或1 【解析】①如解图①，当∠B′MC＝90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，12212∴BM＝BC ＝＋；②如解图②，当∠MB′C＝90°，∵∠A＝90°，AB ＝AC ，∴∠C＝45°，∴△CMB′是1212212等腰直角三角形，∴CM＝MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B，使点B 的对应点为2B′，∴BM＝B′M，∴CM＝BM.∵BC＝＋1，∴CM＋BM ＝BM ＋BM ＝＋1，∴BM＝1，综上所述，若2222△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为＋或1.12212图①图②第3题解图4.或2－2 【解析】①如解图①，当A′D＝A′C 时，∠A′DC＝∠A′CD＝30°，∴∠AA′D＝60°.4333又∵∠CAD＝30°，∴∠ADA′＝90°，在Rt△ADA′中，AA′＝＝＝，由折叠可得AD cos 30°432833AP ＝AA′＝；12433图①图②第4题解图②如解图②，当CD ＝CA′＝4时，连接BD 交AC 于O ，则Rt△COD 中，CO ＝CD×cos30°＝4×＝2，∴AC＝4，∴AA′＝AC －A′C＝4－4，由折叠可得AP ＝AA′＝2－2；故答案为32333123或2－2.43335 .或 【解析】如解图①所示，点E 与点C′重合时．在Rt△ABC 中，BC ＝＝4.由翻折的性3234AB2－AC2质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE ，则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x ，则BD ＝4－x.在Rt△DBE 中，DE 2＋BE 2＝DB 2，即x 2＋22＝(4－x)2.解得x ＝.∴DE＝.3232图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC′，∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D＝∠CDC′＝90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC ＝3.∴DB＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA.∴＝＝，即＝.解得DE AC DB CB 14ED 314DE ＝.点D 在CB 上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．故答案为：或.3432346.或 【解析】分两种情况：①如解图①，当∠CDM＝90°，△CDM 是直角三角形，∵在Rt△ABC23＋436中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC ＝2＋4，∴∠C＝30°，AB ＝AC ＝＋2，由折叠可得，3123∠MDN＝∠A＝60°，∴∠BDN＝30°，∴BN＝DN ＝AN ，∴BN＝AB ＝，∴AN＝2BN ＝＋，∵∠DNB＝60°，∴∠ANM＝∠DNM＝60°，1212133＋2323343∴∠ANM＝60°，∴AN＝MN ＝.②如解图②，当∠CMD＝90°时，△CDM 是直角三角形，由题可得23＋43∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，∴BD＝DN ＝AN ，BN ＝BD ，又∵AB＝12123＋2，∴AN＝2，BN ＝，过N 作NH⊥AM 于H ，则∠ANH＝30°，∴AH＝AN ＝1，HN ＝，由折叠可得33123∠AMN＝∠DMN＝45°，∴△MNH 是等腰直角三角形，∴HM＝HN ＝，∴MN＝，故答案为或.3623＋436图①图②第6题解图7．3或 【解析】∴∠C＝90°，BC ＝2，AC ＝2，∴tan B ＝＝＝，∴∠B＝30°，1453AC BC 22333∴AB＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置，B′D 交AB 于点F ，∴DB＝DC ＝，EB′＝EB ，∠DB′E＝∠B＝30°.设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，EB′＝4－x ，当3∠AFB′＝90°时，在Rt△BDF 中，cos B ＝，∴BF＝cos 30°＝，∴EF＝－(4－x)＝x －.在Rt△BF BD 3323252B′EF 中，∵∠EB′F＝30°，∴EB′＝2EF ，则4－x ＝2(x －)，解得x ＝3，此时AE 为3；52第7题解图当∠FB′A＝90°时，作EH⊥AB′于H ，连接AD ，如解图，∵DC＝DB′，AD ＝AD ，∴Rt△ADB′≌Rt△ADC ，∴AB′＝AC ＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝(4－x)，EH ＝B′H＝(4－x)，在Rt△AEH 中，∵EH 2＋AH 2＝AE 2，∴(4－x)1212332342＋[(4－x)＋2]2＝x 2，解得x ＝，此时AE 为.综上所述，AE 的长为3或.121451451458.或 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，323916∴AB＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′，∴∠EPA＝∠FPA′＝90°，∴∠EAP＋∠AEP＝90°，∠FAP＋∠AFP＝90°，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折，∴AE＝EA′，AF ＝FA′，∴AE＝EA′＝A′F＝FA ，∴四边形AEA′F 是菱形，∴AP＝PA′.①当CD ＝CA′时，∵AA′＝AC －CA′＝3，∴AP＝AA′＝.②当A′C＝A′D 时，∵∠A′CD＝∠A′DC＝∠DAC，∴△1232A′CD∽△DAC，∴＝，∴A′C＝，∴AA′＝8－＝，∴AP＝AA′＝，故答案为或.A ′C AD DC AC 2582583981239163239169.或 【解析】①如解图①，当∠ADC′＝90°时，∠ADC′＝∠C，12743第9题解图①∴DC′∥CB，∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3，BC ＝4，∴＝，设CD ＝C′D＝x ，则AD ＝3－x ，∴＝AD DC ′343－x x ，解得x ＝，经检验：x ＝是所列方程的解，∴CD＝；②如解图②，当∠DC′A＝90°时，34127127127∠DCB＝90°，第9题解图②由折叠可得，∠C＝∠DC′E＝90°，∴C′B 与CE 重合，由∠C＝∠AC′D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC′∽△ABC，在Rt△ABC 中，AB ＝5，∴＝＝，设CD ＝C′D＝x ，则AD ＝3－x ，∴＝，解得AD C ′D AB CB 543－x x 54x ＝，∴CD＝.综上所述，CD 的长为或.434312743类型二针对训练1．4或 【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝9－x ，当BE∶EC＝2∶1时，BC ＝9，∴CE＝BC ＝3.在Rt△ECH5213中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x)2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.当BE∶EC＝1∶2时，CE ＝BC ＝6.在Rt△23ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x)2＝62＋x 2，解得：x ＝，即CH ＝.故CH 的长为4或.5252522.或 【解析】如解图，过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N ，则四边形ABNM 是矩形，4774155∴AB＝MN ＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，∴A′M＝1，A′N＝3或A′M＝3，A′N＝1.①当A′M＝1，A′N＝3时，在Rt△BA′N 中，BN ＝＝，∴AM＝BN ＝.由42－3277△A′EM～△BA′N，∴＝，∴＝，∴EM＝，∴AE＝；②当A′M＝3，A′N＝1时，同EM A ′N A ′M BN EM317377477理可得AE ＝.4155,第2题解图) 第3题解图3.或 【解析】如解图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P⊥BC 交BC 于点5253P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上，∴MD′＝PD′.设MD′＝x ，则PD′＝BM ＝x ，∴AM＝AB －BM ＝7－x ，又由折叠图形可得AD ＝AD′＝5，∴x 2＋(7－x)2＝25，解得x ＝3或4，即MD′＝3或4.在Rt△END′中，设ED′＝a ，①当MD′＝3时，AM ＝7－3＝4，D′N＝5－3＝2，EN ＝4－a ，∴a 2＝22＋(4－a)2，解得a ＝，即DE ＝；②当MD′＝4时，5252AM ＝7－4＝3，D′N＝5－4＝1，EN ＝3－a ，∴a 2＝12＋(3－a)2，解得a ＝，即DE ＝.综上所述，DE 的长为5353或.52534.或10 【解析】分两种情况：①如解图①，当点F 在矩形内部时，∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上，52∴AN＝4.∵AF＝AD ＝5，由勾股定理得FN ＝3，∴FM＝2.设DE 为x ，则EM ＝4－x ，FE ＝x ，在△EMF 中，由勾股定理，得x 2＝(4－x)2＋22，∴x＝，即DE 的长为；5252图①图②第4题解图②如解图②，当点F 在矩形外部时，同①的方法可得FN ＝3，∴FM＝8，设DE 为y ，则EM ＝y －4，FE ＝y ，在△EMF 中，由勾股定理，得y 2＝(y －4)2＋82，∴y＝10，即DE 的长为10.综上所述，点F 刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE 的长为或10.525．3或 【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上，如解图①，∵在矩形ABCD 中，92AB ＝8，BC ＝6∴∠ABC＝90°，AC ＝BD ，∴AC＝BD ＝＝10.根据折叠的性质，得62＋82PC⊥BB′，∴∠PBD＝∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴＝，即＝，解得BP ＝；②点A 落在矩形对角线BP AD BC AB BP 66892AC 上，如解图②，根据折叠的性质，得BP ＝B′P，∠B＝∠PB′C＝90°，∴∠AB′A＝90°，∴△APB′∽△ACB，∴＝，即＝，解得BP ＝3，故答案为：3或.B ′P BC AP AC BP 68－BP 1092图①图②第5题解图6．2或5－ 【解析】分两种情况：①当点B′在AC 的下方时，如解图①，∵D 是BC 中点，∴S △5BPD ＝S △PDC ，∵S △PDF ＝S △BPD ，∴S △PDF ＝S △PDC .∴F 是PC 的中点，∴DF 是△BPC 的中位线，1212∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折叠得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB ＝BD ，过B 作BE⊥AC 于E ，在Rt△ABE 中，tanA ＝＝2，∵AB＝，∴AE＝1，BE ＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC ＝＝＝2BEAE 5BE2＋EC222＋42，∵D 为BC 的中点，∴BD＝，∴PB＝BD ＝，在Rt△BPE 中，PE ＝1，∴AP＝AE ＋PE ＝1＋1＝2；555图①图②第6题解图②当点B′在AC 的上方时，如解图②，连接B′C，同理得：F 是DC 的中点，F 是PB′的中点，∴DF＝FC ，PF ＝FB′，∴四边形DPCB′是平行四边形，∴PC＝B′D＝BD ＝，∴AP＝5－，综上所述，55AP 的长为2或5－.57．8＋2或8－2 【解析】由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵点B 、C′、D′33在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE ＝2CE ，∴BE＝8，C′E＝CE ＝4，在Rt△BC′E 中，＝2，∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC 的上方时，如解图①，过E 作EG⊥AD 于G ，延长EC′交AD 于BEC ′E H ，则四边形ABEG 是矩形，∴EG＝AB ＝6，AG ＝BE ＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC，∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH 是等边三角形，∴在Rt△EFG 中，EG ＝6，∴GF＝2，∴AF＝8＋2；②当点C′在BC 的下方时，如解33图②，过F 作FG⊥AD 于G ，D′F 交BE 于H ，同①可得，四边形ABGF 是矩形，△EFH 是等边三角形，∴AF＝BG ，FG ＝AB ＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG 中，GE ＝2.∵BE＝8，∴BG＝8－2，∴AF＝8－2.333图①图②第7题解图类型三针对训练1．5－5 【解析】如解图，连接BE.3第1题解图∵AB＝BC ＝AC ＝10，∴∠C＝60°.∵AB＝BC ，E 是AC 的中点，∴BE⊥AC.∴BE＝＝＝5BC2－EC2102－52.∵AC＝10，E 是AC 边的中点，∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE ＝5.∵BA′＋A′E≥BE，∴当点3B 、A′、E 在一条直线上时，BA′有最小值，最小值＝BE －A′E＝5－5.32. 【解析】连接DE ，DE ＝＝13，∵将△AEP 沿FP 折叠，使得点A 落在点A′的位置，40352＋122∴EA′＝EA ＝5，∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时，取等号)，∴当A′与点D 的距离最短时，A′点在DE 上，∴DA′＝13－5＝8，设PA′＝x ，则PA ＝x ，PD ＝12－x ，在Rt△DPA′中，x 2＋82＝(12－x)2，解得x ＝，∴△A′PD 的面积＝103×8×＝.121034033. 【解析】在Rt△ADE 中，DE ＝＝2，当B′在ED 上时，B′D 最小，在ED 上截取1＋5222＋425EB′＝EB ＝2，连接B′F，FD ，则B′D＝ED －EB′＝2－2，设BF ＝x ，则B′F＝x ，CF ＝4－x ，在Rt△5B′FD 和Rt△FCD 中，利用勾股定理，可得DB′2＋B′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2，即(2－2)2＋x 2＝(4－x)52＋42，解得x ＝＋1，∴Rt△BEF 中，tan∠BEF＝＝.5BF BE 1＋52 第3题解图4. 【解析】由题意得：DF ＝DB ，1255第4题解图∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF 值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD＝BD ＝3；而AC ＝4，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∴AD＝5，而FD ＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过F 作FH⊥BC 于H ，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC ，∴＝＝，即＝＝，∴HF＝，DH ＝，∴BH＝，∴BF＝＝.DF AD DH CD HF AC 35DH 3HF 412595245BH2＋HF21255。
九年级数学专题复习图形的折叠和动点问题
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题【中考展望】1.对于实践操作型问题,在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值,经历“数学化〞和“再创造〞的过程,不断提升自己的创新意识与综合水平,这是?全日制义务教育数学课程标准〔实验稿〕?的根本要求之一,因此,近年来实践操作性试题受到命题者的重视,屡次出现.2.估计在今年的中考题中,实践操作类题目依旧是出题热点,仍符合常规题型,与三角形的全等和四边形的性质综合考查.需具备一定的分析问题水平和归纳推理水平.图形的设计与操作问题,主要分为如下一些类型：1.设计好的图案,求设计方案〔如：在什么根本图案的根底上,进行何种图形变换等〕.2.利用根本图案设计符合要求的图案〔如：设计轴对称图形,中央对称图形,而积或形状符合特定要求的图形等〕.3.图形分割与重组〔如：通过对原图形进行分割、重组,使形状满足特定要求〕.4.动手操作〔通过折叠、裁剪等手段制作特定图案〕.解决这样的问题,除了需要运用各种根本的图形变换〔平移、轴对称、旋转、位似〕外,还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证实,以获得重要的数据,辅助图案设计.另外,由于折叠操作相当于构造轴对称变换,因此折叠问题中,要充分利用轴对称变换的特性,以获得更多的图形信息.必要时,实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效.从历年中考来看,动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的.动态问题一般分两类,一类是代数综合题,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题, 在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析水平进行考查.所以说, 动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有时机拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题, 揭示其数学本质,并转化为我们所熟悉的数学问题.解答实践操作题的根本步骤为：从实例或实物出发, 通过具体操作实验,发现其中可能存在的规律,提出问题,检验猜测.在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程,利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象,从而发现所得到的结论,进而解决问题.动态几何问题：1、动态几何常见类型〔1〕点动问题〔一个动点〕〔2〕线动问题〔二个动点〕〔3〕面动问题〔三个动点〕2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路〔1〕化动为静,动中求静〔2〕建立联系,计算说明〔3〕特殊探路,一般推证【典型例题】例1.直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形.方法如下〔如下图〕:请你用上而图示的方法,解答以下问题：〔1〕对以下图中的三角形,设计一种方案,将它分成假设干块,再拼成一个与原三角形而积相等的矩形;〔2〕对以下图中的四边形,设计一种方案,将它分成假设F块,再拼成一个与原四边形而积相等的矩形.举一反三：【变式】把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后,再按如图③挖去一个三角形小孔,那么展开后图形是〔〕例2.如下图,现有一张边长为4的正方形纸片点尸为正方形助边上的一点〔不与点儿点,重合〕将正方形纸片折卷,使点6落在P处,点.落在G处,PG交DC干H,折痕为历,连接出\ BH.〔1〕求证：/AP斤4BP氏〔2〕当点尸在边月〃上移动时,△府的周长是否发生变化？并证实你的结论；〔3〕设"为x,四边形质GF的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值？假设存在, 求出这个最小值；假设不存在,请说明理由.例3.刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,ZB=90° , NC=60° ,ZA=30° , BC=6 cm；图②中,ZD=90° , ZE=45° , DE=4 cm.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将ADEF的直角边DE与AABC的斜边AC重合在一起,并将aDEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).(1)在4DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐.(填“不变〞、“变大〞或“变小〞)(2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题：问题①：当ADEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行？问题②：当ADEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题③：在ADEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得NFCD=15° ?如果存在,求出AD的长度；如果不存在,请说明理由.举一反三：【变式】如图,直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC〃0B,0B=6, CD=BC二4, BCLOB于B,以0为坐标原点,0B所在直线为x轴建立平面直角坐标系,开发区综合效劳治理委员会〔其占地而积不计〕设在点P〔4,2〕处.为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路〔路宽不计〕,并且是这条路所在的直线？将直角梯形OBCD分成面积相等的两局部,你认为直线？是否存在？假设存在求出直线？的解析式,假设不存在,请说明理由.例4.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中NA=60, , AC=1.固定AABC不动,将4DEF进行如下操作：(1)如下图,ZkDEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动),连结DC、CF、FB,四边形CDBF 的形状在不断地变化,但它的面积不变化,请求出其面积.B E⑵如下图,WD点移动到.AB的中点时,请你猜测四边形CDBF的形状,并说明理由.(3)如下图,4DEF的D点固定在AB的中点,然后绕D点按顺时针方向旋转aDEF,使DF落在AB请你求出sin的值.例5.如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为〔0, 4〕,动点A以每秒1个单位长的速度,从点O 出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中央,沿顺时针方向旋转90., 得到线段AB,过点B作x轴的垂线,垂足为E,过点C作y轴的垂线,交直线BE于点D,运动时间为t秒.〔1〕当点B与点D重合时,求t的值；〔2〕当t为何值时,S A BCD=^?4举一反三：【变式】如图,平行四边形ABCD中,AB=10, AD=6, NA=60° ,点P从点A出发沿折线AB-BC以每秒1 个单位长的速度向点C运动,当P与C重合时停止运动,过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P 运动时间为t秒,直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式.D C【稳固练习】 一、选择题将一张正方形纸片按如下图对折两次,并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形一张正方形的纸片,如图1进行两次对折,折成一个正方形,从右下角的顶点,沿斜虚线剪去一个3.如图,把矩形ABCD 对折,折痕为MN 〔图甲〕,再把B 点棒在折痕MN 上的B,处.得到RtZ\AB' E 〔图1. A. K B.区启启展开后的这个图形的内角和是多少度？〔 〕2D.直角三角形4.如图,边长为5的等边三角形ABC 纸片,点E 在AC 边上,乙〕,再延长EB'交AD 于F,所得到的4EAF 是〔〕点F在AB边上,沿着EF折福,使点A落在BC边上的点D的位置,且EDLBC,那么CE的长是〔A、B、10-56C、56-5D、20-10V3二、填空题5.如佟1(1)是一个等腰梯形,由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图⑵所示的一个菱形.对于图⑴ 中的等腰梯形,请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：6.如图,AABC中,ZBAC=60°, NABC=45* AB= 2点,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画.0 分别交AB, AC于E, F ,连接EF,那么线段EF长度的最小值为7.如图①,在四边形ABCD中,ADII BC, Z C=90% CD=6cm.动点Q从点B出发,以lcm/S的速度沿BC运动到点C停止,同时,动点P也从B点出发,沿折线B玲A玲D运动到点D停止,且PQ±BC.设运动时间为t(s),点P运动的路程为y (cm),在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE 和EF (如图②).点M (4, 5)在线段OE上,那么图①中AB的长是cm.三、解做题8.阅读以下材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示,将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图⑵所示的方法分割后,将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处, 依此方法继续操作,即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决以下问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片,排列形式如图(3)所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图⑶中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4),在面积为2的平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点, 分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ.请在图(4)中探究平行四边形MWQ面积的大小(画图并直接写出结果).9.如图(a),把一张标准纸一次又一次对开,得到“2开〞纸、“4开〞纸、“8开〞纸、“16开〞纸……・已知标准纸的短边长为a.(1)如图(b),把这张标准纸对开得到的“16开〞张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠,点B落在AD上的点B'处,铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折登,点D正好与点E重合,铺平后得折痕AF：贝|JAD:AB的值是 _______ , AD, AB的长分别是___________ ,：22) “2开〞纸、“4开〞纸、“8开〞纸的长与宽之比是否都相等?假设相等,直接写出这个比值；假设不相等,请分别计算它们的比值：(3)如图(c),由8个大小相等的小正方形构成“L〞型图案,它的4个顶点E, F, G, H分别在“16 开〞纸的边AB, BC, CD, DA上,求DG的长：(4)梯形MNPQ中,MN〃PQ, ZM=90° , MN=MQ=2PQ,且四个顶点乩N, P, Q都在“4开〞纸的边上,请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积.10.操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片•.将该三角形纸片按图中方法折登,点A与点C重合,DE为折痕.试证实aCBE是等腰三角形；(2)再将佟1(b)中的ACBE沿对称轴EF折叠(如图(b)).通过折叠,原三角形恰好折成两个重合的矩形,其中一个是内接矩形,另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形,我们称这样的两个矩形为“组合矩形〞.你能将图(c)中的AABC折登成一个组合矩形吗？如果能折成,请在图(c)中画出折痕：(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形,同时满足以下条件：①折成的组合矩形为正方形：②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形,如菱形,通过折登也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上).请你进一步探究,一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时,一定能折成组合矩形？11.在图1至图5中,正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b,且边AD和AE 在同一直线上.操作例如：当2bVa时,如图1,在BA上选取点G,使BG=b,连接FG和CG,裁掉4FAG和aCGB并分别拼接到AFEH和ACHD的位置构成四边形FGCH.思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将AFAG绕点F逆时针旋转90°到AFEH的位置,易知EH与AD在同一直线上,连接CH.由剪拼方法可得DH=BG,故ACHD乌ZkCGB,从而又可将4CGB绕点C顺时针旋转90.到aCHD的位置.这样,对于剪拼得到的四边形FGCH 〔如下图〕,过点F作FM_L AE于点M 〔图略〕,利用SAS公理可判断△HFMgZkCHD,易得FH = HC=GC = FG, ZFHC=90° .进而根据正方形的判定方法,可以判断出四边形FGCH是正方形.〔1〕正方形FGCH的面积是__________ ：〔用含a、b的式子表示〕⑵类比图1的剪拼方法,请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.联想拓展：小明通过探究后发现：当bWa时,此类图形都能剪拼成正方形,且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移.当b>a时,如下图的图形能否剪拼成一个正方形？假设能,请你在图中画出剪拼的示意图；假设不能,12.AABC是等腰直角三角形,AC二BC=2, D是边AB上一动点(A、B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角.得到ACEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(1)如图1,当a =90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证：GF//AC；(2)如图2,当90° WaW180°时,AE与DF相交于点M.①当点M与点C、D不重合时,连接CM,求NCMD的度数；②设D为边AB的中点,当a从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.。
中考数学专题复习四边形中的折叠剪切旋转与动点最值问题
C D E BA 图②中考数学专题复习——四边形中折叠、剪切、旋转与动点最值问题 一、折叠、剪切类问题1、折叠后求度数〔1〕将一张长方形纸片按如下图方式折叠，BC 、BD为折痕，那么∠CBD 度数为〔 〕A ．600B ．750C ．900D ．950 〔2〕如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′位置，假设∠EFB＝65°，那么∠AED′等于〔 〕A ．50° B．55° C ．60°D ．65°〔3〕用一条宽相等足够长纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝____________度.2、折叠后求长度 〔1〕将矩形纸片ABCD 按如下图方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝，折叠后，点C 落在AD 边上C 1处，并且点B 落在EC 1边上B 1处．那么BC 长为〔 〕．A 、B 、2C 、3D 、〔2〕如图，边长为5等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF图① A E折叠，使点A落在BC边上点D 位置，且，那么CE长是〔〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔3〕如图，将边长为8㎝正方形ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在F处，折痕为MN，那么线段CN长是〔〕A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm〔4〕如图，将矩形纸ABCD四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠四边形EFGH，假设EH＝3厘米，EF＝4厘米，那么边AD长是___________厘米.〔5〕如图，是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，假设将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C对应点为点F，假设BE=6cm，那么CD =〔6〕如图〔1〕，把一个长为、宽为长方形〔〕沿虚线剪开，拼接成图〔2〕，成为在一角去掉一个小正方形后一个大正方形，那么去掉小正方形边长为〔〕A．B．C．D．3、折叠后求面积〔1〕如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD NMFE D CBAmn nn〔2〔1边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，那么△CEF 面积为〔 〕A ．4B ．6C ．8D ．10〔2〕如图，正方形硬纸片ABCD 边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 中点，假设沿左图中虚线剪开，拼成如下右图一座“小别墅〞，那么图中阴影局部面积是〔 〕A ．2B ．4C ．8D ．10〔3〕如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
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初三数学天天练：折叠与动点5.15
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB 上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）
B．C．D．
A．
2．如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．
（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．
答案
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB 上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
根据折叠的性质可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，
∴B′D=BC﹣CD=4﹣3=1，
∵∠B′DF=∠CDE，
∴∠A=∠B′DF，
∵∠B=∠B′，
∴△ABC∽△DB′F，
∴=
=，
∴B′F=，
故选：B．
2．如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间
为t（s）．
（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．
（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．
【解答】解：（1）如图1中，设PD=t．则PA=6﹣t．
∵P、B、E共线，
∴∠BPC=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∴∠BPC=∠PCB，
∴BP=BC=6，
在Rt△ABP中，∵AB2+AP2=PB2，
∴42+（6﹣t）2=62，
∴t=6﹣2或6+2（舍弃），
∴PD=6﹣2，
∴t=（6﹣2）s时，B、E、P共线．
（2）如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ=3，CE=DC=4
易证四边形EMCQ是矩形，
∴CM=EQ=3，∠M=90°，
∴EM===，
∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，
∴△ADC∽△DME，
=，
∴=，
∴AD=4，（当AD=4时，直线BC上方还有一个点满足条件，见图2）
如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．
作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ=3，CE=DC=4
在Rt△ECQ中，QC=DM==，
由△DME∽△CDA，
∴=，
∴=，
∴AD=，
综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围≤m＜4．。